椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质

教学目标：

１了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

高考相关点:

在高考中所占分数:13分

考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。

涉及到的基础知识

1．引入椭圆的定义

在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数：

有以下３种情况

(１）若a＞c,则集合P为椭圆；

(2）若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

２.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

ａ2

+＼ｆ（y２,ｂ2）＝1

（a>ｂ>0)

＼f(y2，a2）＋错误!=1

(a>ｂ>０)

图形

性质范围

－a≤x≤a

-b≤y≤b

-b≤ｘ≤b

-a≤ｙ≤a

对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点

顶点

A1(-a,0),A２(a,０）

Ｂ1(０,-b）,B2(0,b)

A１(0，－a),A２(0，a)

B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b

焦距｜F１Ｆ２|=2c

离心率ｅ=错误!∈(０，1）

ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结

类型一椭圆的定义及其应用

例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( )

A.椭圆?

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道

结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根

据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的

练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C

上的一点,且

错误!

1⊥2

PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_．

【解析】由题意的面积∴故答案为:

【答案】３

练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3

【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴,则周长为16，故第三边长为６.所以正确答案为A.

【答案】A

类型二求椭圆的标准方程

例2:在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F2在x轴

上，离心率为２

2

.过Ｆ１的直线l交Ｃ于A，B两点,且△ABF2的周长为１6，那

么椭圆C的方程为________．

【解析】设椭圆方程为错误!+错误!=1(a?>ｂ>0）,

由e＝错误!，知错误!＝错误!,故错误!=错误!.

由于△ABF２的周长为｜AB|+|BF2|＋|ＡF2|=|ＡF1|＋｜AF2|＋|ＢF1|＋｜ＢF

2

|=4a＝16，故ａ=4．

∴b２＝8,∴椭圆C的方程为错误!+错误!=1.

【答案】＼f(ｘ2,16)+＼f(y２,８)=１

练习１：设F1,F２分别是椭圆E：ｘ2＋y2

ｂ2

=1（0

的直线交椭圆E于A,B两点．若｜AF1|=3|F１B|,ＡF2⊥ｘ轴,则椭圆E的方程为___＿_＿_＿．

【答案】x2＋3y2/2=1

类型三 椭圆的几何性质

例3:如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，A 1，A 2,B 1，B 2为椭圆

()22

22

10x y a b a b +=>>的四个顶点,Ｆ为其右焦点,直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________．

【解析】直线A 1B 2的方程为错误!＋错误!=1，直线B1F 的方程为错误!+错误!=１,二者联立，

得T(２a ｃａ-c

,错误!），

则M(＼f(ac,a －c),错误!）在椭圆错误!+错误!＝１(ａ>ｂ>0)上,

∴

22

22

()1()4()c a c a c a c ++=--, c 2＋10a ｃ－3a 2＝0，ｅ2＋1０e-３＝０,解得e ＝２错误!-5. 【答案】2错误!－5

练习1:已知A 、B 是椭圆错误!＋错误!＝１(a >b ＞０)和双曲线错误!-错误!＝1(a >０，ｂ＞0)的公共顶点.P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(Ｐ、M 都异于A 、B ),且满足错误!+错误!=λ(错误!＋错误!),其中λ∈R ,设直线A Ｐ、BP 、A Ｍ、BM 的斜率分别记为ｋ1、ｋ２、ｋ３、k 4，k 1＋k 2=５，则k 3＋k 4=__＿＿____．

【解析】设出点Ｐ、M 的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足

及其斜率的计算公式即可求出.

【答案】∵A,B

是椭圆

和双曲线

的公共顶点,∴（不妨设）A（-a，0)，B(ａ，0).设Ｐ（x1,y１),M（x２,y２),

∵,其中λ∈R,

∴(x1+a,y１)＋（x１－ａ，ｙ1）＝λ[(ｘ2+a，ｙ2）＋（ｘ2－a，ｙ2)],化为x1y2=x2y1．∵Ｐ、M都异于A、Ｂ,∴y1≠０，y2≠0．∴．由k1+k2=＝5，化为，(*)又

∵,∴，代入(＊)化为.k3+k4==,又,∴，∴k3+k4＝＝=－5．故答案为-5.

类型四直线与椭圆的位置关系

例４：(２01４·四川卷)已知椭圆Ｃ:错误!＋错误!=1(a>b＞０)的左焦点为F

（－２,0）,离心率为＼ｒ(6)

3

.

(１）求椭圆C的标准方程;

(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点，过Ｆ作TＦ的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OＰTQ是平行四边形时,求四边形OＰTQ的面积．

【解析】(1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；

(2)设出点坐标和直线和的方程,将其与椭圆方程联立,根据韦达定

理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。

【答案】（1)由已知可得，,,所以。又由,解得，所以椭圆的标准方程是。

(2)设点的坐标为，则直线的斜率。当

时，直线的斜率，直线的方程是。当时,直线的方程是,也符合的形式。设,，将直线的方程与椭圆的方程联立,得。消去,得

。其判别式，

所以，，。因为四边形是平行四边形,所以,即

。

所以，解得。此时,四边形的面积

。

练习１:(2014·陕西卷)已知椭圆＼ｆ(x2,ａ2)+＼f(y2,b2)＝1(a＞b>０)经过点（0,错误!),离心率为错误!，左、右焦点分别为F1(-c,０），F2（ｃ,0).

(1)求椭圆的方程;

(２)若直线ｌ:y=-错误!x+m与椭圆交于Ａ,B两点，与以Ｆ1Ｆ2为直径的圆交于C，D两点,且满足＼ｆ(|AＢ｜,|ＣＤ｜)=错误!,求直线l的方程.

【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。

（２）根据圆心到直线的距离求出的长度,建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。

【答案】由题设知解得,，，所以椭圆的方程为。

(2)由题设,以为直径的圆的方程为,所以圆心到直线的距离

,由得。所以

。

设，，由得。由求根公式可得，。所以

,

由得，解得，满足。所以直线的方程为或。

类型五圆锥曲线上点的对称问题

例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点Ｆ1，F2在x轴上，离

心率e=1

2

,其中∠F１AF2的平分线所在的直线l的方程为ｙ＝2x-１．

(１)求椭圆Ｅ的方程；

(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由

【解析】（1）由定义法代入即可得答案。（2)假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。

【答案】

（1）设椭圆E的方程为+=1,

由ｅ=,即=,a=2ｃ，得b2=a2-c2=3c２.

∴椭圆方程具有形式+=1.

将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=２,

∴椭圆E的方程为+=1.

(2)解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y２),

∵BＣ⊥l,∴k B

Ｃ

==－.

设ＢＣ的中点为Ｍ(x

０，y

０)，则

x０=,y0=,

由于M在l上, 故2x0-y0－1=０.①

又B,Ｃ在椭圆上,所以有+＝1与+=1．

两式相减,得+=0,

即+=０.

将该式写为·+··=0, 并将直线BC的斜率ｋBC和线段B Ｃ的中点表示代入该表达式中,

得x0-y0=0,即3x０-2y0＝0.②

①×２-②得x

０=2,y0＝３，即

BC的中点为点A, 而这是不可能的.

∴不存在满足题设条件的点B和C.

解法二:假设存在B（x1,y1）,C(x2，y2）两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴k BC ＝－.

设直线BC的方程为y=-x+m，将其代入椭圆方程+=１，得一元二次方程3ｘ2+４=48,

即x2-mx+m2-1２＝0.

则x1与x２是该方程的两个根.

由韦达定理得ｘ1+x２=m,

于是y1+y2=-(x１＋ｘ2)+2ｍ=,

∴B,C的中点坐标为.

又线段BC的中点在直线y＝2x-1上,

∴=m-1,得m=４.

即B，C的中点坐标为(2，3）,与点A重合,矛盾.

∴不存在满足题设条件的相异两点.

练习１：(201４·湖南)如图,正方形ＡＢCD和正方形DEFG的边长分别为a,

ｂ(ａ<ｂ),原点Ｏ为AD的中点,抛物线y2=2px(p>０)经过C,F两点，则b

a

=_____＿

__.

【解析】由题可得Ｃ（,2a a -),F(,2

a

b b +)，因为C,F 在抛物线上,代入抛物线

可得1b

a

=,1+。

1

下一讲讲解范围,面积类型的题。

随堂检测

1．(2015年高考福建卷）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ．短轴的

一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ）

A.(0,

2 B ．3(0,]4

C ．[

2?D.3[,1)4

【答案】A

2.已知椭圆E :x 2

ａ

2+错误!=1(a >b >0)的右焦点为F （３,0),过点F 的直线交椭圆于A ,B 两

点.若A Ｂ的中点坐标为(１，-1)，则E 的方程为＿_＿___＿_.

【答案】＼f(ｘ2

,1８)＋错误!=1

3.椭圆Ｔ：错误!+错误!=1(ａ＞b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =3(ｘ+ｃ)与椭圆T 的一个交点M 满足∠ＭＦ1F 2＝2∠MF ２F 1，则该椭圆的离心率等于______＿_．

【答案】３-1

4．已知双曲线x 2－错误!=１的左顶点为A 1，右焦点为F 2，Ｐ为双曲线右支上一点,则错误!·错误!的最小值为_＿______＿_

【答案】-２

5.(2014·包头测试与评估)已知椭圆x 2

a

2＋错误!=1的左顶点为A ,左焦点为Ｆ,点P 为该

椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e =1

2，则错误!·错误!的取值

范围是＿＿_＿__＿_．

【答案】[0,12]

6.已知椭圆C 1：错误!＋错误!＝1（a >b ＞0)的右焦点为Ｆ,上顶点为Ａ,P 为Ｃ1上任一点，

M Ｎ是圆C 2：x ２＋(y -３)2＝1的一条直径,与ＡF 平行且在ｙ轴上的截距为3－错误!的直线l

恰好与圆C 2相切.

(1)求椭圆C 1的离心率;

(2）若＼o (PM,→

)·错误!的最大值为4９,求椭圆C １的方程．

【答案】(1）由题意可知直线ｌ的方程为bx ＋ｃｙ-（3-)c ＝０，因为直线ｌ与圆C

2

：x 2+(y －3)2

＝1相切，所以d ＝

=1,即a 2=2c 2

，从而ｅ＝

．

(2）设P(x ，y),圆Ｃ2的圆心记为Ｃ２，则+＝1(c>0),又

·＝(＋

）·(

＋

)=

－

=x 2

+（y －3)2

－1＝-(y ＋3)2

+2c 2

+１7(-c ≤y ≤ｃ)．

①当c ≥3时,（·）m ａx =17＋2c ２

=49,

解得c=4,此时椭圆方程为＋=１;

②当0

－3<0，且ｃ＝5

－3＞3,故舍去．

综上所述，椭圆C １的方程为+＝1.

课下作业

基础巩固

1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于（ )

A. B.?C.-?D ．－1

【答案】Ｃ

2.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P 与这两个焦点张成9０度的角，且∠PF 1F 2>PF ２F 1,若椭圆离心率为3

6，则∠PF 1F 2：∠ＰＦ2F 1为（ )

A.1:5 B ．1:3?Ｃ．１:2 Ｄ.1:1

【答案】A

3.设F １，F 2分别是椭圆2212516

x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中

点,|OM ｜＝３，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )

A ．4

B ．３

C ．2

D ．5

【答案】A

4.已知椭圆22

1102

x y m m +=--的焦距为4,则m 等于( )

A ．４?B.8 C.4或8

D.以上均不对

【答案】C

5.与圆C 1：(x ＋３）2+y ２＝1外切，且与圆C 2:(x-３)２+ｙ2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_____＿__．

【答案】22

12516

x y +=

６.若椭圆()222210x y a b a b

+=>>与双曲线22

221x y a b -=的离心率分别为e 1,e 2，则e 1e 2

的取值范围为__＿__＿__．

【答案】（０,1)

７.已知双曲线C 与椭圆22

11612

x y +=有共同的焦点F １,F 2,且离心率互为倒数.若双曲线右

支上一点P 到右焦点F 2的距离为４,则PF 2的中点Ｍ到坐标原点O 的距离等于＿＿__＿___.

【答案】3

8．已知椭圆C ：22

194

x y +=，点Ｍ与C 的焦点不重合.若Ｍ关于C 的焦点的对称点分

别为Ａ，B ，线段ＭN 的中点在C 上,则｜A Ｎ｜+|BN ｜＝__＿___.

【答案】１2

能力提升

9．(2０1４·福建卷）设P ,Ｑ分别为圆x ２

+(y -6)2

=2和椭圆＼ｆ（x ２

,10)＋y 2

=1上的点，则P ,Q 两点间的最大距离是( )

A.5错误!

B.错误!＋错误!

C.7＋错误!?

D.６错误!

【答案】D

1０.（2０１５年高考湖南卷)已知抛物线2

1:4C x y =的焦点Ｆ也是椭圆

22

222:1y x C a b

+=

(0)a b >>

的一个焦点,1C 与2C 的公共弦长为,过点Ｆ的直线l 与1C 相交于,A B

两点,与2C 相交于,C D 两点,且AC 与BD 同向.求2C 的方程;

【答案】22198

y x +=