图论考试
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2
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电子科技大学研究生试卷
（考试时间：至，共__2_小时）
课程名称图论及其应用教师学时60 学分
教学方式讲授考核日期_2012__年___月____日成绩 考核方式：（学生填写）
一、填空题（填表题每空1分，其余每题2分，共30分)
1．n 阶k 正则图G 的边数()m G =___
___2
nk
； 2．3个顶点的不同构的简单图共有___4___个；
3．边数为m 的简单图G 的不同生成子图的个数有__2___m 个；
4. 图111(,)G n m =与图222(,)G n m =的积图12G G ?的边数为1221____n m n m +；
5. 在下图1G 中，点a 到点b 的最短路长度为__13__；
6. 设简单图G 的邻接矩阵为A ，且2311201
21111
13022102001202A ??
?
?
?= ?
? ??
?
，则图G 的边数
为
__6__；
学号姓名学院
……………………密……………封……………线……………以……………
4 5
6
6 4
1 1
2
7 2
4
3
a
b G 1
4
7. 设G 是n 阶简单图，且不含完全子图3K ，则其边数一定不会超过
2___4n ??
????
； 8．3K 的生成树的棵数为__3__;
9. 任意图G 的点连通度()k G 、边连通度()G λ、最小度()G δ之间的关系为
__()()()____k G G G λδ≤≤；
10. 对下列图，试填下表（是??类图的打〝√ 〞，否则打〝?〞）。
① ② ③
能一笔画的图 Hamilton 图 偶图 可平面图
① ? √ ? √
② ? ? ? √
③ ? √ √ √
二、单项选择(每题2分，共10分)
1．下面命题正确的是(B )
对于序列(7,5,4,3,3,2)，下列说法正确的是： (A) 是简单图的度序列；
(B) 是非简单图的度序列; (C) 不是任意图的度序列; (D)是图的唯一度序列.
2．对于有向图，下列说法不正确的是(D)
(A) 有向图D 中任意一顶点v 只能处于D 的某一个强连通分支中； (B) 有向图D 中顶点v 可能处于D 的不同的单向分支中;
(C) 强连通图中的所有顶点必然处于强连通图的某一有向回路中; (D)有向连通图中顶点间的单向连通关系是等价关系。
3.下列无向图可能不是偶图的是( D )
5
(A) 非平凡的树；
(B)无奇圈的非平凡图； (C) n (1)n ≥方体； (D) 平面图。
4.下列说法中正确的是( C )
(A)连通3正则图必存在完美匹配；
(B)有割边的连通3正则图一定不存在完美匹配； (C)存在哈密尔顿圈的3正则图必能1因子分解； (D)所有完全图都能作2因子分解。
5. 关于平面图，下列说法错误的是( B )
(A) 简单连通平面图中至少有一个度数不超过5的顶点； (B)极大外平面图的内部面是三角形，外部面也是三角形；
(C) 存在一种方法，总可以把平面图的任意一个内部面转化为外部面； (D) 平面图的对偶图也是平面图。
三、 (10分)设G 与其补图G 的边数分别为12,m m ，求G 的阶数。 解：设G 的阶数为n 。
因12(1)
2n n m m -+=…………………………………4分
所以：212220n n m m ---=……………………..2分 得：12118()
2
m m n +++=
………………………..4分
四、(10分)求下图的最小生成树（不要求中间过程，只要求画出最
小生成树, 并给出T 的权和）。
()16w T =
V v
v v v v v
v v 6 5
4 3
5 16
24 1 2 3
V v
v
v v v v
v v 6 5
4 3
5 16
24 1 2 3
6
五、(10分) (1). 求下图G 的k 色多项式；(2). 求出G 的点色数χ；
(3). 给出一种使用χ种颜色的着色方法。
G
解：(1)图G 的补图为：(2分)
1(,)h H x x =………………………………………………..1分
对于2H ：12340,2,4,1r r r r ====，所以，其伴随多项式为： 2342(,)24h H x x x x =++……………………………………..1分 所以：345(,)24h G x x x x =++………………………………1分 于是色多项式[][][]345()24G P x k k k =++
2(1)(2)4(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)
k k k k k k k k k k k k =--+---+----
= k (k -1) (k-2)[2+4(k -3) +(k-3) (k-4)] = k (k -1)2 (k-2)2
解法2()(1)k P G k =- 2分
H 1
H 2
7
=(k -1) 3分
=(k -1)[ k (k -1) (k-2)2] = k (k -1)2 (k-2)2 2分
(2)由于123()()0,()12P G P G P G ===，所以，点色数χ=3； 2分 (3)χ点着色： 1分
六、(10分)5个人,,,,A B C D E 被邀请参加桥牌比赛。桥牌比赛规则是每一场比赛由两个2人组进行对决。要求每个2人组{},X Y 都要与其它2人组{},W Z （W ,Z ?{X ,Y }）进行对决。若每个人都要与其他任意一个人组成一个2人组，且每个组在同一天不
能有多余一次的比赛，则最少安排多少天比赛（每一天可以有多场比赛）？请给出相应的一个时间安排表。(用图论方法求解)
解：(1)、建模：5个人能够组成10个2人组：AB, AC, AD, AE, BD, BC, BE, CD , CE, DE 。
以每个2人组作为顶点，因要求每个2人组{},X Y 都与其它2人组{},W Z 比赛，所以，得到比赛状态图如下：
AB AC
AD BC
BD BE
CD
CE DE AE
(2)、最少安排多少天比赛转化为求状态图的边色数χ'。
G
1 1
1
2
3
?? ?
???
???+
8
因为彼得森图不可1因子分解，于是可推出4χ'≥，又可用4种色对其正常边着色(见下图)，所以：4χ'≤。
(3)、安排时间表：
第一天：AB---DE, AE---BC, AC---BE, AD---CE;
第二天：AB---CE, AC---DE, AE---BD, AD---BC, BE---CD; 第三天：AB---CD, BC---DE, BD---CE;
第四天：AC---BD, AD---BE, AE---CD 。 4分
七、(10分) 由于在考试中获得好成绩，6名学生,,,,,A B C D E F 将获得下列书籍的奖励，分别是：代数学(a)，微积分(c)，微分方程(d)，几何学(g)，数学史(h)，规划学(p)，拓扑学(t)。每门科目只有1本书，而每名学生对书的喜好是：
A ：d, h, t ；
B ： h, t ；
C ：d, h ；
D ：d, t ；
E ：a, c, d ； F:：c, d, p, g 。 每名学生是否都可以得到他喜欢的书？为什么？(用图论方法求解)
解：由题意,得模型图：(4分)
B C D E F
a c d g h p t
A
问题转化为是否存在饱和A,B,C,D,E,F 的匹配存在。 2分 取顶点子集合{},,,S A B C D =，因{}(),,N S d h t =，所以()N S S < 由霍尔定理知：不存在饱和A,B,C,D,E,F 的匹配。
AB AC AD BC BD
BE CD
CE
DE AE
1 1 1
2
2 2 1 2 2
3 3 3
4 4 4
9
故每名学生不能都得到他喜欢的书。 4分
八、(10分)若n 为偶数，且单图G 满足：()12
n
G δ≥
+，求证：G 中有3因子。 证明：因单图G 满足：()12
n
G δ≥+，所以G 中存在哈密尔顿圈n C 。2分
又因n 为偶数，所以，n C 可分解为两个1因子12,H H ，它们显然也是图G
的两个1因子。3分
考虑11G G H =-，则1()2
n
G δ≥，于是，1G 中存在哈密尔顿圈n
C '。 2分 作1n H H C '=U ，则H 为G 的一个3因子。3分
目录 第一章图的基本概念 (2) 二路和连通性 (4) 第二章树 (4) 第三章图的连通度 (6) 第四章欧拉图与哈密尔顿图 (8) 一，欧拉图 (8) 二．哈密尔顿图 (10) 第五章匹配与因子分解 (14) 一．匹配 (14) 二．偶图的覆盖于匹配 (15) 三．因子分解 (16) 第六章平面图 (20) 二．对偶图 (24) 三．平面图的判定 (25) 四．平面性算法 (28) 第七章图的着色 (34) 一．边着色 (34) 二．顶点着色 (35)
第九章 有向图 (40) 二 有向树 (41) 第一章 图的基本概念 1. 点集与边集均为有限集合的图称为有限图。 2. 只有一个顶点而无边的图称为平凡图。 3. 边集为空的图称为空图。 4. 既没有环也没有重边的图称为简单图。 5. 其他所有的图都称为复合图。 6. 具有二分类（X, Y ）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子 集 X 和 Y ，使得每条边的一个端点在 X 中，另一个端点在Y 中。 7. 完全偶图：是指具有二分类（X, Y ）的简单偶图，其中 X 的每个顶点与 Y 的每个顶点 相连，若 |X|=m ，|Y|=n ，则这样的偶图记为 Km,n 8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即 ），则 n = 0, 1（mod 4） 9. 图G 的顶点的最小度。 10. 图G 的顶点的最大度。 11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。 例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。 12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。 ()G δ()G ?
13. 14.频序列：定理4 一个简单图G的n个点的度数不能互不相同。 15.定理5 一个n阶图G相和它的补图有相同的频序列。 16. 17. 18.对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1) 19.定义：联图在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个 顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G2 20.积图：积图设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和u2 adj v2) 或(u2 = v2 和u1 adj v1) 时就把u 和v 连接起来所得到的图G称为G1和G2积图。记为G = G1×G2 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 adj v1) 或(u1= v1 和u2 adj v2) 时就把u 和v 连接起来所得到的图G称为G1和G2的合成图。记为G=G1[G2]。
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G
习题三： ● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e . 证明：充分性: e 是G 的割边，故G ?e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G 中的u,v 不连通，而在G 中u 与v 连 通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G ?e 中不存在从u 与到v 的 路，这表明G 不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G 连通，若G 不是块，则G 中存在着割点u ，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环， 12,x v y v ∈∈，点u 在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G 是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v 是单图G 的割点，则G ?v 有两个连通分支。现任取x,y ∈V(G ?v), 如果x,y 不在G ?v 的同一分支中，令u 是与x,y 处于不同分支的点，那么，x,与y 在G ?v 的补图中连通。若x,y 在G ?v 的同一分支中，则它们在G ?v 的补图中邻接。所以，若v 是G 的割点，则v 不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} ()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10} 2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）} ● 13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解： 通常k (H ) 《运筹学》试题样卷（一） 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ） 1. 无孤立点的图一定是连通图。 2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量 都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为 (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1 , x 2 , x 3 ≥0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小? 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝ 图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f 组合数学部分 第1章 排列与组合 例1： 1)、求小于10000的含1的正整数的个数； 2、)求小于10000的含0的正整数的个数； 解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个 2)、“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有() ()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。 例2： 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？ 解：将[1,300]分成3类： A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)、3个数同属于A; 2)、3个数同属于B ； 3)、3个数同属于C; 4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。 例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ） 1）、写出右图所对应的序列； 2）、写出序列22314所对应的序列； 解： 1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子 节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。 2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二行。如下图第一行所示： ??→????? ??--②⑤67112223344522314??→???? ? ??--②⑥11223344672314 ??→????? ??--③②11233447314??→???? ? ??--①③11344714 习题一 作者---寒江独钓 1.证明：在n 阶连通图中 (1) 至少有n-1条边； (2) 如果边数大于n-1，则至少有一条闭迹； (3) 如果恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。 当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成立。 当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k. (2) 考虑G 中途径： 121:n n W v v v v -→→→→L 若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数大于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。于是： 1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中一闭途径，于是 也就存在闭迹。 (3) 若不然，G 中顶点度数至少为2，于是由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 这与G 中恰有n-1条边矛盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1 (3) 2n?2 。 证明 :u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。所以， 两图不同构。 4.证明下面两图同构。 u 1 v 1 证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 5.指出4个顶点的非同构的所有简单图。 分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 (a) v 2 v 3 u 4 u (b) 1 2017年图论课程练习题 一．填空题 1.图1中顶点a 到顶点b 的距离d (a ,b )= 。 a b 9 图1 1 2.已知图G 的邻接矩阵0 11011 01001 1010001011001 0A = ，则G 中长度为2的途径总条数为 。 3.图2中最小生成树T 的权值W (T )= 。 4.图3的最优欧拉环游的权值为 。 12 图 2 2 图3 5.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为 。 二．单项选择 1．关于图的度序列，下列说法正确的是( ) (A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列； (B) 若非负整数序列12(,,,)n d d d π= 满足1n i i d =∑为偶数，则它一定是图序 列； (C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数； (D) 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优 于图H 。 2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（ ） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。 3.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。下面说法错误的是( ) 3 (A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<； (C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ ≥ ，则G 连通，且()()G G λδ=； (D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。 4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是( ) (A) 彼得森图是非哈密尔顿图； (B) 若图G 的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图； (C) 若图G 的阶数至少为3且闭包是完全图，则图G 是哈密尔顿图； (D) 设G 是三阶以上简单图，若G 中任意两个不邻接点u 与v ，满足 ()()d u d v n +≥，则G 是哈密尔顿图。 5.下列说法错误的是( ) (A) 有完美匹配的三正则图一定没有割边； (B) 没有割边的三正则图一定存在完美匹配； (C) 任意一个具有哈密尔顿圈的三正则图可以1因子分解； (D) 完全图21n K +是n 个哈密尔顿圈的和。 三、 设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点度数均小于3，问G 中至少有几个顶点？在最少顶点数的情况下，写出G 的度序列，该度序列是一个图序列吗？。 图论第一次作业 By byh |E(G)|,2|E(G)|2G υυ??≤ ??? ?? ??? 1.1 举出两个可以化成图论模型的实际问题 略 1.2 证明其中是单图 证明：（思路）根据单图无环无重边的特点，所以 最大的情形为任意两个顶点间有一条边相连，即极 端情况为。 ?1.4 画出不同构的一切四顶单图 ?0条边：1条边： ?2条边：3条边： ?4条边：5条边：?6条边： 1.10G?H当且仅当存在可逆映射θ:V G→V H，使得uv∈E G?θuθv∈E H，其中G和H是单图。（证明充分性和必要性） ?必要性 ?若G?H，由定义可得，存在可逆映射θ:V G→V Hφ:E G→E(H)当且仅当ψ G e=uv时，ψHφe=θuθ(v)，所以uv∈E G? θuθv∈E H ?充分性 ?定义?:E G→E(H)，使得uv∈E G和θuθv∈E(H)一一对应，于是?可逆，且ψ e=uv的充要条件是ψHφe=θuθv，得G?H G 1.12求证(a)?K m ,n =mn，(b)G是完全二分图，则?G≤1 4 v G2 ?(a)对于K m ,n ，将顶集分为X和Y，使得X∪Y=V K m,n， X∩Y= ?，X=m，Y=n，对于X中的每一顶点，都和Y中所有顶点相连，所以?K m,n =mn ?(b)设G的顶划分为X,Y，X=m,Y=v?m，则?G≤ ??K m ,v-m =v?m m≤v2 4 ?证明： ?(a)第一个序列考虑度数7,第二个序列考虑6,6,1 ?(b)将顶点v分成两部分v’和v’’ ?v’ = {v|v= v i, 1≤ i≤ k}, ?v’’ = {v|v= v i, k< i≤ n} ?以v’点为顶的原图的导出子图度数之和小于 ?然后考虑剩下的点贡献给这k个点的度数之和最大可能为 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1.无孤立点的图一定是连通图。 2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/ 人日，秋冬季收入为20元/ 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。 养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中5 4 ,x x 为松弛变量，问题的约束为?形式（共8分） (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 的最优单纯形表如下： 二、应用题 题0：（1996年全国数学联赛） 有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。证明这n 个人中必有3个人互相认识。 注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。 证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有 （1）对每个顶点x ， )(x N G ≥[n /2]； （2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有 两个顶点相邻。 需要证明G 中有三个顶点两两相邻。 反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。 情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。 情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k ≠r+1，同理t ≠r+1。所以t=r,k=r 。记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0?E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。 题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为： E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )} E (D)={, , 08信安专业离散数学期中考试试题 1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A?B且C?D.证明: A∪C?B∪D; A∩C?B∩D . (15分) 2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分) 3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的 最小的对称的二元关系. (15分) 4.设A={1,2,…,20},R={ 期中考试试题解答 1.证明: ?x, x∈A∪C x∈A∩C ?x∈A∨x∈C ?x∈A∧x∈C ?x∈B∨x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∧x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∪D ?x∈B∩D ∴A∪C?B∪D ∴A∩C?B∩D 2.解: A∪((B―A)―B) =A∪((B∩∽A)∩∽B) =A∪(∽A∩(B∩∽B)) =A∪(∽A∩φ) =A∪ф =A . 3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ? 2015电子科技大学 图论考试复习题 关于图论中的图，以下叙述不正确的是 A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。 B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。 C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。 一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。 下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ． B ． C ． D ． 有10条边的5顶单图必与K 5同构。 完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn 无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2 C ．n (n -1) D ．n (n -1)/2 若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有 条边。 对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。 有15个顶的单图的边数最多是 A ．105 B ．210 C ．21 D ．45 图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路 B ．是G 中的一条道路但不是行迹 C ．是G 中的一条行迹但不是轨道 D ．不是G 的一条道路 图G 如右，则befcdef A ．是G 的一个圈 B ．是G 的一条道路但不是行迹 C ．是G 的一条行迹但不是轨道 D ．是G 的一条轨道但不是圈 v1 36 7 图G如右图所示，则ω (G)= A．1 B．2 C．7 D．8 下列图形中与其补图同构的是 A．B．C．D． 求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。 u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1， v5v 6 =4，v 5 v7=3，v6v7=6， 请画出6阶3正则图。 请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。 设图G={V(G)，E(G)}其中V ={ a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。 一个图的生成子图必是唯一的。 不同构的有2条边，4个顶的无向简单图的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。 u0到v1的最短轨长度为6，u0到v2的最短轨长度为1，u0 到v3的最短轨长度为4，u0到v4的最短轨长度为2，u0到v5的最短轨长度为6 ，u0到v6的最短轨长度为9，u0到v7的最短轨长度为3。 习题三： ● 证明：是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意及, G 中的路必含. 证明：充分性: 是的割边，故至少含有两个连通分支，设是其中一个连通分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为中的不连通，而在中与连通，所以在每一条路上，中的必含。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设中所有路均含有边，从而在中不存在从与到的路，这表明不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 ： 是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v 位于同一个圈上，于是 中u 与边都位于同一个 圈上。 ： 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 ： 连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图的割点。 证明：是单图的割点，则有两个连通分支。现任取, 如果不在的 同一分支中，令是与 处于不同分支的点，那么，与在的补图中连通。若在的同一分支中，则它们在的补图中邻接。所以，若是的割点，则不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给 出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} ()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10} 2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）} ● 13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解： 通常. 整个图为，割点左边的图为的的子图， ，则. e H 电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答 案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） 6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四． A C D 1 2 3 A B C D 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分) 求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 )(e G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(345-++=k k k G P k 。 六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数 为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k 七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。 证明：(1) 若不然，设C=v 1v 2…v m v 1为G 的一个奇圈，不妨设v 1X, v 5 v v v 6 图G 运筹学2015年学年第二学期 期末考试题（a 卷） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。 2、答案用钢笔或圆珠笔写在答题卡上，答在试卷上不给分。 3、考试结束，将试卷和答题卡一并交回。 一、 单项选择题(每小题1分，共10分) 1：在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（ ） ?????≥≤+=0Y ,X 3XY .t .s Y X 4S max .A ?? ???≥-≥-+=0Y ,X 1Y X 2.t .s Y X 3S min .B ?? ???≥≤-+=0Y ,X 2Y X .t .s Y X S max .C 22 ??? ??≥≥+=0 Y ,X 3Y X . t .s XY 2S min .D 2．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的 （ ）上达到。 A ．内点 B ．顶点 C ．外点 D ．几何点 3：在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） A ．多余变量 B ．松弛变量 C.自由变量 D ．人工变量 4：若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优解为（ ） A.两个 B.零个 C.无穷多个 D.有限多个 5：原问题与对偶问题的最优（ ）相同。 A ．解 B ．目标值 C ． 解结构 D ．解的分量个数 6：若原问题中i x 为自由变量，那么对偶问题中的第i 个约束一定为 （ ） A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．无法确定 7：若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（ ） A ．小于或等于零 B ．大于零 C ．小于零 D ．大于或等于零 8：对于m 个发点、n 个收点的运输问题，叙述错误的是( ) 运筹学 2015 年学年第二学期 期末考试题（ a 卷） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。 2、答案用钢笔或圆珠笔写在答题卡上，答在试卷上不给分。 3、考试结束，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题 ( 每小题 1 分，共 10 分 ) 1：在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（） max S4X Y min S3X Y ma x S X 2Y 2min S2XY A . s.t .XY3 B. s.t.2X Y 1 C.s.t.X Y2D.s.t.X Y 3 X,Y 0X,Y 0X,Y 0X,Y 0 2．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上达到。 A．内点B．顶点C．外点D．几何点 3：在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（） A．多余变量B．松弛变量 C.自由变量D．人工变量 4：若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优 解为（） A. 两个 B. 零个 C.无穷多个 D.有限多个 5：原问题与对偶问题的最优（）相同。 A ．解 B ．目标值C．解结构D．解的分量个数 6：若原问题中x i为自由变量，那么对偶问题中的第i 个约束一定为（） A．等式约束B．“≤”型约束 C ．“≥”约束D．无法确定 7：若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（） A ．小于或等于零 B ．大于零C．小于零D．大于或等于零 8：对于 m 个发点、 n 个收点的运输问题，叙述错误的是() A ．该问题的系数矩阵有 m× n 列B．该问题的系数矩阵有 m+n 行 9：关于动态规划问题的下列命题中错误的是（） A、动态规划分阶段顺序不同，则结果不同 B、状态对决策有影响 C、动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相对独立性 D、动态规划的求解过程都可以用列表形式实现 10：若P 为网络G 的一条流量增广链，则P 中所有正向弧都为G 的（）A ．对边 B ．饱和边C．邻边D．不饱和边 二、判断题（每小题 1 分，共10 分） 1：图解法和单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。2：单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。（√） （×） 3：一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表 中删除，而不影响计算结果。（√ ） 4：若线性规划问题中的b i , c j值同时发生改变，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题 与对偶问题均为非可行基的情况。（×） 5：若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解。（√ ）6：运输问题的表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。（√ ） 7：对于动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解。（× ） 8：动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具有递推关系的单阶段的 决策问题。（√ ） 9：图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与 点的相对位置、点与点连线的长短曲直等都要严格注意。（× ） 10：网络最短路线问题和最短树问题实质上是一个问题。（×） 三、填空题（每空 1 分，共 15 分） 1：线性规划中，满足非负条件的基本解称为___基本可行解 _____，对应的基称为 ___可行基_____。 2：线性规划的目标函数的系数是其对偶问题的__右端常数 ______；而若线性规划为最大化问题，则对偶问题为 ___最小化问题 _____。 3：在运输问题模型中，m n1个变量构成基变量的充要条件是__不含闭回路 ______。4：动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解____最优目标函数 ____，顺序求 ____最优策略、 ____、___最优路线 _____和 ___最优目标函数值 _____。 5：工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题；对 不定步数问题，用迭代法求解，有____函数 ____迭代法和 ____策略 ____迭代法两种方法。6：在图论方法中，通常用____点 ____表示人们研究的对象，用___边 _____表示对象之间的某种联系。 7：一个 _____无圈 ___且 ____连通 ____的图称为树。 四、计算题（每小题15 分， 45 分） 1：考虑线性规划问题：运筹学期末试题
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