第一章控制系统的状态空间模型
1.1 引言
工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。大约从1960年升始发展起来。这种新方法是建立在状态概念之上的。状态本身并不是一个新概念，在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。
经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。
本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出系统的稳定性分析。第四章将给出几种主要的设计方法。
本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的标准形式。1.5 介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。
1.2控制系统的状态空间描述
状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。
特点：1.给出了系统的内部结构信息.
2.形式上简洁,便于用数字计算机计算.
1.2.1 状态的基本概念
在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。
状态：动态系统的状态是系统的最小一组变量(称为状态变量)，只要知道了在0t t =时的一组变量和0t t ≥时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间0t t ≥时的行为。
状态这个概念决不限于在物理系统中应用。它还适用于生物学系统、经济学系统、社会学系统和其他一些系统。 状态变量：动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。如果至少需要n 个变量才能完全描述动态系统的行为(即一旦给出0t t ≥时的输入量，并且给定0t t =时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态)，则这n 个变量就是一组状态变量。 状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量。某些不代表物理量的变量，它们既不能 测量，又不能观察，但是却可以被选为状态变量。这种在选择状态变量方面的自由性，是状态空间法的一个优点。 状态向量：如果完全描述一个给定系统的行为需要n 个状态变量，那么这n 个状态变量可以看作是向量X 的n 个分量，该向量就称为状态向量。状态向量是这样一种向量，一旦0t t =时的状态给定，并且给出0t t ≥时的输人()u t ，则任意时间0t t ≥时的系统状态()x t 便使可以唯一地确定。
状态空间：由n 个状态变量12(),(),
()n x t x t x t 所张成的n 维欧氏空间，称为状态空间。
任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。
1.2.2状态空间方程
在状态空间分析中，涉及到三种类型的变量，它们包含在动态系统的模型中。这三种变量是输入变量、输出变量和状态变量。在后面的分析中我们将会看到，对于一个给定的系统，其状态空间表达式不是唯一的。但是，对于同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言，其状态变量的数量是相同的。
动态系统的状态常常直接描述了系统中内部能量的分配.例如.通常选以下量作为状态变量:位置(势能),速度(动能),电容电压(电能)和电感电流(磁能).内部能量总可以通过状态变量计算出来.通过第二章的系统的分析知,可以把系统的状态与系统的输入和输出联系起来,并在系统的内部变量与外部输入和测量输出之间建立联系.相反,传递函数仅将输入和输出联系起来,没有给出系统的内部特性.状态形式保存了系统内部特性的信息,这一点有时是很重要的.
假设多输入、多输出n 阶系统中, r 个输入量为12(),(),
()r u t u t u t 和m 个输出量
12(),(),()m y t y t y t 。n 个状态变量为12(),(),()n x t x t x t
于是可以用下列方程描述系统:
[][][]
1112122212121212()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();()(),(),
,();(),(),
,();n r n r n n n r x t f x t x t x t u t u t u t t x t f x t x t x t u t u t u t t x t f x t x t x t u t u t u t t ==
= (1.2.1)
输出方程为:
[][][]
1112122212121212()(),(),,();(),(),,();()(),(),,();(),(),,();()(),(),
,();(),(),
,();n r n r m m n r y t g x t x t x t u t u t u t t y t g x t x t x t u t u t u t t y t g x t x t x t u t u t u t t ==
= (1.2.2)
用向量形式描述,可写为:
状态方程: []()(),(),x t f x t u t t = (1.2.3) 输出方程: []()(),(),y t g x t u t t = (1.2.4)
其中12()()()()n x t x t x t x t ??????=??????
[]12,,,T
m g g g g = []12,,
,T
n f f f f =
1.3 根据系统微分方程建立状态空间表达式
1. 不含作用函数导数项时n 阶系统的状态空间表达式
111n n n n y y y y bu ααα--++
++= (1.3.1)
选取状态变量:
12
(1)()()()n n
x k y x k y x k y -=??=??
?
?=?
得到:122
334
11211()
()()
n n n n x x x x
x x x x x x bu k y k x k ααα-??=??=??
?
?=---+?=??＝
即状态方程为：
11221112
101000001
00000101n n n
n n n n x x x x u x x a a a a x x ----????????
????????????????????????
??????????
??????=?????+?????????????????
??????????
?????????????
????????----????
???
? （1.3.2）
.
X AX Bu =+
输出方程为：121(1 0
0)n x x
y x CX x ??
? ?=== ? ???
(1.3.3) 2. 含作用函数导数项时n 阶系统的状态空间表达式
()1()(1)11011n n n n n n n n y y y y b u b u b u b u ααα----++++=++
++ (1.3.4)
方法一：选取状态变量为
1021132211()
n n n x y u x x u x x u x x u k ββββ--=??=-??
=-???=-??－ (1.3.5)
即1212
323431
11
112110n n n n n n n n x x u x x u
x x u x x u
x x x x u
y x u
ββββαααββ----+??=+??=??
?=?=---+??
=+?＝＋＋ (1.3.6)
式中，0,1,
,n βββ 由下式确定：
0111222121
21110
0000n n n n n b b b ββαβααβαααββ----????????????????????????=-?
????????
??????????????
? (1.3.7)
1212
323431
11
112110n n n n n n n n x x u
x x u
x x u x x u
x x x x u
y x u
ββββαααββ----+??=+??=??
?=?=---+??
=+?＝＋＋ (1.3.8)
11122211112
1010000100001n n n n
n n n n n x x x x u x x a a a a x x ββββ-----??????
????????????????????????
??????????????
????=?????+???????????????
??????????????
?????????
??????????----???????
?
(1.3.9)
[]1201
0n x x y u x β??
????=+??????
(1.3.10)
方法二：引入中间变量z ,令
()111n n n n u z z z z ααα--=++++ （1.3.11） 并将原微分方程分解成如下两个方程：
()111n n n n u z z z z ααα--=++
++
()111n n n n y bz b z b z b z --=++
++
选择系统的状态变量为：
1.2(1)n n x z
x z x z -=???=???=?
(1.3.12)
得系统状态方程和输出方程
122
33411
1121011211211
01110222011100() =()()()+()n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x
x x x x x x x x u y b x x x u b x b x b x b b x b b x b b x b b x b u
αααααααααα--------??=??=??
?
=??=---+?
=----+++++??-+-++--+?
＝ (1.3.13) 若00b =,则有
1211n n n y b x b x b x -=++
+
写成矩阵形式
11221112
10100000100000101n n n
n n n n x x x x u x x a a a a x x ----????????
????????????????????????
??????????
??????=?????+?????????????????
??????????
?????????????
????????----????
???
? (1.3.14)
121
1( )n n n x x
y b b b x -?? ? ?= ? ???
(1.3.15)
1.4 状态空间表达式的标准形式
考虑由下式定义的系统：
()(1)()(1)1111n n n n n n o n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++
++ (1.4.1)
式中u 为输入，y 为输出。该式也可写为
1
011111()()n n n n n n n n
b s b s b s b Y s U s s a s a s a ---+++=
++
++－ (1.4.2)
下面给出由式（1.4.1）或式（1.4.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan 形）标准形。
1.4.1 能控标准形
下列状态空间表达式为能控标准形：
11221112
101000001
00000101n n n
n n n n x x x x u x x a a a a x x ----????????
????????????????????????
??????????
??????=?????+?????????????????
??????????
?????????????
????????----????
???
? (1.4.3)
1211110[]n n o n n o
o n x x y b a b b a b b a b b u
x --????????
?=---+?????????????
? (1.4.4)
1.4.2 能观测标准形
下列状态空间表达式为能观测标准形：
1122111111
121000100(1.4.5)
00
1
[00
01]n n n o n n n o o n n n n a x x x x b a b a b a b u b a b x x a x x y x x -----????????????
--??????????
??????-????
???
?=+???????
?????????????????????-???????
???????-???????
?????
??
??????=????????
?
(1.4.6)
o b u
???
+?????
1.4.3 对角线标准形
考虑分母多项式中只含相异根的情况。
11112()(1.4.7)()()()()
n n o n n
n b s b s b s b Y s U s s p s p s p --++++=
+++
n
n o p s c p s c p s c b +++++++
= 22
11
该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：
11
122
21212
11(1.4.8)
10[](1.4.9)
n n n n o n x p x x p x u x p x x x y c c c b u x -????????
????????-???????????????????
?=+???????????
?????????????????????????????-????????
?
???????
??????
?=+??????????????
1.4.4 Jordan 标准形
下面考虑分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan 标准形。例如，假设除了前3个相等外，其余极点相异。于是Y （s ）/U(s)因式分解后为：
)
())(()()()
(543
11110n n n n n p s p s p s p s b s b s b s b s U s Y ++++++++=-- 该式的部分分式展开式为
n n p s c p s c p s c p s c p s c b s U s Y +++++++++++= 442
123110)()
()()()
(13 该系统状态空间表达式的Jordan 标准形由下式确定：
111
2213314
441000001000
0011000
(1.4.10)
100
n
n n x x p x x p x x p p x x p x x y -????????????????-????????????????-????????-????????=+???????????
?
??????????????
??????????????????????
??????????-?????
??
????????
?1212
[](1.4.11)
n o n x x c c c b u x ????????
?=+??????????????
[例1.1] 考虑由下式确定的系统：
2()3
()32
Y s s U s s s +=++ 试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。 解： 能控标准形为：
112212()()010()()23()1()()[31]()x t x t u t x t x t x t y t x t ????????
=+????????--????
??????
=??
??
能观测标准形为：
112212()()023()
()13()1()()[01]()x t x t u t x t x t x t y t x t -????????=+????????-?
?????????
=??
??
对角线标准形为：
?
?
?
???-=??????+???????????
?--=??????)()(]12[)()(11)()(2001)()(212121t x t x t y t u t x t x t x t x
1.5 系统矩阵的特征值的基本性质
n ×n 维系统矩阵A 的特征值（特征根）是下列特征方程的根：
0||=-A I λ
1.5.1 n×n 维系统矩阵的对角线化
如果一个具有相异特征值的n ×n 维矩阵A 由下式给出：
12
10
100001
0(1.5.1)0001n
n n A a a a a --??????????????=?
?????????????????----?
?
作如下非奇异线性变换x = P z ，其中
????
???
??
??????
???????
???
??
??=---1
1211
2
11
11
n n n n n P λλλλλλ
称为范德蒙(Vandemone)矩阵，这里λ1，λ2，···，λn 是系统矩阵A 的n 个相异特征值。将P -1AP
变换为对角线矩阵，即
P -1AP =?
?????????
?????????
??
?
?
n λλλ002
1 如果矩阵A 含有重特征值，则不能将上述矩阵对角线化。例如，3×3维矩阵
????
?
?????---=12
3
100
010
a a a A 有特征值λ1，λ2，λ3作非奇异线性变换x = S z ，其中
????
??????=231
21
31
21101λλλλλS 得到
????
??????=-31
1
10
00
01
λλλAS S 该式是一个Jordan 标准形。
[例1.2] 考虑下列系统的状态空间表达式：
1122331230
10000
10611
66[100]x x x x u x x x y x x ????????
????????=+?????????????
??
?---????????????=??????
可写为如下标准形式：
x Ax Bu y Cx
=+=
式中
]001[,600611
6
100
010
=????
?
?????=?????
?????---=C B A
矩阵A 的特征值为：
λ1 = －1，λ2 = －2，λ3 = －3
因此，这3个特征值相异。如果作变换
????
?
???????????
????---=??????????32132194
1321111z z z x x x 或
x = P z
定义一组新的状态变量z 1、z 2和z 3，式中
P =1
2322
21
2311
1λλλλλλ??????????
代入可得
Bu APz z
P += 将上式两端左乘P -1，得
11z P APz P Bu
--=+
或者
????
?
???????????????---??????????---??????
????---=??????????32132194
1
321111
611
6
100010
5.05.111435.05.23z z z z z z
+u ?????
???????????????---6005.05.11
1435.05.23
化简得，
1122331
003020600
33z z z z u z z -????????
????????=-+-?????????????
??
?-????????
这也是一个状态方程
输出方程可修改为：
y = CP z
或
1231231
11[100]1
2314
9[111]z y z z z z z ??
??????=---????????????
????=??????
注意：由定义的变换矩阵P 将z 的系统矩阵转变为对角线矩阵。由式可看出，3个纯量状态方程是解耦的。注意矩阵P -1AP 的对角线元素和矩阵A 的3个特征值相同。此处强调A 和P -1AP 的特征值相同，这一点非常重要。下面我们将讨论线性变换下特征值的不变性。
1.5.2 特征值的不变性
为证明线性变换下特性值的不变性，需证明|λI - A |和|λI – P -1AP |的特征多项式相同。
由于乘积的行列式等于各行列式的乘积，故
|
||||||||||||)(||
|||11
1111A I P P P A I P P A I P AP P P P AP P I -=-=-==-------λλλλλ－
注意到行列式|P -1|和|P |的乘积等于乘积|P -1P |的行列式，从而
|λI -P -1AP | = |P -1P | |λI -A |
= |λI -A |
这就证明了在线性变换下矩阵A 的特征值是不变的。
1.5.3 状态变量组的非唯一性
前面已阐述过，给定系统的状态变量组不是唯一的。设n x x x ,,,21 是一组状态变量，可取任意一组函数,
)
,,,(?
)
,,,(?
),,,(?
2121222111n n n n n x x x X x x x x X x x x x X x =?
??==
作为系统的另一组状态变量，这里假设对每一组变量n x x x ?
,,?,?21 都对应于唯一的一组
n x x x ,,,21 的值。反之亦然。因此，如果x 是一个状态向量，则
x P x =?
也是一个状态向量，这里假设变换矩阵P 是非奇异的。显然，这两个不同的状态向量都能表达同一系统之动态行为的同一信息。
1.6 利用MATLAB 进行系统模型之间的相互转换
本节将讨论系统模型由传递函数变换为状态方程，反之亦然。MATLAB 是相当有用的，我们首先讨论从传递函数向状态方程的变换。
将闭环传递函数写为
den
num
s s s U s Y ==的分母多项式含的分子多项式含)()( 当有了这一传递函数表达式后，使用如下MA TLAB 命令：
[,,,]2(,)A B C D tf ss num den =
将会给出状态空间表达式。应着重强调，任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对于同
一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述MATLAB 命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。
1.6.1 传递函数系统的状态空间表达式
考虑以下传递函数
23
2()()(10)(416)
(1.6.1)
1456160
Y s s
U s s s s s
s s s =
+++=+++
对该系统，有多个（无穷多个）可能的状态空间表达式，其中一种可能的状态空间表达式为：
u x x x y u x x x x x x ]0[]001[14101456160100010321321321+????
?
?????=?????
?
????-+????????????????????---=??????????
另外一种可能的状态空间表达式（在无穷个中）为：
1122331231456
16011000(1.6.2)
0100[010][0](1.6.3)
x x x x u x x x y x u x ---????????
????????=+?????????????
?????????????
??=+??????
MATLAB 将式（1.6.1）给出的传递函数变换为由式（1.6.2）和（1.6.3）给出的状态空
间表达式。对于此处考虑的系统，MATLAB Program 1-1将产生矩阵A 、B 、C 和D 。
1.6.2 由状态空间表达式到传递函数的变换
为了从状态空间方程得到传递函数，采用以下命令：
[,]2(,,,,)num den ss tf A B C D iu =
对多输入的系统，必须具体化iu 。例如，如果系统有3个输入(1,2,3)u u u ，则iu 必须为1、2或3中的一个，其中1表示u1, 2表示u2, 3表示u3。 如果系统只有一个输入，则可采用
[,]2(,,,)num den ss tf A B C D =
或
[,]2(,,,,1)num den ss tf A B C D =
[例1.3] 试求下列状态方程所定义的系统的传递函数。
1122331230100001255255120[100]x x x x u x x x y x x ????????
????????=+???????????????
?----????????????=??????
MATLAB Program 1-2将产生给定系统的传递函数。所得传递函数为：
32()255()5255
Y s s U s s s s +=+++
MTLAB Program 1-2
A=[0 1 0; 0 0 1; -5 -25 -5]; B=[0; 25; -120]; C=[1 0 0]; D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num=
0 -0.0000 25.0000 5.0000 den=
1.0000 5.0000 25.0000 5.0000
%*****The same result can be obtained by entering the following command*****
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num=
0 -0.0000 25.0000 5.0000 den=
1.0000 5.0000 25.0000 5.0000
[例1.4] 考虑一个多输入-多输出系统。当系统输出多于一个时，MATLAB 命令：
[NUM ，den] = ss2tf (A,B,C,D,iu)
对每个输入产生所有输出的传递函数（分子系数转变为具有与输出相同行的矩阵NUM ）。 考虑由下式定义的系统：
??
??????????+???????????
?=?????????
?????????+????????????--=??????21212121212100
0010011011
42510u u x x y y u u x x x x
该系统有两个输入和两个输出，包括4个传递函数：Y 1（s ）/U 1(s)、Y 2（s ）/U 1(s)、
Y 1（s ）/U 2(s)和Y 2（s ）/U 2(s)（当考虑输入u 1时，可设u 2为零。反之亦然）。 解：
以上就是下列4个传递函数的MATLAB 表达式：
25
4225
)()(,25
45
)()(,25425
)()(,2544
)()(22221212211++=
+++=++-=+++=s s s s U s Y s s s s U s Y s s s U s Y s s s s U s Y －
习题
1.1 考虑以下系统的传递函数：
656
)()(2
+++=s s s s U s Y
试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑由下式定义的系统：
Cx
y Bu Ax x
=+=
式中
]11[,
213421
=??
?
???=??????=C B A ，－－
试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 1.3 考虑由下式定义的系统：
Cx
y Bu Ax x
=+=
式中
]011[,10030
021
101=????
?
?????=?????
?????-=C B A ，－－
试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.4 考虑下列矩阵：
?
?
???
????
???=0001100001000010A 试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。再求变换矩阵P ，使得
)
,,,(diag 43211λλλλ=-AP P
实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计 一、实验目的 1. 加深对状态反馈作用的理解。 2. 学习和掌握状态观测器的设计方法。 二、实验原理 在MATLAB 中，可以使用acker 和place 函数来进行极点配置，函数的使用方法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 [K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。 三、实验内容 1.已知系统 （1）判断系统稳定性，说明原因。 （2）若不稳定，进行极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进行极点配置？ （4）使用状态反馈进行零极点配置的前提条件是什么？ 1. （1） （2） 代码： a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1]; b=[1,1,1]'; p=[-1,-2,-3]'; K=acker(a,b,p) K = -1 2 4 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进行极点配置?
在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进行简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。 (4)使用状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。 2.已知系统 设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。 （1）给出原系统的状态曲线。 （2）给出观测器的状态曲线并加以对比。（观测器的初始状态可以任意选取）观察实验结果，思考以下问题： （1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。 （2）说明观测器的引入对系统性能的影响。 （1）A=[0 1;-3 -4]; B=[0;1]; C=[2 0]; D=[]; G=ss(A,B,C,D); x=0:0.001:5; U=0*(x<0)+1*(x>0)+1*(x==0); X0=[0 1]'; T=0:0.001:5; lsim(G,U,T,X0);
第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节
7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点
《现代控制理论》实验报告 状态空间极点配置控制实验 一、实验原理 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。 １．状态空间分析 对于控制系统X = AX + Bu 选择控制信号为：u = ?KX 式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量） A n × n维常数矩阵 B n ×1维常数矩阵 求解上式，得到 x(t) = (A ? BK)x(t) 方程的解为： x(t) = e( A?BK )t x(0) 状态反馈闭环控制原理图如下所示： 从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。 ２．极点配置的设计步骤 1) 检验系统的可控性条件。 2) 从矩阵 A 的特征多项式 来确定 a1, a2,……,an的值。 3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW 其中 M 为可控性矩阵， 4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式 5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定： 二、实验内容 针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。 三、实验步骤及结果 1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输 入的系统状态方程为： 可以取1 l 。则得到系统的状态方程为： 于是有：
直线一级倒立摆的极点配置转化为： 对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比? = 0.5）。 2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。 方法一：按极点配置步骤进行计算。 1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。 倒立摆极点配置原理图 2) 计算特征值 根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为 2 秒），我们选取期望的闭环极点s =μi (i = 1,2,3,4) ，其中： 其中，μ 3,μ 4 使一对具有的主导闭环极点，μ 1 ,μ 2 位于 主导闭环极点的左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为： 因此可以得到： 由系统的特征方程： 因此有 系统的反馈增益矩阵为： 3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW 式中： M = 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.7500 0 5.5125 0.7500 0 5.5125 0 W = 0 -7.3500 -0.0000 1.0000 -7.3500 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 于是可以得到： T = -7.3500 -0.0000 1.0000 0 0 -7.3500 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 0.7500 0 -0.0000 0 -0.0000 0.7500 T’= -7.3500 0 0 -0.0000 -0.0000 -7.3500 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0.7500 -0.0000 0 1.0000 0 0.7500
第8章控制系统的状态空间分析与综合 第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。 随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。 （1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。 （2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。 本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。 8.1 控制系统的状态空间描述 8.1.1 系统数学描述的两种基本方法 统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。
一、问题引入 结合一些典型问题（分油问题）提出问题： 我们是怎样解决这些问题的？在人工智能领域又可以通过怎样的方法去解决呢？（状态空间法） 2、引导学生思考问题，并得出结论。 二、讲授新课 （一）基础知识部分 1、什么是状态空间法？ 许多问题求解方法是采用试探搜索方法的。也就是说，这些方法是通过在某个可能的解空间内寻找一个解来求解问题的。这种基于解答空间的问题表示和求解方法就是状态空间法，它是以状态和算符(operator)为基础来表示和求解问题的。 2、状态空间法三要点 1) 状态（state）：表示问题解法中每一步问题状况的数据结构； 2) 算符（operator）：把问题从一种状态变换为另一种状态的手段； 3) 状态空间方法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。
由上可知，对一个问题的状态描述，必须确定3件事： 1) 该状态描述方式，特别是初始状态描述； 2) 操作符集合及其对状态描述的作用； 3) 目标状态描述的特性。 问题的状态空间可用一个三元序组来表示： S：问题的全部初始状态的集合 F：操作的集合 G：目标状态的集合 4、用状态空间表示问题的步骤： 1）定义状态的描述形式 2）用所定义的状态描述形式把问题所有可能的状态都表示出来，并确定初始状态和目标状态的集合描述 3）定义一组算符，使得利用这些算符可以把问题由一个状态转为另一个状态。 4）利用状态空间图表示求解过程。 （二）实践应用部分
【分油问题】有A、B、C三个不带刻度的瓶子，分别能装8kg, 5kg和3kg油。如果A瓶装满油，B和C是空瓶，怎样操作三个瓶，使A中的油平分两份？(假设分油过程中不耗油) 解：第一步：定义问题状态的描述形式： 设Sk=(b,c)表示B瓶和C瓶中的油量的状态。 其中： b表示B瓶中的油量。 c表示C瓶中的油量。 初始状态集：S={(0,0)} 目标状态集：G={(4,0)} 第二步：定义操作符： 操作：把瓶子倒满油，或把瓶子的油倒空。 f1：从A瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f2：从C瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f3：从A瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。 f4：从B瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 3 x 2 x 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α& 输出y 为1y x du =+，得 1112223331000100 1x a x x a x u x a x ?? ?????? ????????=+???????????????????????? &&& []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&& ；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&& 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =&，3y x =&&，则有：
1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=?&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? &&& (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()12 23()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? &&& 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得： 323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
第一章控制系统的状态空间模型 1.1 引言 工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。大约从1960年升始发展起来。这种新方法是建立在状态概念之上的。状态本身并不是一个新概念，在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出系统的稳定性分析。第四章将给出几种主要的设计方法。 本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的标准形式。1.5 介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。 1.2控制系统的状态空间描述 状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。 特点：1.给出了系统的内部结构信息. 2.形式上简洁,便于用数字计算机计算. 1.2.1 状态的基本概念 在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。
第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ， 则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。 系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：
i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述
摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。 关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真 引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器 1．数学模型的建立 倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 1.1微分方程的数学模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：
图1：直线一级倒立摆模型 设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置 Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
《控制系统状态空间分析的MATLAB 设计》 摘要 线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这些规律的可能性与实施方法；它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态估计及补偿器的理论和设计方法。本文说明，线性变换不改变系统的传递函数，基于状态空间的极点配置不需要附加矫正装置，是改变系统指标的简单可行的重要技术措施；全维状态观测器与降维观测器不影响系统的输出响应。 关键词：状态反馈、极点配置、全维状态观测器、降维观测器 前言 线性系统理论是现代控制理论的基础，主要研究线性系统状态的运动规律 和改变这些规律的可能性与实施方法；建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系。它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态估计及补偿器的理论和设计方法。 该报告结合以线性定常系统作为研究对象，分析控制系统动态方程，系统 可控标准型，线性变换传递函数及其不变性，系统可控性与可观测性。系统状态观测器及降维观测器对系统的阶跃响应的影响，并分别绘制模型，及其系统阶跃响应的仿真。 正文 1. 已知系统动态方程: x?=[?0.40?0.01100?1.49.8?0.02]x +[6.309.8]u y =[0 1]x 2. 设计内容及要求：
验证线性变换传递函数不变性，适当配置闭环适当配置系统闭环极点，使 σ%<15%、t s <4s ，以及当系统闭环极点为λ1,2=-3±j4时设计系统的降维状态观测器也使σ%<15%、t s <4s ，并绘制带反馈增益矩阵K 的降维状态观测器及其系统仿真。 3. 系统设计： 1）求系统可控标准型动态方程； >> A1=[-0.4 0 -0.01;1 0 0;-1.4 9.8 -0.02]; >> B1=[6.3;0;9.8]; >> C1=[0 0 1]; >> D1=0; >> G1=ss(A1,B1,C1,D1); >> n=size(G1.a); >> Qc=ctrb(A1,B1); >> pc1=[0 0 1]*inv(Qc); >> Pc=inv([pc1;pc1*A1;pc1*A1*A1]); >> G2 = ss2ss(G1,inv(Pc)); >> Gtf=tf(G2); 程序运行结果知n=3，原系统是可控的且可控标准型为： x?=[0 1 00 01?0.0980.006 ?0.42]x?+[001 ]u y ?=[61.74 ?4.99.8]x? 传递函数为： G (s )=9.8s 2?4.9s+61074 s 3+0.42s 2?0.006s+0.098 2）计算系统的单位阶跃响应 >> hold on >> grid on;hold on; >> step(G1,t,'b-.') >> step(Gtf,t,'r--')
状态空间分析及设计 姓名：周海波 学号：200740297(15) 班级：自控实验0701班 日期：2010-5-2
目录 一．系统能控性和能观性判定 二．主导极点法进行状态反馈极点配置 三．对称根轨迹法（SRL）进行状态反馈极点配置 四．主导极点法和SRL状态反馈极点配置对比 五．全维观测器设计和分析 1.观测器设计 2.分离定理验证 六．带全维观测器的状态反馈与直接状态反馈对比 七．降阶观测器和带降阶观测器的状态反馈系统的设计和分析八．全维观测器的状态反馈与降阶观测器的状态反馈对比 1.抗过程干扰能力 2.抗测量噪声能力 九．采用内模原则设计状态反馈系统 1.跟踪性能分析 2.抗干扰性能分析
状态空间分析及设计 有以下系统 122201101011x x μ ???????????=?+?????????????i []100y x =要求：对系统设计状态反馈使得系统闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态误差值为1%范围内的调节时间小于4.6s. 一．系统能控性和能观性判定 由系统能控性判别矩阵： 224001013115rank B AB A B rank ???????==????????? 由系统能观性判别矩阵：21001223142C rank CA rank CA ????????=???=????????????? 所以系统既是能控的又是能观的。 二．主导极点法进行状态反馈极点配置1.当 4.61% 4.6s n t s ζω?== <%5%e πζσ?=<解得：0.691n ζζω>??>?取0.75 2n ζω==则：2222340 n n s s s s ζωω++=++=所以1,2 1.5 1.323s j =?±，取非主导极点38s =?，则期望特征多项式为： 232(34)(8)112832 s s s s s s +++=+++设[]123K k k k =又
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ???+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()() ()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ???++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有 ?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 22 1Λ&M &&
状态空间模型概述 状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。 状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。 协调积分概念的提出具有两方面的意义：
①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化； ②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。 Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。 状态空间模型的假设条件是动态系统符号马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。 [编辑] 状态空间模型的分类 状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量
一、直线一级倒立摆建模 根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 2) 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 3) 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 4) 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。 由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点: (1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度; (2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;
引言 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。 在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u（t）和输出量y（t）之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)]和输出量Y(s)=L[y(t)]之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。 现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。 标准四阶龙格——库塔法的基本思想 龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。 一、实验原理 龙格——库塔法 龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。它以泰勒展开公式为基础，用函数f的线性组合代替f的高阶导数项，避免了高阶导数的运算，又提高了精度。泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。最常用的是四阶龙格—库塔法，它虽然有一定的时间损耗，但比梯形法要快，而且与
控制系统状态空间设计 设计对象 系统的对象模型为： )8)(4(1)(++=s s s s G 设计目的 A ：试确定一个状态负反馈阵K ，使相对于单位阵阶跃参考 输入的输出过渡过程，满足如下的期望指标：超调量<=20%, 峰值时间<=0.4s 。 B ：如果系统的状态变量在实际上无法测量，试确定一个状态观 测器（全维状态观测器），使得通过基于状态观测器的状态反馈， 满足上述期望的性能指标。 设计要求 1. 要求学生掌握当Gc （s ）设计好后如何将其变换为离散算法Gc （Z ） 以及如何将Gc （Z ）转换在计算机上可完成计算的迭代方程。 2. 要求学生能掌握工业中常用的基本PID 算法。 3. 掌握一阶向前，向后差分及双线性变换离散化的具体做法及应用 场合。 4. 熟悉PID 两种基本算法的计算公式：位置算法和增量算法。 5. 熟练使用MATLAB 软件，掌握其仿真的方法、步骤及参数设置。
6. 了解计算机控制系统的组成及相应设备的选用等问题。设计方法及步骤 1.利用Simulink 进行仿真，判断是否满足期望的性能指标。系统仿真方框图如下： 系统仿真结果如下： 有图可知，系统不满足期望的性能指标，需要进行配置。2.由期望的性能指标求出闭环系统的期望极点。 首先有典型二阶系统性能指标与系统参数之间的关系，确定统参数，然后再确定系统的主导极点和非主导极点。 由系统的性能指标：超调量<=20%,峰值时间<=0.4s。可以求
出ζ =0.456 Wn=8.84。 因此选取ζ =0.60 Wn=13.00为系统参数 由系统的特征方程可以求出系统的特征根为： S 1=-7.8+10.4j ,S 2=-7.8-10.4j 令系统的非主导极点为： S 3=-130 则需要配置的极点是是： P=[-7.8+10.4j,-7.8-10.4j,-130]; 3.求出系统空间表达式。利用MATLAB 有关模型转换函数可求得 A =???? ? ??---010001 13212 B =???? ? ??001 C =()100 D =0 4.判断系统的能控能关性，确定系统是否能够通过状态反馈实现极 点的任意配置。 能控性判别矩阵Q=???? ? ??--100121 0112121 系统的可控矩阵阶数为3，为满秩，则系统是能控的。 5.求出用于极点配置的状态矩阵K ：利用函数K=acker （A,B,P ）,
第4章 控制系统的状态空间设计 要点： 1状态反馈 2单输入系统的极点配置 3观测器及其设计 4用状态观测器的反馈系统概念 难点： 观测器及其设计 闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态品质指标。这种把极点不止在希望的位置的过程成为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，实现系统的极点配置。 一 状态反馈与输出反馈 1 状态反馈 把系统状态变量按照一定的比例关系，反馈到系统的输出端称为状态反馈。 设线性系统为 ???? ?=+=? Cx y Bu Ax x (4-1) 而反馈规律为 u=Kx+v (4-2) 其中A ，B ，C ，K 分别为n ×n 、n ×m 、p ×n 及m ×n 矩阵，v 为参
考输入。则状态反馈的闭环系统的状态空间表达式为 ???? ?=++=Cx y Bv x BK A x )(. （4-3） Y 图4-1 状态反馈结构图 比较式（4-1）和式（4-3）可知，状态反馈前后的系统矩阵分别为A 和（A+BK ），特征方程分别为det[λI-（A+BK ）]，可看出状态反馈的系统特征根（即系统的极点）不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈K 有关，我们正式利用着一点对极点进行配置。应该主出完全能控的系统经过状态反抗侯，仍是完全能控的，但状态反馈可能改变系统的能观性。 2 输出反馈 把系统的输出变量按照一定的比例关系反馈找系统的输入端或. x 端称为输出反馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明显的物理意义，因而输出反馈易实现。 式（4-1）描述的线性系统，对其进行输出反馈，取如下的控制规
·258· 第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：
·259· (9.8) i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ == iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )exp()exp(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为 ???+=+=+ )()()( )()()()()1(k D k Cx k y k u T G k x T k x φ