第5章频域分析法
5.1 学习要点
1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；
2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；
3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；
4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；
5 对数频率特性三频段与系统性能的关系；
6 计算频域参数与性能指标；
5.2 思考与习题祥解
题5.1 判断下列概念的正确性
ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同
(1) 将频率为
一频率的。
M仅与阻尼比ξ有关。
(2) 对于典型二阶系统，谐振峰值
p
(3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。
(4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。
(5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。
(6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。
(8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。
(10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。
(11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。
(12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。
(13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。
(14) 某系统稳定的开环放大系数25
K<，这是一个条件稳定系统。
(15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。
(16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。
(17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。
(18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。
M和频带宽BW
(19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值
p
的信息。
(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。(T) (F)
答：(1) 正确 (2) 正确 (3) 正确 (4) 正确 (5) 正确 (6) 正确 (7) 正确 (8) 错误 (9) 正确 (10) 错误 (11) 正确 (12) 正确 (13) 正确 (14) 错误 (15) 正确 (16) 正确 (17) 正确 (18) 正确 (19) 正确 (20) 正确
题5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为1
10
)(+=s s G ，求下列参考
输入下系统的稳态误差。
(1) )30sin()(1 +=t t r (2) )452cos()(2 -=t t r
(3) )452cos()30sin()(3 --+=t t t r 解：根据单位负反馈系统稳态误差的定义，稳态误差传递函数
()1111
()()1()11111
11
e E s s s G s s R s G s s ++====?
+++ 系统稳态误差传递函数的频率特性为
11
()111
11
e j G j j ωωω+=?
+ 稳态误差传递函数的幅频特性
111|()|||1111111e j G j j ωωω+=?=+ 稳态误差传递函数的相频特性
()arctan arctan()11
e G j ω
ωω∠=-
又根据频率特性的定义，系统的稳态误差频率特性
?ωωωωj e e j E j R j G j E |)(|)()()(==
其中
)
()()(|)(||)(||)()(||)(|ωωωωωωωωj R j G j E j R j G j R j G j E e e e ∠+∠=∠==
所以
(1) 当 )30sin()(1 +=t t r 系统稳态误差传递函数的频率特性为
1111
()|1111
11
e j G j j ωω=+=
?
+ 稳态误差传递函数的幅频特性
611
1)11
1(11111|111111111||)1(|2222=
++?=++?=j j j G e 稳态误差传递函数的相频特性
81.3919.545)11
1
arctan(1arctan )1(=-=-=∠j G e
所以
1111|()|()||()|1()()()39.813069.81
e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω===
∠=∠+∠=+= 系统的稳态误差
)81.69sin(61
1
)(1 +=
t t E
(2) 当 )1352sin()]452(90sin[)452cos()(2 +-=--=-=t t t t r
)452sin()]1352(180sin[)1352sin(
+=--=--=t t t
系统稳态误差传递函数的频率特性为
2121
()|2111
11
e j G j j ωω=+=?
+ 稳态误差传递函数的幅频特性
1
|(2)|11
e G j ==
稳态误差传递函数的相频特性
2
(2)arctan 2arctan()63.410.353.111
e G j ∠=-=-=
所以
2222|()||()||()|1()()()53.14598.1
e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω==
=
∠=∠+∠=+= 系统的稳态误差
2()98.1)E t t =
+ (3) 当 )452cos()30sin()(3 --+=t t t r
线性系统满足叠加原理，系统的稳态误差
312()()()69.81)sin(98.1)25
E t E t E t t t =-=+-+
题5.3 试绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）)2,1,10()(===-N K Ks s G N
（2）1
1.010
)(±=s s G
（3）)2,1,10()(===N K Ks s G N
（4）)11.0(10)(±=s s G
（5）)
4(6
)(+=s s s G
（6）)4)(1(6
)(++=s s s G
（7）)20()
5()(++=s s s G
（8）)
01.0(1
.0)(++=s s s s G
（9）)707.0,4.0,10,1(121
)(2
2==++=ξξT Ts s T s G （10）1
2)
12.0(40)(2+++=s s s s G
解：（1）)2,1,10()(===-N K Ks s G N
dB K 2010lg 20lg 20==
当1=N 时，s s G /10)(=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.1(a).
当2=N 时，2/10)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.1(b).
(
L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
图5.1(a). 一个积分环节
(
Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
图5.1(b) 两个积分环节
（2）
1
1.0
10
)
(
±
=
s
s
G
转折频率10
1.0
1
1
=
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
当
1
1.0
10
)
(
+
=
s
s
G时，)
1.0
arctan(
)
(ω
ω
?-
=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.2(a).
当
1
1.0
10
)
(
-
=
s
s
G时，)
1.0
arctan(
180
)
(ω
ω
?+
-
= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.2(b).
对数频率特性
幅相频率特性
(Lω
(?ω
_
_
图5.2(a) 惯性环节
对数频率特性
幅相频率特性
(L ω(?ω___
图5.2(b) 不稳定的惯性环节
（3）)2,1,10()(===N K Ks s G N
dB K 2010lg 20lg
20== 当1=N 时，s s G 10)(=，
对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3(a). 当2=N 时，210)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3(b).
(L ω –(?ω对数频率特性
幅相频率特性
图5.3(a). 一个微分环节
(
Lω
–
(?ω
对数频率特性
–
幅相频率特性
图5.3(b) 两个微分环节
（4）)1
1.0(
10
)
(±
=s
s
G
转折频率10
1.0
1
1
=
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
当)1
1.0(
10
)
(+
=s
s
G
时，)
1.0
arctan(
)
(ω
ω
?=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.4(a).
当)1
1.0(
10
)
(-
=s
s
G时，)
1.0
arctan(
180
)
(ω
ω
?-
=
，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.4(b).
对数频率特性
幅相频率特性
(Lω
(?ω
图5.4(a) 一阶比例微分环节
对数频率特性
幅相频率特性
(
L ω(?ω
图5.4(b) 不稳定的一阶比例微分环节
（5）)14
(5
.1)
4(6
)(+=
+=
s s s s s G 转折频率41=ω，dB K 5.35.1lg 20lg 20==。
)4/arctan(90)(ωω?--= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.5.
(L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
_
图5.5 Ⅰ型二阶系统
（6）)
14
)(1(5
.1)
4)(1(6
)(++=
++=
s s s s s G 转折频率11=ω，42=ω，dB K 5.35.1lg 20lg 20==。 )4/arctan(arctan )(ωωω?--=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.6.
(Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
图5.6 二阶系统
（7）
)1
20
(
)1
5
(
25
.0
)
20
(
)5
(
)
(
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
G
转折频率5
1
=
ω，20
2
=
ω，dB
K12
25
.0
lg
20
lg
20-
=
=。
)
20
/
arctan(
)5/
arctan(
)
(ω
ω
ω
?-
=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
5.7.
(Lω
(?ω
对数频率特性
幅相频率特性
_
_
图
图5.7 具有零点的一阶系统
（8）
)1
01
.0
(
)1
1.0
(
10
)
01
.0
(
1.0
)
(
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
G
转折频率01
.0
1
=
ω，1.0
2
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
)1.0/
arctan(
)
01
.0/
arctan(
90
)
(ω
ω
ω
?+
-
-
= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.8.
(Lω
(?ω
对数频率特性
幅相频率特性
_
_
图5.8 具有零点的二阶系统
（9）)
707
.0,4.0
,
10
,1
(
1
2
1
)
(
2
2
=
=
+
+
=ξ
ξ
T
Ts
s
T
s
G
当1
=
T，4.0
=
ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9(a). 当10
=
T，707
.0
=
ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9(b).
幅相频率特性
对数频率特性
(Lω
(?ω
_
图5.9(a) 二阶振荡环节
(Lω
(?ω
_
幅相频率特性对数频率特性
图5.9(b) 二阶振荡环节
（10）
1
2
)1
2.0(
40
)
(
2+
+
+
=
s
s
s
s
G
转折频率1
1
=
ω，5
2
=
ω，dB
K32
40
lg
20
lg
20=
=。
)
1
2
arctan(
)
2.0
arctan(
)
(
2
ω
ω
ω
ω
?
-
-
=，
7.
78
90
3.
11
)
1
1
2
arctan(
)2.0
arctan(
)1(-
=
-
=
-
-
=
?
1.
112
1.
143
31
)
9
1
6
arctan(
)6.0
arctan(
)3(-
=
-
=
-
-
=
?
3.
112
3.
157
45
)
25
1
10
arctan(
)1
arctan(
)5(-
=
-
=
-
-
=
?
2.
105
6.
168
4.
63
)
100
1
20
arctan(
)2
arctan(
)
10
(-
=
-
=
-
-
=
?
4.
93
7.
177
3.
84
)
2500
1
100
arctan(
)
10
arctan(
)
50
(-
=
-
=
-
-
=
?
当ω由∞
→
0，)
(ω
?变化趋势由
90
180
90
0-
→
-
→
-
→，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.10.
()
Lω
(?ω
幅相频率特性对数频率特性
图5.10 具有零点的二阶系统
题5.4 试绘出下列系统的开环传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）)0
(
,
)1
)(1
(
)1
(
)
(
3
2
1
2
1
3>
>
>
+
+
+
=T
T
T
s
T
s
T
s
s
T
K
s
G
（2）
)
100
(
250
)
(
2+
+
=
s
s
s
s
G
（3）
1
)
(
2.0
+
=
-
s
e
s
G
解：
（1）)0
(
,
)1
)(1
(
)1
(
)
(
3
2
1
2
1
3>
>
>
+
+
+
=T
T
T
s
T
s
T
s
s
T
K
s
G
当0
ω+
=时，∞
=
)
(ω
A，
90
)
(-
=
ω
?
当∞
=
ω时，0
)
(=
ω
A，
180
)
(-
=
ω
?
当ω由0+→∞，)
(ω
?变化趋势由
180
270
180
90-
→
-
→
-
→
-。
设10
=
K，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=，转折频率如图示，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.11.
(Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
_
图5.11 题5.4（1）用图
（2）
)1
100
1
100
1
(
5.2
)
100
(
250
)
(
2
2
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
G
转折频率
1
10
ω=，dB
K8
5.2
lg
20
lg
20=
=。
)
100
1
1
100
1
arctan(
90
)
(
2
ω
ω
ω
?
-
-
-
= ，
57
.
90
57
.0
90
)
100
1
1
100
1
arctan(
90
)1(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
180
90
90
)
1
1
10
1
arctan(
90
)
10
(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
42
.
269
42
.
179
90
)
100
1
1
arctan(
90
)
100
(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
当ω由0+→∞，)
(ω
?变化趋势由
270
180
90-
→
-
→
-，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.12.
(L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
_
图5.12 题5.4（2）用图
（3
）1
)(2
.0+=-s e s G
转折频率11=ω，dB K 01lg 20lg 20==。 ωωω?arctan 2.0)(--=， (0)0?=
5.56455.111arctan 3.5712.0)1(-=--=-??-=?
3.1993.8411510arctan 3.57102.0)10(-=--=-??-=?
4.12394.891150100arctan 3.571002.0)100(-=--=-??-=? 当ω由∞→0，)(ω?变化趋势由-∞→ 0，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
5.13.
)
(L ω(?ω对数频率特性
_幅相频率特性_
图5.13 题5.4（3）用图
题5.5 设系统的开环幅相频率特性如图题5.5所示。试写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否稳定。图中，P 为开环传递函数右半S 平面的极点数，N 为其0=s 的极点数。
(a)
(b)
(c)
(d)
,1=
=N
P
,1=
=N
P
(e) (f) (g) (h) 0
,2=
=N
P
,1=
=N
P
0,2
P N
==
0,0
P N
==
题5.5图
解：解题思路提示：根据P、N和开环幅相频率特性的相位变化确定开环传递函数形式。
(a) 为不稳定的惯性环节，开环传递函数的形式为
1
)
(
-
=
Ts
K
s
G。由图知，
当ω由∞
→
0，开环幅相频率特性)
(ωj
G在)1
,
(-
-∞区间正负穿越次数之差为2
2
1P
=
-，故闭环系统稳定。
(b) 根据1
P=、0
N=和开环幅相频率特性的起始相位，可判断开环系统含有一不稳定惯性环节。开环传递函数的形式为
4
3
2
1
2
1
4
3,
)1
)(1
(
)1
)(1
(
)
(T
T
T
T
s
T
s
T
s
T
s
T
K
s
G>
>
>
-
+
+
+
=
由图知，当ω由∞
→
0，开环幅相频率特性)
(ωj
G在)1
,
(-
-∞区间正负穿越次
数之差为
2
2
1
P
≠
-，故闭环系统不稳定。
(c) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)1
(
)
(-
=Ts
K
s
G。由图知，
当ω由∞
→
0，开环幅相频率特性)
(ωj
G在)1
,
(-
-∞区间正负穿越次数之差为
1
22
P
-≠，故闭环系统不稳定。
(d) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
4
3
2
1
3
2
2
4
1,
)1
)(1
(
)1
)(1
(
)
(T
T
T
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
K
s
G>
>
>
+
+
+
+
=
或
3
2
1
2
2
2
2
3
1,
)1
2
(
)1
)(
1
(
)
(T
T
T
Ts
s
T
s
s
T
s
T
K
s
G>
>
+
+
+
+
=
ξ
由图知，当ω由∞
→
0，开环幅相频率特性)
(ωj
G在)1
,
(-
-∞区间正负穿越次
数之差为
2
P
=
-，故闭环系统稳定。
(e) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
321321,)
1)(1()
1()(T T T s T s T s s T K s G >>+-+=
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次
数之差为2
01P
≠-，故闭环系统不稳定。
(f) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)
1()(2+=Ts s K
s G
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次
数之差为2
210P
≠-，故闭环系统不稳定。
(g) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
321321,)
1)(1)(1()(T T T s T s T s T K
s G >>++-=
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次
数之差为2
021P
=-，故闭环系统稳定。
(h) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)
1)(1()(21--=s T s T K
s G ，
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次
数之差为2
00P
≠-，故闭环系统不稳定。
题5.6 已知最小相位系统的开环对数频率特性如图5.68所示。试写出开环传递函数的形式，并绘制近似的对数相频特性。
(
L ω0__
(a)
(L ω
(b)
(L ω(c)
(
L ω0
(d)
(
L ω(e)
(L ω(f)
题5.6图
解：
)
1500
1
)(1101)(1()(+++=
s s s K
s G
根据dB K 60lg 20=，100=K 。近似的对数相频特性如图5.14。
(
L ω0____(?ω__
图5.14 题5.6（a ）对数相频特性
(b) 开环传递函数的形式为
)
1100
1
)(1(100
)(++
=
s s s s G
近似的对数相频特性如图5.15。
(L ω_(?ω__
图5.15题5.6（b ）对数相频特性
)1100
1(1.0)(+=
s s
s G
近似的对数相频特性如图5.16.
(
L ω(?ω
图5.16题5.6（c ）对数相频特性
(d) 开环传递函数的形式为
)180
1
()
1(64)(2++=
s s s s G
近似的对数相频特性如图5.17。
(
L ω0
(?ω__
图5.17题5.6（d ）对数相频特性
(e) 开环传递函数的形式为
2222222
111(21)
()21
K T s T S G s T s T S ξξ++=++ 其中114T =
，2160
T =，10.2ξ=，20.1ξ=。近似的对数相频特性如图5.18。 (
L ω
(?ω__
图5.18 题5.6（e ）的对数相频特性
(f) 开环传递函数的形式为
2
12()(1)(1)
KS
G s T s T S =
++ 由低频锻20lg 0Ks dB =的点得1
50.2K ==，同时120lg 120.2
dB ω=，解得
1
40.2
ω≈，10.8ω=；则111 1.25T ω==。 由高频锻2
2040lg
12dB ω-=-，解得2202ω≈，210ω=；则22
10.1T ω==。近似的对数相频特性如图5.19。
(?ω__(L ω
图5.19 题5.6（f ）的对数相频特性
题5.7 试用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。各系统的开环传递函数如下：
（1）)(,)
1)(1()
1()(213213T T T s T s T s s T K s G +>+++=
（2）)10)(1(20
)(++=s s s s G
（3）)
2()
100(10)(-+=s s s s G
解：
（1）)(,)
1)(1()
1()(213213T T T s T s T s s T K s G +>+++=
这是一个I 型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为
312(1)
()(1)(1)K j
T G j j j T j T ωωωωω+=++
幅频特性为 ()A ω=
相频特性为 312()90arctan arctan arctan T T T ?ωωωω=-+--
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 ① 当0ω+→时，有
2
)(π
ω
ωωj e K j K j G -==
即∞=+)0(A ， 90)0(-=+?。
②当ω→∞时，()0A ∞=，()()90180n m ?∞=--?=-。
第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
1 / 20 第四章 连续信号的频域分析 将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。 本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。 4.1 基本要求 1．基本要求 ? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质； ? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点 ? 傅里叶变换的性质及其应用 4.2 知识要点 1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式 三角形式：∑∑∞ =∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1） 指数形式： ∑∑∞ -∞ =+Ω∞ -∞ =Ω= =n t n n n t n n n F F t f )j(j e e )(? （4-2） 其中 ? +Ω= T t t n t t n t f T a 00 d cos )(2 ，n =0，1，2，? （4-3）
? +Ω= T t t n t t n t f T b 00 d sin )(2，n =1，2，? （4-4） 且 n n n n n n a b b a A a A arctg , ,2 200-=+==? （4-5） ?+Ω-= T t t t n n t t f T F 00 d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系 0)( e 2 1 j ≥=n A F n n n ? （4-7） 并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即 ||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义 通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ≥0），即n Ω，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率Ω（即n =1）的分量称为基波分量。 2．周期信号的频谱 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n Ω）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。 A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n Ω）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。 但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。 所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度 非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为 ?∞ ∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9） ?∞ ∞ -= ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4）
501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
第四章 连续系统的频域分析例题详解 1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的频率函数为 )15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。 解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f )30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B = )]] 30([)]30([[2 1 )()]]30([)]30([[21 )(++-=++-= w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A
1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特 性()0?ω=，若输入 sin(2) (),()cos(1000)2t f t s t t t π==，求输出信号()y t 。 f () H j ω()0 ?ω=1/(.) rad s ω--1001 -999 0 999 10011 -1000 1000 图（b ） 图2
解 4sin(2)1 ()[ ]()22 t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++- 441 [()cos(1000)][()][cos(1000)]21 [(1000)(1000)] 4 F f t t F f t F t g g πωω= ?*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为 ()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得 22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得 2221 ()[(1000)(1000)] 4 1 ()[(1000)(1000)]4 Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++- 由此可得输出信号为 1 ()()cos(1000)2y t Sa t t π = 3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。若输入信号 t t t f ππ) sin()(= ，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。 图 3 解：信号t t t f ππ) sin()(= 的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =
实验报告 一、实验名称 噪声中正弦信号的经典法频谱分析 二、实验目的 通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。 三、基本原理 1．周期图法：又称直接法。把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x N 视为一能量有限信号，直接取)(n x N 的傅里叶变换，得)(jw N e X ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真 实的功率谱)(jw e P 的估计，以)(?jw PER e P 表示用周期图法估计出的功率谱，则2)(1)(?w X N w P n PER =。 2．自相关法：又称为间接法功BT 法。先由)(n x N 估计出自相关函数)(?m r ，然后对)(?m r 求傅里叶变换得到)(n x N 的功率谱，记之为)(?w P BT ，并以此作为对)(w P 的估计，即1,)(?)(?-≤=--=∑N M e m r w P jwm M M m BT 。 3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差2σ的独立随机变量1X ，2X ，…，L X ，新随机变量L X X X X L /)(21+++= 的均值也是μ，但方差是L /2σ，减小了L 倍。由此得 到改善)(?w P PER 方差特性的一个有效方法。它将采样数据)(n x N 分成L 段，每段的长度都是M ，即N=LM ，第i 段数据加矩形窗后，变为L i e n x M w x M n jwn i N I PER ≤≤=∑-=-1,)(1)(?2 10 。把)(?w P PER 对应相加，再取平均，得到平均周期图2 1110 )(1)(?1)(∑∑∑==-=-==L i L i M n jwn i N i PER PER e n x ML w P L w P 。 4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。改进之一是，在对)(n x N 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为)(2n d 。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。然后按Bartlett
实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(
第4章频域分析 前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。 信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。 4.1概述 一、频域分析法 1.定义 所谓信号的频域分析 ．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 2.频域分析的目的 （1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； （2）分析各信号之间的相互关系； （3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 二、频谱 1.定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 2.分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 （1）周期信号：离散的 ．．．幅值谱、相位谱或功率谱 （2）非周期信号：连续的 ．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 （3）随机信号：具有统计特征 ．．．．的功率谱密度 3.功率谱 （1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； （2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱 所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。 5.相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 三、谱估计 1.定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有
第5章 控制系统的频域分析 时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。 频率分析的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。 频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。 5.1频率特性概述 5.1.1频率特性的基本概念 1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。 为了说明频率响应，先看一个RC 电路，如图5-1（R-C 电路）所示。设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1 ()()1 c r U s G s U s Ts = =+ 式中，RC T =为电路的时间常数。 若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 C ) t (u r ) t (u c 图5-1 R-C 电路
第五章 连续系统的复频域分析习题解答 5-1. 画出下列各序列的图形： 。 )2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30 ,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f k k -==+=???<+=++=+=- εε 5-2 写出图示各序列的表达式。 解： ) 6()3(2)()( )d ( )1() 1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41 321---+-=--=---=----=-k k k k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε 5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周 期。)(sin )( )3( )( ) 2( )8 73cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f k j εωπππ==-=- 解：; 14 , , 3 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a) (b)
. , )( )3(; , 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ 5-4. 解：)]1()1()([1)(1100 ---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。 5-5. 列写图示系统的差分方程， 指出其阶次。 解：)1()()2()1( )(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。 5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为 ，每月利息不取出，试用 差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k ) 10元， 0.0018，y (0) 20元，求y (k )，若k 12，则y (12)为多少。 解：)()1()1()( )1()1()()(k x k y k y k y k x k y =-+-?-++=αα 元63.1415.5555)0018.1(5 .5575)12(5.5555)0018.1(5.5575)(5.55755.5555205.5555)0018.1()(5.5555)(5 .55510 100018.110 , 10)( ),0018.1()(0018.1 00018.1 10)1(0018.1)(121 11 00010=-=?-=?=?-=?-=?-=?-=?=?-===?=-?=-- y k y C C C k y k y A A A A k y C k y k y k y k k d d k λλ 5-7. 设x (0)，f (k )和y (k )分别表示离散时间系统的初始状态、输入序列入和输 出序列，试判断以下各系统是否为线性时不变系统。 ) (8)0(6)( )4( )(8)0(6)( )3()()( )2( )672sin()()( )1(2 k f x k y k f k x k y i f k y k k f k y k i +=+==+=∑-∞ =ππ 解：(1)满足齐次性和可加性，为线性系统，但显然不是时不变系统； (2)累加和满足齐次性、可加性和时不变性，为线性时不变性系统； (3)不满足齐次性、可加性和时不变性，不是线性时不变性系统； (4)虽满足时不变性，但不满足齐次性、可加性，不是线性时不变性系统； )
南昌大学实验报告 学生姓名：罗族学号: 6103413001 专业班级：生医131班 实验类型： 验证□综合□设计□创新实验日期：实验成绩：第四章：线性时不变离散时间系统的频域分析 一、实验目的： 1、学会用MATLAB在时域中产生一些基本的离散时间信号，并对这些信号进行一些基本的运算。 2、学会使用基本的MATLAB命令，并将它们应用到简单的数字信号处理问题中。 二、实验要求： 1、学习并调试本章所给的例子。 2、回答书后给出的问题。 3、实验报告仅回答偶数信号的例子。 三、实验程序及结果 Q4.2使用修改后的程序P3.1，计算并画出当0时传输函数 的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。它表示哪种类型的滤波器？ 程序： w=0:pi/511:pi; num=[0.15 0 -0.15]; den=[1 -0.5 0.7]; h=freqz(num,den,w); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(h)); grid; title('H(e^{j\omega})幅度谱'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('振幅'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(h)); grid; title('相位谱 H(e^{j\omega})'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('以弧度为单位的相位');
由上图可知，它表示带通滤波器。 Q4.4使用MATLAB计算画出当0时因果线性是不变离散系统的群延迟。系统的传输函数为 函数impz可引来计算因果线性是不变离散时间系统的冲激响应的开始部分。因此可使用习题Q3.50中你编写的程序。 这是一个窄阻带的带阻滤波器，在大多数的带通滤波器中，群延迟是恒定的。 Q4.6使用zplane分别生成式（4.36）和式（4.37）确定的两个滤波器的机零点图。讨论你的结果。 程序： clf; fc = 0.25; n = [-6.5:1:6.5]; y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5; stem(k,y);title('N = 13');axis([0 13 -0.2 0.6]); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');grid;
第五章 线性系统的频域分析法 思考题 5-1 已知系统如图5-1 ])2)(1(/[1,221K s s s G s G +++=+= 试用奈氏判据确定使系统稳定的K 值范围。 讨论题 5-1 单位反馈系统开环幅相特性如图5-2所示， 当输入2t 2 1t 51)t (r ++=时，系统稳态误差 125.0e ss -=，试确定系统临界稳定时的K 值。 5-2 已知系统结构如图5-3所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 图5-2 图5-3 作业题 5-1 设系统结构图如图5-4所示，试确定输入信号 ｒ（ｔ）＝ｓｉｎ（ｔ＋３０°）－ｃｏｓ（２ｔ－４５°） 作用下，系统的稳态误差ｅss(ｔ)。 图 5-4 控制系统结构图 1G 2G r c -5 -3 -1 -2 ω j 0 ) a s 2s (s )1s (52-++ R(s) c(s)
5-2 典型二阶系统的开环传递函数为 )2s (s )s (G n 2n ζω+ω= 当取r(t)=2sint 时，系统的稳态输出为ｃss(t)＝２sin(t-45°) 试确定系统参数ωｎ、ζ。 5-3已知系统开环传递函数 ;)1Ts (s )1s (K )s (H )s (G 2++τ= （Ｋ、τ、Ｔ＞０） 试分析并绘制τ＞Ｔ和T ＞τ情况下的概略开环幅相曲线。 5-4 已知系统开环传递函数为 )1s T (s )1s T (K )s (G 12++-=;（Ｋ、Ｔ1、Ｔ2＞０） 当取ω＝１时， o 180)j (G -=ω∠,|Ｇ(ｊω)|＝０.５。当输入为单位速度信号时，系统 的稳态误差为0.1，试写出系统开环频率特性表达式G(ｊω)。 5-5 已知系统开环传递函数为 ) 1s 5.0s )(1s 2(s 10)s (H )s (G 2+++= 试分别计算ω＝０.５和ω＝２时，开环频率特性的幅值A(ω)和相位φ（ω）。 5-6 绘制下列传递函数的对数幅频渐近特性曲线： (1) ) 1s 8)(1s 2(2)s (G ++= （2）)12s )(1s s (s )11.0s ( 8)s (G 2++++= 5-7 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图5-5所示，试确定系统的开环传递函数。
第五章 线性系统的频域分析法 5-2： 若系统单位阶跃响应h t e e t t t ()..=-+≥--11808049，试求系统频率特性。 解：先求到系统传递函数，再利用传递函数与频率特性的关系求得系统频率特性。 对阶跃响应取拉氏变换得：s s R s s s s s s s C 1)(,) 9)(4(3698.048.11)(= ++=+++-= 则系统传递函数： )9)(4(36)()()(++= = s s s R s C s Φ，频率特性：) 9)(4(36 )(++=Φωωωj j j 5-3： 某系统结构图如题5-1图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号 )452cos(2)30sin()(?--?+=t t t r 作用下，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s 图5-1 反馈控制系统结构图 解：利用频率特性的定义及叠加原理求解。 系统闭环传递函数为: 2 1 )(+=Φs s 频率特性: 2 244221)(ω ω ωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 2 41)(ω ω+= Φj 相频特性: )2 arctan( )(ω ω?-= 系统误差传递函数: ,2 1 )(11)(++=+= Φs s s G s e 幅频特性和相频特性： )2 arctan( arctan )(, 41)(2 2ω ωω?ω ωω-=++= Φj j e e 当 )452cos()30sin()(?--?+=t t t r 时: ?? ?====1 r r m m 2211,21,1ωω 5.26)2 1arctan()1(45.05 5 )1(-=-===Φj j ? 4.18)3 1arctan()1(63.05 10 )1(==== Φj j e e ? )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ??+-?Φ-++?Φ=
第五章 频率特性法 5-1．已知某些部件的对数幅频特性曲线如图5-51所示，试写出它们的传递函数)(s G ，并计算出各环节参数值。 解：()a .1 ()1 K G s s ω= +，由20lg 20K =，10K =，110ω=，则10 ()0.11 G s s = + ()b .1 ()10.11s G s s ω=+=+ ()c .1 0.1()0.0511 Ks s G s s s ω= =++ ()d .2 2 50 ()(0.011) (1)K G s s s s s ω = = ++ ()e .1 2 100 ()(1001)(0.011)( 1)(1) K G s s s s s s s ωω= =++++ ()f .1 2 100 ()(1)(0.11) ( 1)( 1) K G s s s s s ωω= =++++
()g .2 2 2222 31.6644()2189644n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 其中n ω，ξ 由r ωω= r M = 得0.147ξ=，644n ω= ()h .2 2 222210 3.55()20.852 3.55n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 0.12ξ= 3.55n ω= ()i 2 2 222210050()(2)(3050) n n n K G s s s s s s s ωξωω?==++++由20lg 2 4.85ξ-=， r ωω=得n ω，ξ 0.298 0.3ξ=≈，50n ω=。 5-2．概略画出下列传递函数的幅相频率特性曲线 (1) ) 1()(+=Ts s K s G (2) ) 1()(2+= Ts s K s G (3) ) 1()(3+= Ts s K s G 解 (1)()()(1)K G s G j s Ts ω= ?= +， 1()90G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()90G j ω∠=- ω=∞时，()0G j ω=，()180G j ω∠=- (2) 2()()(1)K G s G j s Ts ω= ?=+，1 ()180G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()180G j ω∠=-