.
材料力学第五版课后答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得：
33
233
110
,,3/()3/(/)l
l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====?
?1
有3
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l
10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度
3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图
;
)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--=
墩身底面积：
)(14.9)114.323(22m A =?+?=
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa m
kN
A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==
σ
—
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7图
解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
)()(x EA Fdx l d =
? ，??==?l l x A dx
E F dx x EA F l 00)
()(
l
x
r r r r =--121，22112
112d x l d d r x l r r r +-=+?-=，
22
11
222)(u d x l
d d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112
-==+- \
du d d l
dx 1
22-=
，
)()(22)(221212u
du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ
因此，
)()(2)()(202100
u
du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
???
--===?π l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0
11
221021221)(21)(2??
??????????+--=???
???-=ππ ????
?
?
??????-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π
???
???--=
12
2122)(2d d d d E Fl π214d
Ed Fl π=
[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ?。
解：
EA
F
E A
F νν
νεε-
=-=-=/'
式中，
δ
δδa a a A 4)()(22=--+=，故：δ
ν
ε
Ea F 4'
-
=
…
δ
νεEa F a a 4'-==?， δ
νE F a a a
4'-
=-=?
δ
ν
E F a a 4'-
=，a a a CD
12
145
)()(24
3
232=+= '12
145
)'()'(243
232''a a a D C =
+=
δ
ν
δ
ν
E
F
E
F
a
a
CD
D
C
CD
4
003
.1
4
12
145
)
(
12
145
)
('
'
'?
-
=
?
-
=
-
=
-
=
?
[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa
E210
=，已知m
l1
=，2
2
1
100mm
A
A=
=，2
3
150mm
A=，kN
F20
=。试求C点的水平位移和铅垂位移。
？
2-11图
解：（1）求各杆的轴力
以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。
因为AB平衡，所以
=
∑X，0
45
cos
3
=
o
N，0
3
=
N
由对称性可知，0
=
?
CH
，)
(
10
20
5.0
5.0
2
1
kN
F
N
N=
?
=
=
=
（2）求C点的水平位移与铅垂位移。
A点的铅垂位移：mm
mm
mm
N
mm
N
EA
l
N
l476
.0
100
/
210000
1000
10000
2
2
1
1
1
=
?
?
=
=
?
|
B点的铅垂位移：mm
mm
mm
N
mm
N
EA
l
N
l476
.0
100
/
210000
1000
10000
2
2
2
2
2
=
?
?
=
=
?
1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到
AB为刚性杆，可以得到
C点的水平位移：)
(
476
.0
45
tan
1
mm
l o
BH
AH
CH
=
?
?
=
?
=
?
=
?
C点的铅垂位移：)
(
476
.0
1
mm
l
C
=
?
=
?
[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力kN
F35
=。已知杆AB和AC的直径分别为mm
d12
1
=和mm
d15
2
=，钢的弹性模量GPa
E210
=。试求A点在铅垂方向的位移。
受力图
变形协调图
解：（1）求AB 、AC 杆的轴力
以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：
`
0=∑X ：045sin 30sin =-o AB o AC
N N
AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o AC
N N
7023=+AB AC N N ………………(b)
(a) (b)联立解得：
kN N N AB
117.181==；kN N N AC 621.252==
（2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移 2
22
211212221
EA l N EA l N F A +=?
：
)(12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=?
式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o ==
2211131214.325.0mm A =??=；2221771514.325.0mm A =??=
故：)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =??+??=
? [习题2-13] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向荷载F 。已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=，
钢丝的自重不计。试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C 点下降的距离?；
}
（3）荷载F 的值。
解：（1）求钢丝横截面上的应力
)(7350035.0210000MPa E =?==εσ
（2）求钢丝在C 点下降的距离? )(7210000
2000735mm E l EA Nl l
=?=?==
?σ。其中，AC 和BC 各mm 5.3。
996512207.05
.10031000
cos ==
α
o 7867339.4)5
.10031000
arccos(==α
)(7.837867339
.4tan 1000mm o
==?
|
（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
0=∑Y ：0sin 2=-P a N
ασsin 2sin 2A a N P ==
)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =?????=
[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑，如图，在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa ，求： （1） 端点A 的水平和铅垂位移。
（2） 应用功能原理即（2-8）求端点A 的铅垂位移。
/
解：（1）
3
3
233
110
3123111171196
1222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.150
60,401,0,60100.15 3.87210101210401l
l
N N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====?=?
-+-+=??-?+?=?
∴=-=-=-???===?????==??1有3
由胡克定理，
796
x 2y 2100.15 4.762101012104.762320.23A l A l l -?=????=?=?=??+??=↓从而得，，（）
（2）
y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=??-????=?=↓（）
[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；
!
（2）两杆横截面面积的比值。
解：（1）求轴力
取节点B 为研究对象，由其平衡条件得： ∑=0Y
0sin =-F N AB θ
θ
sin F
N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ
）
θθθ
θcot cos sin cos F F
N N AB BC =?=
-= 2-17
（2）求工作应力
θ
σsin AB AB AB AB A F
A N ==
BC
BC BC BC A F A N θ
σcot ==
（3）求杆系的总重量 )(BC BC AB AB l A l A V W
+=?=γγ 。γ
是重力密度（简称重度，单位：3
/m kN ）。
)cos (l A l
A BC AB
+=θ
γ
)cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ
-
（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ][sin σθσ===
AB AB AB AB
A F A N ，θσsin ][F
A A
B =
][cot σθσ===
BC BC BC BC
A F A N ， ]
[cot σθ
F A BC =
条件⑵：W 的总重量为最小。
)cos 1(BC AB
A A l W +?=θγ)cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ
)][cot cos 1sin ][(
σθθθσγ
F F l +??=)sin cos cos sin 1(][θ
θ
θθσγ+=Fl
[]???? ??+=θθθσγcos sin cos 12Fl []???
? ??+=θθσγ2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ角的一元函数。当W 的一阶导数等于零时，W 取得最小值。
.
[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=????
???+-?-=θθθθθθσγθFl d dW
022cos 2
2cos 32sin 2=??+-
-θθ
θ
02cos 2cos 32sin 22=---θθθ
12cos 3-=θ ，3333.02cos -=θ
o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ，'445474.54o o ==θ
（5）求两杆横截面面积的比值
θ
σsin ][F A AB =
，
]
[cot σθF A BC =
θθθσθθ
σcos 1cot sin 1]
[cot sin ][===F F
A A BC
AB
！
因为： 12cos 3-=θ，3
11cos 22-
=-θ，31cos 2
=θ
3
1cos =
θ，
3cos 1
=θ
所以：
3=BC
AB
A A [习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的角钢型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知，
)(220↑==kN R R B A
（2）求AC 杆和CD 杆的轴力
(
以A 节点为研究对象，由其平 衡条件得： 0=∑Y 2-18
0cos =-αAC A N R
)(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α
以C 节点为研究对象，由其平衡条件得： 0=∑X
0cos =-αAC CD N N
#
)(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =?=
=α
（3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AC 杆：
222
569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N
N A AC AC ===≥
σ 选用2∟780?（面积272.2186.102cm =?）。
CD 杆：
222
255.17488.1725/170293333][cm mm mm
N N
N A CD CD ===≥
σ 选用2∟675?（面积2
594.17797.82cm =?）。
`
[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力
MPa 170][=σ，材料的弹性模量GPa E 210=，杆AC
及EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?。 解：（1）求各杆的轴力 )(24030042
.3kN N AB =?= )(603004
8.0kN N CD
=?=
0=∑F
M
02.1605.13003=?-?-?GH N
2-19
)(174)72450(3
1
kN N GH =+=
0=∑Y
\
030060174=--+EF N
)(186kN N EF =
（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆：
2
22
12.14765.1411/170240000][cm mm mm
N N N A AB AB ===≥
σ 选用2∟55690??（面积2
424.14212.72cm =?）。 CD 杆： 2
22
529.3941.352/17060000][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ :
选用2∟32540??（面积2
78.389.12cm =?）。
EF 杆：
2
22
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N N A EF EF ===≥
σ 选用2∟54570??（面积2
218.11609.52cm =?）。
GH 杆：
2
22
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N N A GH GH ===≥
σ 选用2∟54570??（面积2
218.11609.52cm =?）。 （3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?
《
)(7.2694.24.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=??==
?
)(907.03782100001200
60000mm EA l N l CD CD CD CD =??==
?
)(580.18.11212100002000
186000mm EA l N l EF EF EF EF =??==
?
)(477.18
.11212100002000
174000mm EA l N l GH GH GH GH =??==
?
EG 杆的变形协调图如图所示。
3
8.1=--?GH EF GH D l l l
38
.1477.1580.1477.1=--?D
)(54.1mm D =?
】
)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+?=?
)(7.2mm l AB A ==?
[习题2-21] （1）刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251
=和mm d 182=，钢的许用应力MPa 170][=σ，弹性模量GPa E 210=。试校核
钢杆的强度，并计算钢杆的变形AC l ?、BD l ?及A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?。
解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力
)(667.661005
.43
kN N AC =?=
~
)(333.331005
.45
.1kN N BC =?=
② 计算工作应力
2
22514.325.066667mm N
A N AC AC AC ??=
=
σ
MPa 882.135=
2
21814.325.033333mm N
A N BD BD BD ??=
=
σ 2-21
MPa 057.131=
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即][σσ≤AC
；][σσ≤BD ，所以
AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。
%
（2）计算AC l ?、BD l ?
)(618.1625.4902100002500
66667mm EA l N l AC AC AC AC =??==
?
)(560.134
.2542100002500
33333mm EA l N l BD BD BD BD =??==
?
（3）计算A 、B 两点的竖向位移A ?、B ? )(618.1mm l AC A
=?=?，)(560.1mm l BD B =?=?
[习题3-2] 实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩m kN M e ?=14，材料的
切变模量GPa G
80=。试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
}
（2）图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。
解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 p
e p W M W T
==
max
τ。
式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p
=??==
π。 3-2 故：MPa mm
mm
N W M p e 302.7119634910143
6max =??==τ p
GI l T ?=
?，式中，)(981746910014159.332
1
321444mm d I p
=??==
π。故： o p rad m
m N m
m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229==?????=?=
-? %
（2）求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向 MPa B A
302.71max ===τττ， 由横截面上切应力分布规律可知：
MPa B C 66.35302.715.02
1=?==ττ， A 、B 、C 三点的切应力方向如图所示。
（3）计算C 点处的切应变
343
10446.0104575.4108066.35--?≈?=?=
=
MPa
MPa
G
C
C τγ [习题3-3] 空心钢轴的外径mm
D 100=，内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截面的相
对扭转角o 8.1=?
，材料的切变模量GPa G 80=。试求：
（1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。
-
解；（1）计算轴内的最大切应力
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-???=-=
απ。 )(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-???=-=απ
式中，D d /=α。 p
GI l T ?=
?，
mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142???=
=
?
mm N ?=45.8563014)(563.8m kN ?=
MPa mm
mm N W T p 518.4618407845.85630143max =?==
τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率
?
)(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ?=?=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =?=
[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为，已知轴材料的许用切应力MPa 40][=
τ，试求：
（1）AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶
|
矩相等： )(08.04.02.0m kN M M e e ?=?==右左
)(16.02m kN M M e e ?==右主动轮
扭矩图如图所示。 3-5 由AB 轴的强度条件得：
][163
max τπτ≤==
d M W M
e p e 右
右 mm mm
N mm
N M d e 7.21/4014159.38000016][1632
3
=???=≥τπ右 （2）计算绞车所能吊起的最大重量
,
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
35
.02
.0从动轮主动轮
e e M M =
，)(28.016.020
.035
.0m kN M e ?=?=
从动轮
由卷扬机转筒的平衡条件得：
从动轮e M P =?25.0，28.025.0=?P )(12.125.0/28.0kN P ==
-
[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径
mm D 60=，内径mm d 50=，功率
kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许
用切应力MPa 40][=
τ。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。
解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
)(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则：
0=∑x
M
，e M ml =，
)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
—
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-
=-=。]40,0[∈x 0)
0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ?-==
扭矩图如图所示。 ②强度校核，p
e W M =
max
τ
式中，)(21958])60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p
=-???=-=
απ MPa mm
mm N W M p e 761.17219583900003
max =?==
τ —
因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不会发生
破坏。
（3）计算两端截面的相对扭转角
?
=40
)(p
GI dx
x T ?
式中，)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p
=-???=-=
απ 40
240
4
122640
]2
[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ?
?
-???==
=?
05.8)(148.0≈=rad
[习题3-8] 直径mm d
50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m kN M e ?=6，而在圆杆表面
上的A 点将移动到A 1点，如图所示。已知mm AA s
31==??
，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，
试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系：)
1(2ν+=
E
G
。
解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：m kN M T
e ?==6。设
1,O O 两截面之间的相对对转角为?
，则
2
d s ?
=??，
d
s ??=
2?，
d
s
GI l T P ?=?=
2? 式 中，
)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =??==
π 3-8 %
GPa MPa mm
mm mm mm mm N s I d l T G p 4874.81372.814873613592250100010624
6==??????=???=