第八章 测 验 题
一、选择题:
1、若a →
,b →
为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→
?= ( ).
(A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→
.
向量a b →
→
?与二向量a →
及b →
的位置关系是( ). 共面; (B)共线;
(C) 垂直; (D)斜交 .
3、设向量Q →
与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当
cos 0β=时,有( ) 5、2()αβ→→
±=( )
(A)2
2
αβ→→±; (B)2
2
2ααββ→→→
→±+; (C)2
2
ααββ→→→
→±+; (D)2
2
2ααββ→→→
→±+.
6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面( ).
(A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220
A x
B y
C z
D B y D +++=??
+=?且
111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).
(A) 过原点; (B)x 平行于轴;
(C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线
5
13
x y -=
- 10
7
z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3); (C)(2,3,4); (D)(2,1,4).--
9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周
2216
0x y z ?+=?=?
,则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=; (B)222160x y z z ++-=;
(C)2226160x y z z ++-+=; (D)2226160x y z z +++-=.
10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是
( ).
(A)2221x y z ++=; (B)224x y z +=;
(C)22
2
14y x z -+=; (D)
2221916
x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3
π,且2,5a b →→==,
求(2)(3)a b a b →→→→
-?+ .
三、求向量{4,3,4}a →
=-在向量{2,2,1}b →
=上的投影 .
四、设平行四边形二边为向量
{1,3,1};{2,1,3}a b →
→
=-=-{}2,1,3b =-,求其面积 .
五、已知,,a b →→
为两非零不共线向量,求证:
()()a b a b →→→→-?+2()a b →→
=?.
六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .
七、求直线L :31258x t
y t z t =-??
=-+??=+?
在三个坐标面上及
平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线
122
232
x y z -+-==
-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 九、求点(1,4,3)--并与下面两直线
1L :24135x y z x y -+=??+=-?,2:L 24132x t
y t z t =+??=--??=-+?
都垂直的直线方程 .
十、求通过三平面:220x y z +--=,
310x y z -++=和30x y z ++-=的交点,且平行于平面20x y z ++=的平面方程 . 十一、在平面10x y z +++=内,求作一直线,使它通过直线10
20
y z x z ++=??
+=?与平面的交点,且与已知直线垂直 .
十二、判断下列两直线 111
:112
x y z L +-==, 212:134
x y z L +-==,是否在同一平面上,在同
一平面上求交点,不在同一平面上求两直线间的距离 .
第九章 测 验 题
一、选择题:
1
、二元函数22
1
arcsin
z x y =++的定义域是( ).
(A)2214x y ≤+≤; (B)2214x y <+≤; (C)2214x y ≤+<; (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()x f xy x y y
=+,则(,)f x y =( ).
(A)221()x y y
+; (B) 2(1)x y y
+; (C) 221
()y x x
+; (D) 2(1)y y x
+.
3、222200
lim()x y x y x y →→+=( ).
(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) e .
4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导
数
0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).
(A)充分条件,但不是必要条件; (B)必要条件,但不是充分条件;
(C)充分必要条件;
(D)既不是充分条件,也不是必要条件.
5、设(,)f x y 22
2222
221()sin ,00,0x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?
则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在; (B)不可微; (C)偏导数存在且连续; (D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连
续偏导数.则
2
2z
y
?=?( ). (A)222f v f v v y y v y ?????+?
?????; (B)22f v v y
?????; (C)
22
22
2()f v f v
y
v v y ????+?????;
(D)2222f v f v
y v v y
?????+?????.
7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面
所围
成的四面体的体积V=( ).
(A) 332a ; (B) 33a ; (C) 3
92
a ; (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).
(A) (1,2); (B) (1.-2); (C) (-1,2); (D)
(-1,-1).
9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2
x y z x y z π
++=>>>的条件极值是
( ).
(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 16 ; (D) 1
8 .
10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻
域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ). 二、讨论函数33
x y
z x y
+=+的连续性,并指出间断点类型.
三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y z x = ;
2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==;
3、22222
220(,)00
x y x y f x y x y x y ?+≠?
=+??+=?
.
四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()
z x y z φ=+所 确的函数,求du .
五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶
偏导 数,求2z
x y ???. 六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求z x
??和z
y
?? . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数
22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导
数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值;(2)
最小值;(3)等于零 . 八、求平面13
45
x
y z
+
+=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .
九、在第一卦限内作椭球面222
2221x y z a b c
++=的切
平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .
第十章 测 验 题
一、选择题:
1、1
100(,)x
dx f x y dy -??=( )
(A)11
00(,)x
dy f x y dx -??; (B)1
100(,)x
dy f x y dx -??; (C)1
1
00(,)dy f x y dx ??; (D)1
100
(,)y
dy f x y dx -??.
2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,
D
π=.
(A) 1 ;
;
;
3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.D
dxdy =??
4、xy D xe dxdy ??的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤
(A) 1;e
(B) e ; (C) 1
;e
- (D) 1.
5、设22()D
I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所
围成,则I =( ). (A)2240
a
d a rdr a π
θπ=??;
(B)22400
1
2
a
d r rdr a πθπ?=??;
(C)2230
23
a
d r dr a πθπ=??;
(D)224002a
d a adr a πθπ?=??. 6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的
空间区域,则xdxdydz Ω
???=( ).
(A)
148 ; (B) 148- ; (C) 124 ; (D) 124
- . 7、设Ω是锥面222
222(0,z x y a c a b
=+>0,0)b c >>与
平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,
则dxdydz Ω
???
=( ).
(A)
2136a b ;
(B) 21
36a b
(C) 2136b c ;
(D) 1
36.
8、计算I zdv Ω
=???,其222,1z x y z Ω=+=中为围成
的 立体,则正确的解法为( )和( ).
(A)21
1
000I d rdr zdz π
θ=???;
(B)211
00r I d rdr zdz πθ=???;
(C)21
1
00r
I d dz rdr π
θ=???; (D)12000z
I dz d zrdr πθ=???.
9、
曲面z =222x y x +=内部
的那 部分面积s =( ).
;
;
;
(D) .
10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀
(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).
(A) 3μ; (B) 5μ; (C) 4μ; (D) 6μ. 二、计算下列二重积分:
1、22()D
x y d σ-??,其中D 是闭区域:
2、D
y
arctg d x
σ??,其中D 是由直线0y =及圆周
22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象
限内的闭区域 .
3、2(369)D
y x y d σ+-+??,其中D 是闭区
域:222
x y R +≤
4、222D
x y d σ+-??,其中D :223x y +≤.
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:
1、1
23
30010(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+????;
2
、1
10(,)dx f x y dy ?;
3、00(cos ,sin )a d f r r rdr θ
θθθ??.
四、将三次积分1
1
0(,,)y
x x dx dy f x y z dz ???改换积分次序为 x y z →→.
五、计算下列三重积分:
1、cos(),y x z dxdydz Ω
+Ω???:
抛物柱面y =
,,2
y o z o x z π
==+=
及平面所围成的区域 .
2、22(),y z dv Ω
+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围
成的闭区域 .
3、222222
ln(1)
,1z x y z dv x y z Ω
++++++???其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .
六、求平面1x y z
a
b c
++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .
七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111
30
1()()()[()]6y
x x
f x f y f z dxdydz f x dx =?
??
? .
第十一章 测 验 题
一、选择题: 设L 为03
,02
x x y =≤≤
,则4L ds ?的值为( ).
(A)04x , (B)6, (C)06x .
设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2L
dy ?=( ).
(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,
sin ,
x a t y b t =??
=?取顺时针方向,则
L
ydx xdy -?的值为( ).
(A)0; (B)2
ab π
; (C)ab π.
4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续
偏导数,则在D 内与L
Pdx Qdy +?路径无关的
条件
,(,)Q P
x y D x y
??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则
( )式正确. (A)1
2zds zds ∑
∑=????;
(B)1
2zdxdy zdxdy ∑
∑=????;
(C)1
222z dxdy z dxdy ∑
∑=????.
6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的
曲面 ,
则ds ∑
??等于( ).
(A)
20
r
d rdr π
θ?
?
;(B)
20
0d rdr π
θ?
?
;
(C)20d rdr π
θ?.
7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则 2
2
x y zdxdy ∑
??等于( ).
(A) 2xy
D x y ??;
(B) 22xy
D x y ??
; (C) 0 .
8、曲面积分2z dxdy ∑
??在数值上等于( ).
向量2
z i r
穿过曲面∑的流量;
面密度为2z 的曲面∑的质量;
向量2
z k r
穿过曲面∑的流量 .
9、设∑是球面2222
x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy
面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).
(A)2222xy
D x y zds x y ∑
=????;
(B)2222()()xy
D x y dxdy x y dxdy ∑
+=+????;
(C) 2xy
D zdxdy ∑
=????.
10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运
用奥-高
公式正确的是( ).
(A)2
(2)x dydz z y dxdy ∑++??ò外侧
=(22)x dxdydz Ω
+???;
(B)32
()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??
ò外侧
=22(321)x x dxdydz -+???;
(C)2
(2)x dydz z y dxdy ∑++??ò内侧
=(21)x dxdydz Ω
+???.
二、计算下列各题:
1、求
zds Γ
?
,其中Γ为曲线
cos ,sin ,,x t t y t t z t =??
=??=?
0(0)t t ≤≤; 2、求(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy -+-?,其中L 为上
半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .
三、计算下列各题: 1、求
222ds
x y z
∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及
之间的圆柱面222x y R +=;
2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-??,
其中∑
为锥面(0)z z h =≤≤的外侧;
∑
其中∑为曲面22
(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22
xdx ydy x y
++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及
原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .
五、求均匀曲面z =的重心的坐标 .
六、求向量A xi yj zk =++r r r r
通过区域:Ω01,x ≤≤
01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .
七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),
已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r
r
r
r
,求流体在单
位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流
向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .
第十二章 测 验 题
一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ).
(A)11n n ∞
=∑;
(B)1n ∞
=;
(C)n ∞
=; (D)1
(1)n n ∞
=-∑.
2、下列级数中,收敛的是( ).
(A) 115()4n n ∞
-=∑; (B)114
()5
n n ∞
-=∑;
(C)1
11
5(1)
()4n n n ∞
--=-∑; (D)1154
()4
5n n ∞
-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )
(A)221(!)2n n n ∞
=∑; (B)13!
n n n n n
∞
=∑;
(C) 2
2
1
sin
n n
π
π∞
=∑
; (D)1
1
(2)n n n n ∞
=++∑
.
4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1
n n u ∞
=∑收敛的
( )
(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1
n
n a r ∞
=∑收敛 .
(A)1r <; (B)1r ≤; (C)r a <; (D)1r >. 6、幂级数1
1(1)(1)
n
n n x n
∞
-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]; (B) [0,2); (C) (0,2]; (D) [0,2].
7、若幂级0
n n n a x ∞
=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;
0n
n n b x ∞
=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数
0()n n n n a b x ∞
=+∑的收敛半径至少为( )
(A)12R R +; (B)12R R ?;
(C){}12max ,R R ; (D){}12min ,R R . 8、当0R >时,级数2
1(1)n
n k n
n
∞
=+-∑是( ) (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞
=是级数1n n u ∞
=∑收敛的( )
(A)充分条件; (B)必要条件;
(C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件 .
10、幂级数1
(1)n n n n x ∞=+∑
的收敛区间是( )
(A) (1,1]-; (B) (1,1]-; (C) (1,1]-; (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:
1、2
21(!)
2n n n ∞
=∑; 2、2
1
cos 32n
n n n π∞
=∑
.
三、判别级数1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1
11139
27
3lim[248(2)]n
n n →∞
????L .
五、求下列幂级数的收敛区间:
1、135n n n n x n ∞
=+∑; 2、212
n n n n
x ∞
=∑.
六、求幂级数1
(1)n
n x n n ∞
=+∑的和函数 .
七、求数项级数2
1!
n n n ∞
=∑的和 .
八、试将函数
2
1
(2)
x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的
表达式为 0,[,0)
(),[0,)
x x f x e x ππ∈-?=?∈?将()f x 展开成傅
立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x h
f x h x π
≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级
数
和余弦级数 . 十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,
则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0
(1,2,)k k a b k ===L .
第八章 测 验 题 答 案
一、1、D ; 2、C ; 3、C ; 4、A ; 5、B ;
6、B ;
7、C ;
8、A ;
9、D ; 10、D. 二、-103. 三、2.
四、六、22
1330y z x ?+
=???=?
.
七、3120x t y t z =??=-+??=?, 3058x t y z t =-??=??=+?, 01258x y t z t =??=-+??=+?
,
1411260
380
x y z x y z +--=??-++=?. 八、81390x y z --+=.
九、1124463x t
y t z t =--??
=-+??=+?
.
十、240x y z ++-=. 十一、210
10x y z x y z +-+=??
+++=?
.
十二、直线12L L 与为异面直线
,d =
. 第九章 测 验 题 答 案
一、1、A ; 2、B ; 3、B ; 4、B ; 5、D ;
6、C ;
7、A ;
8、A ;
9、D ; 10、B.
二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续; (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y
y x z x y
=
; 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++
23()y y u xf xz xyz f =++.
3、322
222
222,0()
(,),0,0x xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 2222
2222
22(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ?-+≠?+=??+=?
.
四、221()
()()1()1
f f z f dx dy y z y z φφφ-
-''--.
五、2y y y y uu
uy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),
(cos sin ).u u z z
v v u v e u v v v e x y
--??=-=+?? 七、
cos sin ,f
l
φφ?=+? 八、4335(,,).5512
九、切点min V =
. 第十章 测 验 题 答 案
1、D ;
2、C ;
3、A ;
4、A ;
5、B ;
6、A ;
7、A ;
8、B,D ;
9、B ; 10、C.
二、1、2409π-
;2、23
64
π; 3、4294R R ππ+;4、5.2
π
三、1、230
2
(,)x
x dx f x y dy -??;
2
、2
1
2
1
(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +???;
3、0(cos ,sin )a
a
r rdr f r r d θθθ??. 四、1
1
00(,,)z
z dz dy f x y z dx ???.
五、1、2
1162π-; 2、250
3
π; 3、0.
. 七、提示:
第十一章 测 验 题 答 案
一、1、B ; 2、C ; 3、C ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、B ; 8、C ; 9、C ; 10、B.
二、1
、
3220
(2)3t +-; 2、2a π.
三、1、2H arctg R π; 2、44h π
-; 3、0.
四、221
(,)ln()2u x y x y =+.
五、(0,0,)2a
. 六、3.
七、32
,015
π.
第十二章 测 验 题 答 案
一、1、B ; 2、B ; 3、C ; 4、C ; 5、D ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、B ; 10、A. 二、1、发散; 2、收敛. 三、条件收敛.
提示:化成212333
2
n n ++++L L )
五、1、11
[,)55
-; 2
、(.
六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x x
x ?+--∈-??
=??=?
. 七、2e .
八、1
21
11,(2,2)(2)2
n n n n x x x ∞-+==∈--∑
九、2
111(1)1
()[cos 21n n e e f x nx n
ππππ∞=---=++∑ 12
((1)1)
sin ]1
n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且).
十、1
2
1cos ()sin ,(0,)(,)n nh
f x nx x h h n ππ∞
=-=
∈?∑
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ,则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题(每题4分) 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导,并有)()(b f a f =,则(D ) A .一定存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导,且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<', 当,0>?x 时,有(A ) A. ,0<>?dy y C. ,0
同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.
第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转))
学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
同济大学高等数学(下)期中考试试卷2 一.简答题(每小题8分) 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =?为什么? 3.不需要具体求解,指出解决下列问题的两条不同的解题思路: 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点,求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数,3x y =是f 的一条等高线,若 1)1,1(-=y f ,求)1,1(x f . 二.(8分)设函数f 具有二阶连续的偏导数,),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.(8分)设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ,其中f 与g 均具有连续的偏导数,求dx dy . 四.(8分)求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(,,处的切线与法平面的方程. 五.(8分)计算积分) ??D y dxdy e 2,其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.(8分)求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.(14分)设一座山的方程为2221000y x z --=,),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. (1)问:z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率; (2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大,请写出该点的坐标. 八.(14分) 设曲面∑是双曲线2422=-y z (0>z 的一支)绕z 轴旋转而成,曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. (1)写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标; (2)若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体,求Ω的体积.
数,故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2,, A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数,故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称,被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数,故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1): 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于 ^ 轴对称,而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数,即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0; D 如果积分区域 D 关于: K 轴对称,而被积函数 / ( x, y) 关于: c 是奇函数,即 / ( ~x, y) = - / ( 太, y) ,则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明: ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ; IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: , y) do■ ( 其 中 A :为常数 ) ; o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2,, A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 本资料仅供参考复习练手之用,无论是重修只求及格,还是为了拿优保研,复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重,作为一个重修过高数的学长,望大家不要舍本求末,记住这样一句话,只有当你付出了,你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=. 高等数学(下册)考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→? y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于( ) 高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高等数学复习提纲 一、考试题型 1.填空题6题 2.计算题8题 二、知识点 1.平面及其方程。 例题:一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2.空间直线及其方程。 例题:求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题:求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程 解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3.旋转曲面。 例题:将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题:将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导,隐函数求导。 例题:求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题:设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 分,共 ?分) .下列各组函数中,是相同的函数的是( ) (?)()()2ln 2ln f x x g x x == 和 ( )()||f x x = 和 ( )g x = ( )()f x x = 和 ( )2 g x = ( )()|| x f x x = 和 ()g x = .函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续,则a = ( ) (?) ( ) 1 4 ( ) ( ) .曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ) (?)1y x =- ( )(1)y x =-+ ( )()()ln 11y x x =-- ( ) y x = .设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ) (?)连续且可导 ( )连续且可微 ( )连续不可导 ( )不连续不可微 .点0x =是函数4 y x =的( ) (?)驻点但非极值点 ( )拐点 ( )驻点且是拐点 ( )驻点且是极值点 .曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ) (?)只有水平渐近线 ( )只有垂直渐近线 ( )既有水平渐近线又有垂直渐近线 ( )既无水平渐近线又无垂直渐近线 . 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ) (?)1f C x ?? -+ ??? ( )1f C x ?? --+ ??? ( )1f C x ?? + ??? ( )1f C x ?? -+ ??? . x x dx e e -+?的结果是( ) (?)arctan x e C + ( )arctan x e C -+ ( )x x e e C --+ ( ) ln()x x e e C -++ .下列定积分为零的是( ) (?)424arctan 1x dx x π π-+? ( )44 arcsin x x dx ππ-? ( )112x x e e dx --+? ( )()1 2 1 sin x x x dx -+? ?.设()f x 为连续函数,则 ()1 2f x dx '?等于( ) (?)()()20f f - ( )()()11102f f -????( )()()1 202f f -????( )()()10f f - 二.填空题(每题 分,共 ?分) .设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = .已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '= .21 x y x =-的垂直渐近线有条 . ()21ln dx x x = +? 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 《高数》试卷7(上) 一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ). A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是( ). A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x ( ). A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ). A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2( ). A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π 9、?=+1 01dx e e x x ( ). A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ). A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题(每小题4分) 1、设函数x xe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ; 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ; 三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ; 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数; 3、求函数 1133+-=x x y 的微分; 4、求不定积分?++1 1x dx ; 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ; 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ; 四、应用题(每小题10分) 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象. 《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|,则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ,是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续,则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共30分) 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域: 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限: 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ (0) 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明:当沿着x 轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着2 x y =趋于(0,0)时,极限为2 1 , 二者不相等,所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明:当)0,0(),(≠y x 时,为初等函数,连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时, )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→,所以函数在(0,0)也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =,求f(x)及z 的表达式. 解:f(x)=x x -2,z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明:x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ,∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案: 同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.(本题共有5小题,每小题3分,满分15分,每题只有一个正确答案) 1、下列微分方程为一阶线性方程的是: 【 D 】 :A '1yy =; :B 'e 1y y +=; :C 2 'y y y +=; :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=,且() 0a b c ??=,则k = 【 B 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-,则k = 【 C 】 :1A ; :2B ; :3C ; :4D 。 4、设e cos x x z x y y =+ -,则z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +; :B 21e sin x x y y -+; :C 21e sin x y y -+; :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序:()2 220d ,d y y y f x y x =?? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?; ()4 :d ,d x B x f x y y ?; ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??; ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,满分16分,只需将答案填入空格) 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-,若,x a x b ⊥⊥,且7x =。则向量x =()3,2,6±。 8、空间直线240 329x y z x y z -+=?? --=?在xoy 面上的投影直线方程为: 7990x y z -=?? =? 。 9、设函数()2z f x y =-,其中函数f 具有二阶导数,则 2z x y ?=??() 2"2f x y --。同济大学版高等数学期末考试试卷
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