《高等几何》试题（１）
1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1）
的象为原点 .( 15 )
2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 )
3. 写出直线3x x
x 轴,y10
2x
+2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.()
1
4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )
5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 )
6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12)
124 1 2 3 43
7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 )
8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 )
9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )
《高等几何》试题（２）
1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 )
2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )
3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使
c i la i mb i(i 1,2,3). (10)
4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ，
x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2
l 2的方程.(15)，求
3
5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )
6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底
的交点自对应 . ( 10)
7. 求两对对应元素 , 其参数为1
1
,02, 所确定对合的参数方2
程. ( 10 )
8. 两个重叠一维基本形A B, A B 成为对合的充要条件是对应点的参数与满足以下方程:a b() d 0( ad b20) (15)
《高等几何》试题（３）
1.求仿射变换x 7 x y 1, y 4x 2 y 4的不变点和不变直线. (15 )
2.求椭圆的面积 .( 10 )
3.写出直线 2x1+3x2- x3=0, x 轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐
标.( 10 )
4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )
5.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2 x3 0 ， x1x2 x3 0 ，
x1 0 ，且 (l1l 2 , l3 l 4 )2
)，求 l 2的方程.(15
3
6.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( 15 )
7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 20 )
[2005 — 2006 第二学期期末考试试题]
《高等几何》试题（ A）
一、填空题（每题 3 分共 15 分）
1、是仿射不变量，是射影不变量
2、直线3x y0 上的无穷远点坐标为
3、过点（ 1,i,0）的实直线方程为
4、二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为
5、二次曲线6x2y211y 24 0 过点 P(1,2) 的切线方程
二、判断题（每题 2 分共 10 分）
1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）
2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）
3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）
4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）
5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）
三、 (7 分 ) 求一仿射变换，它使直线x 2 y 1 0 上的每个点都不变，且使点（1,-1 ）
变为（ -1 ， 2）
四、（ 8 分）求证 : 点A(1,2, 1), B( 1,1,2), C (3,0,5) 三点共线，并求t , s
使 c i ta i sb i ,( i 1,2,3)
五、 (10 分 ) 设一直线上的点的射影变换是x/3x 2
证明变换有两个自对应点，且这两自
x4
对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（ 10 分）
（1）求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2 x123x22x326x1 x2 2x1 x3 4x2 x30 的极线
（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）八、
（ 10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理
九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线
4u12u222u320 的直线
十、（ 10 分）已知A, B, P,Q , R 是共线不同点，
如果 ( PA, QB)1,(QR, AB)1,求 ( PR, AB)
《高等几何》试题（ B）
一、填空题（每题 3 分共 15 分）
x/7x y1
1、仿射变换
/4x 2 y
的不变点为
y4
2、两点决定一条直线的对偶命题为
3、直线 [i ,2,1-i]上的实点为
4、若交比( AB, CD ) 2 则 ( AD , BC )
5、二次曲线中的配极原则
二、判断题（每题 2 分共 10 分）
1、不变直线上的点都是不变点（）
2、在一复直线上有唯一一个实点（）
3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）
4、射影群仿射群正交群（）
5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）
三、 (7 分 )
经过 A( 3,2) 和 B(6,1)的直线 AB 与直线x 3 y 6 0 相交于P，求 ( ABP)
四、（ 8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群
五、（ 10 分）已知直线L1 , L2, L3 , L4的方程
分别为： 2x y 1 0,3x y 2 0,7 x y 0,5 x 10
求证四直线共点，并求( L1 L2 , L3 L4 )
六、 (10 分)
利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于
一点
七、（ 10分）求（ 1）二阶曲线x122x223x32x1x30过点 P(2,5,1) 的切线方程
2
（ 2）二级曲线u12u22 17u320在直线 L[1 ， 4， 1]上的切点方程
八、（ 10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）
九、（ 10 分）已知二阶曲线（C）：2x124x1x26x1x3x320
（1）求点P(1,2,1)关于曲线的极线
（2）求直线3x1x26x30关于曲线的极点
十、（ 10 分）
试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（ C）
一、填空题（每题 3 分共 15 分）
6、直线x y 20
x/2x y1
在仿射变换
/x y
下的像直线
y3
7、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为
8、过点（ 1,-i ,2）的实直线方程为
9、射影变换'230 自对应元素的参数为
10、二级曲线 u12u2217u320 在直线上[1,4,1]的切点方程
三、判断题（每题 2 分共 10 分）
1、仿射变换保持平行性不变（）
2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）
3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）
4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）
5 、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）
三、 (7分 ) 已知OX轴上的射影变换x'2x 1
，求坐标原点，无穷远点的对应点
x3
四、（ 8分）已知直线a,c, d 的方程分别为2x1 x2 x30, x1 x2 x3 0， x1 0且
(ab, cd)2
求直线 b 的方程。3
五、（ 10 分）已知同一直线上的三点A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为B, C , A 并判断
变换的类型，
六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
x1'x1x2
七、（ 10 分）求射影变换x2'x2的不变点坐标
x3'x3
八、（ 10 分）叙述并证明帕斯卡定理
九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线
4u12u222u320 的直线
十、（ 10 分）试证 : 双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F 调和共轭即 ( PP', EF )=-1
[ 参考答案 ]
高等几何标准答案（ A）
一、填空题：（每空 3 分共 15 分）
1、单比，交比 2 、（ 1,-3,0 ） 3、 x30 4、 2' 5(' ) 12 0
5、 12x1 7x226 x3 0
二、判断题（每题 2 分共 10 分）
1、错，
2、错，
3、对，
4、错，
5、对
三、解：在直线 x 2 y 10 上任取两点A(1,0), B(1,1)2分
由 A(1,0)A(1,0), B(1,1)B( 1,1),(1, 1)(1,2)
x' a x a y a
设仿射变换为111213将点的坐标代入可解得
y'a x a y a
212223
x'2x 2 y1
y'3x 2 y3
7分
22
121
四、证明：因为1120所以三点共线4分
305
由： t s3,2t s0,t2s5解得 t1, s2
所以c i a i2b1,( i1,2,3)8分
五、证明：令 x
''3x2
得 x
2
x 2 0解得 x11, x22 x由
x x4
即有两个自对应点4分
设 k 与 k '
3k
2
对应，有 ((1)( 2), kk ' )
5 为常数 10 分
k 4
2
注：结果 有 2
也对，不过顺序有别。
5
六、证明：设两直线为：
a : y k 1 x
b 1, b : y
k 2 x b 2
相似变换为：
x a x ' by ' c
a 2
b 2
y
bx '
ay '
d
将变换代入直线
a 的方程得： k 1'
k 1a
b
同理可得 k 2 ' k 2 a b 5 分
a k 1
b a k 2b k 2 ' k 1'
k 2 k 1
即
tan
a, b
tan ' '
1 '
'
1 k
2 k 1
a ,
b k 2 k 1
即两直线的夹角是相似群的不变量
10
分
七、解：（ 1）设（ 5， 1， 7）为 P 点坐标， 二阶曲线矩阵为
2
3 1 A=
3 3 2
1
2
1
所以点 P 的极线为 S P =0
S P (5,1,7)
2
3
1 x 1
即
3
3
2
x 2
得 x =0
5
分
2
1 2 1 x 3
（ 2）略 八（在后边）
九、解：通过直线 a[1,3,1], b[1,5, 1] 的交点的直线的线坐标为
[1 k,3 5k,1 k ]
2
分
若此直线属于二阶曲线则有
4(1 k)2
(3
5k )2 2(1 k) 2
即 27k 2
42k
11 0 解得 k
1
, k
11 10
分
3
9 十、解：设 P A
k 1B, Q A k 2B, R A
k 3 B
(PA,QB)
得
1 ( PQ, AB) 1,(PA, QB)
由
( PQ, AB) 2k
1 , k2k
(AB, PQ)
2
k21
由 ( qr , ab)1,得 ( AB,QR)k2
1 k3k
2 k3
所以 ( PR, AB)( AB, PR)k1
210分k3
八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。
4 分
证明 ;如图三点形ABC与 A1B1C1的三对应边交点L,M,N 共线，证明对应顶点连线共点, 考虑三点形BLB1与 CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A 1,0 共线
O
A
B
C
L
M
N B1
C1
A1
高等几何标准答案（ B）
一、填空题：（每题 3 分共 15 分）
1、4、(
1
,2) , 2、两条直线确定一个交点，3、 (2,-1,2)
2
1
、如果 P 点的极线过点Q则Q点的极线也过P 点。
5
2
二、判断题：（每题 2 分共 10 分）
1 、错， 2，对， 3 、错， 4 、对，5、对
三、解：过A, B 的直线方程为：x 9y 15 02分
直线 AB 与x 3 y6 0的交点为
33
4分P( ,)
22
所以( ABP )17分
四、证明：设平移变换的表达式为T:x'x a y'y b
设任意两个平移变换为：
T1x x a1x'x a2x'x a1a2
仍为一个平移变换 4 分,T2则 T2T1 :
y y b1y'y b2y'y b1b2
又对任意变换
x x'a1:x'x a
T:
y'
则T
y'y
也是一个平移变换y b b
所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。8分
五、解：方程转化为齐次坐标形式：
2x1x2x30,3x1x22x30,7 x1x20,5 x1 x302分
211312
3120且 7100所以四直线共点。6分710501
因为： L32L1 L2 , L4L1 L2所以： ( L2 L1 , L3L4 )2故( L1 L2 , L3
L4 )
1
10 分
2
六、证明：如图
A G
D
H
P
R
M
C
B
E
考虑三点形PEH 与 RGM 则 GH 平行 BC ， RM 也平行 BC 所以 GH 与 RM 相交于无穷
远处。同理HE 与GM , PE与 GR 相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应
顶点连线共点。即 PR, GE , HM相交于一点。10分七、（ 1）因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为：
101
x1 2
5
,1)020x23x1 2 10x2 4x305
S P= (2,分2
1x3
03
2
（ 2）因为直线 [1 ， 4， 1]在二级曲线上所以切点方程为
100u1
u14u217u3 0
T =(1,4,1)010u210分L
0017u3
八、证明：
（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。 3 分（ 2）如图
O
A
B
C
L
M
N B1
C1
A1
因为
OAA1共线，所以 O kA k1A1
同理 O mB m1B1, O nC n1C1
故有 kA k1 A1(mB m1B1 ) 0 即 kA mB m1B1k1 A1L
同理
mB nC(m1B1n1C1 ) M nC kA( n1c1k1 A1) N
三式相加得 L M N0 所以三点共线。10分九、解：(1)P 点的极线为：
223x1
S =(1,2,1)200x29x
1+2x+4x =05分
P23
30 1 x3
（2）设直线的极点为( a,b, c)则有223a3
200b1
301c6十、证明：如图
A
B 解方程组可得极点
1
10分
(2,, 6)
2
D
P
C
E
ABCD 为圆内接正方形，P 为圆上任意点。因为 AD AB 所以 PA 为角 DPB 的平分线。同理可证明PC 是角 EPB 平分线。即PA, PC 是角DPB的内外角平分线。所以直线PD, PA, PB, PC 构成调和线束。10 分
高等几何标准答案（ C）
一、填空题： ( 每题 3 分共 15 分 )
1 、 2x '
y '
1 0
2 、（ 1， 0， 0），（ 0， 1， 0）
3 、 2x 1 x 3
0 4 、 -1 ， 3 5
、 u 1 4u 2 17u 3 0
二、判断题：（每题 2 分共 10 分） 1、
对 ， 2 、错， 3 、对， 4 、对， 5 、错
三、解：变换化为齐次坐标形式：
x 1' 2x 1 x 2
3
分
x 2 '
x 1 3x 2
将坐标原点（ 0， 1），无穷远点（ 1， 0）代入得对应点分别为：
（ -1 ， 3）和（ 2， 1）
7
分
四、解：由题意得
d
a c 设
b a k
c 则
(ab, cd )
k
3
分
而 (ac,bd )
1 ( ab,cd ) 1
( 2 ) 5 所以 k
5
5
(x 1
3
3
3
b 2x 1
2x 2 x 3
x 2 x 3 ) 0
3
整理得： 11x 1 2x 2 2x 3
8
分
五、解：在直线上建立适当坐标系使
A, B, C 的坐标分别为
A(0,1), B(1,1),C (1,0)
3
分
则有 A(0,1)
B(1,1),B(1,1) C (1,0),C (1,0) A(0,1)
设变换为
x 1' a 11
x 1 a 12 x
2
将坐标代入可求得
x 2'
a 21
x 1
a 22 x
2
x 1 '
x 2
7
分
x 2
'
x 1 x 2
非齐次形式为： xx ' x ' 1 0
因方程
x 2 x 1 0 无实数解
所以变换是椭圆形。
10
分
六、证明：
设两直线为： a : y
k 1 x b 1 , b : y k 2 x b 2
相似变换为：x a x'by'c
a2b20 y bx'ay'd
将变换代入直线 a 的方程得：k1'k1a b
同理可得 k2
'
k 2 a b5分
a k1
b a k2 b
k2'k1'k2
k k1即 tan a,b tan a' , b'即两直线的夹角是相似群的不变
1k
2' k '
1
2
k
11
量10分七、解：
110
由特征方程：0100得（1-
3
0即 1 4分）
001
0 x1x20将1代入方程组0 x20得
x20,故 x20上的点都是不变点
0x30
x20 时不变点列。10分
八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。
证明：
如图
A1A5
E
A3
F
N
L M
A4A6
A2
对应边交点分别为L, M , N ，以 A1 , A3为射心A1( A4 , A2 , A6 , A5 ) 与 A3 (A4 , A2 , A6 , A5 ) 成
射影对应，而A1 ( A4 , A2 , A6 , A5 ) 与点列 ( A4 , L, E, A5 ) 成透视对应
A3 ( A4 , A2 , A6 , A5 ) 与点列 ( F , M , A6 , A5 ) 成透视对应
所以点列 ( A4 , L , E, A5 ) 与 (F , M , A6 , A5 ) 成射影对应。而A5位自对应点，所以两点列成透
视对应。故对应点连线共点。
即 A4F , LM , EA6共点， A3 A4与 A1 A6交点N在LM上。10分
九、解：通过直线a[1,3,1], b[1,5,1] 的交点的直线的线坐标为
[1 k,35k,1k ]2分若此直线属于二阶曲线则有4(1 k)2(3 5k )22(1 k) 20
即 27k242k110解得 k 1
, k11 39
所求直线的坐标 [1,2,2]和 [-1,-14,10]10分十、证明： E, F 为自对应元素，P与 P1对应
则有 ( PP1 , EF )(PP1 , EF )而 ( PP1 , EF )
1 (PP1 , EF )
所以 ( PP1 , EF )1得 ( PP1 , EF )2 1 因为 P, P1不重合
(P P1, EF )
故 ( PP1, EF )110分