考研数学高等数学强化习题-不定积分
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模块五 不定积分
Ⅰ经典习题
一．原函数与不定积分
1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
()0,0x x g x x
x ?
≠?=??=?下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在
（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()x
F x f t dt -=?，则(0)F '存在
2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )
(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -
3、在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) ()()d
f x dx f x dx =? (B) ()()f x dx f x '=?
(C) ()()df x f x =? (D) ()()d f x dx f x =? 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()
--=?x x e f e dx _____.
二．有理函数积分
5、计算下列不定积分
（1）32211
++-?x x dx x （2）()()2223
11x dx x x +-+? （3）2
5
613
x dx x x +-+? （4）2100
(1)-?x dx x （5）21(21)(1)++?
dx x x （6）21
(1)
-?dx x x
（7）()
7
7
11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()()
2
2
1
21---?
dx x
x x （10）()()
322
2
412+++++?
x x x
dx x
x x
（11）241x dx x -? （12）()
23
1
1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421
dx
x x ++?
三．可化为有理函数的积分
1．三角有理式
6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++?
x
dx x x （2）3
sin cos ?dx x x
（3）3sin 2cos +?
x dx x （4）21
1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222
1
sin cos +?dx a x b x
（7）()
()2
1
0sin cos ≠+?
dx ab a x b x （8）()1
2cos sin dx x x
+?
（9）64tan cos sin ?x x dx x
（10）41
sin ?dx x 2．指数有理式的积分
7、计算下列不定积分
（1）311++?x x
e dx e （2）21
1+?x dx e （3）1
x x dx e e --?
（4）()
211x dx e +? 四．根式的处理
8、计算下列不定积分 （1
） （2）
（3
）3
（4）?
（
5） （6）dx x
?
（7） （8
）
9、计算下列不定积分
（1）()0>a （
2）
（3）（
4）dx （
5） （6）
五．分部积分法的使用
10、计算下列不定积分 （1）2ln sin sin ?
x dx x （2）()
2ln 1-?x
dx x （3）2
sin ?x xdx （4）2
2
arctan 1+?x xdx x （5）()2ln 1+-?x x dx x （6）2arctan ?x
x
e dx e （7）()2
arcsin ?x dx （8）2
ln 1
-?x dx x
11、计算下列不定积分
（1）(2ln x dx
? （2）2xdx
（3）?
（4
）
（5）()
2
2arctan 1x x
dx x +?
（6
）? （7）2cos sin cos x
x x
e
dx x +? （8）22sec tan x x x dx x -? 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=?xf x dx （ ） (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C
13、已知
sin x
x
是()f x 的原函数，求()3'?x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1
(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为
2ln(1)x x +,求()f x .
15、求积分()sin ln ?x dx .
16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：
()()()1
21212124
x xf x dx f x f x C '''-=
---+?. 六．其他考查形式
17、设231,
0()1,012,1x f x x x x x
=+<≤??>?
求 ()f x dx ?.
18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =
Ⅱ参考答案
一．原函数与不定积分
1、【答案】：（C ）
【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数
（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数
2、【答案】：(B)
【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得
()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+??, 其中C 为任意常数.
所以()f x 的原函数
12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++??,其中12,C C 为任意常数.
令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)
【解析】:由不定积分的概念和性质可知,
()()()()d
f x dx f x dx f x .dx
'==??
()()()f x dx df x f x C '==+??,C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=?
故应选(A).
4、【答案】:
()
--+x F e C
【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x u e ，则
()()()()()-----=-=-=-+=-+???
x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分
5、（1）【答案】：()3
211ln
221
-++++x x x C x