一、问题重述
1、1背景分析
自1998年我国实行住房改革以来,房地产行业已经逐渐成长为拉动中国经济增长的龙头产业。近几年在国家积极的财政政策刺激下,我国房地产市场处于不断发展阶段。然而,与美国等发达国家住房市场进入成熟期不同,我国正处在城市化与工业化进程加速阶段,住房水平低与需求比较旺盛,这就是我国住房市场快速发展的重要基础。
中国房地产一方面在快速发展之时,在总体上对经济社会的发展确实起到了促进作用;另一方面由于不规范的房的销售价格行为、地价的上升造成放的开发成本提高等因素造成房价不断上涨,严重超出了普通居民的购买能力,给其造成了巨大的购房压力。
1、2问题重述
根据近几年中国上海房地产市场现状,解决以下四个问题:
(1)结合对房地产的了解,收集近几年上海房地产的价格走势,预测未来三年上海房价的状况。
(2)结合对上海市近几年来房价的了解,分析并建立合理的数学模型,得出“国五条”具体怎样影响房价。
(3)综合考虑上海的CPI,结合对房价的了解,谈谈房价如何对CPI产生影响。
(4)在2012年拥有100万元人民币的前提下,写出一种合理的分配方案,用这笔钱投资到CPI中的各项因素。
二、问题分析
2、1对于问题一的分析
问题一要求根据近几年上海房地产的价格走势,来预测未来三年上海房价的情况。
首先,通过在《上海统计年鉴》找到上海近几年的房价, 为得到较为准确的预测,我们选取了最近十年上海的房价,因为长时间的数据能反映更多更合理的问题,不会太过片面对结果造成较大偏差。历时十年,期间政府的宏观调控或制定的稳定物价等等措施必然会对房价造成影响,如果考虑政策措施与其她因素的影响,问题将变得非常复杂。反而,我们可以将这些因素瞧作市场经济的调控,房价因受到这些因素影响而产生变化。那么,实际呈现出来的房价变化就应该就是有效的房价变化。我们在模型的假设部分阐述了不考虑政府的政策措施对近几年房价的影响。
综合了以上分析,我们将搜集到的数据整理制成表格,绘制出年份-房价变化折线图,可以发现随着年份的增长,上海房价也在不断增长,且在一条直线周围上下波动,因此我们建立一元线性回归模型,来寻求上海房价与年份的线性关系。然后根据最小二乘法来确定其中参数(一次项系数与常数项)的值,最终确定此回归方程。然后通过求判定系数2R的值,来判断模型对数据的拟合程度,确定该方程的合理性。最终对x进行赋值,得到相应的房价。
2、2 对于问题二的分析
问题二要求找出“国五条”具体如何影响房价的,就就是求“国五条”五项措施对房价影响的比重,即某项措施的影响大小,从而反应出“国五条”就是如何影响房价的增长问题。
首先,根据题目信息,运用层次分析法,建立层次分析模型。以调控房价为目标层,以不规范房的销售价格行为与地价上升致开发成本提高作为准则层,以五项措施作为措施层。这里准则层在选择时,在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外,通过查阅资料发现,土地增值税也对房价产生不少影响,所以准则层有三个因素。然后求各层中各个指标的重要程度,即权重。
第一步,根据实际情况与经验,比较得出不规范房的销售价格行为与地价上升致开发成本提高对房价上涨影响程度大小,总结成它们的判断矩阵,通过Matlab求出各项的权向量。接着对准则层进行误差分析,确定层次建立的合理性,继而总结出不规范房的销售价格行为与地价上升致开发成本提高对房价变化导致怎样的影响。
第二步,仍根据经验与实际情况,比较完善稳定房价工作责任制,坚决抑制投机投资性购房,增加普通商品住房及用地供应,加快保障性安居工程规划建设与加强市场监管这五个调控措施在不规范的销售价格行为与地价上涨两个准则下的相对重要程度,建立它们之间的判矩阵,计算措施层五项措施的权向量,即就是反应重要程度的权重。比较各个权重大小,将各个措施重要程度排序,进一步分析出各措施具体就是如何影响房价的。
2、3 对于问题三的分析
问题三要求综合考率上海的CPI,结合第一问与第二问对房价的了解,分析房价的变动对全国居民消费价格指数(CPI)的影响。
显然,我们难以根据房价的变动直接得出其与上海居民消费价格指数(CPI)的直接关系,也就就是说房价不就是直接影响CPI的指标,但房价却可以影响CPI中的某项指标来进一步影响CPI。在CPI的各项指标中,居住这项指标与房价关系最为紧密,其她的几乎毫无联系,且可以判断,这两项必定存在直接的关系。因此我们将各项指标概括为居民的消费水平,即居民对于购房或者用于房地产的其她开支,例如装修与增加设施,但主要还就是对房地产的购买。
在经济市场中存在一个经济现象:商品价格上涨,购买力下降,反之则价格上升。在没有其她因素的影响下,将保持这个规律。应用于本问中,房价上涨,居民对房屋的购买支出会相对减少,而在这一段时间内CPI指数便会相对降低,这样就可以初步确定,房价与CPI之间的关系了。
然而,我们要考虑两个问题:一,房价变动与购房支出的关系;二,购房支出预CPI指数的关系。房价变动对居民购房消费的影响就是可以借鉴经济学中价格变动对消费者消费的影响,两者之间一定存在某种对应关系。其次,购房支出可通过拟合近几年上海居民购房总支出与上海CPI,得到两者之间的线性关系。最后,整合这两问便可得出房价与CPI之间具体的关系。
2、4 对于问题四的分析
问题四中,假定有100万元,要求我们投资到CPI中的各项因素,然后写出一种合理的方案。
显然,这就是一个投资问题,投资问题最重要的一点就就是追求收益的最大化,否则投资就是无意义的。但就是本题有多个模糊点,就就是投资一年还就是多年,投资到一项指标还就是多项指标;如果投资多年,能不能够从第二年或者第三年后重复投资亦或停止投资以及每年的投资与获益率就是否受其她因素的影响等等。因此,在综合考虑之后,我们对问题进行合理优化,将问题确定为:100万元用于对CPI八项指标的投资。联系第一问,假定投资时间为三年,且没有重复投资或中途终止投资的现象。然而要保证三年后的利润最高,并将资金合理分配给八项指标,这属于优化配置类线性规划问题。显然,各
项指标之间不具有太多的关联性。因此,我们可建立线性优化目标函数,利用Lingo软件进行求解,最终得到最优解与最优配置方案。
三、模型假设
结合本题的实际,为了确保模型求解的准确性与合理性,我们排除了一些因素的干扰,提出以下几点假设:
1、考虑到上海市各个地区的房价各有不同,并且受到多种因素影响,因此在搜集资料时,
我们选择性搜集了从2003年2012年上海每年的总体房价,即每年的房价直接由官方统计数据给出,不再自己结合影响因素统计;
2、在问题已的求解时,暂不考虑任何政府措施;
3、在不改变题意的情况下,我们将问题四总结出一个较为清楚的问题;
4、不考虑CPI各项指标之间的关联性;
5、不考虑投资时存在的风险。
四、符号说明及名词解释
4、1符号说明
为了便于问题的求解,我们给出以下符号说明:
4、2名词解释
1、CPI
全国居民消费价格指数(CPI),就是度量居民生活消费与服务价格水平随时间变动的相对数,综合反映居民购买的生活消费品与服务价格水平的变动情况。它涵盖全国城乡居民生活消费的食品、烟酒及用品、衣着、家庭设备用品及维修服务、医疗保健与个人用品、交通与通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类。
2.投资回报率
经济学名词,指投资后所得的收益与成本间的百分比率。
投资回报率一般可分为总回报率与年回报率。总回报率就是不论资金投入时间,直接计算总共的回报率,亦即:总回报率=利润/投入成本。
年回报率则就是计算平均资金投入一年所得到的回报率。
五、模型的建立与求解
经过以上的分析与准备,我们将逐步建立以下数学模型,进一步阐述模型的实际建立过程。
5、1问题一的建立与求解
5、1、1 对数据的定量分析
通过查阅上海统计年鉴的房地产相关资料,我们得到上海近十年来房地产的价格情况,统计整理后制成如下表格,见表1:
表1 2003-2012年上海房产价格表
由上表不难发现,上海房价从03年到07年一直呈增长之势,不过在07年到08年出现小幅度下降,但在08年以后一直处于持续增长阶段,并在09年突破一万元,创历史新高,总的来说呈上升之势。
但为进一步清楚反映出房价的总体走势,我们将表1绘制成折线图,如下所示:
图1 2002-2012年房价变化折线图 图2 2002-2012年房价变化散点图 由图1可以清楚地得到,由于各种可变动因素的影响,近十年来上海房价总体上呈波动上升的趋势,但仍然有些年份变化趋于平缓或略有下降。因此,为进一步得出房价随年份变化的关系,在下面建立模型求解。
5、1、2建立一元线性回归模型
(1) 模型建立
我们进一步将表1的数据绘成散点图,如图2 。描出散点图可发现,随着年份的增长,房价也在不断增加,且房价的值总就是在一条正斜率的直线上上下波动,散点的趋势很
符合一元线性直线,即年份与房价之间可能存在线性关系,故基于对散点图的观察与相关问题分析,我们建立一元线性回归方程求解。
首先,我们建立一元线性回归模型。假设房价y 与年份x 存在关系:
2, ~(0,)y a bx N εεσ=++
其中a 、b 及2σ都就是不依赖于x 的未知参数,b 称为回归系数,因变量y 由两部分组成,一部分就是x 的线性函数a bx +,另一部分就是随机误差ε,就是人不可控制的。
(2) 最小二乘法估计a 、b 值
然而要使误差达到最小,即样本观测值与估计值的差最小,但由于差值的符号不确定等因素的影响,然要使结果最优化,最终确定求差值的方差,使之更具有说服力。即求:
2
211(,)()n n
i
i i i i Q a b y a bx ε====--∑∑ 达到最小为原则,对未知参数a 与b 的估计称为未知参数a 与b 的最小二乘估计,估计值
记为?a
与?b 。这时称 ???y
a bx =+ 为y 关于x 的经验回归方程,简称为回归方程。其图像为直线。
根据公式
1111
22211111()()()()
?()()?1??n n n n i i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i n x y x y x x y y b n x x x x b a y x y bx n n =========?---??==?--???=-=-??
∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 求得?a
,?b 的值。其中?1285.32a =,?2570197b =-; 因此,可得出y 关于x 的回归方程:
y=1285.322570197x -
(3) 拟合优度检验
以上y 关于x 的回归方程就是否可以作为反映近十年来房价的变化还有待检验。而一元线性回归方程的检验,可以通过判定系数2R 来判别。其判别条件为:可决系数则越靠近1,模型对数据的拟合程度越好。通常有这样的判别系数关系式:
222??()()()i i i i
Y Y Y Y Y Y -=-+-∑∑∑ 与判别系数求法:
222?()1()i i
i Y Y R Y Y -=--∑∑
可求出判定系数为:
20.926R =
这可以解释为,该线性回归方程可以反映出表1中92.6%的数据,即数据具有很好的符合性,因此可以采用此方程。
与此同时,我们利用Excel 作回归分析得到回归统计表,方差分析表,残差与标准误差的数表(见附录一),发现其与所求出的回归方程及判别系数基本吻合,由此可见此模型建立的合理性。
5、1、3确定以后三年房价
通过上一问的求解,我们得到房价y关于年份x的回归方程,因此便可对x赋值,令x ,便可求出对应年份的上海房价,其结果见下表:
2013,2014,2015
x(年) 2013 2014 2015 y(元/平米) 17152、2 18437、5 19722、8
所以我们给出未来三年,上海总体房价水平为17152、2元/平米,18437、5元/平米,19722、8元/平米。
5、2 问题二的建立与求解
5、2、1 建立递阶层次结构
由问题一可知,上海近几年来房价处于不断增长之中;国家为了继续做好房地产市场调控工作,颁布了五项加强房地产市场调控的政策措施,即“国五条”,确保房地产市场能够平稳健康发展,最终实现调控房价的终极目标。
然而,由题目可知,造成房价持续上涨的原因主要包括两方面:第一,不规范的房的销售价格行为;第二,地价的上升导致房的开发成本提高。这里准则层在选择时,在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外,通过查阅资料发现,消费心理也对房价产生不少影响,所以准则层有三个因素。因此,我们可以将这些因素分别划分到措施层、目标层与准则层中,构建出一个层次分析模型,如下图所示:
图3 层次结构分析模型
5、2、2构造判断矩阵并赋值
由图3可反映出各个因素之间的联系,但准层中的各因素在目标准则中的比重并不一定相同,它们各自占有一定比例;由于各比重不定量化,所以首先通过各因素两两比较来确定比较判断矩阵。比较的标度值引用数字1—9及其倒数,1—9及其倒数具体含义不同,我们参照下表对各层判断矩阵分别赋值,确定判断矩阵,1—9及其倒数的具体含义参照下表,表3:
标度含义
1 表示两个因素相比,具有相同重要性
若因素1与因素2的重要性之比为m ,那么因素2与因素1重要性之比为 1
m
。 然后我们根据构造矩阵的方法,对A 、B 、C 三层分别进行主观判断构造矩阵。
(1)相对于调控房价,各考虑准则层之间的相对重要性比较(判断矩阵A B -)
12312311/31/5311/7571X X X X X X ??????????
(2)相对不规范房的销售价格行为这一准则,各方案之间的重要性比较(判别矩阵1B C -),详见附录七;
(3)相对地价上升致开发成本提高这一准则,各个方案的重要性比较(判别矩阵2B C -),详见附录七;
(4)相对消费心理这一准则,各方案之间的重要性比较(判断矩阵3B C -),详见附录七。
5、2、3计算权向量与检验
在得到判断矩阵后,求各个判断矩阵对应的最大特征值 m ax λ。根据以下公式,求一致性指标及比率:
一致性指标
max 1n CI n λ-=
-,
一致性比率 max (1)
n CI CR RI RI n λ-=
=-g 其中随机一致性指标与矩阵阶数的关系见下表:
(1)利用上述公式,带入求值,分别计算出了判断矩阵A B -矩阵相对重要性权值及CR ,max λ,然后,通过求得的m ax λ,查找相应的平均随即一致性指标RI 。
它们具体数值为
()10.65250.21920.1967W ????=??????
max =2,CR=0.7500,0.6696, 1.120CI RI λ-=-= (2)利用上述公式,带入求值,分别计算出了判断矩阵1B C -矩阵相对重要性权值及CR ,max λ,然后,通过求得的m ax λ,查找相应的平均随即一致性指标RI 。它们具体数值为
(2)0.30890.4963(1)0.10290.06750.0244W ????????=????????
max =5.3367,CR=0.0752,0.0842, 1.120CI RI λ== 对判断矩阵2B C -,3B C -权向量,CR ,max λ值及一致性指标RI 的计算在附录七 通过以上结果便可发现,CR 均小于0、1,即上述各判断矩阵的结果符合一致性检验的要求。
5、2、4 层次总排序
被影响层相对于主导因素的层次总排序计算见下表:
5、2、5 层次总排序组合的一致性检验
假设第1p -层有k p 个因素,第p 层的一致性指标为: ()()()12,,,k
p p p p CI CI CI ???, 第p 层的一致性指标为:()()()12,,,k
P P p p RI RI RI ???, 则 ()()()()(1)12[,,,]k
P p p p p p CI CI CI CI w -=??? ()()()()(1)12[,,,]k
P P P p p p RI RI RI RI w -=??? 其中,(1)p w -为第1p -层对第一层的排序权向量
那么,第p 层对第一层的组合一致性比率为:
()
()(1)
(),3,4,,p p p p CI CR CR p s RI
-=+=??? 只有当CR 0.1<时,我们认为层次总排序结果具有满意的一致性;否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。对于该题,我们将相应数据带入公式,分别计算(3)RI 与(3)CR 的值并作出判断,下面即使求解检验过程:
[](3)0.65251.12 1.121.120.2192 1.19660.1967RI ????==?????? (3)(3)(2)(3)0.06110.75000.80100.11.1966
CI CR CR RI =+=+=< 5、2、6 结果分析
显然,0.1CR <,因此上面得到的结果就是可靠的;我们可以得到,坚决抑制投机投资性购房权重最大,相对重要程度最高;坚决抑制投机投资性购房权重次之,相对重要性较重要;完善稳定房价工作责任制权重第三,相对重要性排第三;加快保障性安居工程规划建设与加强市场监管权重第四与第五,相对重要性不太高。因此,抑制投资投机性购房这项措施对房价的升高最具有控制力。
5、3 问题三的建立与求解
5、3、1 寻求房价与居民购房消费的关系
由于房价就是通过影响CPI 中的居民购房消费这项指标从而对CPI 产生影响的,因此它们肯定存在一定量的关系。
记k 时段上海房屋总数为k x ,同时段的房价为k y ,k 表示一个生产周期,而不一定就是一年。则构造函数:
()k k y f x =
来反映居民对房屋的需求关系,称为需求函数。由于商品的数量愈多,价格就会愈低,所以f 为一条下降的线。
然而下一时段房屋数量由上一时段价格k y 决定,因此设
1()k k x h y +=或1()k k y g x +=
h 或g 反映房产商的供应关系,称为供应函数。因为价格越高,生产量越大,所以 h 或g 为一条上升的线。
由于f 为一条下降的线,而h 或g 为一条上升的线,所以需求函数与供应函数必定有交点,此交点称为平衡点。而偏离平衡点,供求关系将发生变化,居民购房消费也将发生变化。
供求关系大致分成两类:
(1)需求大于供应,即()1()k k f x g x +>,此时居民消费为11()k M K y =
(2)需求小于供应,即()1()k k f x g x +<,此时居民消费为22()k M K y =
那么居民购房消费大致可以表示为1212()k M M M K K y =+=+
5、3、2 寻求居民购房消费与CPI 的关系
由于居民购房消费随时间变化,而CPI 也随时间变化,故可直接建立居民购房消费与CPI 两者之间的关系。
这种关系可以根据近几年居民在居住方面的消费与相应年份CPI 的变化,拟合出这样一种关系。所以,我们将搜集到的数据,利用mathematic 拟合(拟合曲线图见附录),在经过多次拟合后,我们发现五次拟合就是效果最好的,其拟合图如下:
图4 拟合图
拟合图虽然较为粗糙,但能反映大部分的数据,可以表示出居民购房消费与CPI 的关系,可以采用。
5、3、3 得出房价与CPI 的关系
通过上面的求解,我们可以归纳出房价关于CPI 的表达式为
642344852.610 2.31082.30.15 1.310 4.510C M M M M M --=-?+?-+-?+?
其中M 表示为
()()1121()()
k k k k k k K y f x g x M K y f x g x ++>??=?
应该注意的就是,我们难以根据房价的变动,直接得出其与上海居民消费价格指数CPI 的直接关系,也就说房价不就是直接影响CPI 的指标,但房价却可以影响CPI 中的某项指标来进一步影响CPI 。
在CPI 的各项指标中,居民购房消费这项指标与房价关系最为紧密,其她的几乎毫无联系,且可以判断,这两项必定存在直接的关系,所以我们仅从居民购房消费入手建立形如“蛛网模型”的一个关系来反映居民消费的变动。然后,采用数据拟合的方法,将近几年居民用于房地产的消费与对应年份CPI 的值拟合成代数关系。这样,我们只要将中间的参数替换掉,便可得到房价与CPI 之间的关系了。
然而,结合前两个问题我们不难发现,上海房价近十年来总体趋势就是上涨的,且上涨的主要因素第一就是不规范的房的销售价格行为,第二就是地价的上升导致房的开发成本提高。出现这些现象的潜在原因就是,居民对购房的需求在增加,需求的增加使得开发商作出这些对策,所以上面的模型中,供应函数所占的比重应较大。所以在需求增加的情况下,商品房供不应求,房价便提高起来。在居民任然选择购房的情况下,其用于居住方面的开支增多,CPI 也就随之变化。
这个关系也为政府在制定措施时提供一个重要依据,由“国五条”具体如何影响房价变化各个指标的权重可知,增加普通商品住房及用地供应这一条所占权重在总排序中占第二,即政府在制定措施时考虑到房子的供求关系,且排在相对重要的位置。房价关系
到居民的生活居住等问题,相对于日常消费,房产的消费在居民消费中占了比重较大的一部分。房价的变动影响了消费,CPI 也随之变动。这样,我们便在房价与居民消费价格指数(CPI )之间建立从房价变动到供求变动,再到房价变动引起房产消费开支增减,最后引起CPI )值的变化。
5、4 问题四的建立与求解
5、4、1 线性规划模型的建立
在不考虑投资风险的情况下,给定100万元,考虑到各个指标三年后的投资上限及各个指标的投资利润率,我们得出目标函数,即三年后最大总资金:
38
311{100}ij j i j Max Z X W ===+∑∑
下面就是对约束条件的讨论:
第i (13)i ≤≤年年初的总资金为前i 年获利加
1i i i i Z Z X Y -=-+
每年投资总额不超过每年年初的总资金
1i i X Z -≤
每年对各个指标的投资不能超过该指标的投资上限
ij j X P ≤
第i 年年初总投资等于第i 年对各项指标投资总与
8
1i ij j X X ==∑
综上所述,得到问题四的最优化模型:
38
311{100}ij j i j Max Z X W ===+∑∑
1181..,,0
i i i i
i i ij j i
ij j Z Z X Y X Z s t X P X X X Y Z --=??=-+??≤?≤???=??>?∑ 5、4、2模型的求解
基于上面的线性优化模型,我们搜集每组数据,包括近几年分行业投资总数,近几年各个行业生产总值,并查阅资料得到CPI 指标各项指标投资收益率,显然,模型中最重要的数据即为投资收益率。在收集到数据后,搞清楚各个对应关系,我们利用Lingo 软件,编写适当程序,得到就是收益最大的情况下,各项指标的最优化配置,即100万元分配给八项指标的钱数。具体数值见下表: