静安区2019学年第二学期教学质量检测高三数学试卷
参考答案与评分标准
一. 1．31
； 2．2-； 3．20； 4．()2,2-；
5．2021
； 6．4； 7．π； 8．0；
9．5.26； 10．1； 11．4
1
．
二、12．B ．13．A ．；14．C ．
三、15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）
如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2
π
θ=时，AC 与底面所成
角为5
15
arctan
． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值． 解：（1）OB OA AOB ==
∠,2
π
，
设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．
SO ⊥Q 平面AOB ，CD ∴⊥平面AOB ，
5
15
arctan
=∠∴CAD ， ……………..2分 在Rt AOD ?中，2
,2π
=∠=AOD OA ，
得5=AD ． ……….1分 得?=
5CD 3)5
15
tan(arctan
=，32=SO ，．……….1分 故，4=SA ． ………………..1分
.84222
1
ππ=???=
S …………..2分 （2）解法一：如图建立空间直角坐标系xyz O - ...1分则()0,0,2A ，()0,sin 2,cos 2θθB ，
(
)32,0,0S ，(
)
3,sin ,cos θθC ，
(
)
3,sin ,2cos θθ-=AC ，
()0,sin 2,cos 2θθ=OB ． ……….2分
由题意，2
1
cos 0=?=?θOB AC ……….2分
πθ20<<Θ，.3
53ππθ或=∴ ……….2分
D
D
x
y
z
E
解法二：设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．
OB CD ⊥∴． ……….2分 又⊥AC ΘOB ，可得⊥OB 平面ADC OB AD ⊥?，
AB OA =∴． ……….2分 AOB ?∴是等边三角形． ………1分
故，3π
θ=
或
3
5π
． ……….2分
解法三：设E 为SO 中点，联结CE ，AE ，
CE AC ⊥∴． ………1分 设D 为OB 中点，联结CD ，AD ，
AD CD ⊥∴． ………1分
在ADO ?中，由余弦定理，有θcos 452
-=AD ， ………1分
所以，在ADC Rt ?中，θcos 482
-=AC ．
在AOE ?中，有72
=AE ，
所以，在ACE Rt ?中，2
22CE AC AE +=，
即得2
1
cos =θ． ………2分
πθ20<<Θ，.3
53π
πθ或=∴ ………2分
16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π??
≤= ???
成立． （1）求()f x 的解析式；
（2）若锐角ABC ?的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ?的周长l 的取
值范围． 16．解：（1）由题意，可得最小正周期T π=，
由2T π
πω
=
=，解得2ω=． ………………..2分
()26f x f π??
≤= ???
Q ，2A ∴=， ………………..2分
2262
k ππ?π+=+g ，26k π
?π∴=+，
（Z k ∈） 又0?π≤ ?∴= ． ………………..2分 故()2sin 26f x x π? ?=+ ?? ?． （2）2sin 216B π? ?+= ?? ?Q ，3B π∴=， ………………..1分 又02B A ππ<-- A ππ ∴<<．………………..1分 sin sin sin 3b a c B A A ππ== ??-- ???Q ，22sin A a c π??- ? ∴== 22sin 12sin 16A l A ππ??- ? ??∴=+=++ ? ? ?．………………..4分 2,633A πππ??+∈ ??? Q ． 所以，周长( 1l ?∈? ． ………………..2分 17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分） 已知抛物线Γ：2 4y x =的焦点为F ，若ABC ?的三个顶点都在抛物线Γ上，且 0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则称该三角形为“核心三角形”． （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ?是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2． 解：（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-． 但点(2,2)-不在抛物线Γ上 所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分） ………………..5分 （2）设直线AB 的方程为t x y +=4，与2 4y x =联立，得02 =+-t y y ． …..2分 设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y .2 41)2(41,1212121t t y y x x y y -=-+= +=+ 由()()123123,3,0x x x y y y ++++=得411 23+=t x ，31y =-．……………..3分 代入方程2 4y x =，解得5m =-，所以直线AB 的方程为450x y --=．…..2分 （3）设直线BC 的方程为x ny m =+，与2 4y x =联立，得2 440y ny m --=．..1分 因为直线BC 与抛物线Γ相交，故判别式() 2160n m ?=+>． ……………..1分 234y y n +=， 所以，2 2342x x n m +=+． 点A 的坐标为( ) 2 423,4n m n --+-， 又因为点A 在抛物线Γ上，故2 2 1616812n n m =--+，得2 342 m n =-+ ． 2m n >-Q ，212 n ∴< ． 故，点A 的横坐标2 2 2 2 4234842n m n n n --+=-+=<． ………………..5分 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分． 18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +?=)N (* ∈n ，若{} n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列． （1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式； （3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足312 2a a a ?=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列． 解：（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列， 对于给定的正整数k ，k n n n a a b +?=)N (* ∈n ， k n n n a a b ++++?=∴111． 02111>=??=+++++q a a a a b b k n n k n n n n ． 又，0111>?=+k a a b ． 所以{}n b 是等比数列． 故{}n a 为)(k B 数列． ………………..6分 （2）?????=-==--k n q a k n q a a k k n 2,,12,1 21 1（q a a 2 122≠）．（答案不唯一）………………..6分 简洁的例子如：?? ?=-==k n k n a n 2,2, 12,1)N (*∈k ． （3）因为{}n a 为)1(B 数列，所以，{}n b 是等比数列，其中1+?=n n n a a b )N (* ∈n ， n n n n n n n n a a a a a a b b 21211+++++=??=∴)N (*∈n ， ? ?????∴+n n a a 2)N (*∈n 是常数列，设常数为2q ，即22q a a n n =+)N (*∈n ． 以下用数学归纳法证明（一）221++?=n n n a a a )N (* ∈n ． （i ）由已知312 2a a a ?=，可得当1=n 时命题成立． ………………..1分 （ii ）假设1-=k n )2,N (≥∈* k n 时命题成立，即，112+-?=k k k a a a ．…..1分 当k n =时，? ???? ?+n n a a 2Θ)N (* ∈n 是常数列． ………………..2分 1 1 2-++=∴ k k k k a a a a )2,N (≥∈*k k ， 211122+-++=?=?∴k k k k k k a a a a a a ． ………………..2分 等式也成立． 根据（i ）和（ii ）可以断定，221++?=n n n a a a 对任何* ∈N n 都成立，即{}n a 是等比数 列． ………………..1分 令n n n a a c 1+= ，以下用数学归纳法证明（二）q c n =)N (* ∈n ． （i ）3122a a a ?=Θ，1223a a a a =∴，2 2 1213q a a a a =??? ? ??=∴，q a a =∴12，即，q c =1． 故，当1=n 时命题成立． ………………..1分 假设k n =)1,N (≥∈* k k 时命题成立，即q c k =（q a a k k =+1）．………………..1分 （ii ）当1+=k n 时，q a a q a a a a a a c k k k k k k k =?=?==+++++2 1212121． …………..4分 等式也成立． 根据（i ）和（ii ）可以断定，q c n =对任何* ∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列． …………..1分 注：其它表述方法同样给分．
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