华东理工大学2007–2008学年第二学期
《 高等数学(下)11学分》课程期中考试试卷 2008.4
一.(本题6分)
求过点(1,-1,0)且与直线?
??=--=++10
3z y x z y x 垂直的平面π的方程,并计算点)1,3,0(=M 到π
的距离d.
解:}1,2,1{2}2,4,2{}1,1,1{}3,1,1{ -=-=--?=n
π的方程 0)1(2)1(=-++-z y x
即 012=+-+z y x .
66
6
==
d .
二.(本题8分) 设直线παβ在平面??
?=--+=++0
30z y x y x 上,而平面π与旋转抛物面2
2:y x z +=∑相切于
点)5,2,1(-=M , 求常数βα与的值. 解: 处的切平面在点M ∑
0)5()2(4)1(2=--+--z y x 平面0542 =---z y x 的方程π 由直线方程得
33 ,-+--=-+=--=y y y x z y x αβαβ
代入0)2()5( =--+--βαπy ，有
得0205=--=--βα且
2 ,5-=-=∴βα
四.(本题6分) 设有方程组
?
??==uv uv ve y ue x 确定函数
),,(),,(y x v v y x u u ==计算
时的值。在e v u e y x x
v
x u ====????,0,,0, 解：??
?????+??+??=??+??+??=)
(0)(1x v u x u v ve e x v x v u x u v ue e x u uv uv uv
uv
代入e v u e y x ====,0,,0有210u x v u e x x ??
=????
???=+????
2,1,0,,0e x
v
x u e v u e y x -=??=??====∴时，在
五.(本题8分) 设对任意0>x
,曲线))(,()(x f x x f y 上点=处的切线在y
轴上的截距等于0
1()x
f t dt x ?,
求)(x f 的一般表达式.
解: 切线方程))(()(x X x f x f Y -'=- 令0=X ,得y 轴上截距)()(x f x x f Y '-=
由已知,01()()()x
f t dt f x xf x x
'=-? 或
20
()()()x f t dt xf x x f x '=-?
对x 求导,有0)]([,0)()(='='+''x f x dx
d
x f x f x 即 积分,x
c x f c x f x 1
1)(,)(=
'='.21ln )(c x c x f +=∴
六.填空题(每小题4分,共40分) 1. 设,23,2b a n b a +=-=且,4
) , (,2| |,1| |^
π
=
==b a b a
则._______||=?n m 27
2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====a b b a b a 则23
3.微分方程032=-'+''y
y y 满足初始条件4)0(,0)0(-='=y y 的特解是3x
x e
e --
4.设某二阶线性非齐次微分方程的两个解为2-x 2
3e 3x x +++与,且对应齐次方程有一个
解为x ,则该非齐次方程的通解为2213x x c e
c x
+++-
5.微分方程02)4(=+''-y y y 的通解是x x e x c c e x c c y )()(4321+++=-
6.微分方程 0)(2
='+''y y y 的通解是
212c x c y +=
7.与曲线族2+=cx y 正交的曲线族方程(若两曲线在交点处的切线互相垂直,则称两曲线正交.这里的C 是参数)是C y x =-+2
2
)2( 8.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z
=,则=-)1,2,0(|dz dy dx 2
12-
9.曲线?
??=+-=++xoy z y x z y x 在1122
22222坐标面上的投影曲线是???==-01
322z y x 10．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是1)(2
2
2
=+y z x 或
122=+±y z x ;
七.选择题(每小题4分,共24分)
1． 已知直线π
22122
:
-=
+=
-z
y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( C ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.
2． 微分方程23cos 2x x x y y +=+
''的一个特解应具有形式( B ),
其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.
(A).2
12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322
12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;
(C).322
12211)sin cos )((d x d x
d x b x a b x a x +++++;
(D).322
111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++. 3．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在
该点连续的( D ).
(A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件;
(D).既非充分条件又非充分条件. 4．函数
)l n (2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l 的方向导数
=?M l |
( A ).
(A).21
3
e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --.
5．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( B ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x .
6．设),2,2(y x y x f z -+=且2
C f ∈，则=???y
x z
2( A ).
(A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --.