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中文摘要 .......................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT .......................................... 错误！未定义书签。 引言 ............................................................... 1 1.伯努利方程的解法 ................................................. 1 1.1变量代换法 .................................................... 1 1.1.1一般解法 .................................................. 1 1.1.2函数变换法 ................................................ 2 1.1.3 求导法 .................................................... 3 1.1.4恰当导数法 ................................................ 3 1.2常数变易法 .................................................... 4 1.3积分因子法 .................................................... 6 1.4解法举例 ...................................................... 7 2.伯努利方程的应用 ................................................ 10 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 10 2.1.1在形如()()
()()()y x y x n
y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()?
?
（()
y x y dy ?()?存在
且不为零）方程中的应用 (10)
2.1.2在形如1[()()]()()y y y y
f x h y
g yx
h x x x x
αα-'+=+方程中的应用 (11)
2.1.3在黎卡提方程中的应用 (12)
3．总结 ........................................................... 13 参考文献 .......................................................... 14 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。
引言
在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如()()n y P x y Q x y '+=，其中()P x 、()Q x 为x 的连续函数，n 为常数且n ≠0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解[]41-。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。
本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。
1.伯努利方程的解法
1.1变量代换法
1.1.1、变量代换法、常数变易法的混合运用 伯努利方程：
()()n dy
P x y Q x y dx
+=（n ≠0，1）………（1.0） 其一般解法步骤如下：
⑴ 方程两端同除以n y 得：
1()()n
n dy
y p x y Q x dx
--+=.
⑵ 变量代换
令z =1n y -即可化为一阶线性微分方程：
(1)()(1)()dz
n P x z n Q x dx
+-=-． ⑶ 常数变易
通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解．
⑷ 变量代换
最后将z 代换1n y -得原方程的通解：
(1)()(1)()1(1)[()]n p
x d x
n p x d x
n y n e Q x e
d x c
---?
?=-+?．[1]
C 为任意常数 1.1.2函数变换法
设()()y u x v x =是（1.0）式的解，则对()()y u x v x =两边求导得：
()()()()y u x v x u x v x '''=+，
将上式代入方程得：
()()()()()()()()()()n n u x v x u x v x p x u x v x Q x u x v x ''++=，
整理得：
()()()[()()()]()(n n u x v x u x v x p x v x Q x u x v x ''++= ……… （1.1）
令()()()0v x p x v x '+=解得：
()()p x dx
v x e -?=，将其代入（1.1）式得：
()()()()()p x dx n p x dx
n u x e Q x u x e --??'=，
整理得：
(1)()()()()n p x dx
n u x u x Q x e
--?
'=，
两边积分得：
(1)()1()(1)[()]n p x dx
n u x n Q x e
dx c --?
=-+?，
故伯努利方程的通解为：
(1)()(1)()1(1)[()]n p x dx
n p x dx
n y n e Q x e
dx c ---?
?
=-+?．[2]C 为任意常数
1.1.3 求导法
令1()()n z A x y B x -=+， 对上式两边求导得：
1()()(1)()n n z A x y A x n y y B x --''''=+-+，
即有：
11
[()()](1)()
n n y y z B x A x y n A x --''''=--?
-，
代入（1.0）式得：
1[(1)()()()]()(1)()()0n z n A x p x A x y B x n Q x A x -'''+-----=．
令(1)()()()0n A x p x A x '--= ， ()(1)()()0B x n Q x A x '+-=． 解得：
(1)()()n p x dx
A x e
-?
= ， (1)()()(1)()n p
x d x
B x n Q x e
d x
-?=-?
． 这时伯努利方程变为0z '=，解得z c =.
于是得到伯努利方程的通解为：
(1)()(1)()1[(1)()]n p x dx
n p x dx
n y e
n Q x e
dx c ---?
?
=-+?．[3]C 为任意常数
1.1.4恰当导数法
令()()p x dx u x e -?=，有()()()p x dx
u x p x e -?'=-，
即：
()
()()
u x p x u x '=-
． 则（1.0）式变形为：
1
1
()()()()()
n n n u x y y y Q x u x u x u x --''-=?，
11
()()()[]()()n n y u x y Q x u x y u x u x --''-=， 11()()()()[]()n n y lny lnu Q x u x u x --''-=，
11()()()[]()
n n y y ln Q x u x u u x --'=， 设y uz =得：
11()()()n n lnz Q x u x z --'=，
1
()()n n z Q x u x z
-'=（可分离变量微分方程）． 两边积分解之得：
11(1)[()()]n n z n Q x u x dx c --=-+?，
用y
z u
=
，()()p x dx u x e -?=，回代得伯努利方程的通解为： (1)()(1)()1(1)[()]n p x dx n p x dx
n y n e Q x e dx c ---??=-+?
．[]4C 为任意常数
1.2直接常数变易法
常数变易法一：
（1.0）式的齐次方程的通解为：
()p x dx
y ce -?=．
设原方程（1.0）式的通解为：
()()p x dx y c x e -?=，
代入（1.0）式得：
()()()()()p x dx n p x dx
n c x e c x e Q x --??'=．
这是一个可分离变量的微分方程，可求出1()n c x -．
即： (1)()1()(1)[()]n p x dx
n c x n Q x e dx c --?
=-+?，
则原方程的通解为:
(1)()(1)()1(1)[()]n p x dx
n p x dx
n y n e
Q x e
dx c ---?
?
=-+?．[]5C 为任意常数
常数变易法二：
本方法的创新之处是先解方程()=Q n
dy
x y dx ………（1.2）,
利用变量分离法解式（a ）得：y
n
-1=(1-n)?[()c dx x Q +?
]，
现把常数c 变易为待定的函数c( x),即y
n
-1=(1-n)?[()c dx x Q +?
（x ）]………(1.3),
对式(b)两边求微分得：
()()n
dc x dy
y Q x dx dx -=+……（1.4）,
由（1.0）、(1.3)、（1.4）式得()
()()()()1dc x n p x Q x dx c x dx ??=-+??
?。利用一阶线
性
方
程的通解公式得
()()()()()()()()111n p x dx
n p x dx c x e
n p x Q x dxe dx c --??
??=-+??????………（1.5），
把
式（ 1.5
）
代入式(1.3)
得
()()()()()()()()()111(1)(1)[1]
n p x dx
n p x dx
n y n Q x dx n e n p x Q x dxe
dx c ---??=-+--+???,
利用分部积分公式udv uv vdu =-??，令()u Q x dx =?，
(
)()1n p x dx
v e -?
=，则伯努利方
程的通解为
()()()()1(1)1(1)n p x dx
n p x dx n y n e
Q x e dx c ---??
??=-+?????.[]6C 为任意常数。
当n>0时，方程还有解y=0.
1.3积分因子法
将（1.0）式两端同除以n y 整理为：1(()())0n n p x y Q x dx y dy ---+=………（1.6） 有
()()1,()(),,n n
M x y p x y Q x N x y y --=-=．
则：
()()(),,1
()(1)()
,M x y N x y n p x N x y y x
??-=-??，
只是关于x 的函数，则其积分因子为()u x ，
(1)()()n p x dx
u x e
-?
=，
将(1)()()n p x dx
u x e
-?
=乘以(1.6)式得：
(1)()(1)()(1)()1()()n p x dx
n p x dx
n p x dx
n n Q x e
dx y e
dy y p x e
dx -----??
?
=+…………（1.7）
对（1.7）式右边进行凑微分得：
()()()()()111(1)n p x dx
n p x dx
n n Q x e
dx dy e
---??-=
两边同时积分得：
()()()()()()11111n p x dx
n p x dx
n n Q x e
dx c y e
---??-+=?，
整理得：
()()()()()()1111(1)
n p x dx
n p x dx
n y e
n Q x e
dx c ----?
?=-+?
令c=1c /(1-n)
从而伯努利方程的通解为：
(1)()(1)()1(1)[()]n p x dx
n p x dx
n y n e
Q x e
dx c ---?
?
=-+?．[]7C 为任意常数
1.4解法举例
利用上面各种求解方法求解方程的通解
解：现将方程变为标准型的伯努利方程，即………①解法一（变量代换、常数变易法）：在①两边同除以得：
令，则
由的通解经常数变易得的通解为
(C为任意常数)
解法二（函数变换法）：令y=u(x)v(x)为①式的通解
由上述讲解知：,
，则
令c=-c
1
(C为任意常数)
解法三（求导法）：
令
由上述讲解知：
(C为任意常数)
方法四（恰当导数法）：
令
由上述讲解知：
令c=-c，则
(C为任意常数)
方法五（直接常数变易法）：
（一）、对①式的其次方程的通解进行常数变易，从而得①式的通解
的通解为
经常数变易后设为①式的通解
，即
(C为任意常数)
（二）、先求的通解，然后再利用常数变易法求①式的通解由上述讲解知：(C为任意常数)
六（积分因子法）：
化简题目中的方程为：………②
∴
,
∴
∴
②式的积分因子为
为全微分方程
(C 为任意常数)
注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于x 的函数，再代回原方程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍
微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程简洁，方法简单。
2.伯努利方程的应用
2.1在一阶微分方程中的应用
2.1.1在形如()
()
()()()y x y x n y y p x y dy q x y dy '?()=?()+?()??
（()
y x y dy ?()?
存
在且不为零）方程中的应用
令()y x Φ()=()
y x y dy ?()?
，有
()()d y x y y x dx
Φ()
'=?()， 则原方程化为：
()()()()[()]n d y x p x y x q x y x dx
Φ()
=Φ()+Φ()． 此方程为伯努利方程，可求得1(())n y x -Φ． 故原方程的通解为：
(1)()(1)()1(())(1)[()]n p x dx
n p x dx
n y x n e
q x e
dx c ---?
?
Φ=-+?．
例1：2422yy xy xy '=+． 解：令2x y Φ()=，则2d x yy dx
Φ()
'=． 代入原方程得：
22[]d x x x x x dx
Φ()
=Φ()+Φ()， 解得：
212
()2x x ce
--1
Φ=-，
则原方程的通解为：
212
2
()2x y x ce
--=-．
2.1.2在形如1[()()]()()y y y y
f x h y
g yx
h x x x x
αα-'+=+方程中的应用
令y xu =代入上方程中，然后整理把u 取作自变量． 则得到一个伯努利方程：
1[()()]()()dx
g u uf u xf u x h u du
α+-=+ （2.1） 求得（2.1）的通解为：
()
()
()()()()
1()()()()
f u du
f u
g u uf u du g u uf u e
h u x du c e
g u uf u α
ααα----??=-
+-?
, 然后将u 换成
y
x
得到原方程的通解. 例2：2(4)22x xy y y x xy '+=++.
解：方程中22,()4,()2,()y y y y y
f g h x x x x x
α===
+=．
设y
u x
=
得： 3(22)
4dx
u x x u du
-=+， 把u 取作自变量，解这个伯努利方程得：
234411
()(1)34
x u u c u ---=-+-，
将u 换成y
x
得原方程的通解为：
234411[()()](1)34y y y
x c x x x
---=-+-．
2.1.3在黎卡提方程中的应用 黎卡提方程：2()()()dy
p x y Q x y R x dx
=++，其中(),(),()p x Q x R x 都是连续函数。
如果已知黎卡提方程的一个特解为：1()y y x =， 作变量替换1()()()y x z x y x =+， 则
1
dy dy dz dx dx dx
=+， 代入原方程得：
21
11()()()()()dy dz p x z y Q x z y R x dx dx
+=++++ =22111()[2()()]()()()p x z p x y Q x z p x y Q x y R x +++++. 由于1()y y x =是原方程的特解，因而满足:
21
11()()()dy p x y Q x y R x dx
=++， 所以
21[2()()]()dz
p x y Q x z p x z dx
=++． 容易知道这是一个关于z 的伯努利方程且2n =，则由伯努利方程通解：
(1)()(1)()1(1)[()]n p x dx
n p x dx
n y n e
Q x e
dx c ---?
?
=-+?，
可求得：
1z -1[2()()](2()())[()]p x y Q x dx p x Q x dx
e p x e dx c -++??=-+?，
即：
1(2()())(2()())11
[()]()()
p x y Q x dx p x Q x dx e p x e dx c y x y x -++??=-+-?，
从而原方程的通解为：
1[2()()](2()())11()()[()]p x y Q x dx
p x Q x dx
y x y x e p x e dx c ++-?
?
=-+?．
（其中c 是常数） 例3：223y xy xy x '=+-．
解：易知原方程的一个特解为11y =， 作变量代换()1y z x =+，
有
1
dy dz d dx dx dx
=+代入原方程得： (()1)2(()1)3dy
x z x x z x x dx
=+++-， 整理得：
24dz
xz xz dx
=+为伯努利方程， 解得：
2121
4
x z ce --=--．
又由()1y z x =+得原方程的通解为：
2211
14
x ce y -=---．[6]
3．总结
文中所给解法对一般伯努利方程都行得通。在使用变量代换法时，可根据实际采用合适的变量替换。由于常数变易法我们在初学伯努利方程时就已经熟
练掌握如何用常数变易法解一阶线性非齐次方程，从而用常数变易法解伯努利方程也就比较容易。对于积分因子法，它对伯努利方程来说是一种独特的方法，具有较好的实际应用价值。总之，在求解方程时，可采用简单的解法或你熟练掌握的解法。关于应用方面，本文只是给出了在一些微分方程中的应用，但在实际生活中，伯努利方程或许还有更多的应用，这有待于我们进一步去探讨。
参考文献
[1] 王克，潘家齐.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005：27.
[2] 常季芳，李高．关于伯努利方程的几种新解法[J]．雁北师范学院学报：2007，
23（2）：89-91．
[3] 李宏飞．一阶非齐次线性微分方程的齐次解法[J]．榆林高专：1997，8（2）：
23．
[4] 张志典．用常数变易法求一阶非线性微分方程的解[J]．焦作大学学报：
1996，7（2）：24-25．
[5] 胡劲松，郑克龙．用“积分因子法”求解Bernoulli方程[J]．四川理工学
院学报：2005，18（3）：86-87．
[6] 张玉平．用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程[J]．企业家天地（理
论版）：2010，129（4）：199．
[7] 邹明辉，刘会民．二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件[J]．鞍山
师范学院学报：2004，6（4）：4-5．
[8] 胡爱莲．一类三阶非线性微分方程的可积条件[J]．喀什师范学院学报：2005，26（6）：8-10．
根据流体运动方程P F dt V d ??+=ρ1 上式两端同时乘以速度矢量 ()V P V F V dt d ???+?=???? ??ρ 1 22 右端第二项展开—— () ()V P V P V F V dt d ???-???+?=???? ? ?ρρ1122 利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=??? ? ?? ρρ1 22 右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加 热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程 ()() dt dq V P div V F V T c dt d +?+?=+ ρυ12/2 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=???? ? ? ρρ122 得到 ()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d -+=++-= ρ ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d dt dq ρυ+= 这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。 由动能方程推导伯努利方程： 对于理想流体，动能方程简化为：() V div p V P div V F V dt d ρρ+?+?=??? ? ??122无热流量项。 又因为() V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -??-=??? ???++-=???????)()()(故最终理想流体的动能方 程可以写成： p V V F V dt d ??-?=???? ? ?ρ 22 【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不 发生任何转换。】 假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-?=F 考虑Φ为一定常场，则有： dt d V V F Φ- =Φ??-=?
第八节伯努利方程 ●本节教材分析 本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． ●教学目标 一、知识目标 1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动． 2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的． 二、能力目标 学会用伯努利方程来解释现象． 三、德育目标 通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想. ●教学重点 1.伯努利方程的推导. 2.用伯努利方程来解释现象． ●教学难点 用伯努利方程来解释现象． ●教学方法 实验演示法、归纳法、阅读法、电教法 ●教学用具 投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸 ●教学过程 用投影片出示本节课的学习目标： 1.知道什么是理想气体. 2.知道什么是流体的定常流动. 3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象． 学习目标完成过程： 一、导入新课 1.用多媒体介绍实验装置 把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间 2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象? 学生猜想： ①乒乓球会被吹跑； ②两张纸会被吹得分开． 3.实际演示： ①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会贴在漏斗上
不掉下来； ②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近 4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 二、新课教学 1.理想流体 (1)用投影片出示思考题： ①什么是流体? ②什么是理想流体? ③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗? (2)学生阅读课文，并解答思考题： (3)教师总结并板书 ①流体指液体和气体； ②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的． a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的． b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为气体是不可压缩的． ③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性． b:不同的流体，粘滞性不同． c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性． ④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机械能向内能的转化． 2 定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动． (4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动． (5)学生阅读课文，并回答下列思考题： ①流线是为了表示什么而引入的? ②在定常流动中，流线用来表示什么? ③通过流线图如何判断流速的大小? (6)学生答： ①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线； ②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹； ③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大． 3.伯努利方程 (1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动 方向从左向右，我们在管的a１处和a2处用横截面截出一段流 体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度
伯努利方程的推导及其实际应用总结 楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0 一，伯努利方程的推导 1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。 既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。 假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实： 1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2 2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知） 3：细管中相应液体的机械能发生了变化。 事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间
伯努利方程 伯努利方程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。 (动能定理) 1、理想液体的运动微分方程 在微小流束上，取截面积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重力场中沿流线运动时其力的平衡关系。 微元体的所受的重力为-ρgdAds，压力作用在两端面上的力为 微元体在定常流动下的加速度为 微元体的力平衡方程为 上式简化后可得
p，z，u只是s的函数，进一步简化得 上式即为重力场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。 2、理想液体的伯努利方程 沿流线对欧拉运动方程积分得 上式两边同除以g 得 以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利方程。 伯努利方程推导简图 物理意义： 第一项为单位重量液体的压力能称为比压能（p/ρg ）； 第二项为单位重量液体的动能称为比动能（u2/2g ）；
第三项为单位重量液体的位能称为比位能（z）。 由于上述三种能量都具有长度单位，故又分别称为压力水头、速度水头和位置水头。三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总水头）为一定值。 3．实际液体流束的伯努利方程 实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻力，这必然要消耗能量，设因粘性二消耗的能量为hw'，则实际液体微小流束的伯努利方程为 4．实际液体总流的伯努利方程 将微小流束扩大到总流，由于在通流截面上速度u是一个变量，若用平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数。于是实际液体总流的伯努利方程为 式中hw---由液体粘性引起的能量损失； α1，α2---动能修正系数，一般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。 5．伯努利方程应用举例
- 1 - 第3章 能量方程（伯努利方程）实验 3.1 实验目的 1) 掌握用测压管测量流体静压强的技能。 2) 验证不可压缩流体静力学基本方程， 通过对诸多流体静力学现象的实验分析，进一步加深对基本概念的理解，提高解决静力学实际问题的能力。 3) 掌握流速、流量等动水力学水力要素的实验量测技能。 3.2 实验装置 能量方程（伯努利方程）实验装置见图3.1。 图3.1 能量方程（伯努利方程）实验装置图 说明：本实验装置由供水水箱及恒压水箱、实验管道（共有三种不同内径的管道）、测压计、实验台等组成，流体在管道内流动时通过分布在实验管道各处的7根皮托管测压管测量总水头或12根普通测压管测量测压管水头，其中测点1、6、8、12、14、16和18均为皮托管测压管（示意图见 图3.2），用于测量皮托管探头对准点的总水头H ’（=2g u 2 ++r p Z ），其余为普通测压管（示意图 见图3.3），用于测量测压管水头。
- 2 - 图3.2 安装在管道中的皮托管测压管示意图 图3.3安装在管道中的普通测压管示意图 3.3 实验原理 当流量调节阀旋到一定位置后，实验管道内的水流以恒定流速流动，在实验管道中沿管内水流方向取n 个过水断面，从进口断面（1）至另一个断面（i ）的能量方程式为： 2g v 2111++r p Z =f i i h r p Z +++2g v 2 i =常数 （3.1） 式中：i=2，3，······ ，n ； Z ──位置水头； r p ──压强水头； 2g v 2 ──速度水头； f h ──进口断面（1）至另一个断面（i ）的损失水头。 从测压计中读出各断面的测压管水头（r p Z + ），通过体积时间法或重量时间法测出管道流量，计算不同管道内径时过水断面平均速度v 及速度水头2g v 2 ，从而得到各断面的测压管水头和总水头。 3.4 实验方法与步骤 1) 观察实验管道上分布的19根测压管，哪些是普通测压管，哪些是皮托管测压管。观察管道内径的大小，并记录各测点管径至表3.1。 2) 打开供水水箱开关，当实验管道充满水时反复开或关流量调节阀，排除管内气体或测压管内的气泡，并观察流量调节阀全部关闭时所有测压管水面是否平齐（水箱溢流时）。如不平，则用吸气球将测压管中气泡排出或检查连通管内是否有异物堵塞。确保所有测压管水面平齐后才能进行实验，否则实验数据不准确。 3) 打开流量调节阀并观察测压管液面变化，当最后一根测压管液面下降幅度超过50%时停止调节阀门。待测压管液面保持不变后，观察皮托管测点1、6、8、12、14、16和18的读数（即总水头，取标尺零点为基准面，下同）变化趋势：沿管道流动方向，总水头只降不升。而普通测压管2、3、4、5、7、9、10、11、13、15、17、19的读数（即测压管水头）沿程可升可降。观察直管均匀流同一断面上两个测点2、3测压管水头是否相同？验证均匀流断面上静水压强按动水压强规律分布。弯管急变流断面上两个测点10、11测压管水头是否相同？分析急变流断面是否满足能力方程应用条件？记录测压管液面读数，并测记实验流量至表3.2、表3.3。 4) 继续增大流量，待流量稳定后测记第二组数据（普通测压管液面读数和测记实验流量）。 5) 重复第4步骤，测记第三组数据，要求19号测压管液面接近标尺零点。 6) 实验结束。关闭水箱开关，使实验管道水流逐渐排出。 7) 根据表3.1和表3.2数据计算各管道断面速度水头2g v 2和总水头(2g v 2 ++r p Z ) （分别记录于表3.4和表3.5）。