微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法
摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999
高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()
n n y
D y
=，将方程写成 3
2
230D y D y Dy --=
或3
2(23)0
D
D D y --=
我们熟知，其实首先要解特征方程
32230
D D D --=
得0,1,3D =-故知方程有三特解
31,,x x
e e -，由于此三特解为线性
无关，故立得通解 31
23x
x
y C C e
C e -=++
注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是
1111()()()
()()
n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx
a x y f x ---=++++=L
其中系数1
(),,()n
a x a x L 是某区间
(,)
a b 上的连续函数，上述方
程又可写成
11()(()())n n n L y D a x D a x y
-≡+++L
()
f x =
可以把上面括号整体看作
一种运算，常称为线性微分
算子。本题中各()i
a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解
写
成
32(6116)0
D D D y -+-=
从特征方程 3
206116
D
D D =-+-
(1)(2)(3)
D D D =---
解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x
x x
y C e
C e C e =++
3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 3
2(3913)0
D
D D y -++=
或 2
(1)(413)0
D D D y +-+=
特征方程 2
(1)(413)0
D D
D +-+=有根
1,23D i =-±，故对应的特解是
x
e -，2cos3x
e
x
，
2sin 3x
e x
从而通解是
221
23cos3sin 3x x x y C e C e x C e x
-=++
4.求(4)
45440
y y y y y ''''''-+-+=之通
解.
解 写成
4
32(4544)0
D
D D D y -+-+=
或 2
2
(2)(1)0
D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的
特解应是22,,cos ,sin x
x e
xe x x
，故写
成通解
21234()()cos sin x y x e C C x C x C x
=+++
5.求1
(cos )y y x -''+=的通解
解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2
(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为1
1
2
cos sin y C x C x =+
设原方程有特解形为 *
1
2
()cos ()sin y C x x C x x =+
其中1
2
,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组
121
12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )
C x x C x x C x x C x x x -?''+=??
''''+=??
或
121
12()cos ()sin 0
()sin ()cos (cos )
C x x C x x C x x C x x x -?''+=??
''-+=??
(方程组右端为原方程非
齐次项1
(cos )x -)，解得
1sin ()cos x
C x x
'=-，2
()1C x '= 或 1
()ln cos C x x =，2
()C x x =
最后得通解为 1
*
()()()y x y x y x =+
12
cos sin cos ln cos sin C x C x x x
x x
=+++
注 对常系数方程，在应用
上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程
(1)(4)
24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)1
2
x
x
y C e C e -=+
3
4
(cos 2sin 2)x
e C x C x -++
(2)1
2
(cos sin )2
2
x
x x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题
(1)330;y y y y ''''''-+-=
(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===
(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+==== 解 (1) (1)x
y e x =+
(2) x
y x e -=+
8.求解非齐次方程
21
(0)y y y x x x
'''+
+=≠
解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x '''++=的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解
1
2
sin cos ,x x
y y x x
==
令
12sin cos ()()
()x x
y x C x C x x x
=+
考虑方程组
1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x x
x x C x C x x x x ?''+=???
?''''+=??
最后解得
1
()sin C x x =，2
()cos C x x = 故原方程的通解为
12
sin cos 1()x x y x C C x x x
=++ 注 我们说过，高阶方程中
最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐
次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元
的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法
9.求解
2
56y y y x '''++= 解 写成 2
(2)(3)D D y x ++= 故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为
231
1
2
()x
x
y x C e C e --=+
今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*
()y x 满足 *2
(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*
()y x
*2
1
()(2)(3)
y x x D D =++
2
22
22222
2
2222
22222222211
(
)23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111
(()())224111(()())
33911122()()223391561x D D x x D D x x D D
D D x D D x D D x D D x
x x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +
通解为
*123212()()()1519
618108
x
x
y x y x y x C e
C e
x x --=+=++-+
注 本题所用的方法即微分
算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运
算来处理，上法中1
(2)(
3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D +展开或读作除数，最后，又将2
,,D D L 恢复其
运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。 上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。 10.给定一个微分算子 1
1
1
n
n n
n n
L D a D a D a --=++++L (,1,2,,)i
a i n =L 为常数
则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x (())()n
L g x f x =
今定义逆运算1
(())()n
f x
g x L
= g
恰为微分方程(())()n
L g x f x =的
一个特解。
证明下列事实：
(1)给定f 后，g 不唯一 (2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立
111
(()())(())(())n n n
ah x bg x a h x b g x L L L +=+
(3)设有另一微分算子11
m
m m
L D a D -=++L m
a +，则
1
111(())(())m m n
n
g x g x L
L L L =
(4)有下式成立
1111(())(())()()k
n k g x g x L D D ρρλλ=--L
证明 (1)设1
()g x 是方程()0n
L y =的特解，则有
1
(()())(())()n
n
L g x g x L g x f x +== 故
1
1
(())()()n
f x
g x g x L
=+ (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出
11.给定n
L 如上题，证明下列性质：
(1)设()0F k ≠，此处11
()n
n F a λλλ-=++L 1n n
a a λ-++为多项式(与n
L 对应)，则
11()
kx kx
n
e e L
F k = 当k ρ≠时
11kx
kx
e e D k ρ
ρ
=
--
(2)11
()()()()
kx kx n n e f x e f x L D L D k =+g 特别 11
()()()
()kx kx
m
m
e f x e f x D D ρ=-g
(3)当()F λ为偶次多项式，
()0
F ik ≠，则
11
sin sin ()()
n kx kx L D F ik =，其中
1
i =-
对cos kx 也有类似公式 特别，对一般的()n
L D ，当()0F ik ≠时， 11
sin ()sin ()()()
n
n n n
kx L D kx L D L ik L ik =-- 证明 (1)因()()kx kx
D e k e ρρ-=-，故有
1
()()
kx kx
e k e D ρρ=-- 于是
11111()()()
1
()()()1
()
kx kx
n n
kx
n n
kx
e e L D D D e
D D k e F k ρρρρρ-=--=---=L L L (2)()()
kx
D e
g x ρ-
()()()[()()()]()()
kx kx kx kx kx
ke g x e g x e g x e Dg x k g x e D k g x ρ
ρρ'=+-=+-=+-g
今令
1()(())g x f x D k ρ
=+- 则()(())()D k g x f x ρ+-=，
代入上式得
1
()(())()
kx
kx D e f x e f x D k ρρ
-=+-
或11(())()()
kx
kx
e f x e f x D k D ρρ=+-- 一般公式可由此逐步推出
(3)因22
(sin )()sin D kx ik kx =，故
22
()sin (())sin D kx ik kx ρρ-=- 从而
2
2
1
sin (())sin kx ik kx D ρρ=-- 当()F λ为偶多项式时 22
1
()()()n L D D D k ρ=--L ， 故一般公式由上式逐步推出 注 (1)1
n
L
还有另一性质，我们述而不论：
1
11
11100
1()
()()
()
m m n n n n m m i m i m i m
i m i m r x b x D a D a D a b x b D x b D x b ββ----∞
==++++++++=++=++∑∑L L L L
(2)当()0F ik =时，此时宜用Euler 公式
cos sin ikx
e kx i kx =+
如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》
(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础
由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。
12.求下面方程的特解
2
22
6x
d y
y e dx
-= 解
2222211()(6)62121
x x x
y x e e e D =
==--
13.求方程2442x
y y y e '''-+=的一个特解
解 22
1
()24
4
x
y x e D D =-+ 22
22221
2
(2)
1
21
(22)1
21
x x x e D e D e D =-=+-=g g
设
2
11()g x D =g ，则2
()1D g x =，
即可知
21()2
g x x =
故最后可得
22()x
y x x e =
也可以直接安照文登考研书的解法即
22
22
22221
()244
1
2(2)1
22x
x
x x
y x e D D e D x e x e =
-+=-==
14.解x
y y e ''-=
解 2
111()1(1)(1)x
x
y x e e D D D ==--+
1
1111121
22
x
x x e e xe D D ===-g
得通解为
121()2
x
x x
y x xe C e C e -=++
15.求下面方程特解 2
552y y x x '''-=-+
解 2
2
1
()(52)5y x x x D D
=-+-
22222223
11
(52)
5111()(52)
515
11()[1()](52)
555111
()[52(102)
551(10)]2511
()[5]
5113x x D D x x D
D D D
x x D x x x D x D x x D =
-+-=--+-=-++-+=--++-++-=--==
16.求2
6535x
y y y e x '''-+=-+ 解 显然1
2
()()()y x y x y x =+
其中12
1
()(3)6
5
x
y x e D D =--+
1
(3)(1)(5)
x
e D D --- 2
2
1
()(5)(1)(
5)
y x x D D =-- 今有
11111()(3)
(3)15115
x x
y x e e
D D D =-=-----
3131314144
x x x e e xe D D ===-g
22111
()()(5)
415y x x D D =-+--
222
221111()(5)4151511(1(1))(5)455256212255
x D D D D D D x x x =---=++--+=++
最后得
236212
()4
255
x
y x xe x x =+
++
17.求6cos23sin 2y y x x ''+=+的特解 解 1
2
()()()y x y x y x =+ 22
22
116cos 23sin 211116cos 23sin 2(2)1(2)12cos 2sin 2x x D D x x i i x x =+++=+++=-- 18.求下面方程的特解 13sin 2y y y x '''++=- 解2
1()(13sin 2)1y x x D D =-++
222242242
21
[()1]
()1
1
(13)sin 21
1
[1](13)sin 21
1
(13)(1)sin 2(2)(2)1(1)sin 23sin 22cos 2D D D D x
D D D D x
D D D D x i i D D x x x
=--+--+?-++=-+-++=--+++=--+=+ 19.求下面方程的特解 44cos 2y y y x '''++= 解 2
()[(2)]y x D =-+
22
11
cos (2)(2)
x D D -++g 2
22
1
(2)cos 2(4)D x D =--
222
cos 1
(2)sin 2((2)4)8
x D x i =-=-
20.求2sin y y x ''+=的特解
解 因2
()10i +=，上法无效，今取 1sin []2ix ix
x e e i -=- (*) 则特解 2
11
()([])1ix ix
y x e e D i
-=-+
2222111([])11111[11]()1()111111[11]22111[]221
2[]
2ix ix ix ix ix ix ix ix ix e e i D D e e i D i D i e e i D i D D i D e x e x i D i D i
lm e x D i
----=-++=-++-+=-+-=-+-=+g g g g
lmz 表示复数zi 虚部，今
111
2212ix
ix
e x e x D D i i
i
=+
+
111
[1]()222211
cos sin (cos sin )422ix ix D e x e x i i i i x x x i x x x =
-=-=--+
故
1()cos sin 2y x x x x =--
21.求下面方程的特解 cos x
y y e x x ''-=g 解 今有
(1)(1)1cos ()2
x i x i x
e x x xe xe +-=+g g (1)Re()i x
xe += (Re z 表示复数z 的实部)故可写成
(1)2
1()Re()1i x
y x e x D +=-g
而(1)(1)2
211
1(1)1
i x
i x
e
x e x
D D i ++=-++-g g
(1)2
2(1)(21)
i x
e x D i D i +=+++-g
2)(1(1)1
1
2221
1212111412(cos sin )[()(2)122[]
21152]
55
i x
x i x i
e x e x
i D i D i i e x i x x i i i x ++=+-++
--=-+-+++=---g
故
1422
()[()cos ()sin ]525525
x
x y x e x x x =-+++ 22.求解方程
33(5)x
y y y y e x -''''''+++=-
解 33
11
()(5)(5)(1)x x
y x e x e x D D
--=-=-+ 设3
1
()(5)
g x x D
=-，则3
()5
D g x x =-故知
4
3
5
()246
x g x x =- 最后得通解
32123()(20)
24
x
x
x
x
x y x C e C xe C x e e x ----=+++-
注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。
红色部分是怎么来的，可以参看我在豆丁网上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》