南航矩阵论考试

南航矩阵论考试

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2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

南航矩阵论2013研究生试卷及答案

南京航空航天大学2012级硕士研究生

二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页

三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页

南航双语矩阵论 matrix theory第三章部分题解

Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=

2016矩阵论试题A20170109 (1)

第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

南航矩阵论期中考试参考答案.doc

1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役=

南航07-14矩阵论试卷

南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题 2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷 一、（20分）设矩阵 ?? ??? ??-----=111322211 A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236 -+； （4）写出A 的Jordan 标准形。 二、（20分）设2 2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 （1）求2 2?R 的维数，并写出其一组基； （2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合， 证明：W 是2 2?R 的子空间，并写出W 的维数和一组基； （3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基； （4）给出22?R 上的线性变换T ： 22,)(?∈?+=R A A A A T T 写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。 三、（20分） （1）设 ? ??? ??-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n n ij C a A ?∈=)(，令 ij j i a n A ,*max ?=， 证明： *是 n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性； （3）证明：*2*1 A A A n ≤≤。 四、（20分）已知矩阵 ?????? ? ??-=10010001111 1A ，向量 ??? ??? ? ??=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；

矩阵论考试试题(含答案)

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==

因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I

《2015矩阵论》试卷(可编辑修改word版)

1 3 A 2 2015 年专业硕士生《矩阵论》试卷 学号 专业 姓名 一、填空题（除了第 5 小题外每小题 4 分，共 27 分） 1、设 V 是由 n 阶实对称矩阵按通常的矩阵加法与数乘构成的线性空间， 则 dimV= ， 并 且 V 有 基 。 2、设线性空间V n 上的线性变换在基e , e , , e n 下的矩阵为 A ，在另一组 基e 1', e 2' , , e n ' 下的矩阵为 B ，由基e 1 , e 2 , , e n 到基e 1', e 2' , , e n ' 的过渡矩阵是 C ， 则 B= （用 A,C 表示）。 3、∑ k =0 ? 0.3 ? 0.5 0.4?k ? = 0.6? 。 4、 已 知 A () 的 行 列 式 因 子 D 1 () = - 1 ， D () = (- 1)2 (- 2)2 ， D () = (- 1)3 (- 2)4 (+ 1)5 ，则 A () 的初等因子为 。 ?3 1? ? 1 ? 5、已知 A = 1 ? ， x = ? ，则 3 2 A = ， m 2 A = ， m ∞ 1 ? ? ? ? ， cond( A )2 = ， Ax = ， Ax ∞ = 。 ?3 6、已知 A = ?1 4? ? ，则 ( A ) = 。 2? 二、判断题（10 分） 1、 同 一 个 线 性 变 换 在 不 同 基 下 的 矩 阵 是 相 合 关 系 。 ∞ 1 2 =

1 1 2 3 2 1 2 （ ） 2、 A 是 收 敛 矩 阵 的 充 要 条 件 是 其 谱 范 数 小 于 1。 （ ） 3、 n 阶矩阵 A 与 B 相似的充要条件是它们的不变因子相同。 （ ） 4、 A 的 算 子 范 数 是 其 所 有 范 数 中 最 小 的 。 ( ) 5、 正 交 变 换 的 必 要 条 件 是 保 持 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 。 （ ） 三、（8 分）设 A 是P [x ] 中的线性变换，已知e = -1 + 2x 2 ， e = 3 - x ， e = x + x 2 ， 2 1 2 3 且A (e ) = -5 + 3x 2 ， A (e ) = -5 - x + 9x 2 ， A (e ) = x + 6x 2 （1）证明e , e , e 是P [x ] 的 一组基 ；（2）求向量1 - 2x + 3x 2在基e , e , e 下的坐标。 3 四、(9 分）在P [x ]2 中，设 f (x ) = k 1 + k 2 x + k 3 x 2 ，线性变换 A 为 A ( f (x )) = k 2 + k 3 + (k + k )x + (k + k )x 2 。（1）试写出 A 在基1, x , x 2 下的矩阵；（2）求 P [x ] 中 1 3 1 2 2 2 3

南京航空航天大学Matrix-Theory双语矩阵论期末考试2015

NUAA

Let 3P (the vector space of real polynomials of degree less than 3) defined by (())'()''()p x xp x p x σ=+. (1) Find the matrix A representing σ with respect to the ordered basis [21,,x x ] for 3P . (2) Find a basis for 3P such that with respect to this basis, the matrix B representing σ is diagonal. (3) Find the kernel （核） and range （值域）of this transformation. Solution: (1) 221022x x x x σσσ===+（）（）（） 002010002A ?? ? = ? ? ?? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) 101010001T ?? ? = ? ??? (The column vectors of T are the eigenvectors of A) The corresponding eigenvectors in 3P are 1000010002T AT -?? ? = ? ??? (T diagonalizes A ) 22[1,,1][1,,]x x x x T += . With respect to this new basis 2 [1,,1]x x +, the representing matrix of σis diagonal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (3) The kernel is the subspace consisting of all constant polynomials. The range is the subspace spanned by the vectors 2,1x x + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

南航双语矩阵论第1章部分习题参考答案

Solution Key (chapter 1) Exercise 2. The show that this set is not closed under multiplication.Take S ,2=.But 2S ?.If 2S ∈rational numbers a and b ,such that 2=It is clear that 0a ≠and 0b ≠.)This will 22423 2a b ab --=The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number.This is impossible.Thus,S is not closed under multiplication.Hence,S is not a field.Exercise 7.z x y x +=+) ()()()(z x x y x x ++-=++-z x x y x x ++-=++-])[(])[(z 0y 0+=+z y =Exercise 12It is a vector space. A1： A2：,Hence,A3：The existence of the zero element .The zero element must satisfy that for any , That is for any ， .We obtain that the zero element is A4:The existence of additive inverse.For each ，its additive inverse is ,since .(Note that is the zero element of ) M1：M2：M3：M4：Exercise 13. (a)No,it is not a subspace.Denote the set by S .Take 2()p x x x S =+∈,2()q x x x S =-+∈. Then ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition.Hence,S is not a subspace.(Or:The set S does not contain the zero polynomial,hence,is not a subspace.)(b)Denote the set by S .

2015年矩阵论试题

第 1 页 共 5 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2015级硕士研究生 考试日期：2016.1.18 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ?? ??-=5221001i i A ，1-=i ，则___||||1=A ，___||||2=A ，___||||=F A 。 2. 若矩阵?? ? ? ? ? ? ? ?=03211032 21033210A ，则矩阵A 的谱半径____)(=A ρ 3．已知矩阵函数??? ? ??+-+---=--------t t t t t t t t At e e e e e e e e e 22222222，则______=A 4. 设矩阵??? ? ??=1101A ，则______=A 5．若矩阵n m C A ?∈，且列向量组是两两正交的单位向量，则____=+A 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 得 分

第 2 页 共 5 页 （A 卷） (C) 若E AA H =，则 1=A （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数 7．设A 是幂等矩阵（即A A =2），则下列命题不正确的是 （ ） （A ）A 与对角矩阵相似 （B ）A 的特征值只可能是1或0 （C ）A A )1(sin sin = （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k 8．设V 为酉空间，,,,,C V z y x ∈∈?λ则有 （ ） (A) ),(),(x y y x = (B) ),(),(y x y x λλ= (C) 0≠x 但0),(=x x (D) ),(),(),(z x y x z y x +=+ 9. 设T 是线性空间V 上的一个线性变换，则下列命题正确的是 （ ） （A ）V T T R =+)ker()( （B ）V T T R dim ))dim(ker())(dim(=+ （C ）}0{)ker()(=T T R （D ）)ker()()ker()(T T R T T R ⊕=+. 10. 与命题“n 阶矩阵B A ,相似”不等价的命题是 （ ） (A) B A ,具有相同的特征多项式 (B) B A ,具有相同的初级因子 (C) B A ,具有相同的不变因子 (D) B A ,的特征矩阵B E A E --λλ,等价 二、解答题（10分） 11. 设??? ? ??-=02212A ，判断∑+∞ =02m m m A 是否收敛，若收敛求其和. 三、证明题（每小题10分， 共20分） 12. 设21,e e 是线性空间2V 的基，21,T T 是2V 上的两个线性变换：221111)(,)(εε==e T e T ，且2121221212)(,)(εεεε-=-+=+e e T e e T . （1）证明：21T T =. 得 分 得 分