银川一中2015届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
命题人：蔡伟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i
i
z +=
1（其中i 为虚数单位）的虚部是
A ．2
1- B ．i 2
1 C ．2
1 D ．i 2
1- 2. 已知：1
: 1.:||12
p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
A ．(2,3]
B ．[2,3]
C ．(2,3)
D ．(,3]-∞
3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-,则公比q = A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则该四棱锥的体积等于 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
5．在ABC ?中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，其中
25,3,sin a b B ===
，则角A 的取值一定
属于范围
A ．)2,4(ππ
B ．)4
3,2(ππ C ．),43()4,0(πππ? D ．)4
3,2()2,4(ππππ? 6．为得到函数)3
2sin(π+=x y 的导函数．．．
图象，只需把函数sin 2y x =的图象
上所有点的
A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移6
π
B ．纵坐标缩短到原来的12
倍，横坐标向左平移3
π
C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移12
5π
D ．纵坐标缩短到原来的12
倍，横坐标向左平移6
5π
7．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．
的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面 ABC
8．已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ?∈-，2[1,2]x ?∈-，使
得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是
A ．1(0,]2
B ．1[,3]2
C ．(0,3]
D ．[3,)+∞
9．在ABC ?
中，若6·-=AC AB ，则ABC ?面积的最大值为
A ．24
B ．16
C ．12 D
．10．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，
且∠AMB ＝90°，则GM 的长为
A ．12
B ．22
C ．33
D ．66
11．设y x ,满足约束条件??
???≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，
若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则23a
b
+的最小值为
A ．6
25 B ．3
8 C ． 3
11 D ． 4
12．已知函数()x f x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为
A e
B ．2e
C ．e
D ．
2
e 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰
和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________. 14．已知1
0(2)x a e x dx =+?(e 为自然对数的底数),函数
ln ,0()2,0x x x f x x ->?=?≤?
,则21()(log )6f a f +=__________. 15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点， 则点M 到直线AD 1距离的最小值是________． 16．定义方程()()f x f x '=的实数根o x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x
?=（()x π∈π2
，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知函数()3)cos()sin 244
f x x x x a ππ
=++++的最大值为1．
（1）求常数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间；
（3）若将()f x 的图象向左平移6
π个单位，得到函数()g x 的图象，求
函数()g x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值．
18. （本小题满分12分）
如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，
PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC . (1)求证：平面MOE ∥平面PAC ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；
(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，13a =，前项和1(1)(1)12
n n S n a =++-．
(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设数列?
?
???
??+11
n n a a
的前项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对
一切正整数都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理
由．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.
(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；
(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长． 21．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =（e 为无理数， 2.718e ≈） （1）求函数()f x 在点(),()e f e 处的切线方程； （2）设实数1
2a e
>
，求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （3）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上， 且AD=13
AC ， AE= 23
AB ，BD ，CE 相交于点F 。
（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；
（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径． 23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θ
θρcos 2sin :2a C =)0(>a ，
已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为 ???
???
?
+-=+-=t y t
x 2
2422
2 （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。 （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ?≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m .
(1)求m 的值; (2)解不等式m x x ≤-+-|2||1|.
宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
13. 22+ 14. 7 15. 3
3
a 16. γ>α>β
三、解答题： 17.（1）()a x x a x x x f ++=++??? ?
?
+=
2sin 2cos 32sin 22sin 3π
132sin 2≤+??? ?
?
+=a x π
12=+∴a ，1-=∴a
（2）由πππππk x k 22
3222+≤+≤+-，解得
ππππk x k +≤≤+-12125，所以函数的单调递增区间Z k k k ∈??
????++-,12,125ππππ （3） 将()x f 的图象向左平移6
π个单位，得到函数()x g 的图象，
()??? ??
+=??
????+??? ??+=??? ??+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g
??
????∈+∴???
???∈35,32322,2,0ππππx x
∴当32322π
π=+x 时，23322sin =
??? ?
?+πx ，()x g 取最大值13- 当23322ππ=+x 时，1322sin -=???
?
?+πx ，()x g 取最小值-3.
18. [解析] (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA .
因为PA ?平面PAC ，OE ?平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC . 因为OM ∥AC ，
又AC ?平面PAC ，OM ?平面PAC ，
所以OM ∥平面PAC .
因为OE ?平面MOE ，OM ?平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面PAC .
(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .
因为PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， 所以PA ⊥BC .
因为AC ?平面PAC ，PA ?平面PAC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC .
因为BC ?平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC . (3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz .
因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，
所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝3
2
.
所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M (32，3
2
，0)．
所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)．
设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )．
因为??
?
m ·CP →＝0，m ·CB →
＝0.
所以?
??
?
?
x ，y ，z ·1，0，2＝0，
x ，y ，z ·0，3，0＝0.即?????
x ＋2z ＝0，
3y ＝0.
令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－15.所以cos θ＝1
5
.
19. 解：（1）（解法一）∵1(1)(1)12
n n S n a =++-
∴111(2)(1)12
n n S n a ++=++-
∴11n n n a S S ++=-
11[(2)(1)(1)(1)]2
n n n a n a +=++-++
整理得1(1)1n n na n a +=+- ∴1)2()1(12-+=+++n n a n a n
两式相减得211(1)(2)(1)n n n n n a na n a n a ++++-=+-+ 即 21(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +++-+++= ∴2120n n n a a a ++-+=，
即211n n n n a a a a +++-=-
∴ 数列{}n a 是等差数列
且13a =，得25a =，则公差2d =
∴ 21n a n =+ （解法二） ∵1(1)(1)12
n n S n a =++-
∴111(2)(1)12
n n S n a ++=++-
∴11n n n a S S ++=-
11[(2)(1)(1)(1)]2
n n n a n a +=++-++
整理得1(1)1n n na n a +=+- 等式两边同时除以(1)n n +得 1
1
1
(1)
n n a a n n n n +=
-
++， 即1
1111(1)1n n a a n n n n n n
+-
=-=-+++ 累加得
112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+---
1111111
1311223
2
n n n n n n =-+-+-+
+
-+----- 12n
=+
得21n a n =+ （2） 由（1）知21n a n =+
∴
111
(21)(23)n n a a n n +=
++111()22123
n n =-++ ∴ 111111111
()2355721212123
n T n n n n =-+-++-+--+++
111()2323
n =-+
16
<
则要使得n T M ≤对一切正整数都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要16
M ≥
∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数都成立，
且M 的最小值为1
6
20. [解析] 如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．
(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝
AC →·A 1B 1
→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝2
3.
所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2
3
.
(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－
2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则 ??
? m ·A 1C 1→＝0，m 、AA
1→＝0.即????
? －2x －2y ＋5z ＝0，2
2y ＝0.
不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．
同样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ??
?
n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.
即????
?
－2x －2y ＋5z ＝0，－2
2x ＝0.
不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝2
7，
从而sin 〈m ，n 〉＝35
7
.
所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为35
7.
(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N ?
??
???22，322，52. 设
M (a ，b,0)，则MN →＝?
?
?
??
?22－a ，322－b ，52， 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得??
?
MN →·A 1B 1→＝0，
MN →·A 1C 1→＝0.
即
????
?
? ??
???22－a ·－22＝0，
? ??
???22－a ·－2
＋? ??
???
322－b ·－2
＋5
2
·5＝0.
解得???
??
a ＝22，
b ＝2
4.
故
M ? ?
????22，24，0，因此BM →＝?
??
???22，24，0， 所以线段BM 的长|BM →|＝104
.
21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又
():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分
（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ??
∈ ???
当时,()0F x '<，()f x 单调递减； 当1,x e ??
∈+∞ ???
时,()0F x '>，()f x 单调递增. 当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e ≥==时在单调递增
min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ??
<<<<==- ???
当时,得 (3) ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，
即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1
x x x k x +>-对任意1x >恒成立
令2
ln ln 2
()(1)'()(1)1
(1)
x x x x x g x x g x x x x +--=>?=>--
令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x
-=-->?=>?在(1,)+∞上单调递增。
∵(3)1ln 30,(4)2ln 40,h h =-<=->
∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=。 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=?<； 当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=?>；
∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增； ∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()1
1
x x x x g x g x x x x +-====--
由题意min 0[()]k g x x <=，又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：23
AE AB =，∴13
BE AB =.
在正△ABC 中，13
AD AC =，∴AD BE =，
又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，
∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，
即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. （Ⅱ）解：如图6，取AE 的中点G ，连结GD ，则12
AG GE AE ==.
23AE AB =
，∴12
33AG GE AB ===， 12
33
AD AC ==，60DAE ∠=?，
∴△AGD 为正三角形，
∴2
3GD AG AD ===
，即23
GA GE GD ===， 所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为23
.
由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为
2
3
.…（10分）
2３解：（Ⅰ）C: 02:,22=--=y x l ax y
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得a
t t a t t a t a t 832,22280
416)224(2121212
+=+=+∴=+++-
因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -=== 由题意知， 21221212215)(||||t t t t t t t t =+?=- 代入得 1=a
24．解: (1)不等式||||||a M b a b a ?≥-++恒成立,即|
|||||a b a b a M -++≤对于任
意的实数a (0≠a )和b 恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值.
图6
因为||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++,当且仅当0))((≥+-b a b a 时等号成立,即||||b a ≥时,2|
|||||≥-++a b a b a 成立,也就是|
|||||a b a b a -++的最小值是2.
(2) 2|2||1|≤-+-x x . 解法1:利用绝对值的意义得: 2
52
1≤≤x
解法2:当1 1≥x ,所以x 的 取值范围是12 1<≤x .当21≤≤x 时,原不等式化为2)2()1(≤---x x ,得x 的取值范围是21≤≤x .当2>x 时,原不等式化为2)2()1(≤-+-x x ,解得 2 5≤ x , 所以x 的取值范围是2 52≤ 5 1≤x . 解法3:构造函数2|2||1|--+-=x x y 作 ??? ??>-≤≤-<+-=)2(,52)21(,1) 1(,12x x x x x y 的图象,利用图象有0≤y 得
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