一、双曲线知识点总结:
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当
时,
P
的轨迹为双曲线;
当
时,
P
的轨迹不存在;
当
2
1212||F F a PF PF ==-
时, P
的轨迹为以
21F F 、
为端点的两条射线
（2）双曲线的第二义
平面内到定点
F
与定直线
l
(定点 F
不在定直线
l
上)的距离之比是常数
e
(
1>e
)的点的轨迹为双曲线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
与双曲线
122
22=-b y a x
共渐近线的双曲线系方程为：
)
0(2
22
2≠=-λλb y a x
与双曲线
122
22=-b y a x
共轭的双曲线为
22
221y x b a -=
等轴双曲线
2
22a y x ±=-
的渐近线方程为
x y ±=
，离心率为
2=e
.；
1.注意定义中“陷阱
问题1：已知
12(5,0),(5,0)
F F -
，一曲线上的动点 P
到
21,F F
距离之差为6，则双曲线的方程为
2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为
x
y 23±=
，则离心率为
二、双曲线经典题型:
1.定义题：
1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）
设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线
12
2
22=-b y a x
上，
依题意得a=680, c=1020，
1340
5680340568010202
2
22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为
用y=－x 代入上式，得 5680±=x
，∵|PB|>|PA|,
10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
m 10680 处.
2. 设P 为双曲线
1
122
2
=-y x
上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A ．
36
B ．12
C ．
312
D ．24
解析：
2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由
①
又 ,22||||21==-a PF PF
②
由①、②解得
.4||,6||21==PF PF
,52||,52||||2212221==+F F PF PF
为21F PF ∴
直角三角形
.124621
||||212121=??=?=
∴?PF PF S F PF
故选B 。
3.如图2所示，
F
为双曲线
1
169:22=-y x C
的左
焦点，双曲线
C
上的点
i
P
与
()
3,2,17=-i P i
关于
y
轴对称，
则
F
P F P F P F P F P F P 654321---++
的值是（ ）
A ．9
B ．16
C ．18
D ．27
[解析]
=
-F P F P 61
=
-F P F P 52 643=-F P F P
，选C
4. P 是双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b y a x
左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则
21F PF ?
的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A ）
a -
（B ） b -
（C ）
c -
（D ）
c b a -+
［解析］设
21F PF ?
的内切圆的圆心的横坐标为
x
，
由圆的切线性质知，
a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(|||
5. 若椭圆
与双曲线
有相同的焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】椭圆的长半轴为
双曲线的实半轴为
，故选A.
2.求双曲线的标准方程
1已知双曲线C 与双曲线
162x
－
42y
=1有公共焦点，且过点（3
2
，2）.求双曲线C 的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于
c b a ,,
的方程组
[解析] 解法一：设双曲线方程为
22a x
－
22b y
=1.由题意易求c=2 5
.又双曲线过点（3
2
，2），∴
22
)23(a
－
24b
=1.
又∵a2+b2=（2
5
）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为
122x
－
82y
=1.
解法二：设双曲线方程为
k x -162
－
k y +42
＝1，
将点（3
2
，2）代入得k=4，所以双曲线方程为
122x
－
82y
＝1.
2.已知双曲线的渐近线方程是
2
x y ±
=
，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
[解析]设双曲线方程为
λ=-224y x
，
当 0>λ
时，化为
1
4
2
2
=-λ
λ
y x
，
2010452
=∴=∴λλ
，
当
0<λ
时，化为
142
2
=---λλy y ，
2010452-=∴=-
∴λλ
，
综上，双曲线方程为
22
1205x y -=
或
12052
2=-x y
3.以抛物线
x y 382=
的焦点
F
为右焦点,且两条渐近线是
03=±y x
的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线
x y 382=
的焦点
F
为
)0,32(
，设双曲线方程为 λ=-223y x
，
9)32(342=∴=∴
λλ
，双曲线方程为
1392
2=-y x
4.已知点 (3,0)M -
，
(3,0)N ，
(1,0)B
，动圆
C
与直线
MN
切于点 B
，过
M
、 N
与圆
C 相切的两直线相交于点
P
，则
P
点的轨迹方程为
A ．
2
2
1(1)
8y x x -=<-
B ．
2
2
1(1)
8y x x -=>
C ．
1
822
=+y x
（x > 0） D ．
2
2
1(1)
10y x x -=>
[解析] 2=-=-BN BM PN PM
，
P
点的轨迹是以 M
、
N
为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
3.与渐近线有关的问题
1若双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b y a x
的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A.
2
B.
3
C. 5
D.
2
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通
c b a ,,
的关系
[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故
a b 2= ，
5
122
222
=+==a b a c e
,所以
5=e
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 c b a ,,
的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程
2. 双曲线
22
149x y -=
的渐近线方程是 ( )
A.
23y x
=±
B.
49y x
=±
C.
32y x
=±
D.
94y x
=±
[解析]选C
3.焦点为（0，6），且与双曲线
1222
=-y x
有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A ． 124122
2=-y x
B ．
124122
2=-x y
C ． 112242
2=-x y
D ．
112242
2=-y x
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
4.过点（1，3）且渐近线为
的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点（1，3）代入：
.代入（1）：
即为所求.
【评注】在双曲线
中，令
即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为
，而无须考虑其实、虚轴的位置.
4.几何
1.设
为双曲线
上的一点，
是该双曲线的两个焦点，若
，则
的面积为（）
A．
B．
C.
D．
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：
.设；
于是
，
故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.
∴
.选B.
5.求弦
1.双曲线
的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）
A.
B.
C.
D.
【解析】设弦的两端分别为
.则有：
.
∵弦中点为（2，1），∴
.故直线的斜率
.
则所求直线方程为：
，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个
步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
2.在双曲线
上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里
，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当
时才可能求出k=2.若
.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.