第9章小波变换基础

第9章 小波变换基础

9.1 小波变换的定义

给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a

t b a -=

ψψ （9.1.1）

式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即

)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为

dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=

?

*ψ

??==?

*

)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，

b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和

伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。

母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则

),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。

在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子

a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a

t

ψ，当1

>a 时，若a 越大，则)(a

t

ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1

时，a 越小，则)(a

t ψ的宽度越窄。这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。

图9.1.1 基本小波的伸缩及参数a 和b 对分析范围的控制 (a)基本小波，（b ）0>b ，1=

a ,(c)

b 不变，2=a , (d)分析范围

这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。

（9.1.1）式中的因子a

1

是为了保证在不同的尺度a 时，

)(,t b a ψ始终能和母函数)(t ψ有着相同的能量，即

dt a

b

t a dt t b a 2

2

,)(1)(??-=ψψ

令

t a

b

t '=-，则t ad dt '=，这样，上式的积分即等于dt t 2)(?ψ。 令)(t x 的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，

2=t

t

t

a

)(,t b a ψ的傅里叶变换为：

)(1)(,a b t a

t b a -=

ψψ ? b j b a e a a Ω-Ωψ=Ωψ)()(, （9.1.3）

由Parsevals 定理，（9.1.2）式可重新表为： >ΩψΩ<=

)(),(21

),(,b a x X b a WT π ?

∞

+∞

-Ω*ΩΩψΩ=d e a X a b j )()(2π

（9.1.4）

此式即为小波变换的频域表达式。

9.2 小波变换的特点

下面，我们从小波变换的恒Q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。

比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果)(,t b a ψ在时域是有限支撑的，那么它和)(t x 作内积后将保证),(b a WT x 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使),(b a WT x 反映的是)(t x 在b 附近的性质。同样，若

)(,Ωψb a 具有带通性质，即)(,Ωψb a 围绕着中心频率是有限支撑的，那么)(,Ωψb a 和)

(ΩX 作内积后也将反映)(ΩX 在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波)(t ψ，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。

由1.3节可知，若)(t ψ的时间中心是0t ，时宽是t ?，)(Ωψ的频率中心是0Ω，带宽是Ω?，那么)(a t

ψ的时间中心仍是0t ，但时宽变成t a ?，)(a

t ψ的频谱)(Ωψa a 的频率中心变为a 0/Ω，带宽变成a /Ω?。这样，)(a

t ψ的时宽－带宽积仍是Ω??t ，与a 无关。这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。定义

0Q Ω?=Ω/=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波)(t ψ的品质因数，对)(a

t ψ，其

带宽/中心频率=

Q a

a

00=Ω?=Ω?ΩΩ///

因此，不论a 为何值)0(>a ，)(a

t ψ始终保持了和)(t ψ具有性同的品质因数。恒Q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图9.2.1说明了)(Ωψ和)(Ωψa 的带宽及中心频率随a 变化的情况。

图9.2.1 )(Ωψa 随a 变化的说明；(a) 1=a ，(b) 2=

a ，(c) 2/1=a

将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对)(t x 的时域观察范围变窄，但对)(ΩX 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c 所示。反之，当a 变大时，对)(t x 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b 所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。

图9.2.2 a 取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间

由于小波变换的恒Q 性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即

0 ()Ωψ

Ω

Ω

()Ωψa

Ω

02Ω2

/0

Ω0

Ω)2/1(=a )

1(=a )2(=a /2

t ?

三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中02Ω处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中20/Ω处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的a 值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。

众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。

总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。

现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。 我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的δ函数），但在时域所对应的范围是∞-~∞+，完全不具备定位功能。这是FT 的一个严重的缺点。

人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT 的不足。重写（2.1.1）式，即

?Ω-*-=Ωdt e t g x t STFT t j x )()(),(ττ

?

?-?==Ω*τ

ττττττj t e

t g x d g x )(),()()(, (9.2.6)

由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数τ

Ω-j e 的频率。同理，当复指数由τ

Ω-j e

变成τ

Ω-2j e

（即频率发生变化）时，这一变化也不会影

响窗函数)(τg 。这样，当复指数τ

Ω-j e

的频率变化时，STFT 的基函数)(,ττt g 的包络不会

改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当Ω由0Ω变化成02Ω时，)(,ττt g 对)(τx 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT 不具备恒Q 性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图中

T

t

e t g /2

)(-=.

u

图9.2.3 STFT 的时－频分析区间

(a) t

j t e

t g t g 0)()(,Ω--=ττ，t

j t e

t g t g 02,)()(Ω--='ττ，(b) )(ΩG 是)(,t g t τ的FT ，

)(Ω'G 是)(,t g t τ'的FT ， (c)在不同的0Ω和τ处，时宽、带宽均保持不变

1

我们在第六至第八章所讨论的M 通道最大抽取滤波器组是将)(n x 分成M 个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即M /2π，其中心频率依次为

k M

π

,

1,,1,0-=M k （注：若是DFT 滤波器组，则中心频率在

k M

π

2, 1,,1,0-=M k ）

，且这M 个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数a 来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a 时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。但小波变换和7.9节讨论过的树状滤波器组在对信号的分析方式上极其相似。由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。

由（9.1.1）式，定义

2

2

)()(1),(?

-=*dt a b t t x a b a WT x ψ (9.2.7)

为信号的“尺度图（scalogram ）”。它也是一种能量分布，但它是随位移b 和尺度a 的能量

分布，而不是简单的随),(Ωt 的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时－频分布。但由于尺度a 间接对应频率（a 小对应高频，a 大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。

综上所述，由于小波变换具有恒Q 性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。法国数学家Y .Meyer ，地质物理学家J.Morlet 和理论物理学家A.Grossman 对小波理论作出了突出的贡献。法国学者I.Daubechies 和S.Mallat 在将小波理论引入工程应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。人们称这些人为“法国学派”。在小波理论中一些有影响的教科书如文献[3,5,8,16]等，一些有影响的论文如文献[42,43,51,52,53,87,88,105,116]等。国内从工程应用的目的较为全面地介绍小波理论的著作见文献[21]，结合MATLAB 介绍小波理论的著作见文献[18].

9.3 连续小波变换的计算性质

1．时移性质

若)(t x 的CWT 是),(b a WT x ，那么)(τ-t x 的CWT 是),(τ-b a WT x 。该结论极易证明。记)()(τ-=t x t y ，则

dt a

b

t t x a 1b a WT y )()(),(--=*

?

ψτ t d a

b t t x a

1'--''=

?

*))

(()(τψ ),(τ-=b a WT x （9.3.1） 2． 尺度转换性质

如果)(t x 的CWT 是),(b a WT x ，令)()(t x t y λ=，则 ),(1

),(b a WT b a WT x y λλλ

=

（9.3.2）

证明： dt a b t t x a b a WT y )()(1),(?-=*ψλ，令t t λ='， 则 t d 1

a b t t x a

1

b a WT y '-''=?*

λ

λψ)(

)(),( dt a

b

t t x a

)()(1

1λλψλλ

-=?

*

),(1

b a WT x λλλ

=

该性质指出，当信号的时间轴按λ作伸缩时，其小波变换在a 和b 两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。

3． 微分性质

如果)(t x 的CWT 是),(b a WT x ，令)()

()(t x dt

t dx t y '==，则 ),(),(b a WT b

b a WT x y ??

= （9.3.3）

证明： dt a b

t dt t dx a

b a WT y )()(1),(-=

*?ψ dt a

b

t t t x t t x a Lim t )()()(10

-?-?+=?*→?ψ ??

????---?+?=??**→?dt a b t t x a dt a b t t t x a t Lim

t )()(1)()(110ψψ 由（9.3.1）式的移位性质，有

t

b a WT t b a WT Lim

b a WT x x t y ?-?+=→?)

,(),(),(0

即 ),(),(b a WT b

b a WT x y ??

=

4． 两个信号卷积的CWT ，

令)(),(t h t x 的CWT 分别是),(b a WT x 及),(b a WT h ，并令)()()(t h t x t y *=，则 ),()(),(b a WT t x b a WT h b

y *=

),()(b a WT t h x b *= （9.3.4） 式中符号b

*表示对变量b 作卷积。

证明：

dt a b t d t h x a

b a WT y )(])()([1),(--=*+∞∞-??ψτττ τψττd dt a b t t h a

x ])()(1)[

(--=

??

*+∞

∞

- 再由（9.3.1）式的移位性质，有 τττd b a WT x b a WT h y ),()(),(-=?+∞

∞- 同理， τττd b a WT h b a WT x y ),()(),(-=?

+∞

∞

-

于是（9.3.4）式得证。

5． 两个信号和的CWT

令)(),(21t x t x 的CWT 分别是),(),,(21b a WT b a WT x x ，且)()()(21t x t x t x +=， 则

),(),(),(21b a WT b a WT b a WT x x x += （9.3.5a ） 同理，如果)()()(2211t x k t x k t x +=，则

),(),(),(2211b a WT k b a WT k b a WT x x x += （9.3.5b ） （9.3.5）式说明两个信号和的CWT 等于各自CWT 的和，也即小波变换满足叠加原理。看到WT 的这一性质，估计读者马上会想到WVD 中的交叉项问题。由（9.3.5）式看来，似乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。（9.1.2）式所定义的CWT 是“线性”变换，即)(t x 只在式中出现一次，而在（3.1.2）式的WVD 表达式中)(t x 出现了两次，即

)2/()2/(ττ-+*t x t x ，所以，我们称以Wigner 分布为代表的一类时－频分布为“双线性变换”。正因为如此，),(Ωt W x 是信号)(t x 能量的分布。与之相对比，小波变换的结果

),(b a WT x 不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号)(t x 能

量的一种分布。将)()()(21t x t x t x +=代入(9.2.7)式，可得：

2

x 2

x 2

x b a WT b a WT b a WT 21),(),().(+=

)cos(),(),(2121x x x x b a WT b a WT 2θθ-+ (9.3.6)

式中21,x x θθ分别是),(1b a WT x 和),(2b a WT x 的幅角。

证明： )

,(),(),(2

b a WT b a WT b a WT x x x *

=

)],(),()][,(),([2

121b a WT b a WT b a WT b a WT x x x x *

*++= 2

x 2x b a WT b a WT 11),(),(+=

***++)],(),([),(),(b a WT b a WT b a WT b a WT 2

121x x x x 由于后两项互为共轭，因此必有（9.3.6）式.

（9.3.6）式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和WVD 中的交叉项稍有不同。我们在 3.5节中已指出，WVD 的交叉项位于两个自项的中间，即位于

),(μμΩt 处，),(),,(,2/)(,2/)(22112121ΩΩΩ+Ω=Ω+=t t t t t μμ分别是两个自项的时－

频中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度图中的交叉项出现在),(1b a WT x 和),(2b a WT x 同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和WVD 有着明显的区别。可以证明

【钱，

书】

，同一信号)(t x 的WVD 和其尺度图有如下关系：

ΩΩ-Ω=

??dtd a a

b

t W t W b a WT x x ),(

),(),(2

ψ （9.3.7）

式中),(Ωt W ψ是母小波)(t ψ的WVD ，该式揭示了WVD 和WT 之间的关系，这说明cohen 类的时－频分布和小波变换有着非常密切的内在联系。

6． 小波变换的内积定理

定理9.1 设)(),(21t x t x 和)()(R L t 2

∈ψ，)(),(21t x t x 的小波变换分别是)

,(1b a WT x

和),(2b a WT x ，则

??=*∞+∞

∞

-??

)(),()

,(),(212

21t x t x C db a da

b a WT b a WT x x ψ （9.3.8）

式中 ΩΩ

Ωψ=

?

∞

d C 0

2

)

(ψ （9.3.9） )(Ωψ为)(t ψ的傅里叶变换。

证明：由（9.1.4）式关于小波变换的频域定义，（9.3.8）式的左边有：

db a da

d e a X d e a X a

b j b j 2

210

2)()()()(4Ω'

Ω'ψΩ'ΩΩψΩ????

∞

∞

-Ω'-*

Ω∞

∞

-*∞

∞

∞

-π db e d d a a X X a da b

j ????Ω'-Ω*∞∞-*∞

∞∞-Ω'ΩΩ'ψΩψΩ'Ω=)(2102)()()()(4π Ω'ΩΩ'-ΩΩ'ψΩψΩ'Ω=*∞∞

-*∞

∞

∞-??

?d d a a X X a da )()()()()(2210δπ ΩΩψΩΩ=??

?∞∞-*

∞

∞

∞-d a X X a 2da 221

)()()(π ΩΩΩΩΩ

Ωψ=*

∞

∞

∞

-?

?

d X X a d a a 21

210

2

)()()()(π

假定积分

ψc a d a a =Ω'

Ω'ψ=ΩΩΩψ??

∞∞

02

2

)()()

(

存在，再由Parseval 定理，上述的推导最后为 ??=ΩΩΩ*

∞

∞

-?

)(),()()(21

2121t x t x c d X X c ψψπ

于是定理得证。

（9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval 定理。该式又可写成更简单的形式,即

??=??)(),(),(),,(2121t x t x c b a WT b a WT x x ψ (9.3.10) 进一步，如果令)()()(21t x t x t x ==，由（9.3.8）式，有

dadb b a WT a c dt t x x 2

22

),(1)(??

?

∞∞

∞

--∞

∞

-=

ψ

(9.3.11)

该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度－位移平面上的加权积分等于信号在时域的

总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时－频分布的一种表示形式。

（9.3.8）和（9.3.11）式中对a 的积分是从∞~0，这是因为我们假定a 总为正值。这

两个式子中出现的2

-a 是由于定义小波变换时在分母中出现了a /1，而式中又要对a 作

积分所引入的。

读者都熟知傅里叶变换中的Parseval 定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小波变换的Parseval 定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以ψc 的存在为条件。

9.4小波反变换及小波容许条件

下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。 定理9.2 设)()(),(2

R L t t x ∈ψ，记)(Ωψ为)(t ψ的傅里叶变换，若 ∞<Ω

Ωψ=

?

∞

?

2

)

(ψc 则)(t x 可由其小波变换),(b a WT x 来恢复，即

dadb t b a WT a

c t x b a x )(),(1

)(,0

2

ψψ

?

?

∞

∞

-∞

-=

(9.4.1)

证明：设)()(1t x t x =，)()(2t t t x '-=δ,则 )()(),(21t x t x t x '=?? )()()(),(a b

t a

1dt a b t t t a 1b a WT 2x -'=-'-=

?ψψδ 将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令t t ='，于是有 dadb t b a WT a c t x b a x )(),(1

)(,0

2ψψ

??

∞

∞

-∞

-=

于是定理得证。

在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以ψc <∞为前提条件的。（9.3.9）式又称为“容许条件（admissibility condition ）。该容许条件含有多层的意思：

1. 并不是时域的任一函数)()(2

R L t ∈ψ都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件；

2. 由（9.

3.9）式可知，若∞<ψc ，则必有0)0(=ψ，否则ψc 必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数)(t ψ必然是带通函数；

3. 由于0)(0=Ωψ=Ω，因此必有

?

=0)(dt t ψ (9.4.2) 这一结论指出，)(t ψ的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。

以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即)(t ψ是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，我们总希望)(t ψ是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet ）的原因。

2. 由上述讨论，)(t ψ自然应和一般的窗函数一样满足：

∞

3. 由后面的讨论可知，尺度a 常按j

a 2=来离散化，Z j ∈.由（9.1.3）式，对应的傅里叶变换

b j j 2

j e 22

Ω-Ωψ)(/，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时

也需要在该尺度下由),(b a WT x 来重建)(t x ，因此要求2

)2(Ωψj

是有界的，当j 由

+∞∞-~时，应有

B A j j

≤Ωψ≤

∑∞

-∞

=2

)

2( (9.4.4)

式中∞<≤

9.5重建核与重建核方程

我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波)(t ψ。可以作为小波的函数至少要满足（9.3.9）式的容许条件。与此结论相类似，并不是),(b a 平面上的任一二维函数),(b a WT 都对应某一函数的小波变换。),(b a WT 如果是某一时域信号，如)(t x 的小波变换，它应满足一定的条件，此即本节要讨论的内容。

定理9.3 设),(00b a 是),(b a 平面上的任一点，),(b a 上的二维函数),(b a WT x 欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即 dadb b a b a K b a WT a

b a WT x x ),;,(),(),(000

2

00ψ?

?

∞

∞

-∞

-=

（9.5.1）

式中),(00b a WT x 是),(b a WT x 在),(00b a 处的值，

dt t t C b a b a K b a b a )()(1),;,(0

0,,00*

?=

ψψψ

ψ ??=)(),(1

00,,t t C b a b a ψψψ

（9.5.2） 称为重建核。

证明：由（9.1.2）式小波变换的定义，有 dt t t x b a WT b

a x )()(),(,?*=ψ

将（9.4.1）式代入该式，有 dt t dadb t b a WT a c 1b a WT 0

0b a b a x 0

200x )(])(),([

),(,,*

∞

∞

-∞

-??

?

=ψψψ

dadb dt t t c b a WT a b a b a x ])()(1)[

,(00,,0

2

*

∞

∞

-∞

-???=ψψψ

dadb t t c b a WT a

b a b a x ])(),(1)[

,(00,,0

2

??=

*∞

∞

-∞

-?

?

ψψψ

此即（9.5.1）和（9.5.2）式。

（9.5.1）式的重建核方程和（9.5.2）式的重建核公式说明，若),(b a WT x 是)(t x 的小波变换，那么在),(b a 平面上某一点),(00b a 处小波变换的值),(00b a WT x 可由半平面

),(R b R a ∈∈+上的值),(b a WT x 来表示，也即，),(00b a WT x 是半平面上),(τa WT x 的总

贡献。既然),(b a 平面上各点的),(τa WT x 可由（9.5.1）式互相表示，因此这些点上的值是相关的，也即（9.4.1）式对)(t x 的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用),(b a 平面上离散栅格上的),(b a WT x 来重建)(t x ，以消除重建过程中的信息冗余。

在第二章中已指出，当用)(t x 的短时傅里叶变换),(Ωt STFT x 来重建)(t x 时，

),(Ωt 平面上的信息也是有冗余的，即),(Ωt 平面上各点的),(Ωt STFT x 是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT ，如（2.2.6）式，进一步的发展即是信号的Gabor 展开与Gabor 变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的内容将在本章的最后两节来讨论。

重建核),;,(00b a b a k ψ是小波)(,t b a ψ和),(00b a 处的小波)(00,t b a ψ的内积，因此ψk 反映了)(,t b a ψ和)(00,t b a ψ的相关性。若00,b b a a ==，即两个小波重合时，ψk 取最大值；

若),(b a 远离),(00b a ，则ψk 将迅速减小。若能保证),(00b b a a k --=δψ，则),(b a 平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度a 及位移b ，由母小波)(t ψ形成的一族)(,t b a ψ是两两正交的。可以想象，若b a ,连续取值，要想找到这样的母小波

)(t ψ使)(,t b a ψ两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换的),(b a WT x 必然存在

信息冗余。然而，当b a ,离散取值时，则有可能得到一族正交小波基)(,t b a ψ。

9.6小波的分类

由前两节的讨论可知，作为一个小波的函数)(t ψ，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波)(x ψ形成的)(,t b a ψ是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望)(x ψ有高阶的消失矩，希望与)(x ψ相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典小波”，在MA TLAB 中把它们称作“原始（Crude ）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis 构造的正交小波，第三类是由Cohen ，Daubechies 构造的双正交小波。

9.6.1经典类小波

1. Haar 小波 Haar 小波来自于数学家Haar 于1910年提出的Haar 正交函数集，其定义是：

?????-=011

)(t ψ ??

?

??<≤<≤其它12/12/10t t （9.6.1）

其波形如图9.6.1（a ）所示。)(t ψ的傅里叶变换是：

2/2)(sin 4)(Ω-Ω

Ω=Ωψj e a

j

（9.6.2）

Haar 小波有很多好的优点，如：

（1） H aar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；

（2） 若取Z b Z j 2a j

∈∈=+

,,，那么Haar 小波不但在其整数位移处是正交的，即

0)(),(=?-?k t t ψψ，而且在j 取不同值时也是两

两正交的，即0)2(),(=??-t t j

ψψ如图9.6.1(b)和(c) 所示。所以Haar 小波属正交小波；

（3） H aar 波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应

若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除 相位失真是非常有利的。Haar 小波是目前唯一一个既 具有对称性又是有限支撑的正交小波； （4）Haar 小波仅取＋1和－1，因此计算简单。

但Haar 小波是不连续小波，由于?

≠0)(dt t t ψ，因 此)(Ωψ在0=Ω处只有一阶零点，这就使得Haar 小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于 Haar 小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文 中常被用作范例来讨论。

图9.6.1 Harr 小波， (a) )(t ψ，(b) )1(-t ψ，(c) )2/(t ψ

2.Morlet 小波 Morlet 小波定义为

t j t e e t Ω-=2

/2

)(ψ (9.6.3)

其傅里叶变换

2

/)(202)(Ω-Ω-=

Ωψe

π （9.6.4）

它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB 中将（9.6.3）式改造为：

t e t t

02

/cos )(2

Ω=-ψ （9.6.5）

并取 50=Ω。该小波不是紧支撑的，理论上讲t 可取+∞∞-~。但是当50=Ω，或再取更大的值时，)(t ψ和)(Ωψ在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所示。

Morlet 小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，

是应用较为广泛的一种小波。

图9.6.2 Morlet 小波， (a)时域波形， (b)频谱

3 .Mexican hat 小波

该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr 小波。它定义为 2

/22

)1()(t e t c t --=ψ (9.6.6)

式中4

/13

2π=

c ，其傅里叶变换为 2

/22

2)(Ω

-Ω=

Ωψe c π (9.6.7)

该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图9.6.3所示。

该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在0=Ω处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测[131,75]。

图9.6.3 墨西哥草帽小波， (a)时域波形， (b)频谱

4．Gaussian 小波

高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：

2

t k k 2e dt

d c t /)(-=ψ ， 821k ,,, = (9.6.8)

式中定标常数是保证1t 2

=)

(ψ。

该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k 取偶数时)(t ψ正对称，当k 取奇数时，)(t ψ反对称。图9.6.4给出了4k =时的)(t ψ的时域波形及对应的频谱。

图9.6.4 高斯小波，取4=k ， (a)时域波形， (b)频谱

9.6.2 正交小波

目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies 小波，对称小波，Coiflets 小波和Meyer 小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出)(t ψ，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function ）”的)(t φ的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数

)(t ψ，尺度函数)(t φ同时和一个低通滤波器)(0z H 及高通滤波器)(1z H 相关连，

)(0z H 和)(1z H 可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数)(t φ，分析滤波器组)(0z H ，

)(1z H

及综合滤波器组)(0z G ，)(1z G 。MA TLAB 中的Wavelet Toolbox 中有相关的软件来产生各类正交小波及其相应的滤波器。

1．Daubechies 小波

Daubechies 小波简称db 小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies 于90年代初提出并构造的。Daubechies 对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a 取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《Ten Lectures on Wavelet （小波十讲）》深受同行们的欢迎。

dbN 中的N 表示db 小波的阶次，10~2=N .当1=N 时，db1即是Haar 小波。因此，前述的Haar 小波应归于“正交小波”类。Daubechies 计算出了10~2=N 时的

010,,),(g h h t φ及1g 。在MA TLAB5.3中，N 的阶次还可以扩展。db 小波是正交小波，当

然也是双正交小波，并是紧支撑的。)(t φ的支撑范围在)12(~0-=N t ，)(t ψ的支撑范围在N N ~)1(-。小波)(t ψ具有N 阶消失矩，)(Ωψ在0=Ω处具有N 阶零点。但db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB ）。图9.6.5给出了

4=N 时，)(t ψ，)(t φ及)(Ωψ，)(ΩΦ的波形。有关db 小波的构造等更多内容见第十

一章。

2. 对称小波

对称小波简记为symN ，8,,3,2 =N ，它是db 小波的改进，也是由Daubechies 提出并构造的。它除了有db 小波的特点外，主要是)(t ψ是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图9.6.6是4=N 时的对称小波。

3. Coiflets 小波

该小波简记为coifN ，5,,2,1 =N .在db 小波中，Daubechies 小波仅考虑了使小波函数)(t ψ具有消失矩（N 阶），而没考虑尺度函数)(t φ。R.Coifman 于1989年向Daubechies 提出建议，希望能构造出使)(t φ也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies 接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman 的名字命名。

coifN 是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为16-N ，也是接近对称的。)(t ψ的消失矩是N 2，)(t φ的消失矩是12-N 。图9.6.7是4=N 时的coif4小波。

图9.6.5 4=N 时db 小波， (a) )(t φ，(b) )(t ψ，(c) )(ΩΦ，(d) )(Ωψ

图9.6.6 4=N 时的对称小波，(a) )(t φ，(b) )(t ψ

4．Meyer 小波

Meyer 小波简记为meyr ，它是由Meyer 于1986年提出的【】

。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的，详细内容见第十一章。

Meyer 小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图9.6.8给出了Meyer 小波的尺度函数)(t φ和小波函数)(t ψ。

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

(完整版)小波原理课件

我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：

第9章小波变换基础

第9章 小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a t b a -= ψψ （9.1.1） 式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即 )()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为 dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-= ? *ψ ??==? * )(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数， b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和 伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则 ),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。 在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a t ψ，当1 >a 时，若a 越大，则)(a t ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参

数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

小波变换-完美通俗解读

小波变换和motion信号处理（一） 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA 这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一

些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 最后说明，我不是研究信号处理的专业人士，所以文中必有疏漏或者错误，如发现还请不吝赐教。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

小波变换详解

基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率

的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不

最新小波变换基础

小波变换基础

第9章小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数?Skip Record If...?，令 ?Skip Record If...?（9.1.1） 式中?Skip Record If...?均为常数，且?Skip Record If...?。显然，?Skip Record If...?是基本函数?Skip Record If...?先作移位再作伸缩以后得到的。若?Skip Record If...?不断地变化，我们可得到一族函数?Skip Record If...?。给定平方可积的信号?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（9.1.2） 式中?Skip Record If...?和?Skip Record If...?均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?。信号?Skip Record If...?的小波变换?Skip Record If...?是?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的函数，?Skip Record If...?是时移，?Skip Record If...?是尺度因子。?Skip Record If...?又称为基本小波，或母小波。?Skip Record If...?是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的?Skip Record If...?又可解释为信号?Skip Record If...?和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若?Skip Record If...?是实信号，?Skip Record If...?也是实的，则?Skip Record If...?也是实的，反之，?Skip Record If...?为复函数。 在（9.1.1）式中，?Skip Record If...?的作用是确定对?Skip Record If...?分 析的时间位置，也即时间中心。尺度因子?Skip Record If...?的作用是把基本小波?Skip Record If...?作伸缩。我们在1.1节中已指出，由?Skip Record If...?变成?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，若?Skip Record If...?越大，则 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢283

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用

小波变换去噪基础地的知识整理

1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）

（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247

小波变换完美通俗解读

小波变换完美通俗解读 转自： 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的"图像视频压缩算法之王"上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢?说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂；国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什

小波变换的原理及matlab仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下

小波变换及应用

小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3）

小波变换

小波变换理论及应用 ABSTRACT：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。 第一章小波变换理论 这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。 1.1.从傅里叶变换到小波变换 一、傅里叶变换 在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。 图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)： ?∞∞-- =dt e t x X t jω ω) ( ) ( (1) X(ω)的傅里叶反变换x(t)： ?∞∞- =ω ω π ωd e X t x t j ) ( 2 1 ) ( (2) 对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。

二、短时傅里叶变换 为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。 图1.2短时傅里叶变换 盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗的大小都相同。然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 三、小波变换 小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。图1.3给出了时间域信号、傅 里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。 时间域频率域 短时傅里叶变换小波变换 图1.3 小波变换示意图 1.2.连续小波变换 什么是小波？小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零）， 且其均值为零。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时

小波分析原理

小波分析原理 1.1 小波变换及小波函数的多样性 小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ： 2 ?().R C d ψψωωω+=<∞? 式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，?()ψ ω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。 对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数 1 (,)()x b a b x a a ψψ-??= ??? 称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。 对信号()f x 的连续小波变换则定义为 ,1 (,)()(),()f a b R x b W a b f x dx f x x a a ψψ-??==?? ??? ? 其逆变换（回复信号或重构信号）为 *1 ()(,)f R R x b f x W a b dadb C a ψψ?-??= ??? ?? 信号()f x 的离散小波变换定义为 2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞ ---∞=-? 其逆变换（恢复信号或重构信号）为 (2,2)()(2,2)()j j j j f k j k f t C W k x ψ+∞ +∞=-∞=-∞=∑∑ 其中，C 是一个与信号无关的常数。 显然小波函数具有多样性。在MATLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。 1.2 小波的多尺度分解与重构 1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分

小波分析的基本理论

东北大学 研究生考试试卷 考试科目：状态监测与故障诊断 课程编号： 阅卷人： 考试日期：2013.12 姓名：王培军 学号：1300483 注意事项 1．考前研究生将上述项目填写清楚 2．字迹要清楚，保持卷面清洁 3．交卷时请将本试卷和题签一起上交 东北大学研究生院

小波分析的基本理论 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。 1 小波变换理论 1.1 连续小波变换 定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2 （R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件： C ψ= |ψ （ω）| |ω| d ω<+∞+∞?∞ 1-1 则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小 波函数的容许性条件。 由定义1.1可知，小波函数具有两个特点： （1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。 （2）波动性：若设ψ （ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得: ψ x dx =ψ 0 =0+∞ ?∞ 1-2 也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。 定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有: ψa ，b x =|a |? 12 ψ x ?b a ，a >0，b ∈R 1-3 称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。由于伸缩因子a,平移因子b 都是取连续变化的值,因此又称ψa,b （x ）为连续小波基函数。它们是一组函数系列,这组函数系列是由同一母函数ψ（x ）经伸缩和平移后得到的。 定义1.3 若f （x ）∈ L 2（R ）,函数f(x)在小波基下进行展开,则f(x)的连续小波变换(CWT)定义为: W ψf a ，b = f x ，ψa ，b x = a f x ψ x ?b a dx +∞?∞ 1-4 由定义1.3可知,小波基具有收缩因子a 和平移因子b,若将函数在小波基下展开,就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上,把一个一维函数变换为一个二维函数,即连续小波变换W ψf （a,b ）是f （x ）在函数ψa,b （x ）上的“投影”。