十七
天体运动的两类典型问题
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.2019年10月11日，我国首颗火星探测器——“火星一号”第一次公开亮相，将在未来实现火星的环绕、着陆和巡视。已知火星绕太阳公转的轨道半径是地球公转轨道半径的1.5倍，火星质量约为地球质量的十分之一，关于火星、地球绕太阳的运动，下列说法正确的是 ( )
A.火星的周期小于地球的周期
B.火星的线速度大于地球的线速度
C.火星的加速度大于地球的加速度
D.太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力
【解析】选D。设太阳质量为M，行星质量为m，根据万有引力提供向心力=m，得T=，由于火星的公转半径比地球的公转半径大，所以火星的公转周期比地球的公转周期大，故A错误；根据万有引力提供向心力有=，解得：v=，由于火星的公转半径比地球的公转半径大，火星的公转速度比地球的公转速度小，故B错误；根据万有引力提供
向心力有=ma，解得：a=，由于火星的公转半径比地球的公转半径大，火星的加速度比地球的加速度小，故C错误；根据万有引力定律得：
==×=，故太阳对火星的万有引力小于对地球的
万有引力，故D正确。
2.如图所示，2019年10月8日三位科学家共享今年诺贝尔物理学奖。以表彰他们“在增进我们对宇宙演化，以及地球在宇宙中地位的理解方面所做出的贡献”。根据他们的研究，太阳系外有一行星围绕着银河系中的一颗类似太阳的恒星运行，假设万有引力常量G正在逐渐减小，则下列说法正确的是 ( )
A.该恒星的第一宇宙速度会变大
B.该恒星表面的重力加速度会变大
C.该行星绕恒星的角速度会变大
D.该行星的运行速度会减小
【解析】选D。设恒星的半径为R，行星的轨道半径为r，该恒星的第一宇宙速度，是在恒星表面附近做匀速圆周运动的运行速度，根据万有引力提供向心力：G=m，得：v=，万有引力常量G正在逐渐减小，则第
一宇宙速度会变小，故A错误；根据重力等于万有引力，该恒星表面的重力加速度g=，万有引力常量G正在逐渐减小，则该恒星表面的重力加速度会变小，故B错误；行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：G=mω2r，可得ω=，万有引力常量G正在逐渐减小，则行星的角速度会变小，故C错误；行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：G=m，可得v=，万有引力常量G正在逐渐减小，则行星的运行速度会变小，故D正确。
3.(2020·全国Ⅲ卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. B. C. D.
【解析】选D。在地球表面上，G=mg①，“嫦娥四号”绕月球做圆周运动由万有引力提供向心力：G=②，由①②解得v===，D正确。
4.一质量为m的火星探测器绕火星运行的轨道半径为r，探测器的运动可
视为匀速圆周运动。若探测器运行的周期为T，火星半径为R，引力常量为G，
则 ( )
A.火星的质量为
B.火星探测器的动能为
C.火星探测器的加速度为
D.火星的密度为
【解析】选D。火星探测器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：G=m r，解得火星的质量M=，故A错误；根据线速度与周期的关系可知为v=，则探测器的动能为：E k=mv2=，故B错误；火星探测器的加速度为a=，故C错误；火星密度为ρ==，故D正确。
5.2020年1月5日，我国发射的实践二十号卫星成功定点在地球同步轨道。在地球上空有许多同步卫星，下列关于地球多个同步卫星的说法中正确的是 ( )
A.它们的质量可能不同
B.它们的速率可能不同
C.它们离地心的距离可能不同
D.它们的向心加速度大小可能不同
【解析】选A。同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，但它们质量可能不同，故A正确；同步卫星离地心的距离相同，运行的速率为：v=，速率相同，故B、C错误；同步卫星的向心加速度大小为：a=，相同，故D错误。
6.已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距离地面高度不计，同步卫星距离地面高度约为地球半径的6倍。则下列结论正确的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
【解析】选C。地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，比较速度用v=rω，比较加速度用a=rω2，同步卫星距地心的距离约为地球半径的7倍，则C正确，D错误；近地卫星与地球同步卫星都是卫星，都绕地球做圆周运动，比较速度用v=，则速度比v2∶v3=∶1，故A、B错误。
二、计算题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)我国的航天事业取得了巨大成就，发射了不同用途的人造地球卫
星，它们在不同的轨道上绕地球运行。若一颗质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地面的距离为h，已知引力常量G、地球质量M和地球半径R。
(1)求地球对卫星万有引力的大小F；
(2)卫星绕地球运行的线速度。
【解析】(1)由万有引力定律得：
F=G
(2)由万有引力提供向心力，有：
G=m
得：v=
答案：(1)G(2)
8.(12分)2019年10月17日，我国成功将通信技术试验卫星四号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若该卫星绕地心做匀速圆周运动，距离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。(忽略地球自转的影响)求：
(1)地球的质量；
(2)卫星所在轨道处的重力加速度g1；
(3)卫星的运行速度v。
【解析】(1)忽略地球自转的影响，在地球表面物体的重力等于地球对物体的引力，有：
G=mg，
解得：M=
(2)卫星在轨道处受到的重力等于地球对卫星的引力，则有：G=mg1解得：g1==g
(3)根据万有引力提供向心力，得：
G=m
解得：v=R
答案：(1)(2)g (3)R
(15分钟·40分)
9.(6分)“嫦娥之父”欧阳自远预计我国将在未来实现火星的着陆巡视，并实现火星的采样返回。已知地球的质量约为火星质量的N倍，地球的半径约为火星半径的K倍，则下列说法正确的是( )
A.地球的密度是火星的倍
B.地球表面的重力加速度是火星表面的倍
C.地球的第一宇宙速度是火星的倍
D.地球同步卫星的运行速度是火星的倍
【解析】选B。密度ρ==∝，已知地球的质量约为火星质量的N 倍，地球的半径约为火星半径的K倍，故==，故A错误；星球表面的重力加速度为：g=，故==，故B正确；第一宇宙速度为：v=，故==，故C错误；由于题目中不知道星球的自转情况，故无法比
较其同步卫星的运动速度，故D错误。
10.(6分)2019年6月25日02时09分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第四十六颗北斗导航卫星，北斗卫星导航系统包括5颗静止轨道卫星(同步卫星)和几十颗非静止轨道卫星，将为全球用户提供高精度、高可靠性的定位、导航服务。若静止轨道卫星离地球表面的高度为h，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则静止轨道卫星正下方地面上的物体随地球自转的线速度大小
为 ( )
A. B.R
C. D.
【解析】选C。同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心
力，得：G=mω2(R+h)，在地球表面上，由m′g=G得：GM=gR2。联立得：ω=，同步卫星与地面上物体具有相同的角速度，则线速度大小为：v=ωR=·，故C正确，A、B、D错误。
11.(6分)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x 间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【解析】选A、C。在星球表面，根据万有引力等于重力可得=mg，则GM=R2g，所以有：Gρ·πR3=R2g，解得：ρ=，根据图像可知，在M 星球表面的重力加速度为g M=3a0，在N表面的重力加速度为g N=a0，星球M 的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，故A正确；加速度为零时受力平衡，根据平衡条件可得：m P g M=kx0，m Q g N=2kx0，解得：=，故B错
误；物体P与物体Q分别处于各自的平衡位置(a=0)时，它们的动能最大。根据图像面积可得：
E kP=m P·3a0·x0
E kQ=m Q·a0·2x0
所以==4，故C正确；根据简谐运动的特点可知，P下落过程中弹簧最大压缩量为2x0，Q下落过程中弹簧最大压缩量为4x0，Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍，故D错误。
12.(22分)如图为中国月球探测工程的想象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量；
(3)环绕月球表面的宇宙飞船的速率是多少？
【解析】(1)物体在月球表面做平抛运动，
水平方向上有：x=v0t
竖直方向上h=g月t2
计算得出月球表面的重力加速度：
g月=
(2)设月球的质量为M月，对月球表面质量为m的物体列牛顿第二定律方程，有
G=mg月
计算得出：M月=
(3)设环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率为v，则有：mg月=m
计算得出：v=
答案：(1)(2)(3)
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人教版物理必修二天体运动测试题（含参考答案） 总分：100分 时间：60min 一、选择题（除特殊说明外，本题仅有一个正确选项，每小题4分，共计40分） 1． 人造卫星在运行中因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道半径会慢慢减小，在半径缓慢变化过程中，卫星的运动还可近似当作匀速圆周运动。当它在较大的轨道半径r 1上时运行线速度为v 1，周期为T 1，后来在较小的轨道半径r 2上时运行线速度为v 2，周期为T 2，则它们的关系是 （ ） A ．v 1﹤v 2，T 1﹤T 2 B ．v 1﹥v 2，T 1﹥T 2 C ．v 1﹤v 2，T 1﹥T 2 D ．v 1﹥v 2，T 1﹤T 2 2. 土星外层上有一个土星环,为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群,可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断 ① 若v R ∝,则该层是土星的一部分 ②2v R ∝,则该层是土星的卫星群. ③若1v R ∝,则该层是土星的一部分 ④若21v R ∝,则该层是土星的卫星群.以上说法正确的是 A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 3.假如地球自转速度增大,关于物体重力的下列说法中不正确的是 ( ) A 放在赤道地面上的物体的万有引力不变 B.放在两极地面上的物体的重力不变 C 赤道上的物体重力减小 D 放在两极地面上的物体的重力增大 4．在太阳黑子的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落。大部分垃圾在落地前烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是（ ） A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的 B ．太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面
天体运动中的几个“另类”问题 江苏省靖江市季市中学范晓波 天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠 基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测 量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、 表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（） A．，， B．，， C．，， D．，， 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨 道运动，由于而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即，卫星又做稳定的圆周运动。
如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加的数 值超过原先减少的数值。所以、，又由可知。 解：应选C选项。 说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力， 要使卫星改做圆周运动，必须满足和，而在远点明显成立，所以 只需增大速度，让速度增大到成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线 速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。
曲线运动 一、曲线运动 （1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。 ①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平抛运动； ②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。 （2）特点： ①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。 ②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。 ③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。 ④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90度时，物体做曲线运动速率将不变。 2.运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解） （1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性 ①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。 ②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。 ③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响 ④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则 ⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的 （2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。 ①物体的实际运动是合运动 ②速度、时间、位移、加速度要一一对应 ③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则 3.小船渡河问题 一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ，船在静水中的速度为V c （1）渡河时间最短： 设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=V c sin θ,渡河所需时间为：θsin c V L t = ， sin90=1当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，c V L t = m in （与水 速的大小无关） 渡河位移：222t v L s s += （2）渡河位移最短： ①当V c >V s 时V s = V c cos θ渡河位移最短L s =min ；渡河时间为θ sin v L t = 船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosV s /V c ②当V c >V s 时以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，V c =V s cos θ,船头与河岸的夹角为：θ=arccosV c /V s 。 渡河的最小位移：L V V L s c s ==θcos
万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：v v >远近 开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体 才可以列比例，太阳系： 333222 ===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：221r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭 秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质 心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 3224R GM T π =
天体运动中的几个“另类”问题 天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（） A．，， B．，， C．，， D．，， 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨道运动，由于而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即，卫星又做稳定的圆周运动。
如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加 的数值超过原先减少的数值。所以、，又由可知。 解：应选C选项。 说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力 ，要使卫星改做圆周运动，必须满足和，而在远点明 显成立，所以只需增大速度，让速度增大到成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星 的线速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。
速的大小无关） 渡河位移：s L2 v s2t2 （2）渡河位移最短： ①当V c>V s时V s= V c cos θ渡河位移最短s min L ；渡河时间为t L vsin 船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosV s/V c ②当V c>V s 时以V s的矢尖为圆心，以V c为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，的夹角为：θ =arccosV c/V s。 渡河的最小位移：s L V s L cos V c V c =V s cos θ, 船头与河岸 曲线运动 一、曲线运动 （1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。 ①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平 抛运动； ②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。 （2）特点： ①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。 ③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90 度时，物体做曲线运动速率将不变。 2.运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解） （1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。 ②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响 ④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的 （2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。①物体的实际运动是合运动 ②速度、时间、位移、加速度要一一对应③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则3.小船渡河问题 一条宽度为L 的河流，水流速度为V s，船在静水中的速度为V c （1）渡河时间最短： 设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=V c sin θ, 渡河所需时 间为：t L V c sin sin90=1 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t min L V c 与水
4、定运行速率：s km /0.3=υ 例3．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12h 内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速 度为g ，地球的自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。 例4．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2;地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3.地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等.则（ ） A.F 1=F 2＞F 3 B.a 1=a 2=g ＞a 3 C.v 1=v 2=v ＞v 3 D.ω1=ω3＜ω2 三、“天体相遇”模型 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近，条件是)3,2,1(221 ==-n n t t πωω 两天体相距最远，条件是)3,2,1()12(21 =-=-n n t t πωω 例5．A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。 （1）求卫星B 的运动周期 （2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上）则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？ 答案： 四、“地球自转忽略”模型 在地球表面，分析计算表明，物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m 的物体的 重力等于所受的地球引力，即 2R Mm G mg =。所以，地表附近的重力加速度为31 22)4arcsin(gT R T t ππ=
天体运动与航天 = G M m R 2→2 gR M G = ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公 转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有：2 222?? ? ??==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：2 3224GT r G r v M π== ρ=V M =33 4R M π=3223R GT r π 由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度 【例题分析】 1、某人质量为50kg ，若g 取9.8m/s 2 ，G ＝6.67×10-11 N ·m 2 /kg 2 ，地球半径R ＝6.4×106 m ，试求地球的质量。 2、登月火箭关闭发动机在离月球表面112km 的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km ，根据这组数据计算月球的质量和平均密度。 8．23 7.1610M =? ，3 3 2.710kg m ρ=? 3、中子星是由中子组成的密集星体,具有极大的密度.已知某中子星的自转角速度W=60πrad/s,为使中子星不因自转而 瓦解,其密度至少为多大?又已知某中子星的密度是1×1017 kg /m 3 ，中子星的卫星绕中子星做圆周运动,试求卫星运动的最小周期. 17 .1.3*1014 kg/m 3 1.2*10-3s 4、若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出（ B ） A ．某行星的质量 B ．太阳的质量 C ．某行星的密度 D ．太阳的密度
天体运动万有引力定律的应用 1．如图所示，土星和火星都在围绕太阳公转，根据开普勒行星运动定律可知 A. 土星远离太阳的过程中，它的速度将减小 B. 土星和火星绕太阳的运动是完美的匀速圆周运动 C. 土星比火星的公转周期大 D. 土星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大 2．在物理学发展过程中，很多科学家做出了巨大的贡献，下列说法中符合事实的是 A. 从今天看来，哥白尼提出的“日心说”是正确的 B. 牛顿提出了万有引力定律 C. 开普勒认为太阳系中各大行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D. 第谷首先提出了地球绕太阳的运动轨道是椭圆轨道运动而不是圆轨道 3．下列说法中符合物理史实的是 A. 伽利略发现了行星的运动规律，开普勒发现了万有引力定律 B. 哥白尼创立地心说，“地心说”是错误的, “日心说”是对的,太阳是宇宙的中心 C. 牛顿首次在实验室里较准确地测出了万有引力常量 D. 牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律 4．假设人造地球卫星做匀速圆周运动，当它的轨道半径增大到原来的2倍时（） A. 根据2F m r ω=，卫星受到的向心力增为原来的2倍 B. 根据2v F m r =，卫星受到的向心力减为原来的12 C. 根据2Mm F G r =，卫星受到的向心力减为原来的14 D. 根据F mg =，卫星受到的向心力保持不变 5．我国月球探测活动的第一步“绕月”工程和第二步“落月”工程已按计划在2013年以前顺利完成。假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，下列判断正确的是 A. B. 飞船在A 点处点火变轨时，动能增大
天体运动中的几个“另类”问题 解决的原理及方法比较单一， 处理的基本思路是： 将天 根据万有引力提供向心力列方程， 向心加速度按涉及的运 动学量选择相应的展开形式。 2 如有必要，可结合黄金代换式」… '简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠 基本思路和方法，会让人感觉力不从心， 甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这 就要求我们必须从根本上理解它们的本质， 把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以 然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用， 绕地球运转的轨道会慢慢改变。 每次测 量中卫 星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为 B.〔，二 C D ■ 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小， 速度减小后的卫星不能继续沿原轨 亠 Mm v ,a 卧吗二桝一 道运动，由于 ，” ，而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平 Mm v ,,a - G —7- = F^= m —— 衡，即?厂 ，卫星又做稳定的圆周运动。 天体运动部分的绝大多数问题, 体的运动近似看成匀速圆周运动 , ■，后来变为［，以’1、 -亠表示卫星在这两个轨道上的线速度大小, 周期，则（） 订、丄表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的 *
如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加的数 值超过原先减少的数值。所以I ■二，又由’—：可知1,。 解：应选C选项。 说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此， 分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 F＞懈—以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力，， 要使卫星改做圆周运动，必须满足. :'和-_ ■，而-_ ■在远点明显成立，所以 v2 禰—二F 只需增大速度，让速度增大到“成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用 下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为亠，质量分别为j 1和"二试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3 ）双星的线 速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同 时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相
高一物理必修二公式大全 一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平=S/t （定义式） 2.有用推论Vt^2 –Vo^2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+V o)/2 4.末速度Vt=V o+at 5.中间位置速度Vs/2=[(V o^2 +Vt^2)/2]1/2 6.位移S= V平t=V ot + at^2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t 以V o为正方向，a与Vo同向(加速)a>0；反向则a<0 8.实验用推论ΔS=aT^2 ΔS为相邻连续相等时间(T)内位移之差 9.主要物理量及单位:初速(V o):m/s 加速度(a):m/s^2 末速度(Vt):m/s 时间(t):秒(s) 位移(S):米（m）路程:米速度单位换算：1m/s=h 注：(1)平均速度是矢量。(2)物体速度大,加速度不一定大。(3)a=(Vt-V o)/t只是量度式，不是决定式。(4)其它相关内容：质点/位移和路程/s--t图/v--t图/速度与速率/ 2) 自由落体 1.初速度Vo=0 2.末速度Vt=gt 3.下落高度h=gt^2/2（从V o位置向下计算） 4.推论Vt^2=2gh 注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速度直线运动规律。 (2)a=g= m/s^2≈10m/s^2 重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下。 3) 竖直上抛 1.位移S=V ot- gt^2/2 2.末速度Vt= V o- gt （g=≈10m/s2 ） 3.有用推论Vt^2 –V o^2=-2gS 4.上升最大高度Hm=V o^2/2g (抛出点算起) 5.往返时间t=2Vo/g （从抛出落回原位置的时间） 注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值。(2)分段处理：向上
高一物理公式总结 一、质点的运动（2）----曲线运动万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度Vx= Vo 2.竖直方向速度Vy=gt 3.水平方向位移Sx= Vot 4.竖直方向位移(Sy)=gt^2/2 5.运动时间t=(2Sy/g)1/2 (通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt=(Vx^2+Vy^2)1/2=[Vo^2+(gt)^2]1/2 合速度方向与水平夹角β: tgβ=Vy/Vx=gt/Vo 7.合位移S=(Sx^2+ Sy^2)1/2 , 位移方向与水平夹角α: tgα=Sy/Sx＝gt/2Vo 注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成。(2)运动时间由下落高度h(Sy)决定与水平抛出速度无关。（3）θ与β的关系为tgβ＝2tgα 。（4）在平抛运动中时间t是解题关键。(5)曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时物体做曲线运动。 2)匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf 3.向心加速度a=V^2/R=ω^2R=(2π/T)^2R 4.向心力F心 =Mv^2/R=mω^2*R=m(2π/T)^2*R 5.周期与频率T=1/f 6.角速度与线速度的关系V=ωR 7.角速度与转速的关系ω=2πn (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(S):米(m) 角度(Φ)：弧度（rad）频率（f）：赫（Hz）周期（T）：秒（s）转速（n）：r/s 半径(R):米（m）线速度（V）：m/s 角速度（ω）：rad/s 向心加速度：m/s2 注：（1）向心力可以由具体某个力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直。（2）做匀速度圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，但动量不断改变。 3)万有引力 1.开普勒第三定律T2/R3=K(=4π^2/GM) R:轨道半径T :周期K:常量(与行星质量无关) 2.万有引力定律F=Gm1m2/r^2 G=6.67×10^-11N·m^2/kg^2方向在它们的连线上 3.天体上的重力和重力加速度GMm/R^2=mg g=GM/R^2 R:天体半径(m) 4.卫星绕行速度、角速度、周期V=(GM/R)1/2 ω=(GM/R^3)1/2 T=2π(R^3/GM)1/2 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=7.9Km/s V2=11.2Km/s V3=1 6.7Km/s 6.地球同步卫星GMm/(R+h)^2=m*4π^2(R+h)/T^2 h≈3.6 km h:距地球表面的高度 注:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F心=F万。(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等。(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同。(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小。(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9Km/S。 机械能
必修二天体运动 1．万有引力定律揭示了自然界中物体间一种基本相互作用规律.下列说法正确的是 A.牛顿不仅提出了万有引力定律，并较为精确的测出了引力常量 B.人造地球卫星绕地球的向心力由地球对它的万有引力提供 C.万有引力定律只适用于天体，不适用于地面上的物体 D.宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 2．如图,火星和地球绕太阳的运动可以近似看做在同一平面内沿同一方向的匀速圆周运 动,已知火星轨道半径r 1=2.3× 1011m,地球轨道半径为r 2=1.5×1011m,根据你所掌握的物理和天文知识,估算火星与地球相距最近所需的最短时间间隔约为 A.1年 B.2年 C.3年 D.4年 3．北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS), 建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星,下列说法中正确的是 A.它们运行的线速度一定不小于7.9 km/s B.地球对它们的吸引力一定相同 C.一定位于空间同一轨道上 D.它们运行的加速度一定相同 4．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年,该行星会运行到日地连线的 延长线上,如图所示。该行星与地球的公转半径之比为 A.(N +1N )2 3 B.( N N?1 )2 3 C.(N +1N )3 2 D.( N N?1 )3 2 5．据报道,天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”,名为“55 Cancri e”,该行 星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1 480,母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同,“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动,则“55 Cancri e”与地球的 A.轨道半径之比约为 60480 3 B.轨道半径之比约为 60 4802 3
第三章万有引力定律 第1节天体运动 [导学目标] 1.了解地心说和日心说的基本内容.2.知道描述行星运动的规律——开普勒三定律.3.知道人们对行星运动的认识过程是漫长的，了解观察对天体正确认识的重要性.4.了解处理行星运动问题的基本思路． 1．太阳系有八大行星．行星围绕______转，卫星围绕______转，月球围绕________转． 2．地球绕太阳公转周期为__________，月球绕地球转动周期为____天． 3．椭圆上某点到两个焦点的距离之和与椭圆上另一点到两个焦点的距离之和 ________. 一、地心说与日心说 [问题情境] 1．人类最初通过直接的感性认识建立了“地心说”，“地心说”的最先倡导者是古希腊的哲学家亚里士多德． 假设你是两千三百多年前的亚里士多德，根据直接的感性认识，会对地球、太阳、行星的运动持有什么观点？ 2．哥伦布和麦哲伦的探险航行已经使不少人相信地球并不是一个平台，而是一个球体．哥白尼就开始推测是不是地球每天围绕自己的轴线旋转一周呢？他假想地球并不是宇宙的中心，它与其他行星都围绕着太阳做匀速圆周运动，这个模型叫“日心说”．“日心说”的内容是什么呢？ [问题延伸] 哥白尼的“日心说”提出后，他的思想及其著作几乎在一个世纪中完全被人们所忽视，主要原因是什么呢？
[即学即用] 1．下列说法都是“日心说”的观点，现在看来其中正确的是( ) A ．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动 B ．地球是绕太阳运动的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同 时还跟地球一起绕太阳运动 C ．天体不动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象 D ．与日地距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多 二、开普勒行星运动定律 [要点提炼] 1．开普勒三定律 (1)第一定律(又称轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在所有椭圆 的一个______上．如图1所示． 图1 (2)第二定律(又称面积定律)：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过______的面积．如图2 所示． 图2 (3)第三定律(又称周期定律)：行星轨道半长轴的______与公转周期的________的比值是 __________，即r 3 T 2＝k.其中r 代表椭圆轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个与行星无关的常量． 2．对定律的理解 (1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的转动，也适用于____________的转动． (2)由第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度________，而离太阳较远时，速度 ________． (3)在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k 值均相同；但对不同的天体系统k 值 ________．k 值的大小由系统的________决定． 图3 例1 如图3所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( ) A ．v b ＝b a v a B ．v b ＝ a b v a C ．v b ＝a b v a D ．v b ＝ b a v a
万有引力定律理论的成就练习题 1．若把地球视为密度均匀的球体，从地面挖一小口井直通地心，将一个小球从井口自由释放，不计其他阻力，下列关于小球的运动的说法中，正确的是 （ ） （A ）小球做匀加速下落 （B ）小球做加速运动，但加速度减小 （C ）小球先加速下落，后减速下落 （D ）小球的加速度和速度都增大 2．如果在某一行星上以速度V 。竖直上抛一小球，测出这小球能上升的最大高度h ，则由此可计算出 （ ） （A ）这行星的质量和密度 （B ）这行星的自转周期 （C ）这行星上的第一宇宙速度 （D ）绕这行星的卫星的最大加速度 3.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和2T ,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为1g 、2g ，则 （ ） A ．4/31122g T g T ??= ??? B ． 4/31221g T g T ??= ??? C ． 21122g T g T ??= ??? D ． 2 1221g T g T ??= ??? 4一颗人造地球卫星距地面的高度为h,设地球半径为R ，卫星运动周期为T ，地球表面处的重力加速度为g,则该同步卫星的线速度的大小应该为 ( ) A ．g R h )(+ B ．2π（h+R ）/T C ．)/(2R h g R + D ．Rg ．下列有关行星运动的说法中，正确的是 （ ） （A ）由 = v/r ，行星轨道半径越大，角速度越小 （B ）由a = r 2，行星轨道半径越大，行星的加速度越大 （C ）由a = v2/r ，行星轨道半径越大，行星的加速度越小 （D ）由G = mv2/R ，行星轨道半径越大，线速度越小 5．设行星A 和B 是两个均匀球体，A 和B 的质量之比mA:mB ＝2:1；A 与B 的半径之比RA:RB ＝1:2，行星A 的卫星a 沿圆轨道运行的周期为Ta ，行星B 的卫星b 沿圆轨道运行的周期为Tb ，两卫星的圆轨道都非常接近各自的行星表面，则它们运动的周期之比为 （ ） （A ）Ta: Tb =1:4 （B ）Ta: Tb =1:2 （C ）Ta: Tb =2:1 （D ）Ta: Tb = 4:1 6．假如地球自转的速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的是 （ ） （A ）放在赤道地面上的物体的万有引力不变 （B ）放在两极地面上的物体的重力不变 （C ）放在赤道地面上的物体的重力不变 （D ）放在两极地面上的物体的重力增大