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初中数学动点几何最值专题训练

动点最值专题

近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．

最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.

我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转 60°或 90°。

（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。

一、一条线段最值 (1)

1 单动点型 (1)

1.1 动点运动轨迹——直线型 (1)

1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型 (10)

1.2.1 定点定长 (10)

1.2.2 定弦定角 (15)

1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形 (24)

2 双动点型 (27)

2.1 利用等量代换实现转化 (27)

2.2 利用和差关系实现转化 (28)

2.3 利用勾股定理实现转化 (28)

2.4 利用三角形边角关系实现转化 (29)

二、两条线段最值 (30)

1 PA+PB 型 (30)

1.1 两定一动（将军饮马） (30)

1.2 两定两动 (39)

过河拆桥 (39)

四边形周长最小； (42)

1.3 一定两动 (44)

两动点不随动 (44)

1.4 三动点 (47)

2 PA+K.PB 型 (48)

2.1 “胡不归模型” (48)

2.2 阿氏圆 (65)

三、“费马点”模型 (72)

线段极值解题方略 (76)

一、一条线段最值 1 单动点型

所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通常解决这类问题的思考步骤为三步：

(一)分析“源动点”的不变量。

(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。 (三)分析“从动点”的不变量。 1.1 动点运动轨迹——直线型

动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短” 例 1、如图 1，在ABC ? 中，30CAB ∠=?,BC=1，D 为AB 上一动点(不与点A 重合)，?AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是_________。

方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例 1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。

如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。

①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；

1．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0，2），点 M 的坐标为39

(1,)44

m m --

- (其中 m 为实数)，当 PM 的长最小时，m 的值为__________．

2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，C(m ，－4m ＋20)，若 OC 恰好平分四．边形．． OACB ．．．．的面积，求点 C 的坐标．

②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

1.如图，矩形 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE:ED ＝1:3．动点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF ⊥PE 交射线 BC 于点 F ，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为_________.

【变式 1】如图，矩形 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点 E 在 BC 边上，且 BE : EC ＝1 : 3．动点 P 从点 B 出发，沿 BA 运动到点 A 停止．过点 E 作 EF ⊥PE 交边 AD 或 CD 于点 F ，设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为___________.

【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是 AB 上的一个动点，连接 PE ，过点 P 作 PE 的垂线，交 BC 于点 F ，连接 EF ，设EF 的中点为 G ，当点 E 从点 B 运动到点 A 时，点 G 移动的路径的长是_____.

【变式 3】在矩形 ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是 AD 边的中点，点 E 在 AB 边上，EP 的延长线交射线 CD 于 F 点，过点 P 作 PQ ⊥EF ，与射线 BC 相交于点 Q ．（1）如图 1，当点 Q 在点 C 时，试求 AE 的长；（2）如图 2，点 G 为 FQ 的中点，连结 PG ． ①当 AE ＝1 时，求 PG 的长；

②当点 E 从点 A 运动到点 B 时，试直接写出线段 PG 扫过的面积．

2．如图，C 、D 是线段 AB 上两点，且 AC ＝BD ＝

AB ＝1，点 P 是线段 CD 上一个动点，在 AB 同侧分别作等边△PAE 和等边△PBF ，M 为线段 EF 的中点. 在点 P 从点 C 移动到点 D 时，点 M 运动的路径长度为__________．

【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC＝DB＝2；P 是线段 CD上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 APEF 和正方形PBGH，点 O1和 O2是这两个正方形的中心，连接 O1O2，设 O1O2的中点为 Q；当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点Q 移动路径的长是______．

【变式 2】等边三角形 ABC 中，BC＝6，D、E 是边 BC 上两点，且 BD＝CE＝1，点 P 是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、AC 于点 M、N，连接 MN、AP 交于点 G，则点 P 由点 D 移动到点 E 的过程中，线段 BG 扫过的区域面积为______．

【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC＝DB ＝1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF 的中点为 G，则当点 P 从点C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为______．

3. 如图，已知在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P 为AB 边上的一动点，连接 PD 并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF 的最小值为__________.

【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC 上取点 P（P 与 B、C 不重合），连接 PA 延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD 并延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、PF 为边作平行四边形，另一个顶点为 G，求 PG 长度的最小值（用 x，y 表示）.

【同型练】如图，已知□OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O

是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为______．

③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。

1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O 为 AC 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为__________.

【变式】1.如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是________．

2．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．

（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM 与 AB 的位置关系是_________；

（2）当 4＜BD＜8 时，

①依题意补全图 2；

②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，求 ME 的长的最小值？

3．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC 上一动点 P 从 C 点开始运动，到 B 点停止，以 AP 为边在 AC 的右侧做等边△APQ，则 Q 点运动的路径长为___________．

【秒杀训练】

1.如图，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 在直线y x

=上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为【】

A.(0,0)

(,)

-- C.

(,)

- D.

(,)

2.如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【】

A．5 B．5

C．3 D．2

3.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是 BC 的

中点。

（1）求证：△MDC 是等边三角形；

（2）将△MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即MD'）与 AB 交于一点 E，MC（即MC'）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值。

1.2 动点运动轨迹——圆或圆弧型

动点轨迹为定圆，利用三点共线

方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。

1.2.1 定点定长

Ⅰ动点到定点的距离不变

．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧；

1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边

上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF，连接 AP，则 CP 的最

小值________，AP 的最小值是

_________.

1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按 A→B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为_____________．

【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm2.

【变式 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E、F 分别为 AD、DC边上的点，且EF＝2，点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA＋PG的最小值为________．

【变式 3】如图，一根木棒 AB 长为 2a，斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线 NO 下滑，且 B 端沿直线 OM 向右滑行，则木棒中点 P

)a，则木棒中点 P 随之运动到 P′也随之运动，已知 A 端下滑到 A′时，AA′＝(32

所经过的路线长_______________．

2．如图，在△ABC 中，AC＝2，AB＝3．当∠B 最大时，BC 的长为________．

3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值是________．

4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是________．

5．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，

则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．

6．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是________．

7．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE 绕点 A 旋转，连接 EC，取EC 的中点 F，连接 DF，则 DF 的取值范围为________。

例 2．（15 威海）如图，已知 AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD 的度数为_________．

变式：如图，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则 BD 的长为_________．

例 3．如图，在等腰△ABC 中，AC＝BC，∠C＝70 °，点 P 在△ABC 的外

部，且与 C 点均在 AB 的同侧，如果 PC＝BC，那么∠APB＝_________．

例 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 为 AB 边的中点，F 是线段

BC 边上的动点．将△EFB 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB'F，连接 B'D，则

B'D 的最小值为_________

Ⅱ．定边对定角模型

1.2.2 定弦定角

II 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．

见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；

见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于 F，当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为__________.

2．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为(7，3)，点 E 在边 AB 上，且 AE＝1，若点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O作直线 EP 的垂线段，

垂足为点 H，在点 P 从 F(0，25

)运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径长为______．

3．在正方形 ABCD 中，AD＝2，点 E 从 D 出发向终点 C 运动，点 F 从 C 出发向终点 B 运动，且始终保持 DE＝CF，连接 AE 和 DF 交于点 P，则 P 点运动的路径长是________．

4．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连

接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为______．

5．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为________．

6．如图，在边长为 2 3的等边△ABC 中，动点 D 从 C 向终点 B 运动，同时点 E 以相同的速度从 A 出发向终点 C 运动，连接 BE、AD 相交于点 P，则点P 的路径长为________．

7．如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是____________.

8.如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c( a ≠0)与 x 轴交于 A( 1，0)、B( 4，0)两点，与 y 轴交于 C( 0，2) ，连结 AC、BC．

（1）求抛物线解析式；

（2）BC 的垂直平分线交抛物线于 D、E 两点，求直线 DE 的解析式；

（3）若点 P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的

P 点坐标．

9．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE 相交于点 P，则线段DP 的最小值为__________。

变式：直线 y＝x＋4 分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N，边长为 2 的正方形OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，直线 AN 与 MC 相交与点 P，若正方形绕着点 O 旋转一周，则点 P 到点(0，2)长度的最小值是__________．

10．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 点 D 在第一象限，点 E 为正方形ABCD 的对称中心，连结 OE，则OE 的长的最大值是____________．

变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线 y ＝kx(k ≠0)经过点 C(a ， 3a)（a ＞0）．线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 y ＝kx 上（B 、C 均与原点O 不重合）滑动，且 BC ＝2，分别作 BP ⊥x 轴，CP ⊥直线 y ＝kx ，交点为 P ，经探究在整个滑动过程中，P 、O 两点间的距离为定值．

11.如图，开口向下的抛物线2

(2)y a x k =-+ 交 x 轴于点 A,B 两点，交 y 轴正半轴于点 C ，顶点为 P ，过顶点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M,N ，连结 CP,CM ，∠CPM=45°，tan ∠CMP=0.8.

(1)求该抛物线的函数解析式；

（2）若点 D 为射线 PC 上动点，BD 交△PMD 的外接圆于点 Q ，求 PQ 的最小值.

【强化训练】

【例 1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝42，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线 BD 交⊙O 于 P 点，交 BC 于 E 点，弧 AE ＝CP ，则 AD 的最小值为_______

【例 2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为 AC 上一动点，以 AD

为直径作圆，连接 BD 交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为_______

【练】如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝42，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P在射线 AM 上运动，连 BP 交△APC 的外接圆于 D，则 AD 的最小值为_______

【例 3】如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB 的长为，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的面积的最大值是_________.

【练】如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC⊥

AP 交直线 PB 于点 C，则△ABC 的最大面积是（）

【例 4】如图，边长为 3 的等边△ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于 P 点，则 CP 的最小值为_________

【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于E、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD的最小值为__________

【练】如图 8，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D是 AP 的中点，连接 CD，则 CD 的最小值为__________

针对练习：

1．如图，在动点 C 与定长线段 AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于

点 E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有

，则点 C 到AB 的距离的最大

值是_________

2．如图，已知以 BC 为直径的⊙O，A 为弧 BC 中点，P 为弧 AC 上任意一点，AD⊥AP 交 BP 于 D，连 CD．若 BC＝8，则 CD 的最小值为___________.

1.3 动点轨迹为其他曲线，构造三角形

方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段

转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，

则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之

差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上

的中线。

例 1、如图∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A 、B分别在边OM , ON上,当B在边ON上运动时, A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中

AB=2 , BC=1 ,求运动过程中,点D到点O的最大距离.

变式训练：

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6 ，tan∠BAC=1

，点D在边AC的三等分点处，

将线段AD绕点A旋转，连接BD ， F为BD中点，求线段CF长度的最大值．

2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离为___________。

提示：取 AC 中点 D，由 BO≤OD＋BD＝1＋2，知 BO 的最大值为

1＋2

3.如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON 上，当 A 在边 OM 上运动时，B 随之在边 ON 上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形AOBC 的面积的最大值是___________.

4. 如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限．其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm.

（1）若 OB=6cm．

①求点 C 的坐标；

②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点 C 与点 O 的距离的最大值=___________cm．

2 双动点型

解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”间关系．(三)转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键。

2.1 利用等量代换实现转化

例 1.△ABC是以AB为斜边的直角三角形, AC=4 , BC=3 , P是AB上一动点,且PE⊥AC于E , PF⊥BF于F ,求EF的最小值.

分析：点 P 带动点 E、F，显然点 P 是双动点 E、F 的“源动点”。第一步，“源动点”P 在定边 AB 上运动．第二步，由条件可知四边形 PECF 为矩形，所以双动点 EF 与“源动点”P 存在等量关系 EF=CP．第三步，C 是定点，P是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。

提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段?

2.2 利用和差关系实现转化

例 2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8 ，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA ， CB 分别相交于点P ， Q，则线段PQ长度的最小值是___________．

分析：本题的双动点 P、D 可看成由“源动点”E 产生．第一步，“源动点”E在定边上运动，且保持OE⊥AB,第二步，双动点 PD 是圆上的动弦且所对圆周角为直角，因此 PD 为圆O直径．源动点与双动点满足 PD=CO+OE．第三步，PD 长转化为△COE 三边关系，当 C、O、E 三点共线时 CE 最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当 CE 上AB 时 PD 长度最小。

提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?

2.3 利用勾股定理实现转化

例 3、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，圆O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为______．

分析：PQ 为圆O切线，PQ⊥OQ ，双动点 PQ 与“源动点”P 满足勾股定理PQ2=OP2–OQ2，而0Q为定值1，因此要 PQ 最小只需OP取最小．问题可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”

提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三

角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。

(完整)初三数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

初中数学几何空间与图形知识点

初中数学《几何空间与图形》知识点初中数学《几何空间与图形》知识点 A、图形的认识 1、点，线，面点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。视图：主视图，左视图，俯视图。多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

(word完整版)北师大版九年级数学动点问题题型方法归纳,推荐文档

图（3） B 图（1） B 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

初中数学几何基础知识整理

初中数学几何基础知识整理轴对称 31. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线 32. 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的中垂线 33. 定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 34. 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 35. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 36. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 37. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 38. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 39. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 40. 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 41. 三个角都相等的三角形是等边三角形 42. 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形 43. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

44. 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 45. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（新增） 46. 勾股定理直角三角形两直角边 a、b的平方和、等于斜边 c的平方，即a2+b2=c2 47. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形四边形 48. 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 49. 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 50. 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 51. 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 52. 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 53. 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 54. 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形55. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 56. 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 57. 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 58. 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 59. 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 60. 矩形判定定理 3 有一个角是直角的平行四边形是矩形 61. 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 62. 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

初中数学动点问题归纳

图（3） A B 图（1） A B 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与 t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o ．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

八年级几何之动点问题

中考数学动点几何问题 ※动点求最值: 两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点）例1、以正方形为载体如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是例2、以直角梯形为载体如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P 在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是例4、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BP，EP，则PB+PE的最小值是

例5、⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上的一动点，PA+PC 的最小值是例6、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是 . 例7：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面积； (2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？A C B

初中数学动点问题专题复习

初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在 ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ C P Q B A M N C B

全新中考数学几何知识点全总结

初中几何公式：线 1、同角或等角的余角相等 2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3、过两点有且只有一条直线 4、两点之间线段最短 5、同角或等角的补角相等 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行初中几何公式：角 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补初中几何公式：三角形 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中几何公式：等腰三角形 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形初中几何公式：四边形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

初中的数学动点问题归纳

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，

人教版初中数学中考几何知识点大全.docx

. 目录一、形的知??????????????????????????????2 二、平行知点?????????????????????????????3 三、命、定理??????????????????????????????3 四、平移?????????????????????????????????3 五、平面直角坐系知点?????????????????????????4 六、与三角形有关的段??????????????????????????5 七、与三角形有关的角???????????????????????????5 八、多形及其角和???????????????????????????6 九、嵌?????????????????????????????????6 十、全等三角形知点???????????????????????????7 十一、称???????????????????????????????7 十二、勾股定理??????????????????????????????8 十三、四形???????????????????????????????8 十四、旋????????????????????????????????9 十五、知点????????????????????????????10 十六、相似三角形?????????????????????????????13 十七、投影与?????????????????????????????14 十八、尺作??????????????????????????????15

初中中考数学几何知识点大全直线：没有端点，没有长度射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度线段：两个端点，有长度一、图形的认知 1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形 2、有些几何图形的各部分不都在同一平面，它们是立体图形 3、有些几何图形的各部分都在同一平面，它们是平面图形 4、有些立体图形是由一些平面图形转成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 5、长方体、正文体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 6、包围着体的是面，面有平面和曲面两种。由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。注意：各面都是平面的立体图形称为多面体。像圆锥、圆台因为有的面是曲面，而不被称为“多面体”。圆锥、圆柱、圆台统称为旋转体。立体图形的各个面都是平的面，这样的立体图形称为多面体。 7、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线 8、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点 9、两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短 10、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 11、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 12、角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 13、余角和补角：如果两个角加起来为90，则一个角是另一个角的余角如果两个角加起来为180，则一个角是另一个角的补角邻补角 :相邻的补角 14、同角的余角相等，等角的余角相等同角的补角相等，等角的补角相等二、平行线知识点 1、对顶角性质：对顶角相等。注意：对顶角的判断一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶

初中数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ································································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ·················································································· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得15 32104 x x =+?，解得80 3 x = 秒．

中考数学--动点问题题型方法归纳

图 B 图 B 图动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最

初中数学几何基础知识.

初中数学几何基础知识、基本公式集锦 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

初中数学几何动点问题专题训练

初中数学几何动点问题专题训练所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。例题1.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？练习1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C —D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD也为矩形？

初中数学动点问题专题讲解整理.doc

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=3 2 NH=2132?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y

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