三角函数教材分析
学号::105012011112 姓名：冯远翔 班级:教师3-2班
一、内容组织
1、内容简介
本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.
三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具.
三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式.
为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数()b x A y ++=?ωsin 的奇偶性，单调性、周期性、最大和最小值. 以下是三角函数的定义.
任意角与
弧度制；单位圆 任意角的三角函数 三角函数线；三角函数的图像及性质 三角寒素模型的简单应用 诱导
公式
同角三角函数的基本关系式
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()y x P ,1，由 于角απ+的终边与角α的终边关于原点对称，角απ+的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于原点O 对称，因此点2P 的坐标是()y x --,，由三角函数的定义得：
y =αsin x =αc o s x
y
=
αt a n y -=+)sin(απ x -=+)c o s (απ x
y
=
+)t a n (απ 从而得到：
公式一 公式二
公式三
公式四
我们可以用下面一段话来概括公式一道四：
)(2Z k k ∈?+πα，α-απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
如图，设任意角α的终边与单位位圆的交点1P 的坐标为),(y x .由于角
απ
-2
的终边与角α的终边关于直线x y =对称.角
απ
-2
的终边与单位圆
的交点2P 与点1P 关于直线x y =对称,因此2P 的坐标为),(x y .于是我们有
x =αcos y =αs i n
y =-)2c o s (απ x =-)2
s i n (απ
从而得到公式五 公式六
ααπsin )sin(-=+ ααπsin )cos(-=+
ααπtan )tan(=+
ααsin )sin(-=-
ααcos )cos(=-
ααtan )tan(-=-
ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=- απαsin )2sin(=*+k απαcos )2cos(=*+k απαtan )2tan(=*+k 其中Z k ∈
x
=-)2sin(απ
y =-)2
cos(απ
α
απ
sin )2
cos(-=+ααπ
cos )2
sin(=+
（由于
??
?
??--=+αππαπ
22，则由公式四及公式五得到公式六） 公式五及六可以概括如下
απ
±2
的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
利川公式五.或公式六，.可以实现正弦函数和余弦函数之间的转化，公式一到六都叫故诱导公式.
由前面的例子可以看出，函数b x A y ++=)sin(?ω及函数b x A y ++=)cos(?ω（其中A ，ω，?为常数，且0≠A ,0>ω）的周期仅与自变量的系数有关
（1）周期性 其周期为ω
π
2=
T .
（2）奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称，由诱导公式ααααcos )cos(,sin )sin(=--=-，可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
（3）单调性
我们可以先在正弦函数的一个周期区间上（如??
?
???-23,2ππ）讨论他们的单调性，再利
用他们的周期性，将他们的单调性扩展到整个定义域上.
正弦函数在每一个闭区间)(22,22Z k k k ∈??
?
???++-ππππ上都是增函数，其值从1-增大到
1；每一个闭区间)(223,22Z k k k ∈??
?
???++ππππ上都是增函数，其值从1增大到1-. （4）最大值与最小值
正弦函数当且仅当)(22Z k k ∈+ππ取得最大值1，当且仅当)(22
Z k k ∈+-ππ
取得最小
值1-.
正弦函数当且仅当)(2Z k k ∈π取得最大值1，当且仅当)(2Z k k ∈+ππ取得最小值1-.
2、来龙去脉
在初中，学生没有学习过三角函数，而是学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单的函数类型.但是学生有学习过平面几何以及函数的基本知识，这为以后的学习打下了基础.初中学习的相似三角形、全等三角形、平角、直角、特殊角等通过这些认识了教的应用、
到高中，初次学习三角函数，是在学习了函数的概念及其性质之后，知道三角函数为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.运用函数的相关知识来理解三角函数则更加清晰明了.另外，高中的三角函数是从几何图形抽象为代数语言，其形式更加严密、更加准确，但也更加难懂，着也是高中数学的特点.
今后，学生还将学习三角恒等变换、解三角形等等知识都需要运用到三角函数的知识来解决.并且更加深入的了解三角函数在学习、生活、工作中的应用.重新认识三角函数在高中知识体系中的地位与作用.
3、核心内容
三角函数的核心与函数的核心是有不同，函数的概念的核心是函数的对应法则，具有相同的定义域和对应法则的函数是同一函数，但是三角函数是周期函数，并且其几何性质改变了三角函数的函数着一特点.就是可以有不同的对应法则是同一个函数.三角函数的核心在于在对应法则在最简的时候同时有相同的定义域，呢么才是同一个函数.另外，三角函数的诱导公式决定了这一性质.在三角变换中、截三角形等问题中其对应法则的唯一性与多样性是特别注意的.
另外一方面，三角函数一般是在任意角与弧度制的基础上运算更加快捷，但是不能只知道运用弧度制来做，需要变通才行.而三角函数的其他性质都与函数的概念及性质类似的可以认识学习.
4、三角函数的属性与层次
三角函数的概念与性质是逐步形成并深化的，它的属性有概念、表示、性质、运算，在中学，没有三角哈数的概念，但是学习了基本初等函数的知识，为高中的学习做好了准备.
三角函数本身也是函数，它具备函数所以的内容，并且还具有自身的独特性.它是高中学习的一个超越函数，运用牙就函数的方法来研究三角函数，通过直观的几何背景，总结出运用比例值来表示角，规定弧度制来刻画这一命题.再探究其表示方法、函数线图像、函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等.在这一层次探索三角函数的本质特性.
不同于其他函数的，是它有自己的领域.用代数的符号来解决几何中一些难题.从角度过度到弧度，这是跨领域的桥梁.运用数形结合的思想来了解几何背后的代数问题.三角函数的个特殊的函数体系，在纵轴上的有限于在横轴上的无限体现了数学的自然美.更体现出其特殊.
5、学习三角函数概念与性质的关键环节
对三角函数的概念的认识，应明确
(1）三角函数也是函数，它具备函数的任何条件.同样有哈数的三要素（定义域、对应法则、值域）.
(2）深刻理解三角函数的定义域为整个实数域.因为受弧度制的影响或没有清楚地分开弧度与角度的关系，导致理解错误.
(3）因为三角函数具有周期性，其正弦和余弦是可以通过变换转化的，因此，对应法则不一定相同但也可能是同一个函数.
(4）对三角函数的本质要认识清楚.任意角的函数值可能相同，也可能不同.正角与负角只是方向的相反.图像的平移，伸缩变换要通过亲自动手才鞥深刻的体会到三角函数的变换过程.
对三角函数基本性质的教学与函数的教学相似.关键是强调研究函数性质的“三部曲“，建立研究函数性质的策略知识.
具体地，研究三角函数性质是的”三部曲“如下
1)观察图像，发现函数图像特征；
2)结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；
3)用数学的符号语言定义函数的性质.
6、不同的概念体系
人教 B 版——先以研究正弦函数为重点，从研究的方法到产生的结论，形成完整的研究过程.苏教版突出了三角函数周期性的地位，更符合新课标的要求.人教版教材关于三角函
数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的.三角函数出现了周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数概念的抽象，造成了一个学习难点.而对三角函数周期性的理解，又关系到求极值点和单调性的学习.因此，周期性体现了三角函数性质的特殊性.
二、学生理解
1、学生理解三角函数概念及性质的基础
学生在学习了函数的概念及性质后再学习三角函数，他们会把函数的知识套用到三角函数上，这样做其实是正确的.但是，要注意的是，三角函数又具有它自身的特点，三角函数的本质是角度对应任意两边的比值为因变量的函数.初学者没有抓住三角函数的这样的特点，很难理解它的符号含义.
学生在初中已经学习过函数的三种表示方法，在函数的概念及性质那一节中又学习了函数和映射，对三角函数的认识提高了很多.但是，三角函数在一开始首先介绍任意角和弧度制，旨在让学生从新的角度来认识三角函数，区别于普通函数的概念.弧度制的引入为更好的解决三角函数定义域中实数与角度的关系，更利于计算.在之后的章节里则很轻易的运用以前学过的函数知识解决了三角函单调性、周期性、奇偶性、最值等问题. 2、学生自发的方法
（1）求三角函数值，代入化简求值是学生自发解决；
（2）类比函数的概念及性质，学习了解三角函数的概念及性质；
（3）对三角函数单调性和周期性的判断，学生会自发通过画图进行治肝炎判断； （4）对三角函数奇偶性的判断，学生会组发同哟图像对称型进行直观判断； （5）研究函数的最大、最小智时，学生会自发借助数形结合思想进行简单判断. 3、学生的学习能力限度
在学习了函数的概念之后，大多数学生会通过类比到三角函数学习.然而，三角函数特别于其他函数的是它的定义域和对应法则，定义域通常会用弧度制，对应法则为超越函数符号.在没有真正认识三角函数的本质及其内容很难理解.
三角函数的函数性质的研究需要学生动手去做.三角函数的变换很容易混淆，左右平移的方向、伸缩的正负方向都容易做错. 4、具体内容的难易
正弦函数、余弦函数、正切函数等各个三角函数的定义，三角函数的单调性、平移变换、伸缩变换、对称性、诱导公式都是三角函数教学的重点.
高中一开始接触三角函数符号很难理解它的含义，没有认识到三角函数的几何意义，对三角函数的认识与掌握有一定的难度.三角函数的变换常常会使得学生晕头转向，错误的判断变换的方向和大小，由于新学习的任意角与弧度制不够熟悉，无法直接从几何角度的维度过度到代数运算的层面.由于三角函数的定义域一般为角度，那么第一节中介绍的任意角及其周期性，再结合三角函数变换中很容易导致学生遗漏所求得的角度.
与必修一学习的函数的概念及其性质相似，三角函数的概念及其性质的研究方法也可以通过同样的方式来探索，往往通过给出几个特殊具体的几何图形归结出三甲函数，让学生通过观察获得函数的几何定义或函数性质的直观认识，在利用图表探究函数的数量关系特征，并通过代数运算，验证法相的数量特征对定义域中的数用弧度制更加的方便灵活，最后概括道一般而形成基本性质的定义. 5、学生典型误解与认知重组
（1）关于符号x x x tan ,sin ,cos 等等，t a n c o s /s i n /是函数，x x x tan ,sin ,cos 是将t a n c o s /s i n /施加于x 的结果，在学习过函数的前提下，学生知识对tan cos/sin/的含义不熟悉.
在三角函数的计算过程中学生很可能会对同一个三角函数值y 对应的x 产生遗漏，因为三角函数是一个周期函数，在三角函数的定义域内，多个因变量可以对应同一个函数值.三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.
（2）三角函数是周期函数，也是对称型函数，它的周期与对称轴的求解比较简单，，而特殊的地方在于变换，很多学生会凭借着初中学习过得函数知识来模仿学习三角函数，平移变换和伸缩变换的教学特别要注意，学生很容易走入一个误区就是，增加x 就是向正方向变换，减少x 就是向负方向变换.显然，平移变换和伸缩变换都不属于上述情况，而是相反.当我们用惯性思维去思考的时候可能会不如愿.所以，在这里需要学生认知重组，用数量关系的变化认识变量的增减性，体会三角函数的变换规律.
（3）三角函数的导公式也是一个难点，诱导公式的变换可以使得三角函数之间互相转化，使得不相同的函数存在唯一的对应法则.如果死记硬背三角公式，那么三角公式又太多，因此，造成学生学习三角函数的苦恼.然而，其实诱导公式的记忆并不需要背很多，只要多加练习三角函数之间的转化就能熟练地掌握它了.
三、效果评估
1、典型题目及其变式
（1）若角α满足条件0sin2<α，0sin cos <-αα，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B
解析：0c o s 2s i n s i n 2<=ααα
∴0cos sin <αα即αsin 与αcos 异号，∴α在二、四象限，
又0sin cos <-αα ∴ααsin cos <
由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 变式：（2）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：B
解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B.
（3）在()π2,0内，ααcos sin <使成立的x 取值范围为（ ） ??
? ????? ??45,
2,4.ππππ A ???
??2,4.ππB ??
? ??45,4.ππC ??? ????? ??23,45,4.ππππ D
答案：C
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
4
π
和
4
5π
，图4—5
由图4—6可得C 答案.
图4—6 图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）
（3）若αsin ＞αtan ＞αcot （－2
π＜α＜2
π)，则α∈（ ） A.（－
2
π，－
4
π）
B.（－4
π，0）
C.（0，
4
π
）
D.（
4
π，
2
π）
答案：B
解法一：取α＝±3
π，±
6
π代入求出αsin 、αtan 、αcot 之值，易知α＝－
6
π适合，
又只有－
6
π∈（－
4
π，0），故答案为B.
解法二：先由αsin <αtan 得：α∈（－
2
π
，0），再由αtan ＞αcot 得:α∈（－
4
π，0）
评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系.
(4)函数y ＝4sin （3x ＋4
π）＋3cos （3x ＋
4
π）的最小正周期是（ ）
A.6π
B.2π
C.
3
2π
D.
3
π
答案：C
解析：y ＝4sin （3x ＋
4
π
）＋3cos （3x ＋
4
π
）＝5［
54sin （3x ＋4π）＋5
3cos （3x ＋4π
）］＝5sin （3x ＋
4
π
＋?）（其中tan ?＝
4
3
） 所以函数y ＝sin （3x ＋4
π
）＋3cos （3x ＋
4
π
）的最小正周期是T ＝
3
2π. 故应选C.
评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋?），其中sin ?＝
2
2
b
a b +，
cos ?＝
2
2
b
a a +，及正弦函数的周期性.
（5）tan20°+tan40°+3tan20°2tan40°的值是_____. 答案：3 解析：tan60°=
?
?-?
+?40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴
tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.
（6）函数x x y cos )6
2sin(π
-=的最小值是 .
答案：4
3-
解析：21)62sin(21662sin 21cos 6sin --=??????-??? ??-=??? ?
?
-=ππππx x x x y ，当162s
i n -=??? ??-πx 时，函数有最小值，y 最小4
3
21121-=??? ??--
评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 2、典型解题方法及使用范围
（7）已知函数x x y cos sin 3+=，R x ∈
1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? .解：（1）()R x x x x x x x x y ∈+=+=+=+=),6
sin(2)6sin cos 6cos
(sin 2cos sin 3cos sin 3π
ππ
y 取得最大值必须且只需,,22
6
Z k k x ∈+=
+
ππ
π
即Z k k x ∈+=
,23
ππ
所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛Z k k x ∈+=,23
ππ
｝
2）变换的步骤是：
①把函数x y sin =的图象向左平移
6π，得到函数)6
sin(π
+=x y 的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
)6
sin(2π
+
=x y 的图象；
经过这样的变换就得到x x y cos sin 3+=函数的图象.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.
已知函数12
()log (sin cos )f x x x =-
1)求它的定义域和值域； 2)求它的单调区间； 3)判断它的奇偶性； 4)判断它的周期性.
解1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及5224
4
k x k ππππ+<<+，k
∈Z ∴ 函数定义域为)45
2,42(πππ
π++
k k ，k ∈Z ∵ sin cos 2sin()4
x x x π-=-∴当x ∈5
(2,2)44k k π
πππ+
+时，0sin()14x π<-≤∴ 0sin cos 2x x <-≤∴ 1
2
1log 22
y =-
≥∴ 函数值
域为??
?
???+∞-,21;
2)函数)(x f 在定义域内单调递减，因为对数函数的底数为
12
1
<； 3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,.∴()f x 不具备奇偶性; 4）∵ )()2(x f x f =+π∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin -的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin +的符号. （8） 已知)(32
5
cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-= 1）求)(x f 的最小正周期； 2）求)(x f 单调区间；
3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心。 解：
（1）T=π
（2）增区间??
????
++125,12ππππk k ，减区间]1211,125[πππ+k
（3）对称中心（
62ππ+k ，0）
，对称轴ππ12
5
2+=k x ，k ∈Z (9) 若关于x 的方程0sin )(cos 22=+-+a x x π有实根，求实数a 的取值范围。 解：原方程变形为：0sin cos 22=+-a x x 即
a x x +--sin sin 222,∴
817)41(sin 22sin sin 222-
+=-+=x x x a ,∵- 1≤x sin ≤1 ,∴81741sin min -=-=a x 时，当； 11sin max ==a x 时，当, ∴a 的取值范围是??
?
???-1,817
3、针对学生误解与难点的有效评价题目 1）把曲线012cos =-+y x y 先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得
到的曲线方程是（ ） A.()032sin 1=-+-y x y
B.()032sin 1=-+-y x y
C.()012sin 1=+++y x y
D.()012sin 1=+++-y x y
答案：C
解析：将原方程整理为：x
y cos 21+=，因为要将原曲线向右、向下分别移动2
π
个单位和1
个单位，因此可得1)
2
cos(21--
+=
π
x y 为所求方程.整理得()012sin 1=+++y x y 评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：01)1(2)2
cos()1(=-++-+y x y π
，即得C 选项.
2）函数y=2sinx 的单调增区间是（ ）
A.()Z k k k ∈??
????
+-232,22ππππ B.()Z k k k ∈??
????
++232,22ππππ C.[]()Z k k k ∈-πππ2,2 D.[]()Z k k k ∈+πππ2,2
答案：A
解析：函数x y 2=为增函数，因此求函数x y sin 2=的单调增区间即求得x y sin =的单调增区间.
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
教学设计 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和 与现实生活的联系． 2．能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的 倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算． (二)能力训练要求 1．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有 条理地，清晰地阐述自己的观点． 2．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问 题和解决问题，提高解决实际问题的能力． 3．体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神． (三)情感与价值观要求 1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲． 2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯． 教学重点 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系． 2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的 联系． 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
教学方法 引导—探索法． 教具准备 FLASH 演示 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 用 FLASH 课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右 分层次出现： [问题 1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他 的边和角吗？ [问题 2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发 展，幢幢大楼拔地而起．70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是 上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂 冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？ 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？ 通过本章的学习，相信大家一定能够解决． 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起．(板书课题§1．1．1 从梯子的倾斜程度谈起)． Ⅱ．讲授新课 用多媒体演示如下内容：
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+
tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
三角函数公式大全 一谜槢痌激乼2014-11-28 优质解答 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）, 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角）,那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切
今天我说课的课题是人教版初中数学新教材九年级数学下册 28章《锐角三角函数》。对于本章，我将从教材内容，学情分析、教学目标，教学重点、难点，教学方法和学法等几个方面加以说明。 一、教材内容分析 本章教材分为二个小节：第一节包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦、正切的概念)，特殊角三角函数值以及用计算器求已知锐角角函数值或已知三角函数值求锐角；第二节包括解直角三角形。这两大块是紧密联系的，锐角三角函数是角直角三角形的基础，为解直角三角形提供了有效的工具。解直角三角形又为锐角三角函 数提供了与实际紧密联系的沃土，为锐角三角函数提供了与实际联 系的机会。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这 些都归结到直角三角形中边角的关系问题，而这些关系又恰好是锐 角三角函数中的正弦、余弦和正切的关系。纵观江西省近年来的中考，特殊角三角函数的运算以及解直角三角形的应用也是考查的重点，题目设计贴近于实际生活。因此，是初中数学的教学的重要内 容之一。同时，又为学生进入高中后学习任意角三角函数打下基础。 二、学情分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探 究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各 边和各角的关系（如直角三角形中的勾股定理，两锐角互余等知识），能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的 推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了坚实基础。 心理上九年级学生的逻辑思维已从经验型逐步向理论型发展，观察 能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
三、教学目标 根据教学内容和学情确定本章的教学目标 （一）知识与技能目标： 1、通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念，符号的含义，掌握锐角三角函数正弦、余弦、正切的表示。 2、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，那么它的三角函数值也都固定这一事实。 3、掌握特殊角30°、45°、60°正弦、余弦、正切值。 4、能够正确使用计算器，由已知角求函数值求或由已知函数值求锐角。 5、使学生学会根据定义求锐角的三角函数。 6、了解坡度问题中坡比、铅直高度、水平距离等有关的概念，用坡度解决实际问题。 （二）情感、态度与价值观目标： 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要学生进行观察、思考、交流，合作、探究进一步体会数学知识之间的联系，充分感受数学中数形结合的数学思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 四、教学重点、难点、关键
数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α αα α2tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan ±=± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=αα tan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=αα tan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π -α) 8
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π ω=. 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2),2sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○2三内角成等差数列00120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径2 222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 2 22 222 cos 2 cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-=
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
《锐角三角函数》说课稿 武城县滕庄中学苏永坤 一、说教材： 这节课是人教版数学教科书九年级下册第二十八章第一节锐角三角函数第一课时，主要内容是了解锐角三角函数的意义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 本节课是学生在学习勾股定理、相似三角形的基础上学习锐角三角函数，教材从一例实际问题引入，把它抽象成数学问题，转化成前面已经所学过的有关直角三角形的性质来解决，从而得出正弦的概念，这节课内容不仅在实际问题中有广泛应用，又为下面学习解直角三角形做基础，因此，在教材中处于十分重要的地位。 二、说教学目标： 在新课改革的背景下的数学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程》标准对本节课内容的要求及针对学生的一般性认知规律和学生个性品质发展的要求，确定教学目标如下： 知识目标： 1、让生初步了解锐角三角函数的意义。 2、理解在直角三角形中一个锐角的对边的比值就是这个锐角的正弦函数。 3、会根据已知直角三角形的边长，求一个锐角的正弦值。 能力目标： 1、培养学生发现直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边的比值不变的规律。 2、理解锐角与锐角三角函数之间是一一对应的关系，体会函数的思想和数形结合的思想。 情感目标： 1、通过让生探求正弦函数经历自主探索、合作交流、归纳总结等活动，培养学生探索的科学精神。 2、进一步培养学生一丝不苟、严谨治学的科学态度和强烈地学习欲望。 教学重点： 锐角的正弦函数的定义。 教学难点： 理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 三、学情分析： 本节内容学生已经学习了勾股定理和相似三角形的知识，有了一定的知识基础，认识能力和逻辑思维能力逐步增强，对于学习锐角三角函数有积极的作用，但本节内容是学生新接
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
《锐角三角函数复习》教学设计
例1、[2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( ) 图23－1 A.12 B.55 C.1010 D.25 5 方法解析：解决与网格有关的三角函数求值题的基 本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三 角形的边长，依据三角函数的定义进行求解． 类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度：1. 30°、45°、60°的三角函数值； 2. 已知特殊三角函数值，求角度 例2、[2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满 足??????cos A －12＋? ?? ??sin B －222＝0，则∠C ＝________. 类型之三 解直角三角形 命题角度： 1. 利用三角函数解直角三角形； 2. 将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形． 例3、路边路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆BA 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°，锥形灯罩的轴 线AD 与灯竿AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路 路面的中心线(D 在中心线上)．已知点C 与点D 之间 的距离为12米，求灯柱BC 的高．(结果保留根号) 图23－2 数形结合思想、 分类讨论思想的正确使用一直是学生的难点，正因为是难点，才需多练。错误不可怕，本来教者就已估计有不少同学出错，反正有同学纠错、老师点评，全体同学都有收益。课堂上太顺了，有时不是好事。
物资由A处运往正西方向的B处，经16时的航行到达， 到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台 风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向 移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界） 均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？ 请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响， 该船应在多长时间内卸完货物? 反思 与 提高 教师提问：“通过本节课的学习，有什么收获？” 学生可以自由发挥，只要有收获就行． 学生自己总 结，自己收益，他 人也收益，同学之 间还可以取长补 短，体现学生是学 习的主体，教师只 是一名导演． 《锐角三角函数》学情分析 面临中考的九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了很高 的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握锐角三角 函数的基础知识，能运用锐角三角函数知识解决问题，有一定的解题 能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。 学生通过本节课的复习，进一步体会体会锐角三角函数的意义， 数学知识之间的联系，感受数形结合思想，一般到特殊思想，转化思 想和建模思想，提高解决问题的能力。
三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A） Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B） ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
1- cos A 2 1+ cos A 2 1- cos A 1+ cos A 1+ cos A 1- cos A 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA + tanB tanA - tanB 三角函数公式 cotAcotB-1 cotAcotB +1 tan(A+B) = ，tan(A-B) = ，cot(A+B) = ，cot(A-B) = 1- tanAtanB 1+ tanAtanB cotB + cotA cotB - cotA 倍角公式 tan2A =2tanA ，Sin2A=2SinA?CosA，Cos2A = Cos 2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 1- tan 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3，cos3A = 4(cosA)3-3cosA，tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 3 3 半角公式 A A A A A 1- cos A sin( )= ，cos( )= ，tan( )= ，cot( )= ，tan( )= = 2 sin A 1+ cos A 和差化积 a +b 2 2 2 a -b 2 sin A sina+sinb=2sin cos 2 a + b sina-sinb=2cos sin 2 a + b 2 a - b 2 a -b cosa+cosb = 2cos cos 2 a + b cosa-cosb = -2sin sin 2 sin(a +b) 2 a - b 2 tana+tanb= 积化和差cos a cos b 1 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( -a) = cosa 2 cos( -a) = sina 2 sin( +a) = cosa 2
《锐角三角函数》说课稿 元城初中李先龙 一、知识技能： 1 ＞通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA , cos A, tanA 表示直角三角形中的两边的比，熟记30° , 45° , 60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说岀这个角。 2. 理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。 2. 过程与方法： 通过本节知识的复习，力图让学生感受数形结合思想，体会数形结合的数学方法。深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性. 3. 情感态度价值观： 在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中感受探索与创造，体验成功的喜悦。激发学生兴趣，感受数学之美。 二、教学重点、难点 1. 重点：会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题 2. 难点：勾股定理及锐角三角形函数的综合运用。 三、说教法学法： 1?师生互动探究式教学，以教学大纲为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主
导、学生为主体的原则，结合九年级学生的求知欲心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同吋考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。 2?数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，在教学中，我们要学生“知其然”，更要“知其所以然”，在处理教材上，我采用数形结合的方法，把问题用图形表示出来。 3. 运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。 4. 学法： “授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自主发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到复习的最终目标。教学中，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式发现? 分析和解决问题，给予学生足够的时间完成知识的构建。 四、教学过程 1. 请学生明确一下本节课的复习目标 2. 知识点回顾和对应的练习 (一)、锐角三角函数 1 、三角函数的定义：在RtAABC中，ZC=90°,贝ij sinA=( ) cosA=( ) tanA=( )
^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a