双曲线经典练习题总结(带答案)
一、选择题
1.以椭圆x 216+y 2
9=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为( C )
A .x 216-y 2
48=1
B .y 29-x 2
27
=1
C .x 216-y 248=1或y 29-x 2
27=1
D .以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时,a =4,c =8,b =43,双曲线方程为x 216-y 2
48=1;当顶点为(0,
±3)时,a =3,c =6,b =33,双曲线方程为y 29-x 2
27=1.
2.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( C ) A .2 B .22 C .4 D .42
[解析] 双曲线
2x 2-y 2=8
化为标准形式为x 24-y 2
8
=1,∴a =2,∴实轴长为2a =4.
3.(全国Ⅱ文,5)若a >1,则双曲线x 2a 2-y 2
=1的离心率的取值范围是( C )
A .(2,+∞)
B .(2,2 )
C .(1,2)
D .(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e =a 2+1
a
. ∴c 2=a 2+1a 2=1+1a
2.
∵a >1,∴0<1a 2<1,∴1<1+1
a
2<2,∴1 4.(2018·全国Ⅲ文,10)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( D ) A .2 B .2 C .322 D .22 [解析] 由题意,得e =c a =2,c 2=a 2+b 2,得a 2=b 2.又因为a >0,b >0,所以a =b ,渐近 线方程为x ±y =0,点(4,0)到渐近线的距离为4 2 =22, 故选D . 5.(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C :x 24-y 2 2=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上, O 为坐标原点,若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为( A ) A .324 B .322 C .22 D .32 [解析] 双曲线x 24-y 22=1的右焦点坐标为(6,0),一条渐近线的方程为y =2 2x ,不妨设点 P 在第一象限,由于|PO |=|PF |,则点P 的横坐标为62,纵坐标为22×62=3 2 ,即△PFO 的底边长为6,高为 32,所以它的面积为12×6×32=32 4 .故选A . 6.若双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x -2)2+y 2=4所截得的弦长为2, 则C 的离心率为( A ) A .2 B .3 C .2 D .233 [解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y =b a x , 圆的圆心为(2,0),半径为2, 由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22-12= 3.根据点到直线的距离公式得 2b a 2+b 2 =3,解得b 2=3a 2. 所以C 的离心率e =c a = c 2a 2 =1+b 2 a 2=2.故选A . 二、填空题 7.(2019·江苏卷,7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2- y 2 b 2 =1(b >0)经过点(3,4),则该 双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2- y 2b 2=1(b >0)经过点(3,4),所以9-16b 2 =1(b >0),解得b =2,即双曲线方程为 x 2- y 2 2 =1,其渐近线方程为y =±2x . 8.双曲线x 24+y 2 k =1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是__-12<k <0__. [解析] 双曲线方程可变形为x 24-y 2-k =1,则a 2=4,b 2=-k ,c 2=4-k ,e =c a = 4-k 2 .又因为e ∈(1,2),即1<4-k 2 <2,解得-12<k <0. 三、解答题 9.(1)求与椭圆x 29+y 24=1有公共焦点,且离心率e =5 2的双曲线的方程; (2)求实轴长为12,离心率为5 4 的双曲线的标准方程. [解析] (1)设双曲线的方程为x 29-λ-y 2 λ-4=1(4<λ<9),则a 2=9-λ,b 2=λ-4,∴c 2=a 2+b 2 =5, ∵e =52,∴e 2=c 2a 2=59-λ=54,解得λ=5, ∴所求双曲线的方程为x 24 -y 2 =1. (2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,所以可设双曲线标准方程为x 2a 2-y 2 b 2= 1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2 b 2=1(a >0,b >0). 由题设知2a =12,c a =5 4且c 2=a 2+b 2, ∴a =6,c =152,b 2=81 4 . ∴双曲线的标准方程为x 236-y 2814=1或y 236-x 2 81 4 =1. B 级 素养提升 一、选择题 1.如果椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,那么双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1的离心率为( A ) A . 52 B .54 C .2 D .2 [解析] 由已知椭圆的离心率为3 2,得a 2-b 2a 2=34 , ∴a 2=4b 2.∴a 2+b 2a 2=5b 24b 2=5 4. ∴双曲线的离心率e = 5 2 . 2.双曲线x 2 -y 2 m =1的离心率大于2的充分必要条件是( C ) A .m >12 B .m ≥1 C .m >1 D .m >2 [解析] 本题考查双曲线离心率的概念,充分必要条件的理解. 双曲线离心率e = 1+m >2,所以m >1,选C . 3.(多选题)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2 =1上的一点,F 1、F 2是C 的两个焦点.若 MF 1→·MF 2→ <0,则y 0的取值可能是( BC ) A .-1 B .0 C .12 D .1 [解析] 由双曲线方程可知F 1(-3,0)、F 2(3,0), ∵MF 1→·MF 2→ <0, ∴(-3-x 0)(3-x 0)+(-y 0)(-y 0)<0, 即x 20+y 20-3<0,∴2+2y 20+y 20-3<0,y 2 0<13, ∴- 33 3 ,故选BC . 4.(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( BD ) A .对任意的a ,b ,e 1>e 2 B .当a e 2 C .对任意的a ,b ,e 1 [解析] 由条件知 e 2 1=c 2a 2=1+b 2a 2,e 2 2=1+ ? ?? ??b +m a +m 2,当a >b 时,b +m a +m >b a ,∴e 21 2.∴e 1 a ,∴e 21>e 2 2.∴e 1>e 2.所以,当a >b 时,e 1 5.(2019·课标全国Ⅰ理,16) 已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A →=AB →,F 1B →·F 2B → =0,则C 的离心率为__2__. [解析] 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x , ∵F 1B →·F 2B → =0,∴F 1B ⊥F 2B , ∴点B 在⊙O :x 2+y 2=c 2上,如图所示, 不妨设点B 在第一象限,由??? ?? y =b a x x 2 +y 2=c 2a 2 +b 2 =c 2 x >0 , 得点B (a ,b ), ∵F 1A →=AB → ,∴点A 为线段F 1B 的中点, ∴A ? ?? ??a -c 2,b 2,将其代入y =-b a x 得b 2=????-b a ×a -c 2. 解得c =2a ,故e =c a =2. 6.已知双曲线x 29-y 2a =1的右焦点为(13,0),则该双曲线的渐近线方程为__y =±2 3x __. [解析] 由已知得9+a =13,即a =4,故所求双曲线的渐近线为y =±2 3x . 三、解答题 7.焦点在x 轴上的双曲线过点P (42,-3),且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程. [解析] 因为双曲线焦点在x 轴上,所以设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),F 1(- c,0)、F 2(c,0). 因为双曲线过点P (42,-3), 所以32a 2-9 b 2=1.① 又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直, 所以QF 1→·QF 2→ =0,即-c 2+25=0. 所以c 2=25.② 又c 2=a 2+b 2,③ 所以由①②③可解得a 2=16或a 2=50(舍去). 所以 b 2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 x 216-y 2 9 =1. 8.(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c,0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y =x 且c =2,求双曲线的方程; (2)以原点O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A ,过A 作圆的切线,其斜率为-3,求双曲线的离心率. [解析] (1)由题意,b a =1,c =2,a 2+ b 2= c 2,∴a 2=b 2=2, ∴双曲线方程为x 22-y 2 2=1. (2)由题意,设A (m ,n ),则k OA = 33,从而n =33m ,m 2+n 2=c 2,∴A (32c ,c 2 ), 将A (32c ,c 2)代入双曲线x 2a 2-y 2b 2=1得:3c 24a 2-c 2 4b 2=1, ∴c 2(3b 2-a 2)=4a 2b 2, 且c 2=a 2+b 2,∴(a 2+b 2)(3b 2-a 2)=4a 2b 2, ∴3b 4-2a 2b 2-a 4=0,∴3(b a )4-2(b a )2-1=0, ∴b 2a 2=1从而e 2 =1+b 2 a 2=2,∴e = 2.