高中数学综合测试题(四)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数3
Z =,则复数Z 对应的点在 ( )
A .第一象限或第三象限
B .第二象限或第四象限
C .x 轴正半轴上
D .y 轴负半轴上
(2)已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率2
1
=
e ,则椭圆的标准方程为 ( ) A.122=+y x 2 B.1222=+y x C.14=+3y x 22 D.13=+4
y x 22
(3) ,a b 为非零向量,“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的( ) (A ) 充分但不必要条件 (B ) 必要但不充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件
(4)如图所示,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
(A )52 (B )107 (C )54 (D )10
9
(5)已知实数x 、y 满足??
?
??≤≤--≥-+301,
094y y x
y x ,则x -3y 的最大值
是 ( )
A .-1
B .0
C .1
D .2
(6)如果执行右面的程序框图,那么输出的t =( )
A .96
B .120
C .144
D .300
(7)已知二项式2
(n x (n N +∈)展开式中,前三项的二
项式系数和是56,则展开式中的常数项为( )
A .45256
B .47
256 C .49256 D .51256 (8) 已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足:
5672a
a a +=若存在两项n m a a ,,使得,41a a a n m =?则
n
m 4
1+的最小值为( ) A.41 B. 23 C. 3
2
(9)函数()()()??
??
?=≠-=222
2
f x a x x x 若函数()2-=x f y 有3三个零点,则实数a 的值为( )A.2- B.2 C. 4- D.不存在 (10)已知c b a ,,为ABC ?的三个内角C B A ,,的对边,向量()
()A A n m sin ,cos ,1,3=-=
,若n m
⊥,且C c A b B a sin cos cos =+,则=B ( )
6
.
π
A 4
.
π
B 3
.
π
C 2
.
π
D
(11)函数的定义域为D ,若满足:①()x f 在D 内是单调函数;②存在],[b a 使得()x f 在],[b a 上的值域为]2
,2[b a ,那么就称函数()x f y =为“成功函数”,若函数
()()
()1,0log ≠>+=c c t c x f x c 是“成功函数”,则t 的取值范围为( )
A.()∞+,
0 B.??
? ?
?∞-41, C.??
? ??+∞,4
1 D.??
?
??41,0 (12) 如图,平面四边形ABCD 中,1===CD AD AB ,CD BD BD ⊥=,2,将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -',使平面⊥BD A '平面BCD ,若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上,则
该球的体积为 ( )
A.
π23
B. π3
C. π3
2 D. π2
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)等差数列{}n a 的前n 项和n s ,若8a a a 1073=-+,4a a 411=-,则13s 等于
(14) 如图,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线2
x y =和曲线
x y =围成一个叶形图形(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一
点(该点落在正方形AOBC 内任何一点都是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
(15) 下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是
D C B A 'D C B A 第12题
y 1
C
B
A
(16)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ,且两曲线的
一个交点为P ,若5PF =
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分)已知函数2
sin 2)sin(3)(2
x
x x f ωω-=(0>ω)的最小正周期
为π3,
(Ⅰ)当 ??
?
?
??∈43,2ππx 时,求函数)(x f 的最小值; (Ⅱ)在ABC ?,若1)(=C f ,且)cos(cos sin 22C A B B -+=,求A sin 的值。
(18)(本小题满分12分)
第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日到23日在深圳举行 ,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm ): 若身高在175cm 以上(包括175cm )定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选出5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望。
(19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,
60BAD ?∠=,Q 为AD 的中点。2PA PD AD ===
(1)点M 在线段PC 上,PM tPC =,试确定t 的值, 使//PA 平面MQB ;
(2)在(1)的条件下,若平面PAD ⊥平面ABCD ,求
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
第15题 第18题
y
x
O D
A P B
M
Q
D C
B A
P
二面角M BQ C --的大小。
(20) (本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点B (0,1),且点()0,
a A (a ≠0)是x 轴上动点,过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ,在直线AD 上取点P ,使AP =DA. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程
(Ⅱ)点Q 是直线1y =-上的一个动点,过点Q 作轨迹C 的两条切线切点分别为M ,N 求证:QM ⊥QN (21)(本小题满分12分) 已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(2
1
)(2. (I )若2
3
=
a ,求函数)(x f 的极值; (II )若对任意的)3,1(∈x ,都有0)(>x f 成立,求a 的取值范围.
请考生22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时请写清题号。 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,为钝角,点E 、H 是边AB 上的
点,点K 和M 分别是边AC 和BC 上的点,且AH
=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. (I )求证:E 、H 、M 、K 四点共圆;
(II )若KE=EH,CE=3求线段 KM 的长.
(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为???
?
???
+==t y t x 232221(t 为参数),
若以直角坐标系
xOy 的O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C 的极坐
标方程为)4
cos(2π
θρ-
=
(1)求直线l 的倾斜角;
(2)若直线l 与曲线C 交于B A ,两点,求||AB . (24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 若关于x 的方程 2
43x x a a -++-=0有实根 (1)求实数a 的取值集合A
H E
K
M C
B
A 第22题
(2)若存在a A ∈,使得不等式2
2120t a t -+<成立,求实数t 的取值范围。
理科数学(1)
14.3
1
15.②④ 160y ±= 三、解答题
17.解:
2)cos(12)sin(3)(x x x f ??-?
-=1)cos()sin(3-+=x x ?? 1)6
sin(2-+=π
?x
依题意函数)(x f 的最小正周期为π3,即
π?
π32=,解得32=?, 所以1)6
32sin(2)(-+=π
x x f
(Ⅰ)由432ππ≤≤x 得3
26322π
ππ≤+≤x ,
所以,当23)6
3
2
sin(=
+π
x 时,1312
32)(-=-?=最小值x f ……6分 (Ⅱ)由1)632sin(
2)(-+=πC C f 及1)(=C f ,得1)6
32sin(=+πC 而656326π
ππ≤+≤C , 所以2
632ππ=+C ,解得2π=C 在ABC Rt ?中,2
π
=
+B A ,)cos(cos sin 22C A B B -+=
0sin sin cos 22=--A A A ,01sin sin 2
=-+∴A A ,解得2
51sin ±-=
A 1
sin 0< 21 5sin -= ∴A ………………12分 18. 解解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12人,”非高个子”18人,………1分 用分层抽样的方法,每人被抽中的概率是 6 1 305=………2分 所以选中的”高个子”有26112=? 人,“非高个子”有36 1 18=?人,………3分 用事件A 表示有“至少有一名‘高个子’被选中”,则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”, 则()10 7 1031125 2 3= - =- =C C A P ………5分 因此至少有一人是“高个子”的概率是 10 7 ………6分 (2)依题意ξ的取值为:0,1,2,3………7分 (),5514 031238===ξC C P (),552813 12 2814===ξC C C P (),55122312 1 824== =ξC C C P ()55 1 33123 4= ==ξC C P ………9分 因此,ξ的分布列如下: ξ 1 2 3 p 55 14 55 28 55 12 55 1 155 13551225528155140=?+?+?+? =ξ∴E . …………12分 19.解: (1)当1 3 t =时,//PA 平面MQB 下面证明:若//PA 平面MQB ,连AC 交BQ 于N 由//AQ BC 可得,ANQ BNC ??∽, 12 AQ AN BC NC ∴==.........2分 //PA 平面MQB ,PA ?平面PAC , 平面PAC 平面MQB MN =, //PA MN ∴. .......................4分 13PM AN PC AC == 即:13 PM PC = 1 3t ∴=...6分 (2)由PA=PD=AD=2, Q 为AD 的中点,则PQ ⊥AD 。.7分 又平面PAD ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD ,连BD ,四边形ABCD 为菱形, ∵AD=AB , ∠BAD=60°△ABD 为正三角形, Q 为AD 中点, ∴AD ⊥BQ ............8分 以Q 为坐标原点,分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为A (1,0,0),B (3,0),Q (0,0,0),P (0,03 设平面MQB 的法向量为()z y x ,,=,可得 00 ,//,00 n QB n QB PA MN n MN n PA ???=?=??∴? ??=?=????, ???? ?=-=0 30 3z x y 取z=1,解得(3,0,1)n =.........10分 取平面ABCD 的法向量() 3,0,0=QP 设所求二面角为θ,则2 1 cos = = θ 故二面角M BQ C --的大小为60°........12分 20.(1)设动点(,)P x y ,1AB k a =- ,AP AB ⊥,AP k a ∴=,∴直线AP 的方程为 ()y a x a =-.…………… 2分 由AP DA =,2x a ∴=,∴点P 的轨迹C 的方程是2 4(0)x y y =≠.… 4分 (2)设22 1212(,1),(,),(,)44 x x Q t M x N x -,2 4x y =, 1'2y x ∴=. 2 12 12111111114,,,240222MQ NQ x k x k x x x tx x t +∴==∴=--=-.……… 7分 同理2 22240x tx --=,12,x x ∴是方程2240x tx --=的两个根, 12122,4x x t x x +==-.…………………… 9分 22 22222 12121212121211(,1)(,1)()()144164x x QM QN x t x t x x t x x t x x x x ∴?=-+?-+=-++++++ 2221 421(48)104 t t t =--+++++=QM QN ∴⊥.…………………… 12分 21.解:(I )()x x x x x x f 22 522512+-=-+=', …………(2分) ()0='x f ,得1 1= x ,或22=x ,列表: 函数)(x f 在2= x 处取得极大值2ln 8 )2(-=f , …………(4分) 函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ; …………(6分) (II )方法1:())1(1a x x x f +-+=',()3,1∈x 时,)3 10 ,2(1∈+x x , (i )当21≤+a ,即1≤a 时, ()3,1∈x 时,()0>'x f ,函数)(x f 在()3,1是增函数 ()3,1∈?x ,()()01=>f x f 恒成立; …………(8分) (ii )当3101≥+a ,即3 7 ≥a 时, ()3,1∈x 时,()0<'x f ,函数)(x f 在()3,1是减函数 ()3,1∈?x ,()()01= (iii )当31012<+ 7 1< ()3,1∈x 时,()x f '先取负,再取0,最后取正,函数)(x f 在()3,1先递减,再递增, 而()01=f ,∴()3,1∈?x ,()()01=>f x f 不能恒成立; 综上,a 的取值范围是1≤a . …………(12分) 方法2:∵2121=?≥+ x x x x ,∴()a a x x x f -≥--+='111 (i )当1≤a 时,()01≥-≥'a x f ,而()a x x x f --+='11 不恒为0, ∴函数)(x f 是单调递增函数,()3,1∈?x ,()()01=>f x f 恒成立;…………(8分) (ii )当1>a 时,令()x x a x x f 1 )1(2++-=', 设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <, ∵2121>+=+a x x ,121=x x ,∴2110x x <<< 当∈x ),(21x x 时,()0<'x f ,()x f 是减函数, ∴)()1()(21x f f x f <<,而()01=f ,∴)(0)(21x f x f << …………(10分) 若32≤x ,∵()3,1∈?x ,()0>x f ,∴0)1()(2=>f x f ,不可能, 若32>x ,函数)(x f 在()3,1是减函数,()0)1(3= 综上,a 的取值范围是1≤a . …………(12分) 22.证明:⑴连接CH , ,AC AH AK AE ==,∴四边形CHEK 为等 腰梯 形, 注意到等腰梯形的对角互补, 故,,,C H E K 四点共圆,----------- 3分 同理,,,C E H M 四点共圆, 即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上, ------------- 5分 ⑵连结EM ,由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆,----------- 7分 CEHM 为等腰梯形,EM HC ∴=, 故MKE CEH ∠=∠, 由KE EH =可得KME ECH ∠=∠,故MKE CEH ???, 即3KM EC ==为所求. ----------10分 23.解:(1) 60 (2)l 的直角坐标方程为2 2 3+ = x y , )4 cos(2π θρ- =的直角坐标方程为1)2 2()22(22=-+- y x , 所以圆心)22,22( 到直线l 的距离46=d ,2 10 ||=∴AB 24.解: (1)0)3(416≥-+-=?a a 即 2 7 21≤≤-a 所以 ??? ?? ?- =27,21A ---------5分 (2)令2 12)(t t a a f ++-= 即 0)(min 430127)2 7(2 <<∴<+-=t t t f 所以 4334<<-<<-t t 或----10分 H E K M C B A 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<<2018年高三数学模拟试题理科
2020-2021高考理科数学模拟试题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题一及答案