2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考数学试卷及答案

江苏省南京市六校2021届高三第一学期11月联合调研化学试题可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Ti 48 Cr 52 Ba 137选择题(共40分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．化学与社会、生产、生活紧切相关。

下列说法正确的是( ) A ．煤经过气化和液化等物理变化可转化为清洁燃料 B ．从海水中提取物质都必须通过化学反应才能实现 C ．医用消毒酒精中乙醇的浓度(体积分数)为95% D ．“地沟油”禁止食用，但可以用来制肥皂 2．下列有关氯元素及其化合物的表示正确的是( ) A ．质子数为17、中子数为20的氯原子：2017Cl B ．氯离子(Cl －)的结构示意图：C ．Cl 2分子的结构式：Cl —ClD ．次氯酸的电子式3．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是( ) A ．Na 2SiO 3易溶于水，可用作木材防火剂 B ．NaHCO 3能与碱反应，可用作食品疏松剂 C ．Fe 粉具有还原性，可用作食品袋中的抗氧化剂 D ．石墨具有还原性，可用作干电池的正极材料4．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定．．能大量共存的是( ) A ．水电离的c (H ＋)=1×10－13mol·L －1的溶液中：K ＋、Na ＋、AlO －2、CO 2－3B ．―――――c (H +)c (OH –)=1×10 −12的溶液中：K +、Na +、CO 2－3、NO －3 C ．0.1 mol·L −1 KI 溶液中：Na +、K +、ClO −、OH −D ．能使酚酞变红的溶液中：Na +、NH ＋4、SO 2－4、HCO －35．下列说法正确的是( )A ．为测定新制氯水的pH ，用玻璃棒蘸取液体滴在pH 试纸上，与标准比色卡对照即可B ．萃取碘水中的I 2，可用乙醇来代替CCl 4C ．某溶液中滴加BaCl 2溶液出现白色沉淀，加稀硝酸沉淀不溶解，说明该溶液中存在SO 2－4或SO 2－3D ．浓盐酸与MnO 2反应制备纯净Cl 2，气体产物先通过饱和食盐水，后通过浓硫酸 6．下列制取SO 2、验证其性质的装置(尾气处理装置已省略)和原理不能．．达到实验目的的是( )A.制取SO 2B. 验证漂白性C.验证还原性D. 验证氧化性7．下列指定反应的离子方程式正确的是( )A ．电解MgCl 2水溶液：2Cl – + 2H 2O =====通电2OH –+ Cl 2↑+ H 2↑B ．向碳酸氢铵溶液中加入足量石灰水：Ca 2++ HCO －3+OH –==CaCO 3↓+H 2OC ．向0.1 mol·L –1NaAlO 2溶液中通入过量CO 2：AlO －2+ CO 2+ 2H 2O ==Al(OH)3↓+ HCO －3D ．硫化亚铁与浓硫酸混合加热：2H ++FeS =====△H 2S ↑+ Fe 2+8．W 、X 、Y 和Z 为原子序数依次增大的四种短周期主族元素。

2021年高三数学上学期11月联考试题理试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C． D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A． B． C．D．6. 在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和( )A．132 B．299 C．68 D．997. 若函数的图象如图所示，则等于（ ） A ． B. C ． D ．8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A ． B ． C ． D ．9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11. 设f(x)＝lg2＋x2－x，则的定义域为__________________. 12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y∈R.若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________. 14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______. （二）选考题 15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，则线段的长为________。

江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期期初数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．2．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 3．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 4．已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω=________. 5．已知命题“存在2000,40x R x ax a ∈+-<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______．6．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为______.7．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．8．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为____.9．已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为_____．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．12．知a >0，b >0，且a ＋3b ＝11b a-，则b 的最大值为________． 13．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．14．已知函数330()ln 0x mx m x f x x m x ，，，⎧--≤=⎨->⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是____．二、解答题15．在ABC ∆中，2sin 3A =，A π(,π)2∈．（1）求sin 2A 的值； （2）若1sin 3B =，求cos C 的值． 16．如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ．E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD ．（1）求证：EF∥平面ABC ； （2）求证：CE⊥AB．17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,且过点(.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知点()()2,1,3,0A B --,过点B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点,直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,求证: 12k k +为定值.18．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23OBC π∠=时，1sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；（2）设22y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6π，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．19．设函数32()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ,已知1x ，2x 是()f x '的两个不同的零点． （1）证明：23a b >；（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程1211()()()()2x x f x f x x f x -+'+=的实根的个数． 20．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣12⎤⎥-⎦.（1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.22．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．23．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励． （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 3(,)4m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . (1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.参考答案1．1 【分析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题. 2．1 【分析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=， 则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．20 【解析】 【分析】利用分层抽样方法直接求解. 【详解】由题意，应抽取高一学生40080201600⨯=（人）， 故答案是20.该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目. 4．2π【解析】 【分析】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期计算公式2T ωπ= 可得答案【详解】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭由周期计算公式可得24T πω==，解得ω=2π【点睛】()()cos f x A x ωϕ=+或()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期计算公式均为2T ωπ=5．[-16,0] 【解析】试题分析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax-4a ＜0”为假命题， 即x 2+ax-4a≥0恒成立，必须△≤0， 即：a 2+16a≤0，解得-16≤a≤0， 故实数a 的取值范围为[-16，0]． 考点：命题的真假判断与应用 6．30 【分析】根据循环语句的意义求出S 的表达式,再计算即可. 【详解】根据循环语句可知, 213530S =⨯⨯⨯=. 故答案为：30本题主要考查了根据循环语句计算输出结果的问题,属于基础题.7．3 8【分析】先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率.【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63 168=.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题.8．5 4【解析】【分析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为34y x，可知34ba，由此可求出双曲线的离心率。

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A2．已知集合A x y ⎧⎫==⎨⎩，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}1x x > B ．{|10x x -<<或1}x >C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【分析】先求得集合{}|1A x x =>-，{|0B x x =<或1}x >，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1A x y x x ⎧⎫===-⎨⎩，11{|0B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭或1}x >，根据集合的交集的运算，可得A B ={|10x x -<<或1}x >.故选：B.3．已知命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++>，命题q ：函数()1xy a =-+是减函数，则命题p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由命题条件得到对应的集合，根据集合的关系即可知命题p 、q 的关系.【详解】命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++>有240a a a >⎧⎨∆=-<⎩或0a =，即04a ≤<，命题q ：函数()1xy a =-+是减函数有11a +>，即0a >， ∴p ⇏q ，q ⇏p ，∴命题p 成立是q 成立的既不充分也不必要条件. 故选：D4．已知非零向量a 、b ，若3a b =，()2a a b ⊥-，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【分析】设a 与b 的夹角为θ，由()2a a b ⊥-可求得cos θ的值，结合0θπ≤≤可求得θ的值.【详解】设a 与b 的夹角为θ，3a b =，()2a a b ⊥-，则()2222222cos 323cos 0a a b a a b a a b b b θθ⋅-=-⋅=-⋅=-=，可得cos θ=， 0θπ≤≤，6πθ∴=.故选：A.5．2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（ ） A ．己亥年 B ．戊戌年C ．庚戌年D ．辛丑年【答案】C【分析】根据一个甲子的周期为60年，故只需分别对“庚”和“子”向后推算10即可 【详解】解：由于一个甲子是60周年，故小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样， 故只需在10岁的基础上再向后推算10即可，由于“天干”以10为周期，故向后推算10后还是“庚”， “地支”以12为周期， 故向后推算10后还是“戌”， 故他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的庚戌年. 故选：C.【点睛】本题考查逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键是由已知得小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样，进而只需求2030年的小明20岁时的“干支纪年法”中的年份即可.6．已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π3【答案】C【分析】设点O '为ABC 外接圆的圆心，根据30ACB ∠=︒，得到AO B '△是等边三角形，求得外接圆的半径r ，再根据直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，由22152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭求得，直三棱柱的外接球的半径即可.【详解】如图所示：设点O '为ABC 外接圆的圆心， 因为30ACB ∠=︒，所以60AO B '∠=，又O A O B r ''==，所以AO B '△是等边三角形， 所以4r O A O B AB ''====，又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，所以外接球的半径为5R ==， 所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==， 故选：C7．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．23D ．45【答案】D【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，x ∈R ．记函数()f x的值域为M ，函数()()f f x 的值域为N ，若M N ⊆，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出[)1,M a =-+∞，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可求得N ，验证M N ⊆是否成立，由此可求得实数a 的最大值. 【详解】0a >，()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，()()211cos sin f x a x x x '∴=+-+-，()''22sin cos 20f x a x x a ∴=+--≥>，所以，函数()f x '在R 上单调递增，()00f '=，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.()()min 0121f x f a a ∴==+-=-，则函数()f x 的值域为[)1,a -+∞，即[)1,M a =-+∞.①当10a -≤时，即当1a ≤时，由上可知，函数()()f f x 的值域为[)1,N a =-+∞，满足M N ⊆；②当10a ->时，即当1a >时，由上可知，函数()()ff x 的值域为())1,N f a =-+∞⎡⎣，且()()101f a f a ->=-，此时N M ，不合乎题意. 综上所述，实数a 的最大值为1. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的值域M 是解题的关键，其次就是要分10a -≤和10a ->两种情况讨论，结合函数()f x 的单调性求出复合函数()()f f x 的值域M ，这次解决此类问题的常用方法.二、多选题9．若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中一定成立的是（ ）AB ．a b e e <（ 2.718e ≈）C ．()()sin cos sin cos abθθθθ+<+（θ是第一象限角） D ．()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC【分析】由已知得a b <，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.【详解】由1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：a b <，，a b e e <，即A 错误，B 正确；sin cos )4πθθθ+=+且3444πππθ<+<，即1sin cos θθ<+≤，则有()()sin cos sin cos abθθθθ+<+，故C 正确；()()22ln 1,ln 1a b ++的大小不确定，故D 错误.故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小. 1、如：13,x x e 单调增函数；2、对于sin cos θθ+，根据θ所在象限确定其范围即可应用x a 的单调性判断大小；3、由于a b <无法确定221,1a b ++的大小，()()22ln 1,ln 1a b ++的大小也无法确定.10．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于A 、B 两点，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线1C 的离心率为B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为y =D ．203AF BF +=【答案】BC【分析】由题意可知1a =，2c =可写出双曲线1C 的方程，进而可知其离心率、渐近线方程，由抛物线2C 的方程知准线方程，结合其定义有A B AF BF x x p +=++，即知正确的选项.【详解】由双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为2，可得1a =，又由抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，可得双曲线的右焦点为(2,0)，即2c =，则2223b c a =-=，可知双曲线1C ：2213y x -=，所以双曲线1C 的离心率为2ce a==，抛物线2C 的准线方程是2x =-， 双曲线1C的渐近线方程为y =， 所以A 不正确；B 、C 正确，联立方程组222833y x x y ⎧=⎨-=⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩， 所以33410A B AF BF x x p +=++=++=，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】结论点睛：1、抛物线22y px =的焦点(,0)2p，准线方程为2p x =-，焦点弦AB 长为A B x x p ++； 2、双曲线()222210,0x y a b a b-=>>渐近线方程为b y x a =±；11．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <【答案】BD【分析】根据22n nS a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na的前n 项和为()141444143n n n S +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 12．函数()cos()0,0,02⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，已知函数()f x 在区间[]0,m 有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．点9,04⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 C ．函数()f x 的图象向左平移32个单位后得到()sin y A ωx φ=+的图象 D ．函数()f x 在区间3,025m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】BCD【分析】由函数的图象求得()cos()4f x x ππ=-，即可求()f x 的最小正周期，()f x 的对称中心以及函数图象平移后的解析式，根据[]0,m 有且仅有3个极大值点得到m 的范围进而判断()f x 在3,025m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【详解】由图知：1A =且142T =，即22T πω==，所以ωπ=， 因为55cos 144f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以524k πϕππ+=+ 所以24k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ-<<，所以4πϕ=-，∴()cos()4f x x ππ=-，对于A ，函数()f x 的最小正周期为12T=，故错误； 对于B ，由42x k ππππ-=+有34x k =+，k Z ∈，则9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，故正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移32个单位，33()()cos()sin()2244g x f x x x πππππ=+=+-=-，故正确；对于D ，()f x 在[]0,m 有且仅有3个极大值点知：172544m ≤<，则5133100254m -≥->-， 而()f x 在3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调增，则在3,025m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故正确 故选：BCD【点睛】结论点睛：对于函数()()cos f x A x ωϕ=+，()f x 最小正周期是原函数的一半；余弦函数cos x 的对称中心为,2)0(k ππ+；函数水平移动m ，上下移动n 可表示为()f x m n ++.三、填空题13．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】2719-【分析】由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719-【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.14．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______. 【答案】12【分析】由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有2项相同：{有2项相同，有3项相同}，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有3366C C 种，即可算出概率. 【详解】由题意，两人在6项运动任选3项的选法：3366400C C =种， 小明与小华选出3项中有2项相同的选法：211643180C C C =种，小明与小华选出3项中有3项相同的选法：3620C =种，∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为21136436336612C C C C P C C +==， 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：将选择的结果至少有2项相同的基本事件{有2项相同，有3项相同}列出，再应用古典概型求概率.15．已知边长是4的菱形ABCD ，60A ∠=，点P 是菱形ABCD 内部一点，若320PA PB PC ++=，则PBC 与菱形ABCD 的面积的比值是______.【答案】112【分析】设ACBD O =，以点O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，根据320PA PB PC ++=可求得点P 的坐标，进而可求得PBC 与菱形ABCD 的面积的比值.【详解】设ACBD O =，则AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：则点()A 、()0,2B、()C -，设点(),P x y，则()2,PA x y =-，(),2PB xy =--，(),PC x y =--，由320PA PB PC ++=可得6230660x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点3,13P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线BC 1223y+=-，即330x +=， 点P 到直线330x +=的距离为332333d --+== 所以，132342PBC S =⨯=△，菱形ABCD 的面积为24sin 6083S =⨯= 所以，PBC 与菱形ABCD 的面积的比值23131283PBC S S ==△. 故答案为：112. 【点睛】思路点睛：本题考查几何图形中的面积比值的计算，解决此类问题的常用有效方法是，建立合适的直角坐标系，将几何关系转化为坐标关系，利用向量的坐标运算进行计算即可准确求解.16．已知对任意的0x >，不等式ln 1x xe x ax --≥恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【分析】由不等式恒成立构造()ln 1xf x xe x ax =---，只需min ()0f x ≥成立：利用导函数研究()'f x 单调性知0(0,)x ∃∈+∞使0()0f x '=，此时得0001(1)xa x e x =+-，而min0()()0f x f x =≥，构造()xh x xe =得到01x e x ≤时()0f x ≥恒成立，进而可求a 的取值范围.【详解】由题意，对任意的0x >不等式ln 10x xe x ax ---≥恒成立，令()ln 1xf x xe x ax =---，则1()x xf x e xe a x'=+--，21()20x x f x e xe x ''=++>， ∴()'f x 在(0,)+∞上单调增，且0(0,)x ∃∈+∞使0()0f x '=，即0001(1)xa x e x =+-， ∴()f x 在0(0,)x 上递减，0(,)x +∞上递增，故：002min 000000()()ln 1(ln )0xxf x f x x e x ax x e x ==---=-+≥，即0000ln x x x e x ≤-， 而()x h x xe =在(0,)+∞上单调增，又1ln (ln )xh x x=-， ∴001()(ln)h x h x ≤，即有001x e x ≤时()0f x ≥恒成立，∴000000111(1)1x x a x e x x x +=+-≤-=， 故答案为：1a ≤. 【点睛】关键点点睛：1、构造()ln 1x f x xe x ax =---，原不等式恒成立转化为0x >有min ()0f x ≥成立；2、由导数知0(0,)x ∃∈+∞使0()0f x '=，此时保证min 0()()0f x f x =≥即原不等式恒成立；3、由上得0000ln x x x e x ≤-，构造()xh x xe =讨论单调性有001x e x ≤.四、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且1cos cos sin sin 2b A C a B C b =+.请在①b =2c =，③2sin 3sin A C =这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.问题：已知_______________，计算ABC 的面积. 【答案】答案见解析.【分析】由已知边角关系可求B ，根据所选的条件结合正余弦定理求,a c ，最后应用三角形面积公式即可求ABC 的面积. 【详解】∵1cos cos sin sin 2b A C a B C b =+， ∴1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B =+， 由sin 0B ≠，即1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，又πA C B +=-，有()1cos cos 2A C B +=-=，即1cos 2B =-，且0πB <<，∴2π3B =若选①b =2c =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴22150a a +-=，即3a =或5a =-（舍），∴ABC 的面积11sin 322222S ac B ==⨯⨯⨯=若选②2c =，③2sin 3sin A C = 由2sin 3sin A C =，得23a c = 又∵2c =， ∴3a =，∴ABC 的面积11sin 3222S ac B ==⨯⨯=若选①b =2sin 3sin A C = 由2sin 3sin A C =，得23a c =， ∵2222cos b a c ac B =+-， ∴29a =，即3a =或3a =-（舍），∴ABC 的面积11sin 3222S ac B ==⨯⨯=【点睛】关键点点睛：题设中含边角关系的等式，注意应用正余弦定理的边角互化、三角恒等变换、三角形内角和，求其中的角或边，再应用三角形面积公式求三角形面积.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，648S =，数列{}n b 满足122n n b b +=+，13b =.（1）证明：数列{}2n b -是等比数列，并求数列{}n a 与数列{}n b 通项公式； （2）若()2n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析；21n a n =+；1122n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N ；(2)()1110252n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【分析】(1)根据等比数列的定义计算122n n b b +--即可证出，然后求出数列{}2n b -的通项公式，进而可求出数列{}n b 通项公式；将37a =，648S =用基本量1,a d 表示，解方程组即可求出1,a d ，进而可求出数列{}n a 的通项公式；(2)根据(1)可得()()112212n n n n c a b n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求出数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】(1)()11112221222222n n n n n n b b b b b b ++---===---，所以数列{}2n b -是首项为12b -，公比12q =等比数列， 所以()111112222n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N ；由316127656482a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得13a =，2d =，所以()1121n a a n d n =+-=+ (2)由（1）知()()112212n n n n c a b n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以()()0122111111357212122222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()12311111113572121222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得()1231111111321222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()111122132211212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-+ ⎪⎝⎭-()1113212122n nn -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()15252nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()1110252n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解.①在写出n S 与n qS 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，BC PC =，E 是PB 的中点.（1）求证：PB ⊥平面EAC （2）求二面角P AC E --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒. 【分析】方法一：（1）应用线面垂直的判定证明PB ⊥平面AEC ；（2）由AC ⊥平面PBC 可确定PCE ∠是二面角P AC E --的平面角，即可求PCE ∠的大小.方法二：构建以C 为坐标原点，分别以射线CG 、射线CD ､射线CP 为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.（1）利用向量的数量积为0时两向量垂直证明线面垂直； （2）利用平面法向量的夹角与二面角的关系求二面角. 【详解】方法一：（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥， 又1AD CD ==，在Rt ADC 中，得2AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又PB ⊂平面PBC ，所以AC ⊥PB ， 因为BC PC =，E 是PB 的中点，所以PB EC ⊥，因为AC ⋂EC C =，又AC ，EC ⊂平面AEC ，PB ⊥平面AEC（2）由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以PCE ∠是二面角P AC E --的平面角， 因为PBC 是等腰直角三角形，且E 是PB 的中点， 所以45PCE ∠=︒所以二面角P AC E --的大小是45︒. 方法二：（1）AB 中点为G ，连接CG ，以C 为坐标原点，分别以射线CG 、射线CD ､射线CP 为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B - 又1AD CD ==，在Rt ADC 中，得2AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形， 所以CG AB ⊥，且2BC =2BC PC ==2)P ，因为E 是PB 的中点，所以112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()1,1,0CA =，112,,222CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,1,2)PB =-，()1121121,1,0,,1100222222CA CE ⎛⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， (()(112112,1,1,211202222PB CE ⎛⎛⎫⋅=-⋅--=⨯+-⨯-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以AC ⊥PB ，PB EC ⊥，因为AC ⋂EC C =，又AC ，EC ⊂平面AEC ，PB ⊥平面AEC(2)PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PC BC ⊥. 因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又ACPC C =，所以BC ⊥平面PAC ，所以CB 是平面PAC 一个法向量， 由（1）可知PB 是平面AEC 一个法向量，(1,1,2PB =--，()1,1,0CB =-，所以()()1111202cos ,222PB CB PB CB PB CB⨯+-⨯-+-⋅⋅===⋅，所以二面角P AC E --的大小是45︒.【点睛】方法点睛：应用几何法、向量法证明线线、线面垂直，求二面角.1、几何法：根据相关判定或性质证线面垂直、线线垂直；根据线线、线面垂直关系以及特殊三角形的性质找到二面角的平面角直接求其大小；2、向量法：首先构建空间直角坐标系，利用向量的数量积为0时向量垂直证明线面、线线垂直；根据平面法向量的夹角与二面角的关系求二面角的大小.20．某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩. （1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μδ，其中64μ=，2169δ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<<+=，()220.9544P X μδμδ-<<+=，()330.9974P X μδμδ-<<+=．【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，10712. 【分析】（1）通过分析得64μ=，13δ=，26421390μδ+=+⨯=，初试成绩不低于90分的概率为()90P X ≥求得人数；（2）由题得Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解. 【详解】（1）∵学生笔试成绩X 服从正态分布()2,Nμδ，其中64μ=，2169δ=，26421390μδ+=+⨯=∴()()()190210.95440.02282P X P X μδ≥=≥+=-= ∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.022********⨯=人 （2）Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13， 则()23210(1)(1)4336P Y ==-⨯-=()232313(1)433612P Y ==⨯-==()1232215(1)(1)4339P Y C ==-⨯⨯⨯-=()12322318(1)43393P Y C ==⨯⨯⨯-==()232110(1)()439P Y ==-⨯=()2323113()4393P Y ==⨯==Y 的分布为故ξ的分布列为：()03581013361293933612E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()001;()PX x P X x -≥=<(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，P 点坐标10,3⎛-⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：y x m =-+交椭圆C 于A 、B 两点，且PA PB =. （1）求椭圆C 的方程； （2）求PAB △的面积.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）根据椭圆的离心率、过定点以及椭圆参数关系，即可求22,a b ，进而写出椭圆方程；（2）由PA PB =即PAB △为等腰三角形，结合直线与椭圆关系联立方程得AB 中点E 的坐标，由等腰三角形的性质知PE AB ⊥即可求参数m ，结合弦长公式、点线距求PAB △的底、高，进而可求PAB △的面积.【详解】解：（1）由题意可得222221312c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点为()00,E x y ， 由22142y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234240x mx m -+-=，()221612240m m ∆=-->得m <<1243m x x +=，212243m x x -=，所以120223x x m x +==，003m y x m =-+=， 由PA PB =，有PE AB ⊥，所以0011333123PEm y k m x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭===，得1m =， 所以1243x x +=，1223x x =-，AB === 此时，点10,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线AB ：10x y +-=的距离3d ==， 所以PAB △的面积1233912S AB d =⨯==. 【点睛】思路点睛：1、由等腰三角形性质，底边的中线与底边垂直，利用121k k =-即可求参数m ；2、应用弦长公式、点线距离公式求得三角形的底边长、高.22．已知函数()ln f x ax x x =-，()21bx g x x=+．a 、b ∈R ， （1）讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的极大值为1， ①若2b =，设1n m <<，证明：()()f m g n <；②设()()()t x f x g x =-，判断函数()t x 零点个数，并说明理由.【答案】（1）()f x 的单调增区间为1(0,)a e -，单调减区间为()1,a e-+∞；（2）①证明见解析；②零点个数为1个，理由见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负即可求出；（2）①根据()f x 的单调性可得()()f n f m >，又可得()()221ln 1n g n f n n n n ⎛⎫--+= ⎝-⎪⎭，构造函数()221ln 1n n n n ϕ-=-+，利用导数判断出单调性，即可判断()()g n f n >；②可得()t x 零点个数等价于()2ln 1ln 10x x x b -+-+=在()0,∞+上解的个数，求出导数，利用导数研究函数的单调性可判断.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，因为()()ln 11ln x a x x f a =-+=--'，令()0f x '>，解得10a x e -<<；令()0f x '<，解得1a x e ->，所以()f x 的单调增区间为1(0,)a e -，单调减区间为()1,a e -+∞．（2）由（1）可知，()f x 的极大值为()11111ln a a a a a f ae e e e e -----=-=， 因为函数()f x 的极大值为1，所以11a e -=，所以1a =，①()ln f x x x x =-，()1ln 1ln f x x x '=--=-，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，因为1n m <<，所以()()f n f m >，因为2b =，所以()221x g x x=+所以()()()2221ln 2ln 11n g n f n n n n n n n n n -=--=⎛⎫-- ⎪+⎝⎭+ 设()221ln 1n n n n ϕ-=-+，1n >， 则()()()2222101n n n n ϕ-'=>+，所以()n ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()10n ϕϕ>=， 所以221ln 01n n n -->+，从而()()g n f n > 又()()f n f m >，所以()()f m g n <．②()()()2ln 1bx t x f x g x x x x x =-=--+， ()t x 的零点即方程2ln 01bx x x x x --=+的解的个数， 即关于x 的方程()2ln 1ln 10xx x b -+-+=在()0,∞+上解的个数， 设()()2ln 1ln 1h x x x x b =-+-+，()12ln h x x x x x =-+'． 设()12ln m x x x x x =-+， 因为()212ln 1m x x x'=-+在()0,∞+单调递增，且()10m '=， 所以当01x <<时，()0m x '<；当1x >时，()0m x '>，因此()m x 在()0,1上单调递减，()m x 在()1,+∞上单调递增，从而()()10m x m ≥=，即()0h x '≥恒成立，所以()()2ln 1ln 1h x x x x b =-+-+在()0,∞+单调递增．因为()h e b =，()122b b h e be --=-， 1，当0b =时，因为()h x 在()0,∞+单调递增，且()0h e =，所以()h x 在()0,∞+存在唯一的零点x e =． 2，当0b ≠时，则()()10b h e h e -<，又因为()h x 在()0,∞+单调递增， 所以()h x 在()0,∞+存在唯一的零点．综上所述，函数()h x 在()0,∞+存在唯一的零点，即()t x 在()0,∞+零点个数为1个.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数比较大小和研究零点，解题的关键是根据题目构造合适的函数，若比较大小时得到()()221ln 1n g n f n n n n ⎛⎫--+= ⎝-⎪⎭，需构造函数()221ln 1n n n n ϕ-=-+利用导数讨论单调性判断正负；讨论零点个数时，需转化为()()2ln 1ln 1h x x x x b =-+-+的零点个数.。

2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b -+ 垂直，则λ=（）A.18B. 14C.78D.743.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ）A.2B.C.4D.4.已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（ ）x 0134ya4.34.86.7A.2.2B.2.4C.2.5D.2.65.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos α=，则πtan(4α+＝（）A.3- B.13C. 13-D.36.已知数列{}n a 通项公式为2322,7494,7n n tn n a n n ⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n ∈N ，都有1n n a a +>，则实数t 的取值范围是（ ）A.[3,)t ∈+∞ B.239[,142t ∈ C.239(,)142t ∈ D.23[,)14t ∈+∞7.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π3APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎫+∞⎪⎭C. (D. )+∞8. 定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（ ）A. 6B. 12C. 14D. 10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知复数2i z =+，1i z x y =+ (,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. z 的虚部为i - B. z 对应的点在第一象限C.1z z= D. 若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图形的面积为2π10. 已知0,0a b >>，21a b +=，则（ ）A.21a b+的最小值为4 B. ab 的最大值为18C. 22a b +最小值为15D. 24a b +的最小值为11. 函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,22-上为单调函数，图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A34ω=B. 将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C. 若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99-D. 若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3-的.12. 已知椭圆C ： ()222104x y b b+=>的左右焦点分别为1F 、2F，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ）A. 离心率e的取值范围为⎛ ⎝B.当e =时，1QF QP +的最大值为4C. 存在点Q ，使得210QF QF ⋅=D. 1211QF QF +的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同排列种数为________（用数字作答）．14. 设6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=__________．（用数字作答）15. 现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是__________，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n an n b a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；的（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18. 在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.（1）若π4B =，求c a值；（2）若ABC22cos B C +的取值范围．19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．20. 已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，ACBC ⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点()4,6P ，且离心率 2.（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MABNABS S .22. 已知函数23()e 232xa x f x x ax =---．（1）当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；的为f x的最小值为1，求a．（3）若()2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2. 若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+ 与32a b -+ 垂直，则λ=（ ）A.18B.14C.78D.74【答案】B 【解析】【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅ 的值，然后将“a b λ+与32a b -+ 垂直”等价转换为()()032a b a b λ-⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos 601122a ab b a b a b ︒====⋅=⋅=⨯⨯= ，又因为a b λ+与32a b -+ 垂直，所以()()()()221323232320322a ab a a b b b λλλλλ+⋅=-+-⋅+=-+⨯=--++ ，整理得1202λ-+=，解得14λ=.故选：B.3. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得π(12)3πl l +==，所以l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则2l l ''=+，解得l '=，所以原圆锥的母线长l l '+=+=故选：D .4. 已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（ ）x 0134ya4.34.867A. 2.2B. 2.4C. 2.5D. 2.6【答案】A 【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：013424x +++==， 4.3 4.8 6.715.844a a y ++++==，所以样本中心(),x y 为15.82,4a +⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归方程有：15.80.952 2.64a +=⨯+，解得2.2a =.故选：A .5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos α=，则.πtan(4α+＝（）A. 3-B. 13C.13- D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据任意角的三角函数求出t，再求出tanα的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知cosα=12t=，所以tan2yxα==-，所以()πtan tanπ2114tanπ412131tan tan4ααα+-+⎛⎫+===-⎪--⨯⎝⎭-，故选：C6. 已知数列{}n a通项公式为2322,7494,7nn tn nan n⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n∈N，都有1n na a+>，则实数t的取值范围是（）A. [3,)t∈+∞ B.239[,142t∈ C.239(,)142t∈ D.23[,)14t∈+∞【答案】C【解析】【分析】根据数列的单调性，即可根据263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，以及87a a>求解.【详解】当{}1,2,3,4,5,6n∈时，()()221312123226320n na a n t n n tn n t+-+-++--+-=+=>恒成立，所以263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，故9292t t<⇒<，又当7,Nn n>∈时，494na n=+为单调递增的数列，故要使对任意*n∈N，都有1n na a+>，则87a a>，即2489437142t⨯+>⨯-+，解得2314t>，综上可得239(,)142t∈，故选:C7. 已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π3APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎫+∞⎪⎭C. (D. )+∞【答案】B 【解析】【分析】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，设点(),P x y ，则22222b x y b a=-，分析可得2OP b a =≥，可得出b a 的取值范围，由e =可求得e 的取值范围.【详解】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，由切线长定理可知，PA PB =，又因为OA OB =，OP OP =，所以，AOP BOP ≌，所以，1π26APO BPO APB ∠=∠=∠=，则22OP OA b ==，设点(),P x y ，则22222b x y b a=-，且x a ≥，所以，2OP b a ====≥=，所以，12b a ≥，故c e a ===≥=，故选：B.8. 定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（ ）A. 6B. 12C. 14D. 10【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()f x 为奇函数，其图象关于直线1x =对称且一个周期为4，再根据当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵()()0f x f x -+=，∴()f x 为奇函数，又∵()()2f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线1x =对称．当[]0,1x ∈时，()23210f x x x '=-+>，()f x 单调递增．由()()()2f x f x f x -=+=-，即有()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4，由()()0f x f x -+=可得，()()40f x f x -++=，所以()f x 的图象关于()2,0中心对称．函数()f x 的简图如下：其中32x =，由1()(2)4f x x =-，∴所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：D ．【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知复数2i z =+，1i z x y =+ (,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. z 的虚部为i - B. z 对应的点在第一象限C.1z z= D. 若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图形的面积为2π【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A ：2i z =-，所以z 的虚部为1-，A 错误；对于B ：z 对应的点为()2,1，位于第一象限，所以B 正确；对于C ：z ==，z ==，所以1z z=，C 正确；对于D ：在复平面内11z z -£表示到点()2,1距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以()2,1为圆心1为半径的圆，所以面积为πS =，D 错误，故选：BC10. 已知0,0a b >>，21a b +=，则（ ）A.21a b+的最小值为4 B. ab 的最大值为18C. 22a b +的最小值为15D. 24a b +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式即可求解BD ，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.【详解】对于A ，0,0a b >>，()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==取等号，故A 错误，1218a b ab +=≥⇒≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==取等号，故B 正确，()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当25b =时，取到最小值15，此时15a =，满足题意，故C 正确，24a b +≥==24a b=，即11,24a b ==时等号成立，所以D 正确故选：BCD11. 函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,22-上为单调函数，图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A.34ω=B. 将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C. 若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99-D. 若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3-【答案】ABD 【解析】【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A ，由函数的平移变换可以判断选项B ，根据函数图象的零点和最值即可判断C ，D.【详解】选项A ：根据题意函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,22-上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则ππ22ω-≤-，ππ22ω≤，解得01ω<≤又因为图象关于直线2π3x =，则2πππ23k ω=+，Z k ∈，解得3342kω=+，Z k ∈当0k =时，34ω=符合条件.则A 正确；选项B ：由A 可知3()sin 4f x x =向右平移2π3个单位长度后，解析式变成3π3()sin cos 424g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则图象关于y 轴对称.B 正确；选项C ：函数()f x 在区间14π(,9a 没有最小值，则令34t x =，14π(,9x a ∈，则37π(,)46t a ∈，当π37π246a -≤<，即2π14π39a -≤<时，没有最小值C 错误；选项D ：函数()f x 在区间14π(,9a 上有且仅有2个零点，因为πt =时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.所以3π04a -≤<，即4π03a -≤<，D 正确.故选：ABD.12. 已知椭圆C ： ()222104x y b b+=>的左右焦点分别为1F 、2F，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ）A. 离心率e的取值范围为⎛ ⎝B.当e =时，1QF QP +的最大值为4C. 存在点Q ，使得210QF QF ⋅=D. 1211QF QF +的最小值为1【答案】ABD 【解析】【分析】A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QF QP -+的最大值，从而进而判断；C 项中先求出点Q 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D 项中根据椭圆定义得1224QF QF a +==，并结合基本不等式判断..【详解】对于A项：因为点)P在椭圆内部，所以22114b+<，得224b <<，所以得：c e a ⎛==== ⎝，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知124QF QP QF QP +=-+，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，2F 三点共线时，1QF QP +有最大值24PF +，由2ce ==，得c =2F ⎫⎪⎪⎭，所以得2PF ==所以1QF QP +最大值4，故B 项正确；对于C 项：设(),Q x y ，若210QF QF ⋅=，即：()(),,0c x y c x y ---⋅--=，则得222x y c +=，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，又由A项知：c e a ⎛=∈ ⎝，得(c ea ==∈，又因为224b <<，得)2b ∈，所以得：c b <，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误；对于D 项：由椭圆定义得1224QF QF a +==，所以()121212111114QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭21121122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当122QF QF ==时取等号，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214. 设6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=__________．（用数字作答）【答案】364-【解析】【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，令=1x ，则01561a a a a =++++ ①，令1x =-，则01456729a a a a a --=+++ ②，∴①－②得()1352++=728a a a -，所以135364a a a ++=-，故答案为：364-15. 现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．【答案】28【解析】【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果．【详解】设没剪之前正方形的边数为1a ，即14a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a =+⨯=．故答案为：2816. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是__________，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为__________.【答案】 ①. ②. 44π【解析】【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面11ACC A 与侧面11ABB A 沿着1A A 展开到同一平面内，如下：则11C E EF FB ++长度最小值转化为11C F FB +的最小值，作点1C 关于直线BC 的对称点H ，连接1HB ，交BC 于点F ，则1HB 即为11C F FB +的最小值，也即11C E EF FB ++的最小值，其中1128C C H C ==，11628B C AB AC =+=+=，所以1B H =此时可求出4,2BF AF ==，且145B FB ∠=︒，45AFE ∠=︒，故12,2AE AF A E ===，由勾股定理得11EF B F B E ===所以22211EF B F B E +=，由勾股定理逆定理可知，1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，连接1AQ ，由于四边形11A B FE 的外接圆圆心为1B E 的中点Q ，半径为112B E =1AQ =故OQ ⊥平面11A B FE ，所以OQ 平行于11C A ，取11A C 的中点W ，连接1,OW OC ，则1OW A Q =，且1OC 即为外接球半径，且1OC ===，外接球的表面积为4π44π=.故答案为：44π【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n an n b a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =+ （2）2219344n n n T ++=⋅-【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，211122a a S +=+，即21120a a --=，12a =或11a =-（舍）当2n ≥时，211122n n n a a S ---+=+，又因为222n n n a a S +=+，两式相减得22110n n n n a a a a -----=，整理得()()1110n n n n a a a a --+--={}n a 为正项数列，∴11n n a a --=数列{a n }为等差数列，公差为1.()1111n a a n n ∴=+-⨯=+【小问2详解】()1313n a n n n b a n +=⋅=+，()()123423334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()2345323334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()()()122345223333313n n n T n ++-=⨯+++++⨯-+⨯291322n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭2219344n n n T ++=⋅-.18. 在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.（1）若π4B =，求c a的值；（2）若ABC 22cos B C +的取值范围．【答案】（11-（2）1,3)【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2B C =，即可由三角函数的性质求解.【小问1详解】在ABC 中，π4B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c =+-=+-又2()b c a c =+，故2a ac -=，由于0a >，故)1a c =+，得1ca=.【小问2详解】在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，又2()b c a c =+，故22cos a ac B ac -=，又0a >，故2cos a c B c -=据正弦定理sin sin a cA C=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，sin 2i [πs n cos )si (]n B C C B C =--+，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C +-=，sin si (n )B C C =-,因为,,(0,π)A B C ∈，所以)π,π(B C -∈-，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）2π2cos 2cos 212sin(2)16B C C C C +=++=++,)ππ3(A B C C +==--,因为ABC 是锐角三角形，所以π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得ππC 64<<，2ππ2πC 263<+<,故πsin(26C ⎫+∈⎪⎪⎭,)π2sin(2)11,36C ++∈+)22cos 1,3B C +∈+,19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【答案】（1）分布列见解析， ()21E X =（2）1990【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【小问1详解】{}0102030X ∈，，，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 217(10)C 12040P X ====，2173310C C 6321(10)C 12040P X ====，37310C 357(30)C 12024P X ====所以X 的分布为X 0102030P 11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】记“该同学仅答对1道题”为事件M.()2127131219()C 103103390P M =⨯+⨯⋅=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990.20. 已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，AC BC ⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）通过证明,EF AB EFAC ⊥⊥来证得EF ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角B AD C --的余弦值.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，∵//DE 平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，∴//DE AB ，又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴1//,2OF AB OF AB =∵2AB DE =∴//,OF DE OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵,AB AC ⊂平面ABC ，∴⊥DO AB ，DO AC ⊥，∵//EF DO ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥，∵AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC .【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .∴tan 60DO EF BF ===o ，∴(0,0,D .平面ADC 的一个法向量为()0,1,0m = ，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-u u u r ，　则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =，∴()n = ，∴cos ,m n m n m n⋅<>== ，由图可知二面角B AD C --为锐角，的∴二面角B AD C --21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()4,6P ，且离心率为2.（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MAB NABS S .【答案】（1）221412x y -= （2）32【解析】【分析】（1）根据题意求出22,a b 即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB 方程为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据122k k +=求出,k m 的关系，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，再根据122k k +=求出m ，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.【小问1详解】由题意得22222163612a b c aa b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的方程为221412x y -=；【小问2详解】由题意，点M 坐标为()1,6，点N 坐标为()0,6，设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，221412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22232120k x kmx m ----=，230k -≠且()22Δ124120m k =-+>，且2121222212,33km m x x x x k k++==---，()()()()()()12211212121264646624444kx m x kx m x y y k k x x x x +--++----+=+==----，整理可得()()()121242228160m k x x k x x m -+++--+=，()()2222124222816033km m m k k m k k ⎛⎫+-+⋅+-⋅--+= ⎪--⎝⎭，化简得22128122360m m k k km ---++=，即()()26460m k m k --+-=，因为直线AB 不过点()4,6P ，所以460m k +-≠，所以260m k --=，即26m k =+，所以直线AB 的方程为()26y k x =++，恒过定点()2,6Q -，②若直线AB 斜率不存在，则1212,0x x y y =+=，121212121166121224444y y y y k k x x x x --+--+=+===----，解得122x x ==-，所以直线AB 的方程为2x =-，过定点()2,6Q -，综上，直线AB 恒过定点()2,6Q -，设点M 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，1122132122MABNAB AB d S d MQ S d NQ AB d ⋅⋅====⋅⋅ .方法二：因为直线AB 不过点()4,6P ，所以可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，即()()22(6)3(4)1262440y x y x ---+---=，()()][()()22(6)3(4)126244460y x y x m x n y ⎡⎤---+---⋅-+-=⎣⎦，得()()()()()22121(6)122446243(4)0n y m n x y m x +-+----+-=，等式左右两边同时除以2(4)x -，得()()()2661211224243044y y n m n m x x --⎛⎫++--+= ⎪--⎝⎭，()()2Δ(1224)41212430m n n m =-+++>，121212661224244121y y m n k k x x n ---+=+=-=--+，解得16m =-，所以直线AB 方程为()()14616x n y -⋅-+-=，即()()2660x n y -++-=，恒过定点()2,6Q -，下同法一.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22. 已知函数23()e 232xa x f x x ax =---．（1）当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（3）若()f x 的最小值为1，求a ．【答案】（1）2(e 1)210x y --+=（2）12a ≤（3）12a =【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；（2）参变分离，构造2e ()2x x g x x -=+，求导，得到其最小值，求出a 的取值范围；（3）注意到(0)1f =，多次求导得到()e 2x l x a '=-，从而分12a =，12a >，0a ≤与102a <<，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案【小问1详解】21()e ,(1)e 22xx f x f =-=-，()e ,(1)e 1x f x x f ''=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程1e (e 1)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即2(e 1)210x y --+=．【小问2详解】因为2()e 20x f x ax x a =---≥'在区间[0,)+∞上恒成立，所以2mine 2x x a x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭，令2e ()2x x g x x -=+，则()()()()222e 12e 2()2x x x x xg x x ⋅'-+--=+，令()()()2()e 12e 2x x h x x x x =-+--⋅，则2()e 2x h x x x '=+，当0x ≥时，()0,()h x h x '≥单调递增，()(0)0h x h ≥=，所以()0g x '≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，故min 1()(0)2g x g ==，所以12a ≤．【小问3详解】23()e 2,(0)132xa x f x x ax f =---=，2()e 2,(0)12,x f x ax x a f a =---=-''令()2()e 2x k x f x ax x a -'==--，则()e 21x k x ax '=--，令()()e 21xl x k x ax '==--，则()e 2x l x a '=-，当12a =时，2231()e ,()e 1622x x x x f x x x f x x =-----'=-，则()e 1x k x x '=--，()e 1x l x '=-，当0x <时，()0,()l x k x ''<在(,0)-∞上单调递减，的当0x ≥时，()0,()l x k x ''≥在[0,)+∞上单调递增，()(0)0,()k x k k x ''≥=在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0k =，所以，当0x <时，()0,()0,()k x f x f x '<<在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0,()0,()k x f x f x '>>在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1f x f ==．所以12a =适合，当12a >时，当0ln 2x a <<时，()0l x '<，()l x 在(0,ln 2)a 上单调递减，()(0)0l x l <=，()2()e 2x k x f x ax x a -'==--在(0,ln 2)a 上单调递减，因为()(0)120f x f a '<='-<，所以()f x 在(0,ln 2)a 上单调递减，此时()(0)1f x f <=，舍去．当0a ≤时，当0x <时，()e 210x k x ax '=--<，()f x '在(,0)-∞上单调递减，()(0)120f x f a >=-'>'，()f x 在(,0)-∞上单调递增，()(0)1f x f <=，舍去；当102a <<时，当ln 20a x <<时，()e 20,()x l x a k x ''=->在(ln 2,0)a 上单调递增，()(0)0,()k x k f x ''<='在(ln 2,0)a 上单调递减，()(0)120,()f x f a f x >=->''(ln 2,0)a 上单调递增，此时，()(0)1f x f <=，舍去．综上，12a =．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.在。

江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --≤，B ＝{x y =，则AB ＝A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥2．已知复数满足1z =-+，则z z＝A ．12-+ B ．12 C ．12+ D ．12-- 3．若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，3log 2c =，则A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a 4．已知函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕπ≤)的图像如图所示，则 A ．ω＝2，ϕ＝π B ．ω＝2，ϕ＝2πC ．ω＝12，ϕ＝4πD ．ω＝12，ϕ＝34π- 5．函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图像大致为A B C D6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，2σ)，(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为A ．150B ．200C ．300D ．4007．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?A ．90B ．120C ．140D ．1508．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝23π，AP ＝3，AB ＝Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π第4题 第10题二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当0≤x ≤2时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图像关于直线x ＝2对称 C ．当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2D ．当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为12-10．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则 A ．直线DD 1与直线AF 垂直 B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9811．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则 A ．实轴为2B．渐近线为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为312．已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记M ＝221212()()x x y y -+-，则A ．M 的最小值为165B ．当M 最小时，2145x =C ．M 的最小值为45 D ．当M 最小时，2125x = 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(12，，若a ⊥b ，则m ＝ ．14．72()x x-的展开式中x 的系数为 ．15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种．16．已知函数22, (), x x af x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，①若a ＝1，则不等式()1f x ≤的解集为 ；②若存 在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）若a ＝2，B ＝4π，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）给出下列三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于N n *∀∈，点(n ，n S )均在函数2xy a =-的图像上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为q (q ＞0，q ≠1)的等比数列， ，且它的首项11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22log 1n n b a =+(N n *∈)，证明11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12nT <．19．（本小题满分12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图2．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E —A 1B —C 的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F到直线的距离为5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直 线的斜率． 21．（本小题满分12分）南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同m (m N *∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m ＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m 的最小值． 附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，2()(ln )ag x x x x=+-，其中a ∈R ，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求实数0x 和a 的值； （3）证明11ln(21)2nk n =>+(N n *∈)．江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --≤，B＝{x y =，则AB ＝A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥ 答案：C解析：∵集合A ＝{}220x x x --≤，∴集合A ＝{}11x x -≤≤， ∵集合B＝{x y =，∴集合B ＝{}0x x ≥，∴AB ＝{}1x x ≥-，故选C ．2．已知复数满足1z =-+，则z z＝ A．1i 22-+ B．1i 22- C．122+ D．1i 22-- 答案：D解析：∵1z =-，∴1z =-，2z =，∴11222z z -==--，故选D ． 3．若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，3log 2c =，则A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a 答案：A解析：由23a=，知1＜a ＜2，由22log 5log 42b =>=，33log 2log 31c =<=， ∴c ＜a ＜b ，故选A ．4．已知函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕπ≤)的图像如图所示，则A ．ω＝2，ϕ＝πB ．ω＝2，ϕ＝2π C ．ω＝12，ϕ＝4πD ．ω＝12，ϕ＝34π- 答案：D解析：7()422T πππ=--=，2142πωπ==，13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，324k πϕπ=-+， ∵ϕπ≤，∴ϕ＝34π-，故选D ． 5．函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图像大致为A B C D 答案：C解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次x ＞0时，()f x ＞0，故选C ．6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，2σ)，(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为A ．150B ．200C ．300D ．400 答案：C解析：111000()30025⨯-=，故选C ．7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?A ．90B ．120C ．140D ．150 答案：B 解析：130()30(71)3012022n a a S ++⨯===．故选B ．8．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝23π，AP ＝3，AB ＝Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π 答案：C 解析：三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示；则，且的最大值是， ，的最小值是，即到的距离为，，，在中可得，即可得；取的外接圆圆心为，作，，解得；，取为的中点，，，由勾股定理得，三棱锥的外接球的表面积是．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当0≤x ≤2时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图像关于直线x ＝2对称 C ．当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2D ．当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为12- 答案：ABC解析：由(1)(3)f x f x +=-知()f x 的最小正周期为4，故A 正确； 由(1)(3)f x f x +=-知()f x 的图像关于直线x ＝2对称，故B 正确； 当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2，故C 正确；当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为14-，故D 错误．故选ABC ． 10．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则A．直线DD1与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．点C与点G到平面AEF的距离相等D．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8答案：BD解析：取中点，则为在平面上的射影，与不垂直，与不垂直，故错；取中点，连接，，可得平面平面，故正确；把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故C错．故选：BD．11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221 412x y-=，则A．实轴为2B．渐近线为y=C．离心率为2D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3答案：BC解析：由双曲线的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．故选：．12．已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记M ＝221212()()x x y y -+-，则A ．M 的最小值为165B ．当M 最小时，2145x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，2125x = 答案：AB 解析：由，得，的最小值可转化为函数图象上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由得，因为与直线22ln 260x y +--=平行的直线斜率为，所以，解得，则切点坐标为，所以到直线22ln 260x y +--=上的距离d ==， 即函数上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离最小值为45，所以的最小值为165， 又过且与22ln 260x y +--=垂直的直线为，即，联立22ln 2602ln 240x y x y +--=⎧⎨-+-=⎩，解得，即当最小时，145x =． 故选：AB ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(12，2-)，若a ⊥b ，则m ＝ ．解析：10222m m -=⇒=． 14．72()x x-的展开式中x 的系数为 ． 答案：﹣280 解析：由于的展开式的通项公式为，则令721r -=，求得3r =，可得展开式中x 的系数为337(2)280C -=-．15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种． 答案：20解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮黑色”与“星河银”之一，满足题意的购买方案有1122228C C A ⨯⨯=(种)；第二类，甲实际购买的手机颜色不是“亮黑色”，也不是“星河银”，满足题意的购买方案有132312C A ⨯=(种)，由分类加法计数原理可知，满足题意的购买方案有8＋12＝20(种)．16．已知函数22, (), x x af x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，①若a ＝1，则不等式()1f x ≤的解集为 ；②若存 在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）解析：①当时，，则令()1f x ≤，即有21x ≤或21x ≤，解得x ≤0或∅，故()1f x ≤的解集为（－∞，0]； ②由函数只有一个零点时，时，或，当时，，此时只有一个零点；当时，有2个零点；同理当时，，只有一个零点当a ＞4时，有2个零点， 故可得a 的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）若a ＝2，B ＝4π，求△ABC 的面积． 解：（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-， 因为0A π<<，所以6A π=．（2）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A == 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos 4c c π=+-⨯，解得c =所以ABC的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯=．18．（本小题满分12分）给出下列三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于N n *∀∈，点(n ，n S )均在函数2xy a =-的图像上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为q (q ＞0，q ≠1)的等比数列， ，且它的首项11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22log 1n n b a =+(N n *∈)，证明11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12nT <． 解：若选○1：因为3454,3,2a a a 成等差数列，所以43523=42a a a ⨯+. 又因为数列{}n a 是等比数列，即2320q q -+=解得 2q =或1q =-（舍去）……3分又11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -若选○2：点(,)nn S 均在函数2xy a =-的图像上，所以2nn S a =-，又因为112a S a ==-，所以1a =，所以21n n S =-，所以23S =，所以22,2a q ==.所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -若选○3：37S =，因为{}na 是公比为(0,1)q q q >≠的等比数列， 所以31(1)71a q q-=-，即260q q +-=解得2q =或3q =-（舍去） 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -（2）证明：因为1=2n n a -，所以22log 1=2n-1n n b a =+所以111111=[](21)(21)2(21)(21)n n b b n n n n +=--+-+ 所以12231111=111111=(1)22232121111(1)2212n n n T b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+--+=-<+ 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图2．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E —A 1B —C 的余弦值．解：（1）∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ，∴DE ⊥DC ．又∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE =D ，∴DC ⊥平面A 1DE ，∴DC ⊥A 1E ． 又∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE =D ，∴A 1E ⊥平面BCDE ． （2）∵A 1E ⊥平面BCDE ，DE ⊥BE ，∴以EB ，ED ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．易知DE =2，则A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (4，2，0)，D (0，2，0)，∴1BA =(−2，0，2)，BC =(2，2，0)，易知平面A 1BE 的一个法向量为n =(0，1，0)． 设平面A 1BC 的法向量为m =(x ，y ，z )，由1BA ·m =0，BC ·m =0，得令y =1，得m =(−，1，−)，∴cos 〈m ，n 〉===．由图得二面角E −A 1B −C 为钝二面角，∴二面角E −A 1B −C 的余弦值为−． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F到直线的距离为5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直 线的斜率．解：（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，220x y a --=，∴右焦点F5=1a c ∴-=， 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程1)y x =-，联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8(,5P ， ∴直线的斜0(58225k -==-. 其他方法：方法二: 由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：2k =或2k =-，又由题意知，0y =>得0k >或k <2k =. 方法三：由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P k y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即22212438643kk k k --+=-+，解得2k =或2k =-，又由题意知，0y =>得0k >或k <k =. 21．（本小题满分12分）南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同m (m N *∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m ＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m 的最小值． 附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为130＋110＋90＋110＋100＋601000＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6；（2）由题意得列联表如下：K 2＝1000×（250×270－330×150）2400×600×420×580≈5.542因为 5.542＞3.841，所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人 随机变量ξ的所以可能取值为0，1，2，3，其中P （ξ＝0）＝C 0m +6C 34C 3m +10，P （ξ＝1）＝C 1m +6C 24C 3m +10，P （ξ＝2）＝C 2m +6C 14C 3m +10，P （ξ＝3）＝C 3m +6C 04C 3m +10，E （ξ）＝C 0m +6C 34C 3m +10×0＋C 1m +6C 24C 3m +10×1＋C 2m +6C 14C 3m +10×2＋C 3m +6C 04C 3m +10×3≥2解得m ≥2，所以m 的最小值为2法二：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布H （3，m ＋6，m ＋10）， 则E （ξ）＝3（m ＋6）m ＋10，由E （ξ）≥2 得m ≥2，所以m 的最小值为2 22．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，2()(ln )ag x x x x=+-，其中a ∈R ，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论函数()f x 的单调性； （3） 求实数0x 和a 的值；（3）证明11ln(21)2nk n =>+(N n *∈)． 解：（1）函数f (x )的定义域为（0，＋∞），且f '(x )＝2x －2ln x －2，令h (x )＝f '(x )， 则有h '(x )＝2（x －1）x，由h '(x )＝0可得x ＝1，如下表：所以h (x )≥h (1)＝0 ，即f '(x )≥0，f (x )在（0，＋∞）上单调递增 （2）函数g (x )的定义域为（0，＋∞），且g '(x )＝1－ax2－2ln xx由已知，得g '(x 0)＝0，即 x 02－2x 0ln x 0－a ＝0 ① 由 g (x 0)＝2可得x 02－x 0（ln x 0）2－2x 0＋a ＝0 ② 联立①②消去a 可得2x 0－（ln x 0）2－2ln x 0－2＝0 ③令 t (x )＝2x －（ln x ）2－2ln x －2，则t ' (x )＝2－2ln x x －2x ＝2（x －ln x －1）x由 ①知 x －ln x －1≥0，故t ' (x )≥0，所以t (x )在（0，＋∞）上单调递增t (1)＝0，所以方程③有唯一解x 0＝1，代入①，可得a ＝1.（3）由（1）知f (x )＝x 2－2x ln x 在（0，＋∞）上单调递增，故当x ∈（1，＋∞），f (x )＞f (1)＝1，所以g '(x )＝1－a x2－2ln x x＝f (x )－1x2＞0，可得g (x )在（1，＋∞）上单调递增。

2020-2021学年第一学期11月六校联合调研试题高一数学一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“x R ∀∈，()210x -≥”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，()210x -< B ．不存在x R ∈，()210x -< C ．0x R ∃∈，()2010x -< D ．0x R ∃∈，()2010x -≥ 【答案】C【考点】全称命题的否定【解析】由题意命题“()012≥-∈∀x R x ，”的否定需要把全称量词命题符号∀改为特称量词符号∃，结论相反，则否定为“()012<-∈∃x R x ，”，故答案选C.2．设集合{}{}1011A ,,B ,=-=-，则A B =（ ） A ．φ B ．{}1-C ． {}11,-D ．{}101,,- 【答案】D【考点】集合的并集【解析】由题意集合{}{}1011A ,,B ,=-=-，则A B ={}101,,-，故答案选D. 3．设函数()2011x f x x ,x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1 B ． 3 C ．2 D ．4 【答案】C【考点】分段函数求函数值【解析】由题意2211221=-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，所以()()222212===⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ，故答案选C.4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()10y x x=-≠ B ．()y x x R =-∈ C ．()2y x x R =-∈ D ．()y x x R =∈ 【答案】B【考点】函数的奇偶性、单调性判断【解析】由题意对于选项A ，xy 1-=在定义域内为奇函数，在()0，∞-和()∞+，0均为单调递增，不满足题意；对于选项B ，x y -=在定义域R 内为奇函数，且在定义域R 上单调递减，满足题意；对于选项C ，2x y -=在定义域内为偶函数，且在()0，∞-上单调递增，在()∞+，0上单调递减，不满足题意；对于选项D ，x y =在定义域R 内为奇函数，且在定义域R 上单调递增，不满足题意；故答案选B.5．“0ab =”是“0a =”的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【考点】逻辑用语条件的判断【解析】由题意ab =0，可得a =0或b =0，所以“0ab =”是“0a =”的必要条件，故答案选A.6．已知00a ,b >>且31a b +=，则28a b +的最小值为（ ） A ．2 2 B ．3 3 C ．6 D ． 8【答案】A【考点】基本不等式的应用【解析】因为a >0，b >0，所以02>a ，08>b ，则b a b a b a 332222282⋅≥+=+22223==+b a ，当且仅当b a 82=，即b a 3=，又13=+b a ，联立解得21=a ，61=b ，等号成立，故答案选A.7．对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a 的31次方是个35位数，那么根据3431351010a <<，取常用对数得3431＜lg a ＜3531，可得到1.09＜lg a ＜1.15，由对数表可知这个数是13．已知某个正整数的57次方是45位数，则该正整数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【考点】对数的运算【解析】由题意设该数为a ，则4557441010<<a ，取常用对数可得79.0lg 0.77<<a ，查表可得a =6，故答案选B.8．关于x 的不等式221()10x x a x x a --+++++>对任意的0x >恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－2 B ．a ＞－1 C ．a ＞0 D ．a ＞1 【答案】B【考点】不等式的恒成立问题【解析】由题意可得()()01121>-++++--a x x a x x 对任意的0x >恒成立，则可设1-+=a a t （t >2），即表示为012>-++a at t 对任意的t >2恒成立，化简有()()()0111>++-+t a t t ，因为t >2，所以t +1>0，则a >t -1，则()11max -=->t a ，所以a ＞－1，故答案选B.二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江苏省南京市六校2022-2023学年高三上学期11月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{|23,Z}U x x x =-≤≤∈，2{|230,Z}A x x x x =--<∈，则UA 中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．复数1i12iz +=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A B C D 3．已知2a =，3b =，则“6a b ⋅=”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知抛物线C ：24y x =上一点到y 轴的距离是5，则该点到抛物线C 焦点的距离是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．已知4tan()43πα+=-，则sin 2α=（ ）A ．1225-B ．725-C ．725D ．12256．长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为1:3，则该模型的体积最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．现有7个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为（ ）A ．27B ．1435C ．1635 D ．478．已知1x x =和2x x =分别是函数21()e 2xf x ax =-的两个极值点，且212x x =，则实数a 的值为（ ）AB C ．2ln 2 D ．ln 22二、多选题9．已知数列{}n a 为等差数列，n S 表示其前n 项和，则下列数列一定为等差数列的是（ ） A ．{}n a n +B ．{}2n aC ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}4n S10．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则（ ） A ．直线1AD 与直线EF 共面B ．1A E AF ⊥C ．直线1A E 与直线BF 的所成角为60︒D ．三棱锥1C ADF -的体积为11211．已知0a >，0b >，且111,a b+=则（ ）A ．23a b +≥+B ．1211a b +≥--C ．221112a b +≤ D12．已知双曲线C ：2212xy -=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上的一点，过点P 的直线l 与右支交于另一点Q ，且与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，则（ ） A ．点P 到两条渐近线的距离之积为定值B ．·OA OB 为定值C ．212||PF PF PO ⋅<D ．PA BQ =三、填空题13．若(1)n x -的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含3x 的系数为______.（用数字作答）14．写出一个半径为3且与y 轴和圆22(4)4x y -+=都相切的圆的标准方程______.15．将函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象向右平移14个周期后，所得图象恰有3个对称中心在区间(0,)π内，则ω的取值范围为______. 16．已知函数ln 1()e 2x x f x ax x =--在(0,)+∞上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为______. 四、解答题17．已知ABC 的三个角,,A B C 所对的边为,,,a b c 满足：22232sin a c b ac B +=+.(1)若2π3B =，求c a 的值；(2)求ca的最大值.18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2n n S λ=+(N ,n *∈λ为常数）. (1)求λ的值，并写出数列{}n a 的通项公式； (2)若221(1)log n n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19．如图，四棱锥C AEFB -中，底面AEFB 为直角梯形，且90FBA EAB ∠=∠=︒，平面AEFB ⊥平面ABC ，6BF BC ==，5,AB AC ==四棱锥C AEFB -的体积为32.(1)求AE 长；(2)若M 为EF 中点，求直线CF 与平面AMC 所成角的正弦值.20．已知某种零件成箱包装，100件一箱.为了保障零件的质量，每箱零件在交付用户之前，需对零件的安全指标进行检验，如检出不合格品，则需要更换为合格品.检验时，先从这箱零件中任取几件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验，设每件零件是不合格品的概率都为0.1，且各件零件是否为不合格品相互独立.(1)若从这箱零件中任取3件作检验，求3件零件中恰有1件不合格品的概率.(2)现对一箱零件检验了10件，结果恰有1件不合格品，设每件零件的检验费用为x （N x ∈）元，考虑到每件零件的成本费，x 不超过5，如果有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用.现以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据，工厂将不对这箱余下的所有产品作检验，试求出x 的所有可能取值.21．已知点(0,2)A 与(0,2)B -，动点(,)M x y 满足直线AM ，BM 的斜率之积为12-，则点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点T 在直线3y =上，直线TA ，TB 分别与曲线C 交于点E ，F ，求TAB △与TEF 面积之比的最大值.22．已知函数21()e xx axf x-+=(Ra∈).(1)讨论()f x的单调性；(2)当0x≥时，关于x的不等式2()eaf x≤恒成立，求实数a的取值范围.注：e 2.71828=是自然对数的底数参考答案：1．C【分析】解一元二次不等式求集合A ，应用集合补集求法求UA ，即可确定元素个数.【详解】由题设{2,1,0,1,2,3}U =--，{Z |(3)(1)0}{Z |13}{0,1,2}A x x x x x =∈-+<=∈-<<=， 所以{2,1,3}UA =--，共有3个元素.故选：C 2．D【分析】先将复数z 化成i a b +的形式，再利用复数模的计算公式求值即可. 【详解】()()()()1i 12i 1i 3i 31i 12i 12i 12i 555z +-+-====-++-，z ∴==故选：D. 3．B【分析】先利用向量数量积公式得到充分性成立，必要性可举出反例，从而得到答案. 【详解】cos ,6cos ,6a b a b a b a b ⋅=⋅==， 故cos ,1a b =，因为[],0,πa b ∈，所以,0a b =，故a 与b 共线，充分性成立，若a 与b 共线，不妨令,πa b =，此时cos ,6a b a b a b ⋅=⋅=-，必要性不成立， 综上：“6a b ⋅=”是“a 与b 共线”的充分不必要条件. 故选：B 4．B【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案. 【详解】由题意得：抛物线C ：24y x =的准线方程为=1x -， 由焦半径公式得：该点到抛物线C 焦点的距离等于516+=. 故选：B 5．C【分析】先利用两角和的正切公式求出tan α，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系将sin 2α化为关于tan α的式子即可求值.【详解】tan 14tan 41tan 3πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，解得tan 7α=， 则22222sin cos 2tan 27147sin 22sin cos sin cos tan 1715025ααααααααα⨯======+++. 故选：C. 6．C【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值， 【详解】设圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h，底面圆半径为r = 则该模型的体积2221103(36)33V r h r h h h πππ=⋅+⋅=-，令3()36f x x x =-+，则2()336f x x '=-+，由()0f x '=得x =±当0x <<()0f x '>，当x >()0f x '<， 则()f x在(0,上单调递增，在)+∞上单调递减，当h =max V =， 故选：C 7．C【分析】应用组合数求出7个球任取3个所有可能种数及数字的最小值为2的情况数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】7个球任取3个有37C 种，其中所取出的小球上数字的最小值为2的有12212424C C C C +种，所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为1221242437C C C C 12416C 3535++==. 故选：C 8．C【分析】求导，将极值点问题转化为()e x f x ax '=-要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，参变分离后得到1e x x a =，构造()ex xg x =，求导后得到单调性，极值最值情况，得到()e,a ∈+∞，由212x x =得到111122e e x x x x =求出1ln 2x =，求出11e 2ln 2x a x ==.【详解】21()e 2xf x ax =-定义域为R ，()e x f x ax '=-，要想函数21()e 2xf x ax =-有两个极值点，则()e x f x ax '=-要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反， 令e 0x ax -=，得1ex x a =， 令()e xxg x =，定义域为R ， 则()1e xxg x ='-，当1x <时，()0g x '>，当1x >，()0g x '<， 故()e xxg x =在1x <上单调递增，在1x >上单调递减， 故()e x xg x =在1x =取得极大值，也是最大值，()()max11eg x g ==， 且当0x >时，()0g x >恒成立，当0x <时，()0g x <恒成立， 画出图象如下：故110,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()e,a ∈+∞， 其中12121e e x x x x a ==，因为212x x =，所以111122e e x x x x =，故1e 2x =，解得：1ln 2x =，故11e 2e ln 2x a x ==>，满足要求. 故选：C 9．AC【分析】设出{}n a 的首项为1a ，公差为d ，得到1n n a a d +-=，()112n n d S a n -=+，()414241n S na n n d =+-，利用等差数列的定义依次判断四个选项是否一定是等差数列.【详解】设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1n n a a d +-=，故()()111n n a n a n d +++-+=+为定值，所以{}n a n +为等差数列，A 正确；()()()()22211111221n n n n n n n n a a a a a a d a a a d n d ++++-=+-=+=+-，当0d =时，2210n n a a +-=为定值，{}2n a 为等差数列，但当0d ≠时，221n n a a +-不是定值，此时{}2n a 不是等差数列，故B 不一定是等差数列，B 错误； ()112n n n d S na -=+，故()112n n d S a n -=+，故()11111222n n n d S S ndd a a n n +--=+--=+，为定值，C 正确； ()414241n S na n n d =+-，故()()()()()()41114141214342414166n n S S n a n n d na n n d a n d +-=++++---=++， 当0d =时，()41414n n S S a +-=为定值，此时{}4n S 为等差数列， 当0d ≠时，()441n n S S +-不是定值，此时{}4n S 不是等差数列， 故{}4n S 不一定是等差数列.D 错误， 故选：AC 10．BD【分析】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，对于A ，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B ，通过计算1A E AF ⋅进行判断，对于C ，利用向量的夹角公式求解，对于D ，利用11C ADF A C DF V V --=求解.【详解】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则 (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D A B C ，1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)D A B C ，111,,0,0,1,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，假设直线1AD 与直线EF 共面，因为平面11ABB A ∥平面11DCC D ，平面1AEFD 平面11ABB A AE =，平面11DCC D 平面111ABB A D F =，所以AE ∥1D F ，因为AE ∥11C D ，所以11C D ∥1D F ，矛盾，所以直线1AD 与直线EF 不共面，所以A 错误； 对于B ，因为11101,1,1,22A E AF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 所以1110022A E AF ⋅=+-=，所以1A E AF ⊥，所以1A E AF ⊥，所以B 正确，对于C ，设直线1A E 与直线BF 的所成角为θ，因为11101,1,0,22A E BF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 所以111121cos cos ,521A E BF A E BF A E BFθ⋅====≠， 所以60θ≠︒，所以C 错误， 对于D ，因为AD ⊥平面11DCC D ， 所以1111111111332212C ADF A C DF C DFV V SAD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=，所以D 正确，故选：BD. 11．ABD【分析】根据112(2)()a b a b a b+=++，利用均值不等式判断A ，由条件可化为(1)(1)1a b --=，据此1221111b a b b +=-+---，利用均值不等式判断B ，取特殊值判断C ，根据均值不等式及不等式的性质判断D.【详解】对A ，()1122233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b =，即1a b == A 正确；对B ，由111a b +=可得(1)(1)1a b --=，所以1221111b a b b +=-+≥---11a b ==时等号成立，故B 正确； 对C ，当1112,33a b ==时，221114519992a b +=+=>，故C 错误；对D ，由111a b +=≥2≥，当且仅当2a b ==时等号成立，≥2a b ==时等号成立，2a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：ABD 12．ACD【分析】利用点到直线的距离公式，坐标表示直接比较和直曲联立即可进行判断.【详解】由已知双曲线2212xy -=，渐近线方程为20y =，点()00,P x y 到两条渐近线的距离为12,d d2200122233y x d d -⋅==，故A 正确.因为·cos OAOBOA OB AOB ⋅=⋅∠，作直线x m =，x n =m n ≤< 两直线分别交x 轴上方双曲线于1P ，2P ，交x 轴上方渐近线于1A ，2A ，交x 轴下方渐近线于1B ，2B ，；易知当P 分别与1P ，2P 重合时，此时OA OB ⋅不是定值， 又因为cos AOB ∠为定值，所以·OA OB 不是定值，故B 错误.由已知双曲线方程为2212xy -=，所以()1F ，)2F设(),P P P x y ，所以1PF 2PF =所以((22222212P P P P PF PF x y x y ⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()2222222233312P P P P P P P P P x y x y x y x =+++⋅++-=++-又因为2212P P x y -=，所以222224212392126424p P p p PF PF x x x x ⎛⎫⋅=+-=-+ ⎪⎝⎭又因为()22224242391|34|12P Pp p p x y x P x O x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭两式相减得：22421233P PF PF OP x ⋅-=-+，又因为P x 224212330P PF PF OP x ⋅-=-+<所以212||PF PF PO ⋅<，故C 正确.设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y当直线斜率不存在时，直线方程为)x m m =，由题意易知PA BQ = 当直线斜率存在时，设直线y kx m =+与2212x y -=联立可得()222144220k x kmx m ----= 所以2412P Q kmx x k +=-将直线y kx m =+与渐近线20y =联立可得A x =将直线y kx m =+与渐近线20y =联立可得B x =所以2412A B kmx x k +==-所以P Q A B x x x x +=+，所以PQ 与AB 中点相同， 所以PA BQ =，故D 正确. 故选：ACD【点睛】1.定值问题中通过设出直线，准确地表示出所要求证的定值尤为关键. 2.设计不等式的证明时利用坐标表示进行化简后借助坐标的范围可以进行证明. 3.巧妙的利用直曲联立的结论可以简化运算，提升解题效率. 4.注意特殊值法在小题中的应用. 13．20-【分析】根据第三项与第五项的二项式系数相等可求出n 的值，再利用展开式的通项公式可求出含3x 的项，计算该项系数即可.【详解】由()1nx -的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则24C C n n =，即246n =+=，则()1n x -展开式的通项公式为()()616C 1rrrr T x -+=-，令6r 3-=，则3r =，()()333346C 120T x x ∴=-=-.故答案为：20-.14．22(3)9x y -+=（答案不唯一） 【分析】结合图象求得正确答案.【详解】圆22(4)4x y -+=的圆心为()4,0，半径为2，结合图象可知，圆心为()3,0，半径为3的圆，即22(3)9x y -+=， 与圆22(4)4x y -+=的位置关系是内切. 故答案为：22(3)9x y -+=（答案不唯一）15．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先利用平移变换得到2sin()(0)3y x πωω=->，再根据所得图象恰有3个对称中心在区间(0,)π内，由233ππωππ<-≤求解.【详解】解：函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的周期为2T πω=，则142T πω=， 则将函数()f x 的图象向右平移14个周期后得到2sin()2sin()(0)263y x x πππωωω=-+=->，因为(0,)x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭， 因为所得图象恰有3个对称中心在区间(0,)π内， 所以233ππωππ<-≤，解得71033ω<≤， 所以ω的取值范围为710,33⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：710,33⎛⎤⎥⎝⎦16．1(0,)2e【分析】先利用同构得到()2ln 2e 2ln 0x xa x x +-+=，换元后得到2e 0t a t -=，参变分离得到2e tta =有两个不同的根，构造()e ttg t =，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数图象，数形结合得到120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解出答案即可.【详解】由题意得ln 1e 02xx ax x --=有两个不同的根， 即21e ln 02xax x x --=有两个不同的根，变形为()22e 2ln 0x ax x x -+=，即()2ln 2e2ln 0x xa x x +-+=， 令2ln x x t +=，则2e 0t a t -=， 其中令()2ln h x x x =+，,()0x ∈+∞，()210h x x'=+>恒成立，故()2ln h x x x =+在(0,)+∞单调递增， 得到2ln R x x t +=∈， 故2e tta =有两个不同的根， 令()e t t g t =，则()1e ttg t -'=，R t ∈，当1t >时，()0g t '<，当1t <时，()0g t '>， 故()e t t g t =在1t =处取得极大值，也是最大值，()()max11eg t g ==， 且当0t >时，()0g t >，当0t <时，()0g t <， 画出()e ttg t =的图象如下图：故120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e t t a =有两个不同的根，解得：10,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：1(0,)2e. 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是ln 1e 02xx ax x --=变形得到()22e 2ln 0x ax x x -+=，即()2ln 2e 2ln 0x x a x x +-+=从而构造2e 0t a t -=进行求解.17．【分析】（1）由余弦定理得到222b a c ac =++，结合22232sin a c b ac B +=+得到221)c ac =，从而求出c a =； （2）由余弦定理及22232sin a c b ac B +=+得到sin cos c a B a B =-，从而得到sin cos cB B a=-，结合三角恒等变换及正弦函数图象求出最大值. 【详解】（1）因为2π3B =，由余弦定理得：222222cos b a c ac B a c ac =+-=++， 因为22232sin a c b ac B +=+，所以22223a c a c ac +=+++故221)c ac =0c >，c ∴=，c a ∴=（2）22232sin a c b ac B +=+，由余弦定理：222232cos 2sin a c a c ac B ac B +=+-+，2cos sin c ac B ac B ∴=-+，0c >，sin cos c a B a B ∴=-，故sin cos c B B a =-π4B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵()0,πB ∈，∴当3π4B =时，max ()ca=18．(1)1λ=-，12n n a -= (2)22n T n =【分析】（1）由已知n S 求1a 、n a ()2n ≥，由{}n a 为等比数列求出λ，写出{}n a 通项公式； （2）由（1）写出{}n b 通项公式，由奇偶项和为定值，用并项求和法求2n T .【详解】（1）由2nn S λ=+，当1n =时， 12a λ=+.当2n ≥时，111222n n n n n n a S S λλ---=-=+--=.因为数列{}n a 为等比数列，所以12a λ=+适合12n n a -=，所以1λ=-，12n n a -=（2）由12n n a -=，则()()2211log 12n nn n b a n +=-=-所以()()()2123224684242n n T b b b b n n n =+++⋯=-++-++⋯+-++= 19．(1)2AE =【分析】（1）作出辅助线，求出12ABC S =△，过点C 作CH AB ⊥，由面面垂直得到线面垂直，并求出四棱锥的高，利用体积列出方程，求出AE 的长； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）取BC 中点O ，连,AO5AB AC ==，,6AO BC BC ∴⊥=，∴3BO OC ==，由勾股定理得：4AO =， ∴11461222ABCSAO BC =⋅=⨯⨯=， 过点C 作,CH AB H ⊥为垂足，平面AEFB ⊥平面ABC ，平面AEFB ⋂平面ABC AB =，CH ⊂平面ABC ，CH ∴⊥平面AEFB22122455ABC S CH AB ⨯===，()()65124323265C AEFB BF AE ABAE V CH -+⋅+⨯=⨯⋅=⨯=， 解得：2AE =；（2）如图，以O 为原点，,OC OA 所在直线为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系.∵90FBA ∠=︒，平面AEFB ⊥平面ABC ，平面AEFB ⋂平面ABC AB =，FB ⊂平面AEFB ， ∴FB ⊥平面ABC ，故()()()3,0,0,0,4,0,3,0,6C A F -，()0,4,2E ，3,2,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面AMC 的法向量为(,,)n x y z =，34092402n CA x y n CM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取4x =得：()4,3,3n =， ()6,0,6CF =-，设直线CF 与平面AMC 所成角为θ，则sin cos ,62CF F n nn C CF θ⋅=⋅===20．(1)0.243 (2){3,4,5}【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求概率； （2）令Y 表示余下的90件产品中的不合格品数，依题意知()90,0.1Y B ，可表示出其数学期望，结合题意即可解出x 的所有可能取值.【详解】（1）由题意，3件零件中恰有1件不合格品的概率：123C 0.1(0.9)0.243p =⨯=.（2）令Y 表示余下的90件产品中的不合格品数，依题意知()90,0.1YB ，1028X x Y =+，()()()102810281028900.125210E X E x Y x E Y x x ∴=+=+=+⨯⨯=+，若对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为100x 元，()25210100E X x x =+≤，解得 2.8x ≥，又由5x ≤，N x ∈， 故x 的所有取值集合为{}3,4,5.21．(1)()221840x y x +=≠(2)95【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线C 的方程，去掉不合要求的点；（2）设出直线TA 的方程，联立椭圆方程，得到E 点横坐标，同理设出直线TB 的方程，联立椭圆方程，得到F 点横坐标，利用三角形面积公式及边的比例关系得到2232110020TAB TEFS TA TB S TE TF t t⋅==+⋅++，利用基本不等式求出结果.【详解】（1）12AM BM k k ⋅=-，2212y y x x -+∴⋅=-， 化简得22184x y +=，当M 位于y 轴上时，此时直线AM ，BM 的斜率均不存在，不合题意，舍去故曲线C 的方程为()221840x y x +=≠；（2）设(,3)(0)T t t ≠，则直线TA 的方程为12y x t=+，联立2218412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：22(2)80t x tx ++=，282E tx t ∴=-+， 直线TB 的方程为52y x t=-，联立2218452x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(50)400t x tx +-=，24050F tx t ∴=+. 故1sin 21sin 2TAB TEFTA TB ATBS TA TB S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅==⋅⋅⋅∠()()()2222422222503218402010010250T AT BT E T F t t x x x x tt t t t x x x x t t t t t t t ++--=⋅=⋅==+--++++-++ 2232911100520t t =+≤=++， 当且仅当210t =时等号成立. TAB TEF S S ∆∆∴最大值为95. 【点睛】直线与圆锥曲线结合，求解面积相关的取值范围问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，得到相关三角形的面积，再利用配方法，分离常数或基本不等式等方法求解最值或取值范围，本题要将三角形面积之比转化为线段之比，再转化为相应横坐标或纵坐标的差之比，结合基本不等式进行求解.22．(1)答案见解析(2)](),2∞∞--⋃+.【分析】(1)根据()f x 的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可； (2)根据特殊值法，结合(1)中的结论、导数的性质、分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由2(2)1(1)(1)()e e x x x a x a x x a f x -++------='=， ①当11a +=，即0a =时，因为2(0()1)xx f x --='≤e 恒成立，故()f x 在()-∞+∞，上为减函数； ②当11a +>，即0a >时，由()0f x '<得，1x <或1x a >+；由()0f x '>得，11x a <<+， 所以()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数； ③当11a +<，即a<0时，由()0f x '<得，1x a <+或1x >；由()0f x '>得，11a x +<<， 所以()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数. 综上：当0a =时，()f x 在()-∞+∞，上为减函数； 当0a >时，()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数； 当a<0时，()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数. （2）因为0x ≥时，关于x 的不等式()2e af x ≤恒成立，则()20e a f ≤，即21e a ≤，解得a ≤a ≥①当a ≤由(1)知，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()1f ，故()21e a f ≤，即22e e a a -≤，解得2a ≤-或1a ≥，因为a ≤2a ≤-.②当a ≥由(1)知，()f x 在()0,1和()1,a ∞++上为减函数，在()1,1a +上为增函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()(){}max 0,1f f a +，故()21e a f a +≤，即212e ea a a ++≤，整理得2e 20a a a --≥.记()2e 2,ag a a a a =--≥()e 1,x t x x =--，所以()e 1xt x '=-，当0x <， ()0t x '<，()t x 单调递减；当0x >， ()0t x '>，()t x 单调递增，所以()()00t x t ≥=即e 10,x x --≥则()()232122g a a a a a a a ≥+--=+--，因为函数3y a =和22y a a =--在)+∞上均为增函数，所以())()e 2e 1e 20g a ≥-+->.综上：a 的取值范围是](),2∞∞--⋃+.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．。

2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b -+ 垂直，则λ=（）A.18B.14C.78 D.74【答案】B 【解析】【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅ 的值，然后将“a b λ+与32a b -+ 垂直”等价转换为()()032a b a b λ-⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos601122a ab b a b a b ︒====⋅=⋅=⨯⨯= ，又因为a b λ+与32a b -+ 垂直，所以()()()()221323232320322a ab a a b b b λλλλλ+⋅=-+-⋅+=-+⨯=--++ ，整理得1202λ-+=，解得14λ=.故选：B.3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】D 【解析】【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得π(12)3πl l +==，所以l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则2l l ''=+，解得l '=，所以原圆锥的母线长l l '+=+=，故选：D .4.已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（）x0134ya4.34.86.7A.2.2B.2.4C.2.5D.2.6【答案】A 【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：013424x +++==， 4.3 4.8 6.715.844a a y ++++==，所以样本中心(),x y 为15.82,4a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入回归方程有：15.80.952 2.64a +=⨯+，解得 2.2a =.故选：A .5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos 5α=，则πtan()4α+＝（）A.3-B.13 C.13- D.3【答案】C【解析】【分析】先根据任意角的三角函数求出t，再求出tanα的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知cosα==，解得12t=，所以tan2yxα==-，所以()πtan tanπ2114tanπ412131tan tan4ααα+-+⎛⎫+===-⎪--⨯⎝⎭-，故选：C6.已知数列{}n a通项公式为2322,7494,7nn tn nan n⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n∈N，都有1n na a+>，则实数t的取值范围是（）A.[3,)t∈+∞ B.239[,142t∈ C.239(,)142t∈ D.23[,)14t∈+∞【答案】C【解析】【分析】根据数列的单调性，即可根据263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，以及87a a>求解.【详解】当{}1,2,3,4,5,6n∈时，()()221312123226320n na a n t n n tn n t+-+-++--+-=+=>恒成立，所以263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，故9292t t<⇒<，又当7,Nn n>∈时，494na n=+为单调递增的数列，故要使对任意*n∈N，都有1n na a+>，则87a a>，即2489437142t⨯+>⨯-+，解得2314t>，综上可得239(,142t∈，故选:C7.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π3APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A.51,2⎛ ⎝⎦B.,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(D.)+∞【答案】B 【解析】【分析】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，分析可得2OP b a =≥，可得出b a 的取值范围，由e =可求得e 的取值范围.【详解】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，由切线长定理可知，PA PB =，又因为OA OB =，OP OP =，所以，AOP BOP ≌，所以，1π26APO BPO APB ∠=∠=∠=，则22OP OA b ==，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，且x a ≥，所以，2OP b a ===，所以，12b a ≥，故2c e a ===，故选：B.8.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（）A.6B.12C.14D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()f x 为奇函数，其图象关于直线1x =对称且一个周期为4，再根据当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵()()0f x f x -+=，∴()f x 为奇函数，又∵()()2f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线1x =对称．当[]0,1x ∈时，()23210f x x x '=-+>，()f x 单调递增．由()()()2f x f x f x -=+=-，即有()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4，由()()0f x f x -+=可得，()()40f x f x -++=，所以()f x 的图象关于()2,0中心对称．函数()f x 的简图如下：其中32x =，由1()(2)4f x x =-，∴所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：D ．【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.已知复数2i z =+，1i z x y =+(,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为i -B.z 对应的点在第一象限C.1z z= D.若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图形的面积为2π【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A ：2i z =-，所以z 的虚部为1-，A 错误；对于B ：z 对应的点为()2,1，位于第一象限，所以B 正确；对于C ：z ==，z ==，所以1z z=，C 正确；对于D ：在复平面内11z z -£表示到点()2,1距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以()2,1为圆心1为半径的圆，所以面积为πS =，D 错误，故选：BC10.已知0,0a b >>，21a b +=，则（）A.21a b+的最小值为4 B.ab 的最大值为18C.22a b +的最小值为15D.24a b +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式即可求解BD ，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.【详解】对于A ，0,0a b >>，()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==取等号，故A 错误，1218a b ab +=≥⇒≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==取等号，故B 正确，()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当25b =时，取到最小值15，此时15a =，满足题意，故C 正确，24a b +≥==，当且仅当24a b=，即11,24a b ==时等号成立，所以D 正确故选：BCD11.函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22-上为单调函数，图象关于直线2π3x =对称，则（）A.34ω=B.将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C.若函数()f x 在区间14π(,9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99-D.若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3-【答案】ABD 【解析】【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A ，由函数的平移变换可以判断选项B ，根据函数图象的零点和最值即可判断C ，D.【详解】选项A ：根据题意函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22-上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则ππ22ω-≤-，ππ22ω≤，解得01ω<≤又因为图象关于直线2π3x =，则2πππ23k ω=+，Z k ∈，解得3342kω=+，Z k ∈当0k =时，34ω=符合条件.则A 正确；选项B ：由A 可知3()sin4f x x =向右平移2π3个单位长度后，解析式变成3π3()sin cos 424g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则图象关于y 轴对称.B 正确；选项C ：函数()f x 在区间14π(,)9a 没有最小值，则令34t x =，14π(,)9x a ∈，则37π(,)46t a ∈，当π37π246a -≤<，即2π14π39a -≤<时，没有最小值.C 错误；选项D ：函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，因为πt =时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.所以3π04a -≤<，即4π03a -≤<，D 正确.故选：ABD.12.已知椭圆C ：()222104x y b b+=>的左右焦点分别为1F 、2F，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A.离心率e的取值范围为0,2⎛ ⎪⎝⎭B.当4e =时，1QF QP +的最大值为4+C.存在点Q ，使得210QF QF ⋅=D.1211QF QF +的最小值为1【答案】ABD 【解析】【分析】A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QF QP -+的最大值，从而进而判断；C 项中先求出点Q 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D 项中根据椭圆定义得1224QF QF a +==，并结合基本不等式判断.【详解】对于A项：因为点)P在椭圆内部，所以22114b+<，得224b <<，所以得：0,2c e a ⎛== ⎝⎭，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知124QF QP QF QP +=-+，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，2F 三点共线时，1QF QP +有最大值24PF +，由42c e ==，得2c =，2,02F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以得22PF ==，所以1QF QP +最大值42+，故B 项正确；对于C 项：设(),Q x y ，若210QF QF ⋅=，即：()(),,0c x y c x y ---⋅--=，则得222x y c +=，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，又由A项知：0,2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得(c ea ==∈，又因为224b <<，得)2b ∈，所以得：c b <，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误；对于D 项：由椭圆定义得1224QF QF a +==，所以()121212111114QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭21121122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当122QF QF ==时取等号，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214.设6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=__________．（用数字作答）【答案】364-【解析】【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，令=1x ，则01561a a a a =++++ ①，令1x =-，则01456729a a a a a --=+++ ②，∴①－②得()1352++=728a a a -，所以135364a a a ++=-，故答案为：364-15.现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．【答案】28【解析】【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果．【详解】设没剪之前正方形的边数为1a ，即14a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a =+⨯=．故答案为：2816.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是__________，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为__________.【答案】①.②.44π【解析】【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面11ACC A 与侧面11ABB A 沿着1A A 展开到同一平面内，如下：则11C E EF FB ++长度最小值转化为11C F FB +的最小值，作点1C 关于直线BC 的对称点H ，连接1HB ，交BC 于点F ，则1HB 即为11C F FB +的最小值，也即11C E EF FB ++的最小值，其中1128C C H C ==，11628B C AB AC =+=+=，所以1B H ==，此时可求出4,2BF AF ==，且145B FB ∠=︒，45AFE ∠=︒，故12,2AE AF A E ===，由勾股定理得11EF B F B E =====所以22211EF B F B E +=，由勾股定理逆定理可知，1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，连接1AQ ，由于四边形11A B FE 的外接圆圆心为1B E 的中点Q ，半径为112B E =1AQ =，故OQ ⊥平面11A B FE ，所以OQ 平行于11C A ，取11A C 的中点W ，连接1,OW OC ，则1OW A Q =，且1OC 即为外接球半径，且1OC ===，外接球的表面积为4π44π=.故答案为：，44π【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n an n b a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =+（2）2219344n n n T ++=⋅-【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，211122a a S +=+，即21120a a --=，12a =或11a =-（舍）当2n ≥时，211122n n n a a S ---+=+，又因为222n n n a a S +=+，两式相减得22110n n n n a a a a -----=，整理得()()1110n n n n a a a a --+--= {}n a 为正项数列，∴11n n a a --=数列{a n }为等差数列，公差为1.()1111n a a n n ∴=+-⨯=+【小问2详解】()1313n a n n n b a n +=⋅=+，()()123423334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()2345323334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()()()122345223333313n n n T n ++-=⨯+++++⨯-+⨯291322n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭2219344n n n T ++=⋅-.18.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.（1）若π4B =，求c a 的值；（2）若ABC 是锐角三角形，求22cos B C +的取值范围．【答案】（11（2）1,3)+【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2B C =，即可由三角函数的性质求解.【小问1详解】在ABC 中，π4B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c =+-=+又2()b c a c =+，故2a ac -=，由于0a >，故)1a c =+，得1c a=-.【小问2详解】在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，又2()b c a c =+，故22cos a ac B ac -=，又0a >，故2cos a c B c-=据正弦定理sin sin a c A C=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，sin 2i [πs n cos )si (]n B C C B C =--+，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C +-=，sin si (n )B C C =-,因为,,(0,π)A B C ∈，所以)π,π(B C -∈-，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）2π2cos 2cos 212sin(2)16B C C C C +=++=++,)ππ3(A B C C +==--,因为ABC 是锐角三角形，所以π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得ππC 64<<，2ππ2πC 263<+<,故πsin(2),162C ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭,)π2sin(2)11,36C ++∈)22cos 1,3B C +∈,19.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【答案】（1）分布列见解析，()21E X =（2）1990【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【小问1详解】{}0102030X ∈，，，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 217(10)C 12040P X ====，2173310C C 6321(10)C 12040P X ====，37310C 357(30)C 12024P X ====所以X 的分布为X 0102030P 11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】记“该同学仅答对1道题”为事件M.()2127131219(C 103103390P M =⨯+⨯=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990.20.已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，ACBC⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）通过证明,EF AB EF AC ⊥⊥来证得EF ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角B AD C --的余弦值.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，∵//DE 平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，∴//DE AB ，又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴1//,2OF AB OF AB =∵2AB DE =∴//,OF DE OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵,AB AC ⊂平面ABC ，∴⊥DO AB ，DO AC ⊥，∵//EF DO ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥，∵AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC .【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .∴tan 60DO EF BF ===o(0,0,D .平面ADC 的一个法向量为()0,1,0m = ，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-uuu r ，则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =∴()n = ，∴cos ,4m n m n m n⋅<>== ，由图可知二面角B AD C --为锐角，∴二面角B AD C --的余弦值为34.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()4,6P ，且离心率为2.（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MAB NABS S .【答案】（1）221412x y -=（2）32【解析】【分析】（1）根据题意求出22,a b 即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB 方程为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据122k k +=求出,k m 的关系，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，再根据122k k +=求出m ，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.【小问1详解】由题意得22222163612a b c a a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的方程为221412x y -=；【小问2详解】由题意，点M 坐标为()1,6，点N 坐标为()0,6，设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，221412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22232120k x kmx m ----=，230k -≠且()22Δ124120m k =-+>，且2121222212,33km m x x x x k k++==---，()()()()()()12211212121264646624444kx m x kx m x y y k k x x x x +--++----+=+==----，整理可得()()()121242228160m k x x k x x m -+++--+=，()()2222124222816033km m m k k m k k ⎛⎫+-+⋅+-⋅--+= ⎪--⎝⎭，化简得22128122360m m k k km ---++=，即()()26460m k m k --+-=，因为直线AB 不过点()4,6P ，所以460m k +-≠，所以260m k --=，即26m k =+，所以直线AB 的方程为()26y k x =++，恒过定点()2,6Q -，②若直线AB 斜率不存在，则1212,0x x y y =+=，121212121166121224444y y y y k k x x x x --+--+=+===----，解得122x x ==-，所以直线AB 的方程为2x =-，过定点()2,6Q -，综上，直线AB 恒过定点()2,6Q -，设点M 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，1122132122MAB NAB AB d S d MQ S d NQ AB d ⋅⋅====⋅⋅ .方法二：因为直线AB 不过点()4,6P ，所以可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，即()()22(6)3(4)1262440y x y x ---+---=，()()][()()22(6)3(4)126244460y x y x m x n y ⎡⎤---+---⋅-+-=⎣⎦，得()()()()()22121(6)122446243(4)0n y m n x y m x +-+----+-=，等式左右两边同时除以2(4)x -，得()()()2661211224243044y y n m n m x x --⎛⎫++--+= ⎪--⎝⎭，()()2Δ(1224)41212430m n n m =-+++>，121212661224244121y y m n k k x x n ---+=+=-=--+，解得16m =-，所以直线AB 方程为()()14616x n y -⋅-+-=，即()()2660x n y -++-=，恒过定点()2,6Q -，下同法一.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数23()e 232xa x f x x ax =---．（1）当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（3）若()f x 的最小值为1，求a ．【答案】（1）2(e 1)210x y --+=（2）12a ≤（3）12a =【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；（2）参变分离，构造2e ()2x x g x x -=+，求导，得到其最小值，求出a 的取值范围；（3）注意到(0)1f =，多次求导得到()e 2x l x a '=-，从而分12a =，12a >，0a ≤与102a <<，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案【小问1详解】21()e ,(1)e 22xx f x f =-=-，()e ,(1)e 1x f x x f ''=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1e (e 1)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即2(e 1)210x y --+=．【小问2详解】因为2()e 20x f x ax x a =---≥'在区间[0,)+∞上恒成立，所以2mine 2x x a x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭，令2e ()2x x g x x -=+，则()()()()222e 12e 2()2x x x x xg x x ⋅'-+--=+，令()()()2()e 12e 2x x h x x x x =-+--⋅，则2()e 2x h x x x '=+，当0x ≥时，()0,()h x h x '≥单调递增，()(0)0h x h ≥=，所以()0g x '≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，故min 1()(0)2g x g ==，所以12a ≤．【小问3详解】23()e 2,(0)132xa x f x x ax f =---=，2()e 2,(0)12,x f x ax x a f a =---=-''令()2()e 2x k x f x ax x a -'==--，则()e 21x k x ax '=--，令()()e 21xl x k x ax '==--，则()e 2x l x a '=-，当12a =时，2231()e ,()e 1622x x x x f x x x f x x =-----'=-，则()e 1x k x x '=--，()e 1x l x '=-，当0x <时，()0,()l x k x ''<在(,0)-∞上单调递减，当0x ≥时，()0,()l x k x ''≥在[0,)+∞上单调递增，()(0)0,()k x k k x ''≥=在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0k =，所以，当0x <时，()0,()0,()k x f x f x '<<在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0,()0,()k x f x f x '>>在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1f x f ==．所以12a =适合，当12a >时，当0ln 2x a <<时，()0l x '<，()l x 在(0,ln 2)a 上单调递减，()(0)0l x l <=，()2()e 2x k x f x ax x a -'==--在(0,ln 2)a 上单调递减，因为()(0)120f x f a '<='-<，所以()f x 在(0,ln 2)a 上单调递减，此时()(0)1f x f <=，舍去．当0a ≤时，当0x <时，()e 210x k x ax '=--<，()f x '在(,0)-∞上单调递减，()(0)120f x f a >=-'>'，()f x 在(,0)-∞上单调递增，()(0)1f x f <=，舍去；当102a <<时，当ln 20a x <<时，()e 20,()x l x a k x ''=->在(ln 2,0)a 上单调递增，()(0)0,()k x k f x ''<='在(ln 2,0)a 上单调递减，()(0)120,()f x f a f x >=->''在(ln 2,0)a 上单调递增，此时，()(0)1f x f <=，舍去．综上，12a =．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

2020-2021学年第一学期11月六校联合调研试题高一数学一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“x R ∀∈，2(1)0x -≥”的否定为（ ）A. x R ∀∈，2(10)x -<B. 不存在x ∈R ，2(10)x -< C. 0x R ∃∈，()2010x -< D. 0x R ∃∈，()2010x -≥【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】命题为全称命题，则命题“x R ∀∈，()210x -≥”的否定为0x R ∃∈，()2010x -<． 故选：C ．2. 设集合{1,0}A =-，{1,1}B =-，则A B =（ ）A. φB. {}1-C. {1,1}-D. {1,0,1}-【答案】D 【解析】 【分析】直接根据并集的概念运算求解即可得结果. 【详解】{}1,0A =-，{}1,1B =-，{}1,0,1A B ∴=-．故选：D ．3. 设函数21(),1x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 1 C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式求出1()2f =，再求出2f =即可得解.【详解】函数()21,1x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，12f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2122f f f⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. 1(0)y x x=-≠ B. ()y x x R =-∈C. 2()y x x R =-∈D. ()y x x R =∈【答案】B 【解析】 【分析】分别根据解析式判断函数的单调性和奇偶性可得答案. 【详解】对于A ，函数()10y x x=-≠为奇函数，在定义域内不单调，故A 不符合题意； 对于B ，函数()y x x R =-∈为奇函数，在定义域R 上为减函数，符合题意； 对于C ，函数()2y xx R =-∈为偶函数，不符合题意；对于D ，函数()y x x R =∈为奇函数，且在定义域R 上为增函数，不符合题意． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题关键. 5. “0ab =”是“0a =”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】因为00a ab =⇒=，但是0ab =不能说a 一定为0，所以“0ab =”是“0a =”的必要不充分条件． 故选：A ．6. 已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为（ ）A.B. C. 6 D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由于0a >，0b >且31a b +=，则利用基本不等式可得28a b +≥=，从而可得答案 【详解】因为0a >，0b >且31a b +=，则28a b +≥==，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号，所以28a b +的最小值为故选：A ．7. 对数应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a 的31次方是个35位数，那么根据3431351010a <<，取常用对数得到3435lg 3131a <<，即可得到1.09lg 1.15a <<，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可设这个正整数a ，然后根据题意得出4457451010a <<，转化得出0.77lg 0.79a <<，最后根据表中数据即可得出结果.【详解】设这个正整数为a ，因为a 的57次方是个45位数， 所以4457451010a <<，即4445lg 5757a <<， 则0.77lg 0.79a <<，结合表中数据易知，6a =， 故选：B.8. 关于x 的不等式()22110x x a x x a --+++++>对任意的0x >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. 2a >-B. 1a >-C. 0a >D. 1a >【答案】B 【解析】 【分析】 令()12t x xt -=+≥，利用基本不等式得到t 的范围，把问题转化为210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立，也即()()110t t a ++->对任意的2t ≥恒成立，所以只需min 1a t -<，即可求出结果. 【详解】关于x 的不等式()22110x x a x x a --+++++>对任意的0x >恒成立，即()()21110x x a x x a --++++->对任意的0x >恒成立，令()12t x xt -=+≥，当且仅当1x =时取等号；则210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立， 也即()()110t t a ++->对任意的2t ≥恒成立， 所以只需min 1a t -<， 所以12a -<， 即1a >-． 故选：B ．【点睛】关键点睛：令()12t x xt -=+≥，利用基本不等式得到t 的范围，把问题转化为210t at a ++->对任意的2t ≥恒成立是解决本题的关键.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分．9. 下列命题正确的有（ ）A. 0x ∃<，2210x x --=B. 0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C. x R ∀∈x =D. 1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A ，解方程2210x x --=可判断；对于B ，利用充要条件的定义判断即可；对于C ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，可判断C 错误；对于D ，由必要条件的定义判断即可【详解】对于A ，2210x x --=，解得1x ==±0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确；对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x =不正确，所以C 不正确． 对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确． 故选：AB ．10. 若0b a <<，则下列不等式中恒成立的有（ ） A. b a >B. a b ab +<C. 22bc ac <D. 22a a b b<-【答案】ABD 【解析】 【分析】本题首先可根据0b a <<判断出A 正确，然后根据0a b +<、0ab >判断出B 正确，再然后取0c这种情况判断出C 错误，最后通过()20a b b-<判断出D 正确.【详解】A 项：因为0b a <<，所以b a >，A 正确； B 项：因为0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，B 正确； C 项：当0c时，22bc ac ，C 错误；D 项：因为()2220a b a a b b b--+=<，所以22a a b b <-，D 正确， 故选：ABD ．11. 下列不等式恒成立的有（ ）A.2a b ba+≥B. 1(1)4a a -≤C. 22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D. 222a b c ab bc ca ++≥++【答案】BCD 【解析】 【分析】举特值可知A 不正确，作差比较大小可知BCD 正确. 【详解】对于A ：令1a =-，1b =-，显然错误；对于B ：()2211110442a a a a a ⎛⎫⎛⎫--=--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ：()2222222222220224244a b a b a b a ab b a b a ab b -+++++-+⎛⎫-=-=-=-≤ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ：()()()()22222222220a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-≥，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：作差比较大小是本题的解题关键. 12. 已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 递增区间是[1,1]-D. ()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用奇函数的定义进行判断；对于B ，D ，利用判别式法求其值域；对于C ，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ，()221x f x x =+，其定义域为R ，有()()221xf x f x x -=-=-+，为奇函数，A 正确； 对于B ，221xy x =+，变形可得220yx x y -+=，则有2440y ∆=-≥，解可得11y -≤≤，即函数的值域为[]1,1-，B 正确， 对于C ，()221xf x x =+，任取12,x x R ∈，且12x x <，则 1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 当12,[1,1]x x ∈-，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 的递增区间是[1,1]-，所以C 正确，对于D ，由选项B 的结论，D 错误， 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算83log 9log 16⨯的值是________． 【答案】83【解析】 【分析】根据公式log log m na a nb b m =和1log log a bb a =运算即可.【详解】83log 9log 16⨯()2328log 34log 233=⨯=． 故答案为：83． 14. 已知函数3()||f x ax bx x =-+，,a b ∈R ，且(2)1f -=-，则(2)f 的值是________．【答案】5 【解析】 【分析】根据()()224f f +-=以及(2)1f -=-可得结果.【详解】根据题意，函数()3f x ax bx x =-+，则()2822f a b =-+，()2822f a b -=-++，则有()()224f f +-=，又由()21f -=-，则()25f =， 故答案为：5．15. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(1)(32)0f m f m ++-<，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性的关系进行求解判断． 【详解】()f x 是奇函数，在(],0-∞上是减函数，()f x ∴在R 上单调递减， ()()1320f m f m ++-<， ()()132f m f m ∴+<--，即()()123f m f m +<-，123m m ∴+>-，解得14m >． 故答案为：1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 16. 设集合2,12x x b a b a ⎧⎫=+≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣中的最大、最小元素分别为M 、m ，则M m +的值是________，当x 取最小元素m 时，+a b 的值是________．【答案】 (1). 4+ (2). 【解析】 【分析】由题意分析a 取最小值为1，b 取最大值为2．所以可得最大值；22b a a a+≥+，利用基本不等式即可得到最小值以及x 取最小元素m 时，+a b 的值.【详解】12a b ≤≤≤，a ∴取最小值为1，b 取最大值为2．所以最大值2224M b a=+=+=， 又2222b a a a a a+≥+≥⨯= 当且仅当2a a =时取到等号， 即2b a ==有最小值22m =， 所以422M m +=+当x 取最小元素m 时+a b 的值是22 故答案为：422+，2．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}2|9A x x =<，{|22}B x m x m =-<<+． （1）当2m =时，设全集U =R ，求UA B ；（2）若AB =∅，求实数m 取值范围．【答案】（1）(3,0]UA B ⋂=-；（2）5m ≤-或5m ≥.【解析】【分析】（1）先求解集合,A B ，再利用集合的补集和交集运算求解即可；（2）利用AB =∅，可得23m +≤-或23m -≥，求解即可.【详解】（1）由29x <得(3,3)A =-， 当2m =时，(0,4)B =，(,0][4,)UB =-∞⋃+∞，所以(3,0]UA B ⋂=-．（2）若AB =∅，又(3,3)A =-，{|22}B x m x m =-<<+， 则23m +≤-或23m -≥， 解得5m ≤-或5m ≥，所以实数m 取值范围是：5m ≤-或5m ≥.18. 设正实数x ，y 满足211x y+=．（1）求xy 的最小值，并指出最小值时相应的x ，y 的值； （2）求2x y +的最小值，并指出取得最小值时相应的x ，y 的值． 【答案】（1）最小值是8，4x =，2y =；（2）最小值是9， 3x y ==. 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可；（2）运用基本不等式，结合“1”代换进行求解即可.【详解】（1）因x ，y 是正实数，211x y =+≥=，即8xy ≥， 当且仅当2112x y ==时取等号，有4x =，2y =， 所以xy 的最小值是8，此时4x =，2y =． （2）因x ，y 是正实数，则21222(2)559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22x yy x=时等号，即当3x y ==时取等号，所以2x y +的最小值是9， 此时3x y ==．19. 某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：180y x =-+，2210y x =-，其中580x ≤≤，当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积．当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）平衡价格是30元，平衡需求量是50万件；（2）市场价格是40元时，市场总销售额W 取得最大值，最大值为1600万元． 【解析】 【分析】（1）令12y y =可解得结果；（2）根据题意求出W （万元）关于x （元/件）的函数关系式，再分段求出最大值，取更大的函数值即可得解.【详解】（1）令12y y =，得80210x x -+=-，解得30x =，此时1250y y ==， 所以平衡价格是30元，平衡需求量是50万件．（2）由题意可知：210,53080,3080x x P x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，故22210,53080,3080x x x W x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，当530x ≤≤时，22525210222W x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，即30x =时，max 1500W =；当3080x <≤时，2280(40)1600W x x x =-+=--+， 即40x =时，max 16001500W =>，综述：当580x ≤≤时，40x =时，max 1600W =．答：市场价格是40元时，市场总销售额W 取得最大值，最大值为1600万元．【点睛】关键点点睛：正确理解题意，建立W （万元）关于x （元/件）的函数关系式是解题关键. 20. 已知关于x 的不等式2220a x ax --<的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围．（2）若函数22()2f x a x ax =--的零点是1-和12，求不等式2(1)20ax a x +-+<的解集． （3）直接写出关于x 的不等式2220a x ax --<的解集． 【答案】（1）112a -<<；（2）()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（3）答案见解析.【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用函数的零点是1-和12，求出a 的值，代入不等式求解即可；（3）分0,0,0a a a =><三种情况求解即可. 【详解】（1）由2M ∈得2210a a --<， 解得112a -<<． （2）函数22()2f x a x ax =--零点是1-和12， 即方程120x x a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的两根为1-和12，则11212a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a =-．代入2(1)20ax a x +-+<得22320x x -->， 即12x <-或2x >． 则原不等式解集为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（3）由2220a x ax --<， 当0a =时，20-<恒成立， 原不等式的解集为R ， 当0a ≠时，120x x a a ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当0a >时，原不等式的解集为12x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣， 当0a <时，原不等式的解集为21xx aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣． 综上：当0a =时，原不等式的解集为R ；当0a >时，原不等式的解集为12x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当0a <时，原不等式的解集为21xx a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣． 【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）判断方程根的个数，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根式可直接写出解集，确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.21. 已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，且()f x 单调递增区间是[,)+∞b ．（1）若1()4f x ≥对任意实数x ∈R 都成立，求a ，b 的值． （2）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值-1，求实数b 的值．（3）若2b ≥，对任意的1x ，2[1,2]x b ∈，总有12|()()|23f x f x b -≤+，求实数b 的取值范围 【答案】（1）12b =，1a =-；（2）b =2b =；（3）23b ≤≤. 【解析】 【分析】根据二次函数的单调区间得到2a b =-，2()2f x x bx b =-+， （1）根据214404b b ⎛⎫∆=--≤ ⎪⎝⎭可解得结果；（2）分类讨论对称轴，用二次函数知识求出最小值，结合已知最小值可得结果；（3）转化为对[1,2]x b ∈，max min ()()23f x f x b -≤+，然后利用二次函数知识求出最大最小值代入即可解得结果.【详解】函数2()f x x ax b =++的单调递增区间是[,)+∞b ，则2ab -=，即2a b =-，则2()2f x x bx b =-+． （1）1()4f x ≥即21204x bx b -+-≥对任意实数x ∈R 都成立，则214404b b ⎛⎫∆=--≤ ⎪⎝⎭，即2(21)0b -≤， 故12b =，1a =-． （2）()f x 的对称轴为x b =，①若1b <，则()f x 在(,]b -∞递减，在(,1]b 上递增，min ()()1f x f b ==-，所以2221b b b -+=-，即210b b --=，解得12b ±=，因为1b <，所以12b -=．②若1b ≥，则()f x 在(,1]-∞递减，则min ()(1)1f x f ==-，即2b =，综上，12b -=或2b =． （3）由题意，对[1,2]x b ∈，max min ()()23f x f x b -≤+， 因为2b ≥，所以[1,2]b b ∈，且122b b +<，所以max ()(2)f x f b b ==，2min ()()f x f b b b ==-+， 则2()23b b b b --+≤+，即2230b b --≤，解得13b -≤≤， 又2b ≥，所以23b ≤≤．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；22. 已知函数2()g x k x k =+，()22()214h x x k k x =--++．（1）当1k =时，求函数()()h x y g x =，(,1)x ∈-∞-的最大值； （2）令(),0()(),0g x x f x h x x >⎧=⎨<⎩，求证：对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的实数()212x x x ≠使得()()12f x f x =成立的充要条件是4k =．【答案】（1）4-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）换元后，利用基本不等式求得最大值；（2）充分性：当4k =时，可知()f x 在(0,)+∞上和(,0)-∞上都是单调函数，且值域都是(4,)+∞，所以任意给定的实数1x ，存在惟一的实数()212x x x ≠使得()()12f x f x =成立；必要性：当0k =时，显然不符合题意，因此0k ≠，此时0x >时，()f x 的取值集合(,)A k =+∞，0x <，()f x 的取值集合(4,)B =+∞，由A B ⊆且B A ⊆列式可解得结果.【详解】（1）当1k =时，函数2241x x y x -+=+，(,1)x ∈-∞-，令10t x =+<，则74y t t=+-，此时0t ->，由7()t t ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即7t t+≤-，当且仅当7t，即1x =时取等号，综上，当1x =时，y 最大值是4-． （2）充分性：当4k =时，2164,0()264,0x x f x x x x +>⎧=⎨-+<⎩， 当0x >时，164y x =+在(0,)+∞单调递增，且4y >， 当0x <时，2264y x x =-+在(,0)-∞单调递减，且4y >，若1>0x ，则存在惟一的20x <，使得()()12f x f x =，同理10x <时也成立， 必要性：当0x >时，2y k x k =+，当0k =时，()f x 在(0,)+∞上的值域为{0}，显然不符合题意，因此0k ≠， 当0x >时，()f x 在()f x 的取值集合(,)A k =+∞，0x <，()22()214f x x k k x =--++的对称轴210x k k =-+>，()f x 在(,0)-∞上递减，()(0)4f x f >=，所以()f x 的取值集合(4,)B =+∞，①若1>0x ，()f x 且在(0,)+∞上单调递增，要使()()12f x f x =， 则20x <，且A B ⊆，有4k ≥．②若10x <，()f x 且在(,0)-∞上单调递减，要使()()12f x f x =， 则20x >，且B A ⊆，有4k ≤． 综上：4k =．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。