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i i i j i j ± 第一章
1、简述量子力学基本原理。
答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二
1、描写围观体系物理量的是
Hillbert 空间内的厄米算符( A
? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A
? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C
i a
i
i
C i = a i ；而
物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置
算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ]
= 0 ， [x
?i
, p ? j
]= i ij
原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量
(t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给
i ? ?t
(t ) = H
? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A
?(H )
(t ) 的运动规律由海森堡
方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ]
原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i
Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：
(x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x
不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t
来自 ψ(t ) 而 x 来自 x
，这叫做薛定谔图景.
?1 ? ? 0? 3、 已知
= ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ?
1 ?1 ? 1 | S x ± >=
? = ? 1? (± ).
4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：
求 证：
2 2
1 1
2 2 x y z 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2
1 1
2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2)
P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 2+y 2-x 2-y 2
P 2=P 2+P 2+P 2=4(x x +y y )2+4(x y -x y )2+(x 2+y 2-x 2-y 2)2
=4(x 2x 2+y 2y 2+x 2y 2+x 2y 2)+(x 4-2x 2x 2-2x 2y 2-2x 2y 2-2y 2y 2-2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)
=(x 4+2x 2x 2+2x 2y 2+2x 2y 2+2y 2y 2+2x 2y 2+y 4+x 4+y 4)
=(x 2+y 2+x 2+y 2)2
=(|C 1|2+|C 2|2)2 5、
∧
∧
6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量 A 和 B 成立不等式：
（1）先证明一个引理 --- schwarz 不等式：对
于两个态矢|
? 和| ? ，必有：
（2）
此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量 a,b ，必有：
对任意复常数
，我们有：
（3）
（4）
?|? 取
= - ?| ?
，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取
（5）
这里用态|? 来强调对任何 ket 矢量都适用，于是（2）式给出：
（6） 因：
? ∧ ∧ ? ? ∧ ∧ ? （7） 其中对易子?? A , ? B ? = ? A , ? B ? 是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反
?? ?? ?? ?? ? ∧ ∧
}
对易子?? A , ? B ?
是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：
的模的平方等于
。
7、证明：幺正算符的本征态互相正交.
解: 设 |n ? 是幺正算符 S 的一个本征态, 本征值为 n, 则 ?n|S |n ? = n => ?n|S = ?n|n => S +|n ? = n +|n ?
即|n ? 也是 S +的本征态，而 H = S + S + 是厄米算符， H |n ? = (n + n +)|n ?
故|n ? 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正交
.
8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q-1。
9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.
答案: 态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。海森堡图景,态矢|（t（?S依赖时间t 而基矢|x?不含t,而对于海森堡图景而言，|?H
不含t，于是时间依赖性完全转移到|x,t?H中去了。
10、求证
11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量
2m ? ? 答：一维谐振子的经典哈密顿量： H =
1 (P 2
+ m 2w 2q 2 ) 2m
12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?
答案: 产生,湮灭算符的定义如下：
定义粒子数算符
可以得到：
∧ ?
由此可知 a ∧ | n ? 和 a ∧
| n ? 分别是 N 的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。故称其为产生
湮灭算符。
13、证明谐振子在激发态中
2 2
? 1 ?2
∧
∧
∧ +
? ∧
m ? ∧ + ∧ ? (?x ) (?p )
= n + ? 2
证明： x = a + a ? , p = i a - a ? ?
∧
∧
? 2 ?
∧ ?2
? ∧ ?2
?
∧ 2 ? ∧ ?
2 2 ? ? x = 0, p = 0
x ? = x ? - x = x ? ? ? ? ? ? ?
? ∧ ?2
? ∧ ?2
∧ 2 ? ∧ ?
2
同理： p ? = p ? - p = p ? ? ? ? ? ? ?
? ∧ ?2
? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ∧ ∧ + ? ? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ? x ? = 2m a + a + a a + a a ? = 2m a + a +1+ 2 a a ?
? ? ? ? ? ?
? ∧ ?2
m ? ∧ 2 ∧ + 2 ∧ + ∧ ?
p ? = 2 - a - a +1+ 2 a a ?
? ? ? ?
对于激发态 n ? ∧ ?2
x ? =
(1+ 2n )
? ∧ ?2
p ?
= m (1+ 2n )
? ?
? ∧ ?
2
? ∧ ?
2
? 1
2m
?2 ? ?
2 x ? p ? = + n ? 2
? ?
? ? ? 2 ?
14、请构造相干态.
解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为
L x y z
在 N 表象中解此方程，展开：
由 得
又有
，所以
由归一化条件
得：
15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————
薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。
（1） 海森波的矩阵力学，它重视可观察量。把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，
研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。
（2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关
系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。
16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。
第二章
17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能V (r 1r 2 ) 表达的引力或
斥力，这时的散射称为势散射. 18、证明 S 算符是么正的
证明：因为 s + s = Ω(+)+
Ω(-)Ω(-)+
Ω(+)
且
所以
所以算符 S 是么正的
第三章
19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
轨道角动量
? = r ? p ；[L , L ] = i
L
x
y
x
y
?
自旋角动量
S ；[S x , S y ] = i S z
[L , S ] = 0 → J = L + S 仍为角动量
[J x , J y ] = [L x + S x , L y + S y ]
证： = [L , L ] +[S , S ]
= i L z + i S z = i J z
一般地若两角动量满足[J 1, J 2 ] = 0 则 J = J 1 + J 2 也是角动量
进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符
设 J n ? J m = i J n nm
即[J nx , J my ] = i J nz nm
则对于 J = J n n =1
? J =
∑
n =1 J ?n ; = x , y , z
[J x , J y ] = [∑ J nx , ∑ J my ] = ∑∑[J nx , J my ]
n =1
m =1 n =1 m =1
= ∑∑i J n nm = ∑i J nz =i J z
n =1 m =1
n =1
k k
k k k k
k k k
∑