![[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc](https://img.doczj.com/img17/12r7r0p3g1tfeqghdvo9iedr18ihgn5d-71.webp)
![[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc](https://img.doczj.com/img17/12r7r0p3g1tfeqghdvo9iedr18ihgn5d-92.webp)
[考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )
（A）3
（B）2
（C）1
（D）0
2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在
（B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导
（D）可导
3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( )
4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( )
（A）f(x)在(0，δ)内单调增加
（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少
（C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)
（D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)
5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( )
（A）处处可导
（B）恰有一个不可导点
（C）恰有两个不可导点
（D）至少有三个不可导点
6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )
（A）0＜dy＜△y
（B）0＜△y＜dy
（C）△y＜dy＜0
（D）dy＜△y＜0
7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( )
8 (1998年)设f(x)连续，则
（A）xf(x2)
（B）一xf(x2)
（C）2xf(x2)
（D）一2xf(x2)
9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( )
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( )
（A）f(x)g(b)＞f(b)g(x)
（B）f(x)g(a)＞f(a)g(x)
（C）f(x)g(x)＞f(b)g(b)
（D）f(x)g(x)＞f(a)g(a)
11 (2001年)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数y=f′(x)的图形为( )
12 (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )
（A）当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
（B）当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
（C）当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
（D）当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
13 (2017年)若函数f(x)可导，且f(x)f′(x)＞0，则( )
（A）f(1)＞f(一1)
（B）f(1)＜f(一1)
（C）|f(1)|＞|f(一1)|
（D）|f(1)|＜|f(一1)|
14 (2003年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有( )
（A）一个极小值点和两个极大值点
（B）两个极小值点和一个极大值点
（C）两个极小值点和两个极大值点
（D）三个极小值点和一个极大值点
15 (2011年)曲线y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4的拐点为( )
（A）(1，0)
（B）(2，0)
（C）(3，0)
（D）(4，0)
16 (2015年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其中二阶导数f"(x)的图形如图所示，
则曲线y=f(x)的拐点个数为( )
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
17 (2007年)曲线渐近线的条数为( ) （A）0
（B）1
（C）2
（D）3
18 (2012年)曲线渐近线的条数为( )
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
19 (2014年)下列曲线有渐近线的是( )
（A）y=x+sinx
（B）y=x2+sinx
（C）
（D）
20 (1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )
（A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
（B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
（C）当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数
（D）当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数
21 (2002年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )
22 (2005年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )
（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数
（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数
（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数
二、填空题
23 (1999年)
24 (2002年)已知函数y=y(x)由方程e y+6xy+x2一1=0确定，则
y"(0)=____________。
25 (2010年)
26 (2013年)
27 (2013年)设函数f(x)由方程y—x=e x(1-y)确定，则
=_____________。
28 (2016年)设函数则
a=_____________。
29 (2017年)已知函数则f(3)(0)=_____________。
30 (2004年)曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为___________。
31 (2008年)曲线sin(xy)+ln(y—x)=x在点(0，1)处的切线方程为__________。
32 (2005年)曲线的斜渐近线方程为_____________。
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
33 (2015年)(I)设函数u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)； (Ⅱ)设函数u1(x)，u2(x)，…，u n(x)可导，
f(x)=u1(x)u2(x)…u n(x)，写出f(x)的求导公式。
34 (2002年)已知两曲线y=f(x)与在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限
35 (2010年)求函数的单调区间与极值。
36 (1999年)试证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2。
37 (2004年)设e＜a＜b＜e2，证明
38 (2012年)证明：
39 (2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。
40 (2014年)设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值。
41 (2017年)已知函数y(x)由方程x3+y3一3x+3y一2=0确定，求y(x)的极值。
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x -
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
2020年高考数学分类汇编：函数、导数及其应用 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为的最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（In19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是
最新新课标2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数ln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和 (),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理））设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - (A) ()1021x x >- (B)()1021 x x ≠- (C)()2 1 x x R -∈ (D)()210 x x -> 【答案】A
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
2020年高考数学 函数试题分类汇编 理 （安徽）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2 =2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ （安徽）已知函数()sin(2)f x x ?=+，其中?为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2 f f π π>，则() f x 的单调递增区间是（A ）,()3 6k k k Z π πππ?? - + ∈??? ? （B ）,()2k k k Z πππ? ?+∈??? ? （C ）2,()6 3k k k Z π πππ? ?+ + ∈??? ? （D ）,()2k k k Z πππ?? -∈???? （安徽） （北京）．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ? ?? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为常数）。 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 （北京）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的 个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为
A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12 C ．{}9,11,12 D ．{}10,11,12 （福建） 1 ?（e 2 +2x ）dx 等于A.1 B.e-1 C.e D.e+1 （福建）对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 （福建）已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形，其中，正确的判断是A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ （广东）设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数 （湖北）已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+(a ＞0,且0a ≠).若 ()2g a =，则()2f =A ．2 B. 154 C. 17 4 D. 2a （湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰 变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2 （太贝克／年），则M （60）=A.5太贝克 B.75In2太贝克 C.150In2太贝克 D.150太贝克 （湖南）设直线x t =与函数2 (),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 1 2 C ．52．22答案：D 解析：由题2 ||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2 ()ln h x x x =-，则1 '()2h x x x =- ，令'()0h x =解得22x =，因 2(0, 2x ∈时，'()0h x <，当2,)2x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2 2 x =时，||MN 达到最小。即22t =。 （江西）若) 12(2 1log 1)(+= x x f ,则)(x f 的定义域为 ( ) A. (21-,0) B. (21-,0] C. (2 1 -,∞+)D. (0,∞+) 答案： A 解析： ()? ? ? ??-∈∴<+<∴>+0,211 120,012log 2 1x x x
1.【2016高考新课标1文数】设集合{} A=,{} 1,3,5,7 =,则A B= B x x 25 （） （A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7} 【答案】B 【解析】 试题分析：集合A与集合B公共元素有3,5,}5,3{ A ,故选B. B = 考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算. 2. 【2016高考新课标2文数】已知集合{123} A=，，，2 =<，则A B= B x x {|9}（） （A）{210123} ，，，，（C）{123} ，， ，，，，，（B）{21012} -- -- （D）{12} ， 【答案】D 【解析】 考点：一元二次不等式的解法，集合的运算.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 3.[2016高考新课标Ⅲ文数]设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8} ==，则A B＝ A B （） （A）{48} ，，,（D）{0246810} ，，，，, ,（B）{026} ，,（C）{02610} 【答案】C 【解析】 试题分析：由补集的概念，得C{0,2,6,10} B=，故选C． A 考点：集合的补集运算． 【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 4.【2016高考天津文数】已知集合}3,2,1{ A，} = y B∈ = y - =， 2 ,1 x | {A x 则A B=（） （A）}3,1{（B）}2,1{（C）}3,2{（D）}3,2,1{ 【答案】A 【解析】 试题分析：{1,3,5},{1,3} ==,选A. B A B 考点：集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.
三角函数 一、选择题 1.(重庆理6）若△AB Ｃ的内角A 、Ｂ、C 所对的边a 、b 、ｃ满足 ，且C ＝60°,则ab 的值为 A ． B ． Ｃ． 1 Ｄ． 【答案】A 2.（浙江理６）若 ， , ，，则 ?A. ?B ． Ｃ． D. 【答案】C ３.（天津理６）如图，在△中,是边上的点,且 ,则的值为 A. B. Ｃ. D. 【答案】D 4.(四川理6）在AB Ｃ中．．则A 的取值范围是 A ．（0,] ? B ．［ ,） ?C.（0,] D.[ ,) 【答案】C 【解析】由题意正弦定理 5．(山东理6）若函数 （ω＞０)在区间上单调递增,在区间上 2 2a b 4c +-=（）4 38-2 302π α＜＜ 02πβ-＜＜1 cos()43πα+= cos()42πβ-=cos()2 β α+ = 33- 99- ABC D AC ,2,2AB CD AB BC BD ===sin C 36?2 2 2 sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-6π6ππ3π3ππ2222 2 2 2 2 2 11cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π +-≤+-?+-≥?≥?≥?<≤ ()sin f x x ω=0,3π????? ?,32ππ?? ????
单调递减，则ω= Ａ．３ B ．2 C ． D. 【答案】C 6.（山东理9)函数 的图象大致是 【答案】C 7．(全国新课标理５）已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线 上，则＝ (A) （B) (C) （D) 【答案】B 8．（全国大纲理５）设函数 ,将的图像向右平移个单位长 度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ?A. Ｂ． C. ?D ．? 【答案】C 9.(湖北理３）已知函数 ,若 ,则x 的取值范围为 ?A ． B. ?C. D. 【答案】B 1０.(辽宁理4)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为ａ,b ，ｃ,asinA ｓinB+ｂcos2A= ，则 3 22 32sin 2x y x = -θ2y x =cos2θ45- 35- 354 5()cos (0)f x x ωω=＞()y f x =3π ω1 336 9()cos ,f x x x x R =-∈()1f x ≥|,3x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈??? ?|22,3x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈?? ??5{|,}6 6x k x k k Z π πππ+ ≤≤+ ∈5{|22,}66x k x k k Z ππ ππ+≤≤+∈a 2= a b
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
2009年高考数学试题分类汇编——函数 一、选择题 1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数，且 (2)1f =，则()f x = A ．x 2log B ．x 21 C ．x 2 1log D ．22 -x 【答案】A 【解析】函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D 【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 6.（2009浙江文）若函数2 ()()a f x x a x =+ ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ?∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ?∈R ，()f x 是奇函数 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问． 【解析】对于0a =时有()2 f x x =是一个偶函数 7.（2009北京文）为了得到函数3 lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度