理论力学-刚体的平面运动
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第七章 刚体的平面运动
一、是非题
1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( )
２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( )
4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][
=永远成立。 ( ）
5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。
( ）
7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ) 二、选择题
１．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u
,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。
①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。
2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。
①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。
3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运
动是 的，图（b)的运动是 的。
①可能; ②不可能; ③不确定。
4．图示机构中,O1A=O２B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示
O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2Ｂ时，有。
①ω1=ω2,ε1=ε2；
②ω1≠ω2，ε1＝ε２；
③ω１=ω２,ε1≠ε2;
④ω1≠ω2,ε1≠ε2。
三、填空题
１.指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑)作;杆BC作；杆CD 作;杆DE作。并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬心。
２．试画出图示三种情况下,杆BC中点M的速度方向。
３.已知ω=常量,ＯA=r，ｕA=ωr=常量，在图示瞬时,u A
＝ｕＢ,即uＢ=ωr，所以αB=d（u B)/ｄt＝０,以上运算是否正
确？,理由
是。
4.已知滑套A以10m/s的匀速率沿半径为R=2ｍ的固定曲杆CD 向左滑动,滑块B可在水平槽内滑动。则当滑套A运动到图示位置时,ＡＢ杆的角速度ωAB＝。
5．二直相长度均为1m,在C 处用铰链连接、并在图示平面内运动。当二杆夹角α90?时,u A ⊥AC ，u
B ⊥B
C 。若ωBC =1.2rad ／s,则u B = 。
6．半径为r 的圆盘,以匀角速度ω沿直线作纯滚动,则其速度瞬心的加速度的大小等于 ;方向 。
7．小球Ｍ沿产径为Ｒ的圆环以匀速u
ｒ运动。圆环沿直线以匀角速ω顺时针方向作纯滚动。取圆环为动参考系,则小球运动到图示位置瞬时：
①牵连速度的大小为 ； ②牵连加度的大小为 ；
③科氏加速度的大小为 (各矢量的方向应在图中标出）。
四、计算题
1．机构如图，已知:OA=OO 1=Ｏ1Ｂ=Ｌ，当φ＝90o时,O 和Ｏ1Ｂ在水平直线上，OA 的角速度为ω。试
求该瞬时:（１）杆AB 中点Ｍ的速度M V
;(２)杆O １B 的角速度ω1。
2．平面机构如图所示。已知：ＯA=AB=BC=Ｌ,2/3L BD
=,D Ｅ=3L/4，杆O Ａ的角速度为ω。在图
示位置时,φ＝30°,O 、Ｂ、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬间滑块Ｃ的速度。
３．平面机构如图所示。已知：等边三角形板ＡBO 边长Ｌ=３0ｃｍ,A 端与半径r ＝１0cm 的圆盘中心铰接,圆盘可沿R=40cm 的固定圆弧槽作纯滚动，B Ｃ＝６0cm 。在图示位置时,ＯA 铅垂,ＢC 水平，盘心A 的速度u A =20cm/s 。试求该瞬时滑块C 的速度。
4．图示平面机构中，A 和B 轮各自沿水平和铅垂固定轨道作纯滚动,两轮的半径都是Ｒ，BC=L 。在图示位置时,轮心A 的速度为u
，θ=6０°,AC 水平。试求该瞬时轮心Ｂ的速度。
5．图示偏置曲柄机构,已知：曲柄O Ａ以匀角速度ω=1．5rad/s 转动,OA=40ｃm,AB ＝50cm,h=30cm 。试求OA 在图示水平位置时，滑块B 的速度和加速度。
6.在图示椭圆规机构中，已知：OC ＝AC=ＣB=Ｒ，曲柄OC 以匀角速度ω转动。试用刚体平面运动方法求φ=45°时,滑块B 的速度及加速度。
７.在图示四杆机构中,已知：AB ＝ＢC=L ，CD ＝ＡD ＝2L ，φ＝４５°。在图示瞬时A 、B 、C 成一直线，杆AB 的角速度为ω，角加速度为零。试求该瞬时C 点的速度和加速度。
8．在图示平面机构中，已知:BＣ＝5cm，AＢ=1０cm，Ａ点以匀速度ｕA=1
０m／s沿水平运动，方向向右;在图示瞬时，θ=３０°,BC杆处于铅垂位置。试
求该瞬时：（１)B点的加速度;（2)AB杆的角加速度；(3）AB杆中点D的加速度。
9．平面机构中在图示θ＝3０°位置时，杆ＡB及O2C分别
处于水平及铅垂位置，Ｏ1A为铅垂线,O1A=O2Ｃ=L=10cm，
u A=8cm/ｓ，αＡ=０。试求此瞬时：（1)连杆BC的角速度ωBC;（2）
杆Ｏ2C的角速度ω2；（3)杆O1B的角加速度ε1。
1０．半径为Ｒ的圆盘沿水平地面作纯滚动，细杆AB长为Ｌ，
杆端B可沿铅垂墙滑动。在图示瞬时，已知圆盘的角速度ω0,角加速度
为ε0,杆与水平面的夹角为θ。试求该瞬时杆端B的速度和加速度。
1１．在图示平面机构中，曲柄ＯA以匀角速度ω=3rad／s绕Ｏ轴转动，ＡC=L ＝3m,R=1m,轮沿水平直线轨道作纯滚动。在图示位置时,OC为铅垂位置,φ=６0°。试求该瞬时:(1）轮缘上Ｂ点的速度;(2）轮的角加速度。
12.平面机械如图所示。已知:直角刚杆AＯB的一边长为OＢ=15ｃm，BC=3０ｃｍ。半径ｒ=１０cm的圆盘在半径Ｒ=40ｃｍ的固定圆弧面
上作纯滚动，匀角速度ω=2rａd/ｓ。在图示位置时ＯＢ铅垂，φ＝30°。试
求该瞬时(1）BC杆的角速度和角加速度;(2）滑块Ｃ的速度和加速度。
１3．平面机构如图所示。套筒在轮缘上B点铰接，并可绕B转动,DＥ杆穿过套筒。已知：r＝ｈ=20cm，OA=4０cm。在图示位置时，直径AB水平,杆DE铅垂，OＡ杆的角速度ω=2rａｄ/ｓ。试求该瞬时杆DE的角速度。
14.平面机构如图所示。AB杆可沿气缸F滑动,而气缸FO1Ｃ可
绕O1轴摆动。已知:OA?=ｒ=1０ｃm，O1C=4０cm,CD＝4０2cｍ，
DE＝AＢ=3０ｃm。在图示位置时,φ=θ=４５°，ω=2rad/s,A与O1C处
于同一水平线，AＯ1＝40ｃm,DE水平。试求该瞬时杆ＤE的角速度。
15．平面机构如图所示。套筒B与CＢ杆相互垂直并且刚连，CB杆与滚子中心Ｃ点铰接,滚子在车上作纯滚动，小车在水平面上平动。已知：半径r=h＝10ｃm,CB＝4r。在图示位置时,θ＝６０°,OA杆的角速度ω=2ｒａd／s,小车的速度u=10m/s。试求该瞬时滚子的角速度。
1６.机构如图,已知:OＡ=2b；在图示瞬时,OB=BA，φ=60°,θ＝30°,∠A=90°，ＯA的角速度为ω。试求此瞬时套筒Ｄ相对BC的速度。
第七章 刚体的平面运动参考答案
一、是非题
1．对 2．对 3.错 ４.对 5.对 6．对 7.对 8．错 二、选择题
1．④ ２.② ３.②；① ４.③ 三、填空题
１.答：轮Ａ作平面运动；杆BC 作平面运动;杆CD 作瞬时平动;杆D Ｅ作定轴转动(图略)。 2.答:略
3．答:最后一式:a Ｂ=du B /dt=0不正确。
∵加速度应为速度函数对时间的导数而非某瞬时值的导数。 4.答:ωA Ｂ=0。 5.答:1.2m ／s 6.答:大小:a=r ω２
。 7.r k e e
u a R a R u ωωω2 ; ;22===(图略)。
四、计算题
1．解:V A =L ω
因为杆ＡB 的速度瞬心在O 点，故 ωAB =V A /Ｌ=ω V M =OM ·ωAB=
ωL 52
1
? (垂直ＯＭ偏上) ω01B ＝V Ｂ/O 1Ｂ=OB ·ωAB /O 1B =2ω (逆时针）
2.解： 60cos 30cos B A u u AB =平面运动
水平向左
平面运动
ω
ω
L u u u BC L u u C C B A B 5.130cos 33==== 3．解：等边三角形板作定轴转动 u B =ｕA =２0cm/ｓ
它与水平夹角 θ=60°
BC 杆作平面运动 u C =u B ·cos θ＝1０ｃm/s → ４．解：轮Ａ平面运动,瞬心P 点
u PC u R u A C A 2 ,/=?==ωω
BC 平面运动
u c co ｓ15°＝u B co ｓ30°, u B =1.５8u 铅直向上 5．解:取点B 为基点，则有
cm/s
75)5/4/(60cos /)( cm/s 45)
3050(30
5.140
2
/122===→=-??=?=+=ααA AB
A B AB
B A V V tg V V V V V 得 取点A 为基点，则有 τBA n BA A B a a a a ++= 将上式投影到A B 方向,得
2
22
cm/s 231 )4/()5( cos /
cm/s 63.230cos /)cos (cos cos =??+?=+==+=∴+=AB V OA a a a a a a a a a n
AB n
BA A B n BA A B n
BA
A B ωααααα故
６．解:取杆AB,根据速度投影定理，有 ＶB co ｓ45°=V Ｃ
ωR V V C B 22== (↑)
杆AB 的速度瞬心在点Ｐ，它的角速度
0//ωωω===R R CP V C AB 顺时针
取点C 为基点,则有
τ
BC n BC c B a a a a ++=
将上式投影到A B 方向,得
)
( 222 45cos 2
2
↓===∴=ωωR R a a a a AB n
BC B n
BC
B
７．解：杆BC 的速度瞬心在点C,故 VC=0
)
,( 3/34 3
/)(32 30cos /)(30cos ,,//222偏上垂直得轴将上式投影到则有为基点取点CD L L L a a a a a a X a a a B L L BC V n
CB B C n
CB
B C CB
n
CB C B BC ωωωωωωτ
=+=+=∴--=?-+====∴
８．解：(1)求ａB 和εAB
()
方向如图示
为基点则选求逆时针由图中几何关系得
则
为基点选杆作瞬时平动
不垂直于且常量 cm/s 3/3203/45)2(/3/4 10
/3/40/cm/s 3/340)2/3/(25 30cos /cos / ,A rad/s
25/10/,0,,||0
,2
2AB 2
22
=?=?==∴++=====?=?===++=+====∴=∴=AB DA D DA
n
DA A D D
BA BC n
B BA B BA n BA A B n
B B B
C AB A B A A A DA a a a a a a A a s rad AB a BC a a a a a a a a BC V AB V AB V V a V εεωθωωτ
τ
ττ
τ
τ
9．解：由速度投影定理
AB B AB A V V ][][=
0/ 0
)/60sin (2 60sin 60cos ),0(cm/s 34.6cm/s 8.1220/16/a rad/s
8.010/8/, rad/s 6.110/16/ rad/s 8.020/16/ cm/s
16 ,C cm/s 1660cos /860cos / 1112
2
22
2212
B 1122B
C ==∴=?-?==++=+==?=============∴===+====B O a B O V AB a a a a a a a a a A BA a B O V A O V O AB CO V BC V V V V V V V V V B B AB B n BA
n B B n
BA BA n B B A AB n
BA B n
A A
B
C BC B BC C BC C B A B τ
τ
τ
ττεωωωωω 得将上式向水平轴投影则有
为基点取点有故
杆的速度瞬心为点顺时针
顺时针
故则得为基点取点得
10.解:（1)求B V
C 1为圆盘速度瞬心,故ＶA =Ｒω0 ∵C 2为杆AB 速度速度瞬心，故
铅直向下
方向方向有上式投影在则为基点选求铅直向下
:)sin /( sin /)cos ( cos sin , ,)2( sin /cos sin //32
0202
0000202θωθεθωθεθθεθωθωθωθ
ωωτ
L R ctg R L R a a a a BA a a a a A R a a ctg R L R L BC V L R AC V AB B n
BA
A B BA
n
BA A B A B
AB B A AB +=+=∴+=++===?=?=∴==
11．解:AC 杆速度瞬心在O 点，故 ωAC =ＶA /AO=ω V C =CO ·ωA Ｃ=2
3ω
轮子速度瞬心在C 1点，故 ωC =ＶＣ/R=２3ω/R
VB=BC １·ωC =
2R ·２
3ω/R
=14．7 ｃm ／s 方向如图 选Ａ为基点,则
τ
CA n CA A C a a a a ++=
上式投影在ＣA 方向，有
顺时针
rad/s 54/2 60cos /cos /22
2
===?==R a L AC a a C C AC n
CA C εωωφ
12．解：圆盘作平面运动，P 点为速度瞬心 ｕA =r ω＝20ｃm/s αＡτ＝0
αA n =u A 2／O Ａ=４0/3cm/ｓ2 直角刚杆AOB 定轴转动
2B
2cm/s 3/202
1,0cm/s 102
1
=====
n A n
B A B u u ααατ
B Ｃ杆瞬时平动，其角速度 ω２＝０
→
==∴=====?=++=←==∴ cm/s 55.11 rad/s 44.0/BC
cm/s 3/40sin / 0
cm/s 10 22222
2φαααεφααωααααατ
ττctg BC BC u u n
B C CB n
B CB n CB n CB
CB n B c B c 逆时针
杆的角加速度
得式中
１3.解：轮作平面运动 u A ＝O Ａ·ω=80cm/s 以Ａ为基点：
CA A C u u u
+=
ｕC ＝u A c ｏs6０°=40 c ｍ/s 以C 为基点：
BC C B u u u +=
动点:铰链Ｂ,动系:DE r e B u u u +=
即
BC C u u +＝r e u u +
得 u e ＝u C
∴ ωDE =u ｅ/ＤB ＝1 r ａｄ/s 逆时针 1４.解：动点：A ，动系:气缸F Ｏ1Ｃ
A u
=r e
u u
+
顺时针
rad/s 0.47 /30210/u u cm/s
210u cm/s 21022
1
45cos C
D c ========
=ED u u r u u D ED e A e ωω
15．解：轮、BC 杆作平面运动，以D 为基点
C u =C
D u u +
即 u C =r ωD -u 以C 为基点：
BC C B u u u
+=
动点:套筒Ｂ,动系:OA
B u
＝r e
u u
+
即 BC C u u +=r e u u +
向η方向投影 u co ｓ30°＝u
(r ωD －u )co ｓ３0°＝OB ·ω O Ｂ=80
3/3 ｃm
∴ ωD ＝11.67r ａd/s 顺时针 16．解：以滑套B 为动点,ＯA 为动系 11r e B V V V +=
由速度平行四边形得
3/3230cos /1b V V e B ω==
A Ｄ杆作平面运动，据速度投影定理，有
3/3430cos /b V V A D ω==
再以套筒D 为动点，ＢＣ杆为动系 =D V 11r e V V +=r B V V + 将上式向水平方向投影得 r V b b +?=ωω323
1
3/34 解得 3/32ωb V r =