利用类比思想求函数值域
发表时间：2010-10-09T16:42:51.107Z 来源：《学园》2010年第4期供稿作者：刘清国
[导读] 类比的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象
刘清国河北省南宫中学
类比的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象。有些函数的值域用常规方法比较难求，如果能捕捉到该函数的结构，类比向量、三角、解析几何中的公式求解，会得到事半功倍的效果，下面举例说明。
一与三角类比
例 1，已知
33＜x＜1，求函数 f（x）=1+ 21+ 3 xx 2 . x2 的值域。
分析：此题用通法求值域比较困难，变形得 f（x）=11.+ xx 22 +3 . 1 + 2xx2 。类比三角中的万能公式，设 x＝tanθ（ π 6 <θ <π 4），则 f（x）＝cos2θ＋ 3 sin2θ＝2sin（2θ＋ π6 ），易得 f（x）的值域为（ 3，2）。
二与向量类比
例 2，求 y =3x + 4 . x2 的值域。
分析：考虑到向量乘积的坐标形式，构造向量 m =（ 3，1）， n =（x， 4 . x2 ），所以，原式＝ m .n ，又 m .n ＝| m | . | n | ·cosθ＝2·2cosθ，所以，原式＝ 4cosθ（θ为 m与 n的夹角），画图 m是固定的，位于第一象限且与 x轴成 π6 ； n是模为 2的向量，且始终在 x轴上方。
∴θ的范围为 ... 0, 56 π... ，则 cosθ∈ .... 23,1... 。
∴y∈［－23，4］。
三与解析几何类比
例 3，求函数 f（x）= 1 .（x . 2）2 + 3 的值域。
x +1 分析：设 y= 1.（x . 2）2 ，则 f（x）= yx ++13 是目标函数，依题意，转化为一定点 P（－1，－3）与一动点 Q（x，y）连线斜率的取值范围问题，点 Q在半圆 C：（x－2）2＋y2＝1（y≥0）上运动，且半圆 C与 x轴的交点为 A（3，0），B（1，0）。直线有两个边界位置， PA和 PM（半圆的切线）可求得： kPA = 43 ， kPM = 9 + 17 ，于是函数 f（x）的值域是（ 3,9 +17 ）。8 48