平面向量的实际背景及基本概念练习题 、选择题: 1.下列物理量中,不能称为向量的是( ) A .质量 2 .设O 是正方形 A .平行向量 3. A . 4 ?在下列说法中,正确的是( ) A .两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同 B ?模为0的向量与任一非零向量平行 彳 c .向量就是有向线段 D ?若4,则a b 5?下列各说法中,其中错误的个数为( ) (1)向量AB 的长度与向量BA 的长度相等;(2)两个非零向量a 与b 平行,则a 与b 的方 向相同或相反;(3)两个有公共终点的向量一定是共线向量; (4)共线向量是可以移动到同 一条直线上的向量;(5)平行向量就是向量所在直线平行 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 *6. ABC 中,D 、 E 、 F 分别为 BC > CA 、AB 的中点,在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中,与 EF 共线的向量有( ) A . 2个 B . 3个 C . 6个 D . 7个 二、填空题: 7.在(1)平行向量一定相等;(2)不相等的向量一定不平行;(3)共线向量一定相等;(4) 相等向量一定共线;(5)长度相等的向量是相等向量;(6)平行于同一个向量的两个向量是 共线向量中,说法错误的是 _____________________________ . E 、 F 、O 为端点的向量中: (1) 与a 相等的向量有 (2) 与b 相等的向量有 B .有相同终点的向量 C .相等向量 D .力 ) D .模相等的向量 &如图,0是正方形ABCD 的对角线的交点,四边形 OAED 、OCFB 是正方形,在图中所 示的向量中, (1 )与A0相等的向量有 ___________________ ; (2) 与呂共线的向量有 ____________________ ; (3) 与"Ag 模相等的向量有 _____________________ ; (4) 向量A0与CO 是否相等?答: ________________________ 9 . 0是正六边形 ABCDEF 的中心,且 70 ,OB b , AB c , 在以A 、 B .速度 ABCD 的中心,向量 B . |a| |b F 列命题中, |a| |b| C A B
“§3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域”教案 一、题目: 高中数学必修5 第三章不等式第3.3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第一课时 二、课程分析: 教材中为了引导学生探究二元一次不等式表示的平面区域,采用了类比一元一次不等式的解集在数轴上的表示法,这是一条很好的思路,教学中应该遵循这一思路展开教学,引导学生进行探究,本课的教学设计也是以这一思路为指导的。另外,教材中的探究过程是在直线上和左上方分别取点P和A,使这两点的横坐标相等,比较纵坐标的大小,进而总结出“同侧同号”的结论。这个探究过程的逻辑是严密的,却也是非实质的,“P与A的横坐标相同”这一限制是多余的,在学生小组活动中可以不用兼顾,只需在直线某侧任意取若干点,把坐标代入直线方程,考察计算结果的符号即可,为了弥补这样做的逻辑缺陷,教师可以在小组活动后统一用代数办法进行证明。 三、学情分析: 学生的基础知识较差,分析问题、解决问题的能力还不成熟,需要依据这一学情对教学活动做如下调整:一是放弃教材中由实际情境引出二元一次不等式的相关概念的设计,改为一句话带过:“在日常生活中,有很多不等关系需要用二元一次不等式(组)来表达。所以本节课我们先来探究二元一次不等式(组)的相关知识,为以后的学习生活打好基础。”这样做是因为学生很可能在寻找不等关系、列不等式组这些动作中花费较多时间。二是在小组合作探究活动之前,教师先引导学生理清探究的思路,定好探究目标。这样可以使时间有限的小组探究活动的效率提高,使每一个同学都能在探究中自己的任务。 四、教学目标: 1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的相关概念,会用“特殊点法”画出二元一次不等式(组)表示的平面区域。 2、过程与方法:通过类比,找到探究的途径;在探究过程中,善于发现,及时总结,进一步熟悉从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观:在小组合作探究活动中,积极投入,培养合作意识,增强学习数学的信心,感悟探求新知的常用思想。 五、教学重点:
一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
平面向量的实际背景及基本概念 向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 教学目标 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点) [基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示 阅读教材P 74~P 75例1以上内容,完成下列问题. 1.向量与数量 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段表示.向量AB →的大小,也就是向量 AB →的长度(或称模),记作|AB →|.向量也可以用字母a ,b ,c ,…表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如AB →,CD →. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.( ) (2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量.( ) (3)某个角是一个向量.( ) (4)体积、面积和时间都不是向量.( ) 解:因为向量之间不可以比较大小,故(1)错;x 轴、y 轴只有方向,没有大小,故(2)错;因为角只有大小没有方向,故(3)错;因为体积、面积和时间只有大小没有方向,都不是向量,所以(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念 阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容,完成下列问题. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)单位向量都平行.( ) (2)零向量与任意向量都平行.( ) (3)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( ) (4)|AB →|=|BA →|.( )
平面向量与基本不等式(练习题)2016-高考-数学
平面向量与基本不等式(备战2016高考) 一:选择题 1.在 OAC ?中,点 B 在线段 AC 上,且 ), ,(2R n m n m mn ∈+=则2 2 4n m +的最小值为() A.8 B.16 C.24 D.32 2.在△ABC 所在平面上有一点P ,满足 =++,则△PBC 与△ABC 面积之比是 ( ) A.3 1 B.2 1 C.3 2 D.4 3 3.已知两个非零向量a =(m -1,n -1),b =(m -3,n -3),且a 与b 的夹角是钝角或直角,则m +n 的取值范围是() A .2,2) B .(2,6) C .2,2] D .[2,6] 4.1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内,且30AOC ∠=?,设,OC mOA nOB =+(),m n R ∈,则n m 等于( ) A .3 1 B .3 C .3 3 D .3 5.若两个正实数 y x ,满足 141=+y x ,且不等式 m m y x 34 2-<+ 有解,则实数m 的取值范围是( )
A . ) 4,1(- B .),4()1,(+∞--∞ C . ) 1,4(- D .),3()0,(+∞-∞ 6.设P 是双曲线22 14 y x -=上除顶点外的任意一点, 1 F 、2 F 分别是双曲线的左、右焦点,△1 2 PF F 的内切圆与边1 2 F F 相切于点M ,则12 F M MF ?= A .5 B .4 C .2 D .1 7.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆01422 2=+-++y x y x 截 得的弦长为4,则b a 1 1+的最小值是( ) A .12 B .-12 C .-2 D .4 8.已知向量)1,(λ=,)1,2(+=λb a b a -=+λ 的值为 A .2 B .2 - C .1 D .1- 9.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上的任意一点,PE AB ⊥于E ,PF BC ⊥于F ,则PD EF ?等于 A.1 B.1- C.12 D.0
课时跟踪检测(十五) 平面向量的实际背景及基本概念 层级一 学业水平达标 1.下列说法不正确的是( ) A .向量的模是一个非负实数 B .任何一个非零向量都可以平行移动 C .长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D .两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 解析:选D 显然,选项A 、B 、C 说法正确.方向相同或相反的向量都是共线向量,所以选项D 说法不正确. 2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和 终点都在方格的顶点处,则与AB ―→平行且模为2的向量共有( ) A .12个 B .18个 C .24个 D .36个 解析:选C 由图知,与AB ―→平行且模为2的向量共有24个. 3.下列命题中,正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线; ②长度相等的向量都相等; ③共线的单位向量必相等; ④与非零向量a 共线的单位向量只能是a |a | . A .3 B .2 C .1 D .0 解析:选D 根据单位向量、共线向量、相等向量的概念,可知①②③明显错误,对于 ④,与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或-a |a | ,④也是错误的.故选 D. 4.如图,在?ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,图中与 AE ―→平行的向量有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:选C 根据向量的基本概念可知与A E ―→平行的向量有BE ―→,FD ―→,FC ―→,共3个. 5.设O 为△ABC 的外心,则AO ―→,BO ―→,CO ―→是( )
A .相等向量 B .平行向量 C .模相等的向量 D .起点相同的向量 解析:选C ∵O 为△ABC 的外心,∴OA =OB =OC ,即|AO ―→|=|BO ―→|=|CO ―→|. 6.已知|AB ―→|=1,|AC ―→|=2,若∠ABC =90°,则|BC ―→|=________. 解析:由勾股定理可知,BC = AC 2-AB 2=3,所以|BC ―→|= 3. 答案: 3 7.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论中正确的是________(填序号). ①a 0=b 0;②a 0=-b 0;③|a 0|+|b 0|=2;④a 0∥b 0. 解析:因为a 0,b 0是单位向量,|a 0|=1,|b 0|=1, 所以|a 0|+|b 0|=2. 答案:③ 8.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号). 解析:若a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b . 答案:①③④ 9.在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为边AD ,BC 的中点,如图. (1)写出与向量FC ―→共线的向量; (2)求证: BE ―→=FD ―→. 解:(1)由共线向量满足的条件得与向量FC ―→共线的向量有: CF ―→,BC ―→,CB ―→,BF ―→,FB ―→,ED ―→,DE ―→,AE ―→,EA ―→,AD ―→,DA ―→. (2)证明:在?ABCD 中,AD 綊BC . 又E ,F 分别为AD ,BC 的中点,∴ED 綊BF , ∴四边形BFDE 是平行四边形,∴BE 綊FD , ∴BE ―→=FD ―→. 10.已知四边形ABCD 中,AB ―→=DC ―→且|AB ―→|=|AC ―→|,tan D =3,判断四边形ABCD 的形状.
平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念 向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 教学目标 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点) [基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示 阅读教材P 74~P 75例1以上内容,完成下列问题. 1.向量与数量 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段表示.向量AB →的大小,也就是向量 AB →的长度(或称模),记作|AB →|.向量也可以用字母a ,b ,c ,…表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如AB →,CD →. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.( ) (2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量.( ) (3)某个角是一个向量.( ) (4)体积、面积和时间都不是向量.( ) 解:因为向量之间不可以比较大小,故(1)错;x 轴、y 轴只有方向,没有大小,故(2)错;因为角只有大小没有方向,故(3)错;因为体积、面积和时间只有大小没有方向,都不是向量,所以(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念 阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容,完成下列问题. 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a 、b 平行,记作a ∥b 规定:零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a 与b 相等,记作a =b 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)单位向量都平行.( ) (2)零向量与任意向量都平行.( ) (3)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( ) (4)|AB →|=|BA →|.( )
西安高新第三中学导学案 学科编写校对班级小组学生评价 向量可以用有向线段表示 _________________________。向量a
_____________________。若a与b是一对相反向量,则______________________ 8、平行向量(共线向量):______________ __叫做平行或共线向量a与b平行,通常记作_______ 我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有__________________. 引领探究1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: ④向量AB的大小――长度称为向量的模,记作 3.有向线段:具有方向的线段叫做,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个 向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也 是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫,记作 .0的方向是 . 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫 . 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向或的非零向量叫平行向量;②我们规定0与平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a ∥b∥c. 6、相等向量定义:且的向量叫相等向量. 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且 与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段 的起点无关). 1.说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共 线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2.若a与b平行,那么a与b的方向相同吗? 3.什么叫自由向量?在自由向量的前提下,平行向量和共线向量有什么关系? 课堂精彩记录 A(起点) B (终点) a