实变函数测试题1
1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。
解：()∞=∞
→,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以
x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞
→∈lim 又显然()∞?∞
→,0lim n n A ，所以
()∞=∞
→,0lim n n A 。φ=∞
→n n A lim ；
若有n n A x ∞
→∈lim ，则存在A ，使任意n N >,有n A x ∈。因此若21n N ->时，12-∈n A x ，即1
0x n <<
.令∞→n 得00x <≤，此不可能，所以φ=∞
→n n A lim 。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{}
()E x f x c =≥和
{}1()E x f x c =≤都是闭集。
证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数，由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。 充分性：若1E 和E 都是闭集。若有[]0,x a b ∈，()f x 在0x 点不连续。则存在
()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+，或()()00ε-≤x f x f n ，不妨设出现第一种情况。令()00ε+=x f c ，
则(){}
c x f x E x n ≥=∈，而E x ?0（因为c x f x f =+<000)()(ε），此与E 是闭集相矛盾。所以()f x 在
[],a b 上是连续的。证毕。
3、设n
R E ?是任意可测集，则一定存在可测集δG 型集G ，使得E G
?,且()0=-E G m
证：由外侧度定义，对任意正整数n ，存在开集E G n ?,使n E G m n 1
)(<-，令 ∞
==1
n n G G ，则G 为δG 型
集，E G ?且 2,1,1
)()(=<
-≤-n n
E G m E G m n 故0)(=-E G m 。证毕。 4、设,n
A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m
A B m A m B ?=+，则,A B 皆可测。
证明：先证A 可测：存在δG 型集B G ?使得B m mG *
=。令A G B A Q ?-?=。
G G B A B A ?-?=?])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-?≤?])[(。因为
*(),()m A B mG m B m A B ?<∞=≤?<+∞,A m mG -B m A m mG -B)(A ***=+=?≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ?,所以A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤?<+∞，所以.0)(*=-Q A m
Q Q A A ?-=)(,因为Q 可测，A Q -可测，所以A 可测。同理可证B 可测。证毕。
5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。
鲁津定理：设()f x 是E 上a.e.有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E F ?δ，使()f x 在δ
F
上是连续函数，且(\)m E F δδ<.
逆定理：设()f x 是E 上的函数，对0δ?>，总存在闭子集E E ?δ，使得()f x 在δE 上是连续函数，且
()m E E δδ-<，则，()f x 是E 上a.e.有限的可测函数。
证明：对任意1n ，存在闭子集E E n ?,使()f x 在n E 上连续且n E E m n 1
)(<-,令 ∞
=-=1
0n n E E E ，则
对任意n ，有()011
n n n mE m E E m E E n ∞
=??=-≤-< ???
。令∞→n ，得
∞
=∞==?=?-==0
01
000)()(.0n n n n E E E E E E E mE 。对任意实数a ，
[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=??
>=>?> ???
，由()f x 在n E 上连续，可知[]n E f a >可测，而
[]()**000m E f a m E >≤=，所以[]a f E >0也可测，从而[]a f E >是可测的。因此()f x 是可测的。因为
()f x 在n E 上有限，故在 ∞
=1n n E 上有限，所以()f x a.e.有限。证毕。
6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与
])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？
证：由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集，即 i
i i b a G ),(=
，
()()()i i i
i
i
i
E x f x G E x a f x b E x f a E x f b ???∈?=
<<=
?>???
测集。由()[
]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)
(，则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。证毕。
7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1
3n
的构成区间上定义为n （1,2,3,
=n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。
证：f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设n E 是0P 的余集中长为
n 3
1
的构成区间之并，则n n n mE 321-=，因此()[]1
0,1111
2()33n n n n E n n n f x dx f x dx nmE n -∞∞∞
======?=∑∑∑??，所以()f x 可积，且
积分值为3。证毕。
8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E
n f x dx →∞=?
则()0n f x ?。
证：对任意0>σ，由于n f 非负可知：
[][]?
?≥≤≤≥σσσn f E E
n n
n dx f dx
x f f mE .)(
1
().n n E
mE f f x dx σσ
?≥?≤???
因此 1
lim lim ()0n n E
n n mE f f x dx σσ→∞
→∞?≥?==???
，即.0)(?x f n 证毕。
9、设)(x f 是E 上a.e. 有限的可测函数，+∞
)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。
证：因为()f x 是E 上的a.e.有限的可测函数，设[]
∞==f E D ，0mD =，令[]k E E f k =>故有
???321E E E ∞
=∞
→==1
lim k k k k E E D 所以0lim lim ===∞
→∞
→mD E m mE k k k k ，故0,0k ?>?ε，使得
ε<0K mE
令g(x)=????
?∈-∈=0
00
)
()(K K E x E E x x f x g 故00K mE f g mE ε?->?=
10、求证 1
2
01
11
ln 1()∞==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。
证：由于
∑∑∑??∑∑∞
=∞
=∞
=++∞=+∞=+=++==-≥∈=-=-<12
020101
011)(1)1(11ln 1ln 1x ,0ln x )1,0(,1ln 1ln 1x ,10,x 111n n n p n p
n p n p n p n n
n p n p dx x x dx x x x x x x x x x 所以
时，而当）上，故在（时，证
毕。
实变函数测试题2
1、证明 1lim =
n m n n m n
A A ∞
∞
→∞
==。
证明：设lim n n x A →∞
∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞
+=∈
1
n m m
A
x ∞
=∞
=?1n n
m m A ,
则可知n n A ∞
→lim ∞
=∞
=?
1n n
m m
A
。设 ∞
=∞
=∈
1n n m m
A
x ，则有n ,使 ∞
=∈
n
m m
A
x ，所以
n n A x lim ∞
→∈。 因此，n n A lim ∞→= ∞
=∞
=1n n
m m A 。
2、设(){}2
2
2,1E x y x y =
+<。求2
E 在2
R 内的'2
E ，0
2E ，2
E 。
解：(){}22
2
,1E x y x y '=+≤， (){}22
2
,1E x y x y =+<，(){}
2
22
,1E x y x
y =+<。
3、若n
R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。
证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n
-<
。 令 ∞
==
1
n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n
-≤-<
， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*
=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。
4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，1
2
mE =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为
1
6
的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间
分别对称挖掉长度为
11
63
?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为11163
n -?的开区间，剩下的n
2个闭区间，如此重复
下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112
121663
63
2
n n --+?+
+?+=
。 所以最后所得集合的测度为11122
mE =-=，即12mE =。
5、设在E 上
()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立， ,3,2,1=n , 则有{()}n f x a.e.收敛于
)(x f 。
证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使
()i n f x 在E 上a.e.收敛到()f x 。设0E 是()i
n f x 不收敛
到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n
m E m E
==。因此0
(
)0n n n n m E mE ∞
∞==≤=∑。在1
n n E E ∞
=-
上，
()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛
到同一极限）。即除去一个零集
1
n n E ∞
=外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x a.e. 收敛到()f x 。
6、设1R E ?,()x f 是E 上..e a 有限的可测函数。证明存在定义于1
R 上的一列
连续函数)}({x g n ，使得 )()(lim
x f x g n n =∞
→ ..e a 于E 。
证明： 因为)(x f 在E 上可测，由鲁津定理，对任何正整数n ,存在E 的可测子 集n E ，使得()1n m E E n
-<
，同时存在定义在1
R 上的连续函数)(x g n ，使得当 n E x ∈时有)(x g n =)(x f 。 所以对任意的0η>，成立n n E E g f E -?≥-][η，
由此可得 ()1
n n mE f g m E E n
η?-≥?≤-
lim =≥-∞
→ηn n g f mE ，即)()(x f x g n ?，由黎斯定理存在(){}x g n 的子列
(){}x g k
n ，使得
)()(lim x f x g k n k =∞
→ a.e 于E . 证毕。
7、设,mE <∞{}n f 为a.e 有限可测函数列，证明：()
lim 01()
n E
n n f x dx f x →∞=+?
的充要条件是()0n f x ?。
证明：若?)(x f n 0，由于1n n n f E E f f σσ??≥??≥?????+??
,则01?+n n f f 。又()
011()n n f x f x ≤<+，() 3,2,1=n ,mE <∞,常函数1在E 上可积分，由勒贝格控制收敛定理得
00)
(1)(lim ==+??
∞→E
E
n n n dx dx x f x f 。反之，若0)
(1)(→+?
dx x f x f E
n n （∞→n ）
，而且0)
(1)(?+x f x f n n ，
对0σ?>，令n n e E f σ=?≥???,由于函数x
x
y +=1,当1x >-时是严格增加函数，因此0)
(1)()
(1)(1→+≤+≤+?
?
dx x f x f dx x f x f me E
n n e n n n n
σ
σ
。所以[]0lim =≥σn
n
f
E ，
即
0(x )?n f 。
8、设1
sin
()x f x x
α=，01x <≤，讨论α为何值时，()f x 为[0,1]上L 可积函数
或不可积函数。
解：当1α≥时,
1
1
1
001111
()sin sin sin / .
ππ
f x dx dx dx
x x x x
y y dx
∞
≥≥==∞?
???
因此当1α≥时，()f x 是L 不可积。
当1α<时，在[0,1]中
1
x α
可积，且满足1sin 1x x
x α
α
≤，所以()f x 是L 可积。
9、设mE <∞，a.e.有限的可测函数列()n f x 和()n g x ， ,3,2,1=n
，分别依测度收敛于)(x f 和
)(x g ，证明 ()()()()n n f x g x f x g x +?+。
证明：因为
()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +--≤-+-
于是0δ
?>，成立[|()()|][||][||]22
n n n n E f g f g E f f E g g δ
δ
δ+-+≥?-≥
-≥，所以 [|()()|][||][||]22
n n n n mE f g f g mE f f mE g g δ
δ
δ+-+≥≤-≥+-≥
lim [|()()|]lim [||]lim [||]022
n n n n n n n mE f g f g mE f f mE g g δδ
δ→∞→∞→∞+-+≥≤-≥+-≥=
即n
n g f g f +?+
10、试从
()()
,10,1113
2<<+-+-=+x x x x x
求证111ln 21234=-+-+。
证明：在[0,1]x ∈时，10,1,2,3,
n
n x
x n +-≥=，由L 逐项积分定理，
()()()221
221[0,1]
[0,1]0
01
2210
00()()()1
121
221111234
n
n n
n n n n n n n L x
x
dx L x
x dx
R x x dx n n ∞
∞
++==∞
+=∞
=-=-=-??=- ?
++??=-+-+
∑∑?
?∑?
∑
另一方面1[0,1]01
1()()211L dx R dx ln x x ==++??因此可得：111ln 21234
=-+-+。
实变函数测试题3
1、作出一个-11（，）和-+∞∞（，）的1-1对应，并写出这个对应的解析表达式。
解：-11-+?→∞∞（：，）（，），对任意-11x ∈（，），()tan 2
x x π?=，?显然是-11（，）到
-+∞∞（，）的1-1对应。
2、证明：'
0P E ∈的充要条件是对任意含有0P 的邻域(),U P δ（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的1P 属
于E (事实上，这样的1P 还有无穷多个)。而0
0P E ∈的充要条件是有含有0P 的邻域(),U P δ（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(,)U P E δ?。
证明：若'
0P E ∈，则对任一含0P 的邻域(),U P δ，必有以0P 为中心的邻域()0(,)U P U P δ?，所以存在
()()10,P E U P E U x δ∈???且1P
P ≠，即任何含有0P 的领域中含有一点1P E ∈异于0P 。反之，若任一含有0P 邻域有异于0P 的点1P E ∈,当然对任一0P 的邻域()0,U P δ中也有异于0P 的点1P
E ∈，所以'
0P E ∈。若0P E ∈，则有0(,)U P E δ?。反之，若0P ∈(,)U P E δ?，必有()0(,)U P U P δ?E ?，则0P E ∈。证毕。
3、可数点集的外测度为零。 证明 设{|1,2,
}i E x i ==对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2
i i
I ε
=
(在p
R 空间中取边长为
2p
i
ε的包方i x 的开区间i I ),所以
1
i i I E ∞
=?，且
1
||i i I ε∞
==.由ε的任意性得*0m E =.证毕。
4、设是直线上一有界集合，*0m E >，则对任意小于*m E 的正数c ，恒有E 的子集1E ，使1*c m E =。
证明：设inf
,sup x E
x E
a x
b x ∈∈==，则[,]
E a b ?。令[,],x E a x E a x b =≤
≤，则()*x f x m E
=是
[,]
a b 上的连续函数。事实上，当0x ?>, 且[,]x x a b +?∈时，
()()** *() *(,+]
=,
x x x x x x f x x f x m E m E m E E m x x x x +?+?+?-=-≤-≤??
于是当0x ?→时,()()f x x f x +?→,即()f x 是右连续的。类似的方法可证明0,0x x ?>?→时，
()()f x x f x -?→，所以()f x 是[a,b]上的连续函数。又因为 ()**({})0,
()*[,]*a f a m E m E a f b m E a b m E =====因此对任意正数c ，*c m E <，存在
0[,]x a b ∈使0()f x c =。即00**([,]
)x m E m a x E c ==。令10[,]E E a x E =?。则1*m E c =。
5、设p
E R ?, 求证存在δG 型集G , p R G ?
，使得E G ?且E m mG *= 。
证明：不妨设*
m E ∞<+（否则令P G
R =即可）。对任意的正整数n ，由外测度
的定义，存在开集G n （一列开区间的并），使得n E G ?且1
*mGn m E n
<+
。令
1
n n G G ∞
==
，则n E G ?，于是E G ?，且G G δ为型集。又对任何正整数n 有
**1
n m E mG mG m E n
≤≤+<。即n →∞即得*mG m E =。证毕
6、设)(x f 是R 上的连续函数，)(x g 为],[b a 上的可测函数，则))((x g f 是可测函数。
证明：因为()f x 是连续函数，所以()f x 在[],a b 上可测，且0c ?>,()E f x c >????为集，所以
()()0
,i i i E f x c αβ∞=>=
????，所以()()()()0
i i i E f g x c E g x αβ∞=??>=
<
()()i i E g x αβ<<可测。即()()()
E f g x c >可测。所以()g x 可测。
7、设p
R E ?为可测集，
)(x f ，)(x f n ）
（ ,3,2,1=n 都是E 上a.e.有限的可测函数，并且当∞→n 时，)}({x f n 依测度收敛于)(x f 。求证存在子列)}({x f i n 在E 上“基本上”一致收敛于)(x f 。
证明：不妨假设1
2k
n n n <<
<，需证存在()k
n f x 一致收敛于()f x ,0δ?>取k,使得0
1
2k δ<。
令
000111
11[][]221
[]2
k
k k
n n k k k k k k n k k k E E E f f E E E f f E f f δ∞
∞
=+=+∞
=+?
?=-
-≥=--≥ ??
?=
-<。
则，00011
111()()222k n k k k k k k k m E E m E f f δδ∞
∞
=+=+?
?-=-≥<=
而x E δ∈，若0k k >时，则1
2
k n k f f -<
，即()k n f x 在E δ上一致收敛。 8、设1
sin
()x f x x
α=，01x <≤，讨论α为何值时，()f x 为[0,1]上L 可积函数或不可积函数。
证明：当1a ≥时，1
1
001111sin sin sin y dx dx dy x x x x y
π
π∞≥≥=∞???，因此，当1a ≥时，()f x 非L 可积。当a<1时，在[]0,1中
1
a x 可积，11sin a x x
≤，所以()f x L 可积。 9、设{}n f 为E 上可积函数列，lim ()()..n n f x f x a e →∞=于E , 且
()n E
f x dx K
, K 为常数，
则()f x 可积。 证明：由法都（Faou ）引理
()()()lim lim K n n E
E E
n n f x dx f x dx f x dx →∞
→∞=≤
??，故有()f x 可积，所以()f x
10、设在[0,1][0,1]I =?上定义函数如下：1,(,)xy f x y xy ?=??
当为无理数,
0,当为有理数.求
(,)I
f x y dxdy ?
。
解: 因为有理数集Q 是可数集，于是令{}123,,,
,,
k Q r r r r =
。 其次令
{}(,)|(,),1,2,3,
k k E x y x y I xy r k =∈==且 易知k E 在2R 的L 测度0k
mE =，
于是110k k k k m E mE ∞∞==??≤= ???∑，即10k k m E ∞=??
= ???
. 从而 (,)1f x y = a.e. 于[0,1][0,1]I =?，
根据L 积分的定义与性质有：(,)11I
I
f x y dxdy dxdy mI ===?
?。
实变函数测试题4
1、设A 是一个无穷集合，则必有*A A ?，使得*~A A ，而*
()A A Q -
有理数集。
证明：由于A 是一个无穷集合，所以含有一个可数子集B 。设123
,}{,a a a B =令
3115}{,,a a a B =，4226}{,,a a a B =则1212,B B B B B =??=?且1B ,2B 均为可数集。令
*2,,P A B P A B ==-? 则A B P =?且*1A A B -=是可数集且基数为c ，因为有理数集的基数也为c 所以
两者对等，即*
~A A Q -。又因2B 也是可数集，所以2~B B 。由2,B P B P ?=??=?，所以
*2~A B P A B P =?=?。证毕。
2、证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
证明：设F 为闭集。令1
{/(,)},1,2,n G x d x F n n
=<=Λ。对001,(,).
n x G d x F n ?∈<令01
0(,),d x F n
δ<<-任意取0(,),x U x δ∈001(,)(,),d x x d x F n δ<<-因此001
(,)(,)(,),d x F d x x d x F n
≤+<则有n x G ∈即
0(,)n U x G δ?，故n G 为开集。设1,n n x G ∞=∈?则1
(,),d x F n
<取极限得(,)0d x F =,所以_x F F ∈=，即
1.n n G F ∞=??另外，对1
,(,)0x F d x F n
?∈=<，所以n x G ∈，即n F G ?，从而1,n n F G ∞=??因此1,n n G F F ∞=?=是可数个开集的交集。设G 为开集，则G e为闭集，可知，存在开集n G ，使得1n n G G ∞
==?e，所以
11
()()n n n n G G G ∞∞
===?=?痧，而n G e为开集，因此G 是可数个闭集的和集。
3、若*
0m E =，则E 可测。 证明：用定义证明E 的可测性。
对任一点集T ，()(),T T E T E =???e所以*
*
*
()()m T m T E m T E ≤?+?e反之，由于T E E ??，故*
*
()0m T E m E ?≤=e.又T E T ??e，所以*
*
(),m T E m T ?≤e 因此
**()()m T E T E m T ?+?≤e 。综上所述，得***()()m T m T E m T E =?+?e，E 可测。
4、设,p
A B R ?，证明： *()*()**m A
B m A B m A m B +≤+，并给出等号成立的条件。
证明：当A 可测或B 可测则等号成立。
若*m A =+∞或*m B =∞，结论显然成立。我们总假定*
,m A <+∞且*
m B <+∞。所以存在G δ型集1
G 与2G ，使12,,G A G B ??且**
12,.mG m A mG m B ==则
****1212()(),()().m A B m G G m A B m G G ?≤??≤?对1G 与2G 利用第7题等式有 ******121212()()()().m A B m A B m G G m G G mG mG m A m B ?+?≤?+?=+=+
5、设q
E R ?，存在两列可测集{},{}
n n A B ，使得
n n
A E
B ??，且
()0(),
n n m B A n -→→∞
则E 可测。
证明：令1n i B B ∞==?，对n ?，有n B E B E -?-又由,n n n n n A E B B E B A ??-?-，所以
***()()()().n n n n n m B E m B E m B A m B A -≤-≤-=-
当n →∞时，由()0n n m B A -→，得*
()0m B E -=，由5题知B E -可测。又因为n B 可测，B 也
是可测的，从而()E B B E =--可测。
6、设{()}(1,2,...)n f x n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于)(x f ，证明{()}n f x a.e 收敛于)(x f 。 证明：因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对k N ?∈，存在可侧集k E E ?，使在,k E 上()
n f x 一致收敛于，且1
()k m E E k
-<。令01,k k E E ∞==?则()n f x 在0E 上处处收敛于()f x 。又有
00()()m E E m E E -=?e =1(())k k m E E ∞=??e=11
(())(),k k k m E E m E E k
∞=?-≤-<当k →∞时，
0()0m E E -=。因此()n f x 在E 上a.e.收敛于()f x 。
7、设)(2x f 是p
R 上的可测函数，并且点集}0)(|
{>x f x 是p R 中的可测集，证明)(x f 是p R 上的可测函
数。
证明：2222[0][],0[][0][0][],0E f E f a a E f a E f E f E f a a ?>?>≥?
>=??>?≤?>
当0,a ≥显然可测。当0a <时，因为[0]E f >，所以[0][0]c
E f E f ≤=> 所以[0]E f ≤亦可测，于是当0a <时，[]E f a >亦可测。 8、证明()
10,lim
1.(1)n
n n
dt
t
t n
∞=+?
证明：设1
1
(),(0,),(1)n n n
f t t t t n
=
∈∞+于是 （1）{()}n f t 是(0,)∞上的可测函数列；
（2）11lim ()();lim(1)lim t
n n n n n n f t e f t t
t n ?-→∞→∞→∞
====+ （3）当(0,1)t ∈时，111
()(2)n n
f t n t t ≤≤>；从而24().n f t t <现令1
2
2,(0,1)()4,[1,)t t F t t t
-?∈?=?
?∈∞? 则
112
2
1
(0,)
4
()6,F t dt t dt dt t ∞
-
∞=+=???
因此F （t ）可积。 9、设0mE ≠，()f x 在E 上可积，如果对于任何有界可测函数()x ?，都有()()0E
f x x dx ?=?
则()f x =0 a.e.于E
证明：对任意δ0>， 设()x ?是[]E f δ>的特征函数，则
{}
[]()()()0E f E
mE f f x dx f x x dt δδδ?≥≥≤==?
?，所以[]mE f δ≥=0.同样可证[]0,mE f δ≤-=因此
[()]0mE f x δ≥=。
又知11
[0][].n E f E f n ∞
=≠=?≥所以1
1[0][]0n mE f mE f n ∞
=≠≤≥=∑，即()f x =0a.e.于E 。
10、设21
33
13,[,1]\;
(),[0,]\;0,[0,1].x x Q f x x x Q x Q ?∈?=∈??∈??
求
()I
f x dx ?
。
解：由题意可知，
2()f x x = a.e. 于13[,1]
；3()f x x = a.e.于1
3[,1]
。又因为三个集合互不相交且
之并集为I ，由积分区间的可加性，所以有
231
1[0,1]
[,1]\[0,]\[0,1]3
3
2311
11[,1][,1][0,][0,][0,1]333
3
2311[,1][0,]33
11
23310
3
()()00003572
I
Q
Q Q
Q Q Q
f x dx f x dx x dx x dx dx
x dx dx x dx dx dx
x dx x dx
x dx x dx
????==++=-+-+=+=+=?
?
??
?
????
?
??
??。
实变函数测试题5
1、试找出(0,1)与[0,1]对应的一种方法，并写出其解析式。
解：因为1（0，）是连续势集，故存在可数子集{}123,,,D a a a =
，则{}0,1D 是[0,1]的可数子集。
作[0,1]到1（0，）的映射?： ()12
2,0,
,1,,1,2,3
,,[0,1]\n n a x a x x a x a n x x D ?+=??=?
=?==??∈?，。
易见?是[0,1]到
1（0，）
上的映射。 2、证明：设,n
E E R ≠?≠，则E 至少有一界点（即E ?≠?）。 证明 设012(,,...,),n P x x x E =∈112(,,...,),n P y y y E =? 令
1122((1),(1),...,(1)),t n n P ty t x ty t x ty t x =+-+-+-00 1.sup{|}.t t t t P E ≤≤=∈现证明0t P E ∈?。
若0.t P E ∈则01t ≠。对任意[0,1]t ∈满足01t t <≤，必有t P E ?。任取00,1,n n n t t t t t >>→且n t P E ∈，则0n t t P P →，所以0t P E ∈?。若0.t P E ? 则00t ≠，且有n t ，00n t t <<，0n t t →，0n t t P P →n t P E ∈，所以同样有0t P E ∈?。因而E ?≠?。证毕。
3、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，且1
2
mE =
。（试把上题推广到一般情形：试构造一个闭的疏朗集[0,1]E ?，且mE a =(01)a <≤。
解：在[0,1]中去掉一个长度为
1
6
的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间
分别对称挖掉长度为
11
63
?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为11163
n -?的开区间，剩下n
2个闭区间，如此重复
下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为
11112121663
63
2
n n --+?++?+=
。 所以最后所得集合的测度为11122
mE =-
=，即12mE =。
当所求测度为a 时，只要将每一次挖掉的开区间的值乘以)1(a -即可得到。 4、证明直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上所有集合类的基数。
证明：设直线上的所有集合类为M 。显然M ?μ，因此M ≤μ。另一方面，康托尔集P 是基数为c 的零测度集，因而P 的一切子集的外测度为零，是可测的，且P 的一切子集与直线上的一切子集是对等的，于是
M μ≤。根据伯恩斯坦定理从而得到μM ≡。
5、设p E R ?, 求证存在δG 型集G , p R G ?
，使得E G ?且E m mG *= 。
证明：不妨设+∞<*
E m （否则令n
R G =即可）。对任意的正整数n ，由外测度定义，存在开集n G （一列
开集的并），使得n G E ?且n E m mG n 1
*
+<。令 ∞
==1
n n G G ，则G E ?且G 为δG 型集，又对任何正整数
n 有，n
E m mG mG E m n 1
**+
<≤≤，令∞→n 即得E m mG *=。
6、设)}({x f k 在],[b a 上依测度收敛于
)(x f ，)(x g 是1R 上的连续函数。试证明))}(({x f g k 在],[b a 上
依测度收敛于))((x f g 。
证明：令[]b a E ,=因为()()x f x f n ?，作为(){}x f n 的子列(){}
x f k n ，显然有()()x f x f k n ?。由黎斯定理知，存在(){}x f k
n 的子列(){}x f kj
n ，使()()x f x f
kj
n j =∞
→lim a.e.于E 。又()x g 是1
R 上的连续函数，所
以有()()
()()()x f g x f g x f g kj kj n j n j =??
? ??=∞→∞→lim lim
a.e.于E 。因此由第四章习题12的充分性，即得()()()()x f g x f g n ?。
7、设在E 上()()n f x f x ?，而()()n n f x g x = a.e.成立 ,3,2,1=n ，则有()()n g x f x ?。 证明：令[] ∞
=≠=
1
n n n
g f
E A 。由于()()n g x f n n =在E 上a.e.成立，所以
[]???? ??≠=A ∞= 1n n n g f E m m []∑∞
==≠≤1
0n n n g f mE ，即0=mA 。在E A -上，由于()()x g x f n n =且
()()x f x f n ?，所以()()x f x g n ?。在A 上，对任意0>δ，
()()[]()()[]A x f x f E x f x g E n n ?≥-?≥-δδ，因此
[][][]δδδ≥-=+≥-≤≥-f f mE mA f f mE f g mE n n n 。因为()()x f x f n ?所以[]0lim =≥-δf f mE n n
，从而[]0lim =≥-δf g mE n n
，即()()x f x g n ?。
8、设由[0,1]任取n 个可测子集12,,,n E E E ，假定[0,1]中任一点至少属于这n
个集中的q 个，试证必有一集，它的测度大于或等于
q
n
。
证明：设i ?是i E 的特征函数，n i
,,2,1 =。由题设知，在[0,1]上，()q x n
i i ≥∑=1
?。因此，
()q dx x mE n
i i n
i i
≥=∑?
∑==1
]
1,0[1
?。
令{}n j mE mE mE mE ,,,max 21 =，则有 q mE mE n n
i i j ≥≥?∑=1，从而n
q mE j ≥，j E 即为所求。
9、求狄利克函数在[0,1]的勒贝格积分。 解：因为[]()01,0=?Q mE ，所以积分为，
()[]()01,011]1,0[\]1,0[]1,[]
1,0[=?==+=????
??Q mE dx odx dx dx x f Q
Q
Q
o
10、设有定义在q R 上的实值函数()f x 。若对任意0ε>，存在q R 上的可积函数，()g x 和()h x ，使得
()()(),q g x f x h x x R ≤≤∈，并且|()()|q R
h x g x dx ε-
试证明 ()f x 在q R 上可积。
证明：由已知条件得，对任意正整数n ，存在q R 上的可积函数()x g n 和()x f n ，使()()()x h x f x g n n
≤≤，
q
R x ∈，并且
()()n
dx x g x h q
R n n 1<
-?
。 又对任意0>σ，有
()(){}()()n
dx x g x h x g x h R x m q
R n n n n q
1
<-≤≥-∈?σσ。 因此()()0?-x g x h n n 。由黎斯定理，存在子列()(){}x g x h i
i
n n -在q
R
上a.e,收敛于零。故由数学分析
知道得()()()x f x g x h i
i
n i n i ==∞
→∞
→lim lim a.e.于q R 。又因为存在q
R
上的可积函数可积函数，()g x 和
()h x ，使得()()()g x f x h x ≤≤，故()()()
f x h x
g x ≤+，所以()f x 在q
R 上可积。
实变函数测试题6
1、设{}n A 是一列集合，作11B A =，11,1n n n v v B A A n -=??
=-> ???
。证明{}n B 是一列互不相交的集，而且
1
1
n
n
v v v v A B ===
，1n ≤≤∞。
证明：（1）设
)(1
1
-=-=i v v i i A A B ，)(1
1
-=-=j v v j j A A B ，)(j i ≠，不妨设j i >，则
)(1
1
-=-=i v v i i A A B j i A A -?，j j A B ?。那么由j i A A -与j A 不交，可知i B 与j B 不交。
由i 与j 的任意性可知：{n B }是一列互不相交的集。 （2） 采用数学归纳法证明：
当n=1时，由已知可知1B =1A ，结论成立。 假设当n=k 时结论成立，
那么当n=k+1时， n v B B n v B v v v 1
)(111==+=+= n v v A 1(=）-+ 1(n A n
v v A 1=）
=[ n
v v
A
1
(
=）
1
(+n A
)]
1
1
1
1
])
()][(+====n v v c
n
v v
n v v
A A A
所以，命题成立。
2、证明：点集F 为闭集的充要条件是F F =。 证明：必要性： 由F 为闭集可知F F ?' 又 F F F '
= 所以F F =
充分性： F F =
F F F '
= F F ?∴'
，即F 的聚点都属于F ∴F 为闭集。 3、设(){}2
,|,A R
ξηξη=
?之一为有理数，求 *
m
A 。
解：记所有的有理数为1r ，2r ，3r ……
那么A 中的元素可由两个相互独立的记号一一加以决定
而且各记号跑遍有理数。 则A 为可数点集。
又可数点集的外侧度为0； 所以*
m
A =0 。
4、证明：若E 可测，对于任意ε>0，恒有开集G 及闭集F ，使,F E G ??而()m G E ε-<, ()m E F ε-<。
证明：（1）先设∞<)(E m 由外侧度定义可知，有一列开区间{i I },i=1,2……使得
∞
=1i i
I
E ? ，且
ε+<∑∞
=mE I
i i
||1
令G= ∞
=1
i i I ，则G 为开集且G E ? 那么有≤≤≤∑∞
=1
i i mI mG mE ε+<∑∞
=mE I i i ||1
又∞ 数多个互不相交的有界可测集的和： ∞ == 1 n n E E （∞ n G ，n n E G ?，且n n n E G m 2/)(ε<- 令 ∞ ==1 n n G G ,则G 为开集且G E ? = -E G )(1 1 1 ∞=∞ =∞=-?-n n n n n n n E G E G ）则ε<-≤-∑∞ =)()(1 n i n E G E G m （2）由E 可测，可知c E 可测，则必定存在开集G 使得G c E ?且ε<-)(c E G m ，取c G F =，则F 为闭集，且ε<-=-?)()(,E G m F E m E F 综合（1）（2）可知，命题得证。 5、设),(21ξξf 是2R 上的连续函数，)(1x g ，)(2x g 是],[b a 上的实值可测函数。试证明))(),((21x g x g f 是],[b a 上的可测函数。 证明：由已知可知：必定存在两列定义在],[b a 上的简单函数{)(x n Φ}和{)(x n ψ} 使得： lim )(1∞ →=n x g )(x n Φ，lim )(2∞ →=n x g )(x n ψ，那么(f )(x n Φ，)(x n ψ)也为一列简单，又),(21ξξf 是2 R 上的连续函数所以：∞ →n lim (f )(x n Φ，)(x n ψ)=(f ∞ →n lim )(x n Φ，∞ →n lim )(x n ψ）=))(),((21x g x g f 即 ))(),((21x g x g f 为一列简单函数的极限∴))(),((21x g x g f 是],[b a 上的可测函数。 6、作]1,0[=E 上函数，?????=∞≤<=. 0,, 10,1 )(x x x x f 试证明 )(x f 是]1,0[上的可测函数，并且对]1,0[上任何连续函数)(x g ，均有0][≠≠g f mE ，此结果 与鲁津定理的第二种形式有无矛盾，为什么? 证明：（1）对任意的有限实数,α= ≥][αf E ??? ??≥<Φ=.1]1,1 [, 1)(αα αx f 所以， )(x f 是]1,0[上的可测函数 （2）对]1,0[上任何连续函数)(x g ，则)(x g 必定有界，不妨设|)(x g | 1][],1,0[][=≠=≠g f mE g f E 0][≠≠∴g f mE ，命题得证。 （3） 不矛盾鲁津定理的第二种形式的结论为：?>?,0δ闭集F ,E ?和R 上的连续函数)(x g ，在F 上， )(x g =)(x f ，且δ<)\(F E m 。 也就是说满足,)\(][δ<≤≠F E m g f mE 并不要求0][=≠g f mE 7、试求1 220lim()sin 1n nx R nxdx n x →∞ +?。 解：22221|sin 1| x n nx nxdx x n nx +≤+2/1≤，设nx x n nx x f n sin 1)(2 2+= 则∞ →n lim 0)(=x f n 1 220lim()sin 1n nx R nxdx n x →∞+?=??=+∞→101022sin 1)(lim nxdx x n nx L n ∞ →n lim 0)(=dx x f n 8、设{}n f 为E 上可积函数列，lim ()()..n n f x f x a e →∞ =于E , 且()n E f x dx K 则()f x 可积。 证明：设],[0f f E E n →=对,0E x ∈?有∞ →n lim )()(x f x f n =则∞ →n lim )(|lim |)(|x f x f n n ∞ →=| 那么 ≤=? ?∞ →dx x f dx x f n E E n |)(|lim |)(|0 0?≤∞→o E n n dx x f |)(|lim ?≤∞→E n n dx x f |)(|lim K 又 ,0)(0=-E E m ? -=0 ,0|)(|E E dx x f 即K dx x f dx x f E E ??≤=0 |)(||)(| 所以 ()n E f x dx K 故|)(x f |可积，所以)(x f 可积。 9、设()f x 在[a,b]上R 反常积分存在（可积），证明：()f x 在[a,b]上L 可积的充分必要条件为|()|f x 在[a,b]上R 反常积分存在（可积），并且此时成立 [,] ()()()b a b a f x dx R f x dx ?=? 证明：必要性由数学分析中可知显然成立显然成立，下证充分性 )).(|)((|2 1 )(|),)(|)((21)(x f x f x f x f x f x f -=+= -+ 显然)(),(x f x f - + 不可能在[a,b]上的积分同时为+∞，否则，与|()|f x 在[a,b]上R 反常积分存在即有限矛盾。 所以)(x f 积分确定，又由()f x 在[a,b]上R 反常积分存在（可积），|()|f x 在[a,b]上R 反常积分存在（可积）可知)(),(x f x f - + 在[a,b]上的积分均有限。所以()f x 在[a,b]上L 可积 10、设()f x 在E 上可积，且 ()0E f x dx a =>? 。试证明存在e E ?使得 ()4 e a f x dx = ? 。 实变函数测试题7 1、证明：由直线上某些互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。 证明：由有理数的稠密性可知，可从A 中每个区间中取出一个有理数，组成集合G 。由于A 中的区间互不相 交，所以G 中元素互不相同。因此可以令A 中每个区间与其中取出的有理数对应，可知~A G 。由于 有理数集是可数集，而G 是有理数集的子集，故G 至多为可数集，从而A 至多为可数集。 2、设1E 是[]0,1中的全部有理点，求1E 在2 R 中'1E ， 1E ，1E 。 解：' 1E =[0,1], 0 1E =φ，1E =[0,1] 3、设,n A B R ?，A B ?，A 可测，且* mA m B =<+∞，试证明B 可测。 证明：因为，A 可测，于是对T ?，有* m T =* ()m T A +*()C m T A 令T B =,则()()****()0C m B m B A m B mA m B A =+=+-=A 。 又因为 *mA m B =，所以 *()0m B A -=。又因为() B B A A =- 并且A 与B A -都可测，所以B 可测。 4、证明康托尔（Cantor ）集合P 的测度为零。 证明：记P 为康托尔集，由康托尔集的构造知：P 在[0,1]上的余集测度为13 211 =∑∞ =-n n n ，记余集为G ，由 ],1,0[,=Φ=G P G P 则1])1,0([==+m mG mP ，因此，0111=-=-=mG mP 。 5、设()(1,2,...)n f x n =是E 上a.e. 有限的可测函数列，而()n f x a.e.收敛于有限函数)(x f 。则对任意 0ε>，存在常数c 与可测集00,(\)E E m E E ε?<，使在0E 上对一切n ，有()n f x c ≤。这∞ ||n E f =∞,[]f f E n →/都是零测集， ,2,1,0=n , 令[][]??? ? ??∞=→/=∞= 01||n n n f E f f E E ，则01=mE ，在1E E -上()x f n 都有限，且收 敛于()x f 。令12 E E E -=，则∞<∈?|)(|sup ,2x f E x n n ，则 ∞ =? ? ??? ?≤=1 22||sup k n n k f E E ，且??????+≤???????≤1||sup ||sup 22k f E k f E n n n n ，因此 ??????≤=∞→k f mE mE n n k ||sup lim 22。从而存在0k ,使 ε ????≤=020||su p k f E E n n ，0k c =，在0E 上，对c f n n ≤?||,，有()()ε<-+-=-0220)(E E m E E m E E m 。 6、若n R E ?，*m E <+∞，若 {}* sup |m E mF F E =是包含于的闭集， 证明E 可测。 证明：因为{}mF E m sup *=，则?>?,0ε有界闭集F E ?，使得 *2 mF m E ε >- 。 ① 又*m E <+∞，所以?开集G E ?，使得2 *ε + >E m mF 。 ② 由①、②得，ε<-=-)(F G m mF mG ，所以 ε<-<-)()(*F G m E G m ，即 ε<-<-)()(*F G m F E m ，于是，E 可测。 8、在:11,11D x y -≤≤-≤≤上定义 22 222 22,0,()(,)0,0,x y x y x y f x y x y ??+≠?+=??+=? 则(,)f x y 的两个累次积分都存在且相等，但(,)f x y 在D 上不可积分。 证明：当x 、y 中一个固定时，()y x f ,是另一个变量的连续奇函数，所以积分 () ?-+1 1 2 22 xy dx y x 与() dy y x xy ?-+1 1 2 22 都在存在，并且积分值都为零。所以 () ?-+1 1 2 22 xy dx y x = () dy y x xy ?-+1 1 2 22 =0但()y x f ,在D 上不可积，否则()y x f ,也必在 1:01,01D x y ≤≤≤≤上可积，于是二次积分() dx y x xy dy ??+10 1 2 22 应存在，而这是不正确的，因为 () () 1 221xy 21 2 2 2 +- = +?y y y dx y x 在[0,1]上不可积，所以()y x f ,在D 上不可积。 9、设()f x 在E 上可积分，()0f x ≥。则()0()0..E f x dx f x a e =?=? 于E 。 证明：⑴由 ()()E e a x f dx x f E 于..00=?=?。 因为[]011=????? ?≥= ∞ =f E n f E E n ，令?????? ≥=n f E E n 1，则它是可测集。但 ()()()()n E E E E E mE n dx x f dx x f dx x f dx x f n n n 1 0≥ ≥+==????。故,0=n mE 从而[]00=>f mE ，即()E e a x f 于..0=。 ⑵由()()?=?=E dx x f E e a x f 0..0于。[][]0,021 ==≠=f E E f E E 令， 于是 Φ===21211 ,,0E E E E E mE 。所以 ()()()? ????=+=+=1 2 2 1 000E E E E E dx dx dx x f dx x f dx x f 。 10、试叙述几乎处处收敛于依测度收敛的区别与联系。 解：1、区别。 ①定义不同， 几乎处处收敛：()()0M \E =→mM x f x f n 上恒成立，并且在，则称()x f n 几乎处处收敛()x f 。 依测度收敛：对[],0||lim ,0=≥-E >?σσf f m n n 有则称()x f n 依测度收敛于()x f 。 ②处处收敛但并不依测度收敛， 如，见课本P93，例题2 ③依测度收敛但并几乎处处收不敛， 如，见课本P92，例题1 2、联系 ①在∞ 实变函数测试题8 1、设A 是一个可数集合，则A 的所有有限子集做成的集合亦必可数。 证明：设n A 为A 的含有n 个元素的子集全体。取 {}1,2(,...,,...,)|(),1,2,,n i n i B a a a a a Q i n =∈=有理数集。显然~n n A B 。而 n B a =，于是n A a =，所以 1n n A a ∞=?? = ??? 。即A 的所有有限子集做成的集合必可数。 2、证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。 证明：设A 是开集，B 是闭集。则C A 是闭集，C B 是开集。而C A B A B -=，由 开集的关于交集的运算性质可知，A B -是开集。又C B A B A -=，由闭集的关于交集运算性质可知，B A -是闭集。 3、若A B ?, B 可测，且+∞ -=-** 。 证明：因为B 可测，于是对任意集合T 有：* * * ()()c m T m T B m T B =?+?。 令T A B =?，则()()()()()*** c m A B m A B B m A B B ?=??+??，即得到* * * ()m A m B m A B =+-。 又因为+∞< mB ，所以()mB A m B A m -=-**。 4、设E 是]1,0[中的不可测集，令,;(),[0,1].x x E f x x x E ∈?=?-∈-? 问()f x 在]1,0[上是否可测？()f x 是]1,0[否 可测？ 解()f x 不可测。若0E ∈，则[0]E f E ≥=不可测。若0E ?，则[0]E f E >=不可测。()f x 以总不可测。当[0,1]x ∈时，()f x x =是连续函数，所以()f x 在]1,0[上是可测的。 5、设{}k E 是[0,1]中一列可测集，并且1k mE =，1,2,3, k =，试证明：11k n m E ∞=?? = ??? 。 证明: 因为()[0,1][0,1]0k k m E m mE -=-=，由得摩根公式 1 11[0,1]([0,1])([0,1])0k k k k k k m E m E m E ∞ ∞∞ ===????-=-≤-= ? ?????∑，故 实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11 （5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分) 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A） 试卷共8 页第 1 页 实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页 ()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论： 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = （2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造； ⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用； 《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ??? 1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即 实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。 第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） A ()\ B A A =?I B ()\A B A =?I C ()\A B B A =U D ()\B A A B =U 2．若n R E ?是开集，则（ ） A E E '? B 0E E = C E E = D E E '= 3．设(){} n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞ ≤?? C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞ ≤?? 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E = 中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ?? 是无限集，则（ ） 实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、 10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余 一、 判断题 1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 2.可数集的交集必为可数集。（× ） 3.设 ，则 。（× ） 4.设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。（× ） 5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ） 6.任意多个开集的并集仍为开集。（√ ） 7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ） 8.设 ，则 。（× ） 9.设E 为 中的可数集，则 。（√ ） 10.设E 为无限集，且 ，则E 是可数集。（× ） 二、填空题 1.设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=1E 的内部 1E 2.设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=1E 的内部；1E 3.设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=1E 的内部 1E 4.设P 是Cantor 集，则P P P P 5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,a b ，且a ， 。 三、证明题 1.证明：()A B A B '''?=?。 证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从而 ()A B A B '''??? 反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有 (,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集， 从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立，即x A '∈或 x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''???。综上所述，()A B A B '''?=?。 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e 9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限 1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？ 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63) 《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） α α q α 2005 级 实 变 函数期末试题 B 卷 答案 一． 判断题（对的在括号内打√，错的打×）（每小题 3 分，共 18 分。） 1． 如果 R n 中可测集 E 的基数为 c ，则 mE > 0 。（ × ） 2．任意个开集的并集还是开集。（ √ ） 3． E ? R n ，则一定存在可测集G ，使 E ? G 并且 m * E = mG 。（ √ ） 4．狄利克雷函数 D ( x ) 在[0,1]上是几乎处处连续的。（ × ） 5． R n 上的非负函数总是积分确定的。（ × ） 6．每个可测函数都可以表示成一列简单函数的极限。（ √ ） 二．填空题（每题 3 分，共 15 分。） 1．如果 M = μ ，则 M 的幂集的基数是（ 2μ ）。 2．若集合 E 可以表示为可数个闭集的并集，则 E 称为（ F σ 型 ）集。 3．若 A , B 是 R n 中的可测集，且 A ∩ B = ? ，T 是 R n 中任一集合，则 m * (T ∩ A ) + m * (T ∩ B ) = （ m *T ）。 4．如果 mE < +∞ ，f ( x ) 在 E 上有界，则 f ( x ) 在 E 上可积的充分必要条件是（ f ( x ) 在 E 上可测 ）。 ? + ? n ? 5．设 A 1 1 ( 1) = ?1 + , 3 + ? , (n = 1, 2, ) ，则 lim A = （ (1, 3) ）。 n ? n 2 ? n n →∞ 三．（10 分）证明： E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I 证明：若 x ∈ E ? ∩ A α ，则 x ∈ E ，且存在α0 ∈ I ，使 x ∈/ α∈I 以 x ∈ ∪ (E ? A α ) 。 α∈I A ，故 x ∈ E ? A ，所 0 0 反之，若 x ∈ ∪ (E ? A α ) ，则存在α0 ∈ I ，使 x ∈ E ? A α0 ，从而 x ∈ E ，且 α∈I x ∈/ A 0 ，于是 x ∈ E 但 x ∈/ ∩ A α ，所以 x ∈ E ? ∩ A α 。 α∈I 综上可知 E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I α∈I 四．（第一小题 5 分，第二小题 8 分，共 13 分。） 设{E n } 是 R 中的可测集列，证明： 《实变函数》试题库及参考答案（完整版） 选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x ： x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体 胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体实 数} 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x ：x>1} D 、{全体整 数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞) 8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]实变函数期末考试卷A卷完整版
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