线性代数基本定理一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于
O
11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è??
?
÷
2.矩阵不可交换
(A+B)2=A 2+AB+BA+B
2
(AB)k
=ABABABAB ...A B
3.常被忽略的矩阵运算规则
(A+B)T
=A T
+B
T
(l A)T =l A
T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算
(diag(a
1,a
2
,...,a
n
))-1=diag(
1
a
1
,
1
a
2
,...,
1
a
n
)
(kA)-1=1
k
A-1
方法
1.特殊矩阵的乘法
A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：
B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断
A@B?R(A)=R(B)
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘
m 阶为行变换，右乘
n 阶为列变换
4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2
-A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有
A+2I 的一个多项式，
在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同
矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一
致，如：
如红线所示：左边矩阵列分块在第
2列与第3列之间，那么，右边矩阵分
块在第二行与第三行之间
1-1003-1000100002-1
é?
êêêêù?úúúú1000-1000013-1021
4
é?
ê
êêêù?
úúúú
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。
求逆：如果
均可逆，
若，则
反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。求转置：
块转置，每一块里面的也要转置6.把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意：A ．代数余子式的正负
B ．初等变换用等号，行列式的值可能变化1.特殊形状行列式
上下三角行列式、反上下三角行列式
A 1,A 2,...,A m
det(kA)=
det(A)
det(AB)=det(A)det(B)
块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）
2.一般行列式的计算原则
A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶
B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式
C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来其中，B 点最容易被忽略掉！！！例题：已知abcd=1
k
n
A nn O *
B mm =
A nn *O
B mm =A B
O A nn B mm
*
=*A nn B mm
O
=(-1)
mn
A B
det(diag(A 1,A 2,...A n ))=det(A i )
i =1
n
?
D=a2+
1
a2
a
1
a
1 b2+
1
b2
b
1
b
1 c2+
1
c2
c
1
c
1 d2+
1
d2
d
1
d
1
=abcd a1
1
a2
1
a
b1
1
b2
1
b
c1
1
c2
1
c
d1
1
d2
1
d
+
1
a2
a
1
a
1
1
b2
b
1
b
1
1
c2
c
1
c
1
1
d2
d
1
d
1
不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得0
3.范德蒙德行列式
注意：
范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到
下或从左到右升幂
不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i 和j 的
用处
=
(x i -x j )
n3i >j 31
?
4.几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本
5.克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。还要了解行列
式按某行展开，如果对被展开行的每列来说，代数余子式乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为0，这样，线性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）
6.矩阵的秩：可以回到定义，秩为r，就说明至少存在一个
r阶子式不为0，所有r+1阶子式全为0
三、空间解析几何
1. 易忽略的基础知识
点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面
空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接
交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投
影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。
方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦
投影：
外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形
面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积
外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量
混合积的记法，向量共面，混合积为0，a b c，bc a，c a b这三种顺序结果都相同
2．平面的方程
点法式，一般式：
xyz谁系数为0，就与哪个轴平行，D=0平面过原点,如果平
面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴截距式
点法式和点向式化为截距式，算截距即可三点式一般不用
3. 直线的方程点向式
m,n,p 哪个为0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直（在与那个轴平行的平面上）。直线的方向余弦就是
方向向量的方向余弦。参数式
用一个参数就可以确定
x,y,z 三个变量。用在求直线与平面交
点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量！还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线
x a
+
y b
+
z c
=1
一般式
用两个平面相交的方程组表示方程的转化
参数式=>点向式
t 的系数就是方向向量，加的常数就是定点。
点向式=>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。三个等号，两两联立，
变成两个方程。加括号变为方程组即可
参数式=>一般式
参数式先变为点向式，再变为一般式
点向式=>参数式
令三个比例=t
一般式=>点向式
方法1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为
x =x 0+mt y =y 0+nt z =z 0+pt
直线方向向量。
方法2：任取两点，直接求方程
一般式=>参数式
方法1：一般式先变为点向式，再变为参数式
方法2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量
=t
4. 位置关系和向量关系的转化平面与平面的位置关系
平面与平面平行（包括重合）——
如果重合，有：
平面与平面相交——
平面与平面垂直——法向量垂直平面与平面的夹角余弦（锐二面角）——法向量余弦的绝对
值
平面束——过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不包括参数后面的平面本身）
A 1
A 2
=
B 1B 2
=
C 1C 2
A 1
A 2
=
B 1B 2
=
C 1C 2
=
D 1D 2
A 1:
B 1:
C 11A 2:B 2:C 2
点到平面的距离
平面与直线的位置关系直线与平面的夹角
——直线平面法向量夹角余弦值的绝对
值就是直线与平面夹角的正弦值直线与平面相交，平行，过平面——直线的方向向量与平面
法向量内积不为
0相交，否则如果把直线经过的定点满足平
面方程，则线面平行，否则直线过平面
直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行
直线与直线的位置关系
两直线夹角——它们方向向量的夹角两直线平行（包括重合）
——方向向量平行。如果不重合，
则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在另一条直线上，呢么两直线不重合两直线垂直——方向向量垂直两直线相交——两直线共面，不平行
两直线间距离：先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向
d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
A 2
+B 2
+C
2
向量上投影
两直线共面，异面——两个定点（
）构成的一个向量，两个方向向量。这三个向量混合积为0，就共面反之异
面
点到直线的距离
M 为线上一点
为线上另一点，
到直线的距离为：
,想那个平行四边形
四、n 维向量空间
预备知识：AX=b 的矩阵表示和向量表示
或者如下表示
x 0,y 0,z 0M 1
M 0
x 1a 1+x 2a 2+...+x n a n =b
定理1.
有一个解——唯一一种表示方法，有无数解——无数表示方
法
2.向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示
等价具有自反性，传递性，对称性3.线性相关与线性无关
1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关2．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例（
，
中共线）
中，三个向量组线性相关，则它们共面
3 .
1,
2,
…,
n 线性相关AX=0有非0解，当向量个数等
R
2
R
3
R 3
线性表示
，
，，
可由
m
2
1
.
2
2
1
1
有解向量方程
m
m
x x x
于向量维数时，det(A)=0
4.向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。（相当于
未知量个数大于方程个数）
5.对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则局部无关
6.一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多的那个向量系数肯定不是
0）
7.向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组）8.再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变9.设向量组可由向量组线性
表示，且
线性无关，则
（系数矩阵
K 为s*r ，必须让方程的个数多一些）
10．若向量组I 可由向量组II 线性表示则R(I)<=R(II)，如果两个向量组等价，则它们的秩相等11. 方程AX=b 有解，则
11.几个关于秩的四个不等式R(AB)<=min(R(A),R(B))
（和定理9的不等式有关）
若,则R(A)+R(B)<=n （和基础解系有关）
R (A)=R(A)
A m*n
B n*t =O
R(A+B)<=R(A)+R(B)（也和定理9的不等式有关）R()=R(A)
(方程的同解)
12. AX=O 的解向量的线性组合仍为AX=O 的解向量
方法
一、判断向量组线性相关性：1.向量矩阵其次方程的解
2.至少有一个向量能用其他向量线性表示，则向量组线性相
关，否则线性无关二、判断向量组等价：
A=KB ，同时B=K ’A ，K 为线性表示的系数矩阵，如果K 为方
阵且唯一（线性表示法唯一），看K 是否可逆即可经典题：1.向量组线性无关
,问常数l,m 满足什么条件时,
向量组
线性无关．
2.A 为m*n 矩阵，B 为n*m 矩阵，m>=n ，试证det(AB)=0
3.
，求AX=b 通解
A T
A a 1,a 2,a 3133221,,a a a a a a +++m l ()满足的三个解向量方程组如果非齐次线性
且矩阵是设321,,.1,3h h h b AX A R m A ==′,3
21
2
1
,1
10
3
2
1
01
1
3
三、向量组的最大无关组
通过初等变换就可以求出最大无关组
判断最大无关组向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出
五、特征值与特征向量
定理
1. 如果a i是A在特征值l下的几个特征向量，那么a i的线性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数k（多解）
2. 三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素
3. l
0是矩阵A的k重特征值，则l
对应的线性无关的特征向
量不超过k，特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差，为n-R(l
I-A)
4. 如果a是A在特征值l下的特征向量，那么a是f(A)在特征值f(l)下的特征向量
5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。（给特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题：
A可逆A的任何一个特征值不为0
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式、相同的迹（解决代参数的矩阵相似问题很快）、相同的秩。
7. A与B相似=>A m与B m相似，多项式f(A)与f(B)相似
8. n阶矩阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量不同特征值的特征向量线性无关，所有特征值的特征向量构
成一个向量组，它们线性无关
9. 两两正交的非零向量组线性无关
AA T=A T A=I
10. A为正交矩阵A的行列向量组都是标准正交向量组
11. 实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交
应用这个定理，可以在已知其他两个特征值得特征向量的情
况下，求出第三个特征值对应的特征向量