曲线积分曲面积分总结

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．

如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为

n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于

(),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即

()∑=?≈n

i i i i s y x M 1,ρ．

用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到

1

lim (,).n

i i i i M s λρξη→∞

==?∑

即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：

定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入

图13-1

一

点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ?(1,2,

,i n =)，又

()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ?ηξ,，并作和()i i i n

i s f ?∑=ηξ,1

，

若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作

()?L

ds y x f ,, 即

1

(,)lim (,)n

i i i L

i f x y ds f s λξη→==?∑?

,

其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为

()?L

ds y x f ,．

类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分

()?L

ds z y x f ,,．

这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为

(,).L

M x y ds ρ=?

由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则

(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且

()()()()(),,,,L

L

L

f x y

g x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±???；

性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和

2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等

式成立

12

1

2

L L L L fds fds fds +=+?

??．(12L L +表示L )

对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算

定理13.1 设有光滑曲线

():,[,].()

x t L t y t ?αβψ=?∈?=?

即'()t ?,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且

()()()(,,L

f x y ds f t t β

α

?ψ=?

?

证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ?αψα=，

((),())n M ?βψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<

<= 记小弧段1i i M M -的长度为i s ?，那

么

,1,2,

.i

i t i t s i n -?==?

1,(').i i t i i i i t s t t τ--?=<

所以, 当('')i i x ?τ=,('')i i y ψτ=时,

i

i i 1

1

(,)((''),(t ,n n

i

i

i

i i f x y s f ?τ

ψτ==?=∑∑

这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设

n

i i i 1

f ((''),(i t σ?τψτ==?∑

则有

n n

i

i

i

i i i i 1

i 1

f (x ,y )s f ((''),(t .?τ

ψτσ==?=+∑∑ 令12n t max{t ,t ,,t },?=??? 要证明的是t 0

lim 0.σ?→=

因为复合函数f ((t),(t))?ψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有

|f ((t),(t))|M.?ψ≤

在[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必

存在0δ>，当t δ?<时有

|.ε≤

从而

1

||().n

i i M t M σεεβα=≤?=-∑

所以

lim 0.t σ?→=

再从定积分定义得

n

22i i i i i 0

i 1

lim f ((''),(''))'('')'('')t t ?τψτ?τψτ?→=+?∑

22((),())'()'().f t t t t dt β

α

?ψ?ψ=+?

所以当

n n

22i

i

i

i

i i i i i 1

i 1

f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ?τ

ψτ?τψτσ==?=+?+∑∑两边取极限后，即

得所要证的结果.

特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为

(),,y y x a x b =≤≤

则

()()()()()2

,,1'b L

a

f x y ds f x y x y x dx =+?

?．

例13.1 计算曲线积分

?

L

ds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之

间的一段弧．（如图13.1-2）

图13-2

解：积分曲线由方程

[]1,0,2∈=x x y

给出，所以

()()

?

?

+=1

2

22'1dx x x ds y L

1

20

14x dx

=

+?

()1

241121??????+=x =()

155121-. 例13.2 计算积分

()22

n

L

x y ds +?

，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤. 解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以

()

()()(

)

22

22

20

sin cos n

n

L

x

y

ds a t a t π

+=

+??

?==

π

π20

222n

n a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程

()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而

()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L

??

++=β

α

222''',,,,．

例13.３ 计算曲线积分

()

?Γ

++ds z y x

222

，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =

z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．

解：由上面的结论有

()

()

()()

()

()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x

?

?++-++=++Γ

π

20

2222

2

2

222

cos sin sin cos

()(

)

2

222220

222

22

433

2

k a k a dt

k a t k a

πππ

++=++=?

例14.4 计算

2L

x ds ?

, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆

周.

解：由对称性可知

222,L

L

L

x ds y ds z ds ==?

??

所以

22

222

3

12().33

3L L L a x ds x y z ds ds a π=++==???

习题13.1

1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度

1μ=）.

2. 计算曲线积分

2

22()x

y z ds Γ

++?，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt

=上相应于t 从0到2π的一段弧. 3. 计算

,x C

ye dS -?

其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间

的一段弧.

4. 求L xydS ?，其中L 是椭圆周22

221x y a b

+=位于第一象限中的那部分。

5. 计算?

，其中L 为曲线222.x y y +=-

6. 求

L

xdS ?，其中L 为双曲线1xy =从点1

(,2)2

到点(1,1)的一段弧。 7. 计算()L

x y ds +?其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.

8. 计算

22

x y L

e

ds +?

其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所扇

形的整个边界. 9. 计算

2,x yzds Γ

?

其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。

10. 计算

2

2()L

x

y ds +?，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-

(02)t π≤≤.

11. 设L 为双纽线2

22

2

2

2

()()x y a x y +=-, 计算积分||L

I y ds =

?.

12. 设L 为椭圆

22

143

x y +=, 其周长为a , 求22(234)L xy x y ds ++?. 参考答案

1．3

(sin cos )R ααα-

2.

2222

4)3

a k π+ 3.

2

13ln 21624

ππ-+ 4.

22()3()

ab a ab b a b +++

5. 00

4

sin 4sin 8d d ππθθθθ-

-

=-=??

6. 21111[ln 2

241t t t -=++

8. 224a

e a π??

+- ??

?

9. 9

10. 232

2(12)a ππ+

11. 2

2(2a -

12. 12a

第二节 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线

()()():,,L x x t y y t z z t ===运动，当a t =时，对应曲线上的一个端点A ，当b t =时，

对应曲线的另一个端点B ，在外力

()()()()z y x R z y x Q z y x P z y x ,,,,,,,,++=

的作用下质点从A 移动到B ，现在求力所作的功．

由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有s F W ?=．现在的是一个变量，位移→

s 也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n 个分点

B M M M A M n ==,...,,,210这些点对应的t 分别是b t t t a n ==,...,,10．在每一小段弧

i i M M 1-上，可以认为位移就是i i M M 1-，在小弧段i i M M 1-上任意一点()i i i ζηξ,,的力

()i i i F ζηξ,,→

来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从1-i M 移到i M 时，

力→

F 所作的功近似为()i i i i i M M F 1,,-→

?ζηξ，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力→F 的作用下质点从A 移动到B 所作的功的一个近似值．即

()i i n

i i i i M M F W 11

,,-=?≈∑ζηξ

注意()()()()},,,,,,,,{,,z y x R z y x Q z y x P z y x F =，而},,{1i i i i i z y x M M ???=-，所以

()i i n

i i i i M M F W 11

,,-=?≈∑ζηξ

()()()()i i i i i i i i i i i i n

i z R y Q x P ?+?+?=∑=ζηξζηξζηξ,,,,,,1

．

再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值λ趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力所作的功．即

()()()()i i i i i i i i i i i i n

i z R y Q x P W ?+?+?=∑=→ζηξζηξζηξλ,,,,,,lim 1

．

从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.

定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A 和B . ()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,为定义在曲线L 上的函数．在

L 内依次插入点121,...,,-n M M M ，并令0000(,,)M x y z A =, (,,)n n n n M x y z B =.并且这

些点是从A 到B 排列的. 这样就将曲线L 分为n 个小的弧段i i M M 1-(1,2,

,i n =)．设

1--=?i i i x x x ，1i i i y y y -?=-，1i i i z z z -?=-．记各弧段长为i s ?, 1max{}i i n

s λ≤≤=?. 在

小弧段i i M M 1-上任意取一点()i i i ζηξ,,，若()∑=→?n

i i

i

i

i

x

P 1

,,lim

ζηξλ存在，则称之为函数

()z y x P ,,在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为

()?L

dx z y x P ,,．即

()?L

dx z y x P ,,＝()∑=→?n

i i

i

i

i

x P 1

,,lim ζηξλ

．

类似地，有

()?L

dy z y x P ,,＝()∑=→?n

i i

i

i

i

y Q 1

,,lim ζηξλ

；

()?L

dz z y x P ,,＝()∑=→?n

i i

i

i

i

z R 1

,,lim ζηξλ

．

分别称为函数在有向曲线L 上对坐标y 和对坐标z 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．

若L 为封闭有向曲线,则记为

(),,L

P x y z dx ?、(),,L

P x y z dy ?或(),,L

P x y z dz ?．

由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：

１．()()()()()()?

?

?

?

++=++L

L

L

L

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,,,,,,；

２（线性性）：若两个向量值函数(,,)(,,)(,,)i i i L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

(1,2,

,i k =)存在, 则

()1111,k k k k

i i i i i i i i

i

i

L L

L

L

i i i i c P dx c Q dy c R dz c Pdx Q dy R dz ====??????

++=++

? ? ???????

∑∑∑∑????

其中(1,2,

,)i c i k =为常数．

３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L 分成了两段1L 和2L ，它们与L 的取向相同（记12L L L =+），则向量函数(,,)f x y z 在L 上的第二类曲线积分的存在性等价于

(,,)f x y z 在1L 和2L 上的第二类曲线积分的存在性．且有

()()()???+=+1

2

2

1,,,,,,L L L L dx z y x f dx z y x f dx z y x f ；

４（方向性）：如用L -表示与L 方向相反的曲线．则有

()()??-=-L

L

dx z y x f dx z y x f ,,,,．

二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算

设L 的参数方程为()()()??

?

??===t z z t y y t x x ,[,]t αβ∈，起点为()()()(),,A x y z ααα ，终点

为()()()()

,,B x y z βββ，函数()()()t z t y t x ,,都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个点02,,...,n M M M ，相应于t 的取值分别是012,,,...n t t t t αβ==，()i i i i z y x M ,,，

()()()?-'=-=?-i

i t t i i i dt t x t x t x x 1

1 ，而1--=?i i i t t t ，于是由积分中值定理有

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

格林公式及其在曲线积分求解中的应用

南昌工程学院 《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用 课程名称数分选讲 系院理学院 专业信息与计算科学 班级2012级1班 学生姓名魏志辉 学号2012101316 指导教师禹海雄 设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日

什么是曲线积分？？ 1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插 入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对 坐标轴的曲线积分了。

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小

四、 定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0

3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,)( (),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =? ? 若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的: 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 2 2 =2(0)L x y y +≥为上半圆周

二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ,终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式＝ ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二:在计算曲线积分时,通过适当的添加线段或曲线,是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地:当 y p x q ??=??时,积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时,通过适当的添加线段或曲线,是之变成一个封闭曲线上的曲线积

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 222(,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t d x d y d z =++? ? 若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= 222((),(),())(())(())(())f x t y t z t x t x y t z t dt β α '''++? 常见的参数方程为： B A 参数方程 () ()x x y x x y y y =?=? =? ()()x x y y x y y x =?=? =?

特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 2 2 =2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ??==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式 = ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图：

最新曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

微积分2方法总结

第七章 矢量代数与空间解析几何 ★类型（一） 向量的运算 解题策略 1. a a a ?=，2.},,{321a a a a = ， .||232221a a a a ++= 3. 利用 点积、叉积、混合积的性质及几何意义. ★类型（二） 求直线方程 解题策略 首先考虑直线方程的点向式与一般式，否则再用其它形式. 类型（三） 直线点向式与参数式转化 类型（四） 异面直线 ★类型（五） 点到直线的距离、两直线的夹角 ★类型（六） 求平面方程 解题策略 平面方程的点法式、一般式、平面束. 类型（七） 直线与平面的位置 类型（八）求曲线与曲面方程 解题对策 一般用定义求曲线与曲面方程 疑难问题点拨 一般参数方程?? ???===Γ)()()(:t h z t g y t f x 绕Oz 轴旋转所成旋转曲面∑的方程 .)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 证如图4-7， 设),,(z y x M 是曲面 上任意一点，而M 是由曲线Γ上某点),,(1111z y x M （对应的参数为t 1）绕Oz 轴旋转所得到。因此有).(),(),(111111t h z t g y t f x === ,1z z =,2 12122y x y x +=+),()(111z h t t h z -=?=? )]([)],([1111z h g y z h f x --==， 故所求旋转曲面方程为.)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 特别地，若Γ绕Oz 轴旋转时，且Γ参数方程表示为???==). (),(z g y z f x 则 ).()(2222z g z f y x +=+ 事实上，由前面的证明过程可知),(),(1111z g y z f x ==1z z =，212122y x y x +=+ ),(),(11z g y z f x ==? 故).()(2222z g z f y x +=+ 图4-7

定积分知识点总结

定积分知识点总结 航空航天大学 权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性

如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道

曲线积分曲面积分总结

第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx