§ 9.3 波的能量
一、波的能量
波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。
波是能量传递的一种方式。对于“流动着”的能量，要用由能量密度 和能流密度两个概念来描述。
1 波的振动动能
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。设在密度为ρ的介质中，有一列沿x 轴传播的平面简谐波。 在波线上坐标为x 处取一个体积元d V ，其质量d m =ρ d V
其波方程
该体积元的振动速度为
该体积元d V 的动能为
2 波的势能
介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。可以证明，因为介质形变，体积元d V 的势能与动能相等
结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。
3 t 时刻体积元d V 的总能量为
这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间
按正弦平方的函数关系而变化，所cos ()x y A ω t u =-ωsin ()y x v A ω t t u ?==--?222p k 1d d d sin ()2x E E VA t u ρωω==-k p d d d E E E =+)(sin d 222u x t VA -=ωωρ2222k 11d d ρd ωsin ω()22x E mv VA t u ==-Y x
以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度u 传播。
二、能量密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用 W 表示
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用 W 表示
三、能流密度
波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力，在波的传播过程中，通过弹性力做功，质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。
将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。
能流：单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P 表示。
在介质中取垂直于波线的面积s ，t 时间
里通过s 的能量等于体积ut s 中的总能量。
平均能流：
平均能流密度：将通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能流称为能流密度，以I 表示。
在SI 中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
意义：能流密度越大，单位时间、通过单位面积的能量越多，波强就越大，所以能流密度是波的强度的度量，又称为波强。对声波叫声强；对光波称为光强。 222d sin ()d E x w A t V u
ρωω==-222 01ρωsin ω()d T x w A t t T u =-?2221ωρA =P wuS =2212wutS P wuS A us t ρω===22
12P I uw uA S ρω=== 2A I ∝2
ω∝
I
[吸收系数]absorption coefficient 又称“衰减系数”当电磁波进入岩石中时，由于涡流的热能损耗，将使电磁波的强度随进入距离的增加而衰减，这种现象又称为岩石对电磁波的吸收作用。吸收或衰减系数β的大小和电磁波角频率ω、岩石导电率σ、岩石导磁率μ、岩石 介电系数ε有关， 1 ) 1( 22 2 2 - + = δ ω σ με ω β 。在导体中则简化为：2 ωμσ β= 。 第十六章机械波和电磁波 振动状态的传播就是波动,简称波. 激发波动的振动系统称为波源 16-1机械波的产生和传播 1. 机械波产生的条件 (1)要有作机械振动的物体,亦即波源. (2)要有能够传播这种振动的介质 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成 机械波。 波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。 ◆质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波. ◆质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波. 2.波阵面和波射线 ●在波动过程中,振动相位相同的点 连成的面称为波阵面（wave surface）●波面中最前面的那个波面称为波前（wave front）波面 波 线
●波的传播方向称为波线（wave line）或波射线平面波球面波 3. 波的传播速度 由媒质的性质决定与波源情况无关 ●液体和气体中纵波传播速度 B－介质体变弹性模量 ρ－介质密度 ● 在 固 体 G－介质切变模量 中 Y－介质杨氏模量 4.波长和频率 ●一个完整波的长度,称为波长.
●波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ●周期的倒数称为频率. 振动曲线波形曲线图形 研究 对象某质点位移随时间变化规律 某时刻，波线上各质点位移随位置变 化规律 物理意义由振动曲线可知 周期T. 振幅A 初相φ0 某时刻方向参看下一时刻 由波形曲线可知该时刻各质点 位移,波长λ，振幅A 只有t=0 时刻波形才能提供初相 某质点方向参看前一质点 特征对确定质点曲线形状一定曲线形状随t 向前平移 16-2 平面简谐波波动方程 ●前进中的波动,称为行波. ●描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波 动方程)
§ 9.3 波的能量 一、波的能量 波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。 波是能量传递的一种方式。对于“流动着”的能量，要用由能量密度 和能流密度两个概念来描述。 1 波的振动动能 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。设在密度为ρ的介质中，有一列沿x 轴传播的平面简谐波。 在波线上坐标为x 处取一个体积元d V ，其质量d m =ρ d V 其波方程 该体积元的振动速度为 该体积元d V 的动能为 2 波的势能 介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。可以证明，因为介质形变，体积元d V 的势能与动能相等 结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。 3 t 时刻体积元d V 的总能量为 这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间 按正弦平方的函数关系而变化，所cos ()x y A ω t u =-ωsin ()y x v A ω t t u ?==--?222p k 1d d d sin ()2x E E VA t u ρωω==-k p d d d E E E =+)(sin d 222u x t VA -=ωωρ2222k 11d d ρd ωsin ω()22x E mv VA t u ==-Y x
以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度u 传播。 二、能量密度 能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用 W 表示 平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用 W 表示 三、能流密度 波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力，在波的传播过程中，通过弹性力做功，质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。 将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。 能流：单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P 表示。 在介质中取垂直于波线的面积s ，t 时间 里通过s 的能量等于体积ut s 中的总能量。 平均能流： 平均能流密度：将通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能流称为能流密度，以I 表示。 在SI 中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2 意义：能流密度越大，单位时间、通过单位面积的能量越多，波强就越大，所以能流密度是波的强度的度量，又称为波强。对声波叫声强；对光波称为光强。 222d sin ()d E x w A t V u ρωω==-222 01ρωsin ω()d T x w A t t T u =-?2221ωρA =P wuS =2212wutS P wuS A us t ρω===22 12P I uw uA S ρω=== 2A I ∝2 ω∝ I
电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系 微分线元：dz a dy a dx a R d z y x → → → → ++= 面积元：?????===dxdy dS dxdz dS dydz dS z y x ，体积元：dxdydz d =τ （2）柱坐标系 长度元：?????===dz dl rd dl dr dl z r ??，面积元??? ??======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z z r z r ????，体积元：dz rdrd d ?τ= （3）球坐标系 长度元：?????===?θθ?θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元：??? ??======θ ?θ? θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元： ?θθτd drd r d sin 2= 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系 ?? ? ? ? ??==+=?????===z z x y y x r z z r y r x arctan ,sin cos 2 2??? （2）直角坐标系与球坐标系的关系 ? ?? ? ?? ??? =++=++=?????===z y z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2 22 2 22?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系 ?? ? ? ???=+=+=?????===??θθ??θ2 2 '2 2''arccos ,cos sin z r z z r r r z r r 3、梯度
试论介质中的电磁能量密度 【摘要】电磁技术是目前应用最广泛的现代化技术之一，如频率在300MHz-300GHz之间的微波段电磁波广泛用于无线通信、材料处理、微波加热、化工过程强化和医疗诊断等领域。电磁技术的进一步广泛应用需要对电磁场与物质相互规律的深入了解，尤其是物质对电磁波的吸收与消耗。 【关键词】极化能；磁化能；能量密度；电磁能量损耗功率密度 1.介质中的电场能量密度和磁场能量密度 1.1 电磁能量密度和能流密度 电（磁）场的能量特性通常采用能量密度和能流密度（也称为坡印廷矢量）来描述。能量密度是指在单位体积空间或介质中的能量；能流密度S是指电磁波在传播过程中，单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的能量。导出电磁场能量密度的普遍方法是，根据电磁场与带电体相互作用过程中的能量守恒，利用麦克斯韦方程和洛伦兹力公式得到能量密度和能流密度。电磁场的能量平衡方程是 ■=-?塄·S-f■·v (1) 该方程的物理意义是单位时间单位体积内电磁场能的增加量?坠w/?坠t等于通过边界的流入量(-?塄·S)减去电磁场对运动电荷做功的功率密度f■·v。设介质中的电荷密度是?籽■，电荷的运动速度是v，单位体积介质受到的电磁作用力密度（洛伦兹力）是 f■=?籽■E+?籽■v×B (2) 利用洛伦兹力公式（2）可以将电磁场对运动电荷做的功率密度写为: f■·v=?籽■v·E=J■·E (3) 其中J■=?籽■v是电流密度。 电场对电介质的作用效果是产生极化电荷和极化电流，极化电荷（束缚电荷）密度是?籽■=-?塄·P，极化电流密度是J■=?坠P/?坠t，P是极化强度，即单位体积介质中的电偶极矩。磁场对磁介质的磁化效果是产生磁化电流，磁化电流密度是J■=?塄×M，M是磁化强度，即单位体积介质中的磁偶极矩。在电磁学理论中为了研究方便，通过定义D=?着■E+P，将极化效果归并到辅助场量D中；通过定义H=B/?滋■-M，而将磁化效果归并到辅助场量H中。因此在麦克斯韦方程中只需考虑自由电荷和自由电流，而不必考虑极化电荷和诱导电流。基于同样的原因，式（3）中的J■可视为自由电荷流密度J■。利用介质中的麦克斯韦方程组将
第五节磁场的能量和能量密度 磁场的能量和能量密度（P631）1、目前在实验室里产生 E=105伏/米的电场和B=104高斯的磁场是不难做到的。今在边长为10厘米的立方体空间里产生上述两种均匀场，问所需的能量各为多少？解：2、利用高磁导率的铁磁体，在实验室产生 B=5000高斯的磁场并不困难（1）求这磁场的能量密度ωm；（2）要想产生能量密度等于这个值的电场，问电场强度E的值应为多少？这在实验上容易作到吗？解：3、一导线弯成半径为 R=5、0厘米的圆形，当其中载有I=100安的电流时，求圆心的磁场能量密度ωm。解：4、一螺线管长300毫米，横截面积的直径为15毫米，有2500匝表面绝缘的导线均匀密绕而成，其中铁芯的磁导率μ=1000。当它的导线中通有电流2安时，求管中心的磁能密度ωm。解：5、一同轴线由很长的两个同轴的圆筒构成，内筒半径为1、0毫米，外筒半径为7、0毫米，有100安的电流从外筒流去，内筒流回，两筒的厚度可忽略。两筒之间的介质无磁性（μ=1），求：（1）介质中的磁能密度ωm分布；（2）单位长度（1米）同轴线所储磁能Wm。解：6、一根长直导线载有电流I，I均匀分布在它的横截面上。证明：这导线内部单位长度的磁场能量为：μ0I2/16π。解：7、一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，导线的半径为a，圆筒的内半径为b，外半径为c。电流I由圆筒流去，由导线流回；在它们的横
截面上，电流都是均匀分布的。（1）求下列四处每米长度内所储磁能Wm的表达式：导线内，导线和圆筒之间，圆筒内，圆筒外；（2）当a=1、0毫米，b=4、0毫米，c=5、0毫米，I=10安时，每米长度的同轴线中储存磁能多少？解：8、试验算一下，用上述两种平均磁链法计算例题2的结果，都与磁能法一致。解：
电磁场的能量密度和能流密度 ●电磁场能量 ●电磁场对电荷系统作功 ●电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ●介质的极化能和磁化能 ( 1 ) 电磁场能量 电磁场是一种物质。 电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度??能量。 这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。 能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。引进： 电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量； 电磁能流密度矢量S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量S方向)垂直的单位横截面积的电磁能量( 2 ) 电磁场对电荷系统作功 考虑空间某区域，设其体积为V，表面为A，自由电荷密度为ρe0，电流密度为j0. 以f表示电磁场对电荷
的作用力密度，v 表示电荷的运动速度，则电磁场对电荷系统所作功的功率为 ????) (d V V v f , 体积V 内电磁场能量的增加率为 ????????=)() (d d d d V V V t w V w t , 通过界面A 流入V 内的电磁能为 σ???-) (d A S . 能量守恒定律要求单位时间内通过界面A 流入V 内的能量，等于场对V 内电荷作功的功率以及V 内电磁场能量的增加率之和，即 ??????????+?=?-)()() (d d d A V V V t w V v f A S . (14.64) 利用奥-高斯公式可得，式(14.64)的相应的微分形式是 v f S ?-=??+??t w . (14.65) ( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ① 由洛仑兹力公式可得 0)()(j E v E v B v E v f ?=?=??+=?ρρρ. (14.66) ② 将麦克斯韦方程组中的式
第十六章机械波和电磁波 振动状态的传播就是波动,简称波. 激发波动的振动系统称为波源 16-1机械波的产生和传播 1. 机械波产生的条件 (1)要有作机械振动的物体,亦即波源. (2)要有能够传播这种振动的介质 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成 机械波。 波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。 ◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波. ◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波. 2.波阵面和波射线 ● 在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称 为波阵面（wave surface） ● 波面中最前面的那个波面称为波前（wave front） ● 波的传播方向称为波线（wave line）或波射线 波面波 线 平面波 球面 波 3. 波的传播速度 由媒质的性质决定与波源情况无关 ● 液体和气体中纵波传播速度 B－介质体变弹性模量 ρ－介质密度
● 在 固 体 中G－介质切变模量 Y－介质杨氏模量 4.波长和频率 ● 一个完整波的长度,称为波长. ● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ● 周期的倒数称为频率.
16-2 平面简谐波波动方程 ● 前进中的波动,称为行波. ● 描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波 动方程) 设坐标原点的振动 为： O 点运动传到 p 点需 用时 相位 落后 所以 p 点的运动方 程： 1.平面简谐波的波动表式 定义 k 为角波 数 又 因此下述表达式等价： 为波的 相位
● 波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”， 所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。 设 t 时刻x处的相位经 dt 传到（x +dx）处， 则有 于 ——相速度（相速） 是得到 简谐波的波速就是相速 2.行波动力学方程 将平面波的波函数对空间和时间求导，可得 ——波动方程。各种平面波所必须满足的线性偏微分方 程 若 y1，y2 分别是它的解，则（y1＋y2）也是它的解，即上述波动方程遵从叠加原理。 3.波动方程推导（以一维纵波为例） 取棒中任一小质元原长 dx，质量为dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df 质元的运动学方程 为： 根据弹性模量的定 义：
论电子、质子半径的新计算方法及其延伸意义 丁荣培 湖南省长沙市白沙路255号（410002） E－ｍａｉｌ:drp2004@https://www.doczj.com/doc/1e13419758.html, 摘要：本文从γ射线在重原子核附近可产生正负电子对这一物理现象出发，分析了电子经典半径的由来及其存在的问题，提出电子与质子内部本质上就是量子化的涡旋闭合电磁场的观点。再由麦克斯韦方程组导出的电磁场能量密度公式以及质能公式、电磁强度公式三个公式结合推导 出电子、质子半径公式及电荷量子化与粒子稳定条件常数 od mr G=等系列新公式并说明其物理意义。根据系列新的计算公式，计算出描述电子、质子的有关物理特征的新参数，从全新的角度统一地解释物质的微观世界和宏观世界，并初步分析了可能由此对物理学带来的影响。 关键词：电子、质子半径电荷量子化与粒子稳定条件常数 od mr G=黑洞物理宇宙物理 中图分类号：O41，O57文献标志码：A 1.引言 1.1.电子对的产生与湮灭 中国物理学家赵忠尧首先发现了能量大于两倍电子静质量能（2m c2=1.02MeV）的γ射线在重原子核附近可产生正负电子对。[1] 物理教科书上估算的电子经典半径r e ≈2.8×10-15 m，[2]质子半径r ｐ ≈1.2×10-15m。[3]质子 质量约是电子质量的1836倍，按我们通常理解质子直径比电子直径大得多，事实恰恰相反；现有物理框架对此仍然无法作出合理解释。 1.2.目前电子的经典半径的由来[4]及其存在的问题 估算电子经典半径r e ≈2.8×10-15m基于以下设想： （1）设想电子是一个半径为r e 均匀带电球； （2）设想电子静止质量对应的能量2 e m c由静电自能提供。 1.3.存在的主要问题
109波的能量、能流密度 1.选择题 1，一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此 时它的能量是 (A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 ［ ］ 2，一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程 中： (A) 它的动能转换成势能 (B) 它的势能转换成动能 (C) 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大 (D) 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小 ［ ］ 3，图示一平面简谐机械波在t 时刻的波形曲线．若此时A 点 处媒质质元的振动动能在增大，则 (A) A 点处质元的弹性势能在减小 (B) 波沿x 轴负方向传播 (C) B 点处质元的振动动能在减小 (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化 ［ ］ 4，当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？ (A) 媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒 (B) 媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同 (C) 媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等 (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大 ［ ］ 5，当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在 (A) 媒质质元离开其平衡位置最大位移处 (B) 媒质质元离开其平衡位置(2/2A )处(A 是振动振幅) (C) 媒质质元在其平衡位置处 (D) 媒质质元离开其平衡位置A 2 1处（A 是振动振幅） ［ ］ 2.判断题 1，当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，媒质质元的振动动能增大时，其弹性势 能减小，总机械能守恒。 2，媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同。 3，媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等。
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+--kT hc e kT hc λλ
? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
电磁波与声波的类比 电磁波由同相震荡且互相垂直的电场与磁场在自由空间中以波的形式移动。均匀平面电磁波的电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直，没有传播方向的分量，它是一种横电磁波（TEM）。对于多数雷达，探测目标距波源较远，因此我们仅考虑在远场条件下的平面电磁波特性。 声波是一种机械波，它只在弹性介质中传播。声源在介质中发生扰动，压缩周围介质，带动传播方向上质点压缩和伸张交替运动，从而形成声波的传播过程。声波是一种纵波，即质点振动方向与传播方向一致或相反。 一、波动方程的类比 1、电磁波的波动方程（参考王家礼等的《电磁场与电磁波》） 根据麦克斯韦方程组，可得在无源、无界、充满无耗的简单媒质的空间中， 电磁波的电场强度E?和磁场强度H?? 满足以下的波动方程： ?2E??1 c2 ?2E? ?t2 =0? ?2H?? ?1 2 ?2H?? 2 =0? 其中c= √με ，为电磁波在介质中的传播速度。 波动方程的解表示时变电磁场将以波动的形式传播，构成电磁波。在自由空间中，该解是一个沿某一特定方向以光速传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定边界条件和初始条件下求波动方程的解。 2、声波的波动方程（参考何祚镛的《声学理论基础》） 在连续介质中，任意一点附近的运动状态可用压强p、密度ρ及介质振动速度u?表述。声场的连续性方程、运动方程式和状态方程式相互独立，根据它们消去p、ρ、u中任意两个量，可得某一个量的时空关系。由于u?是向量，用它计算声场较麻烦，变化的ρ不便测量。而声压是标量，因此声学测量与理论分析常采用声压p来描述声场。根据三个方程式，可得在理想、均匀、静止流体介质中关于声压p的波动方程： ?2p?1 v2 ?2p ?t2 =0? ?2u??1 v2 ?2u? ?t2 =0? 其中v= √βsρ0 ，为声波在流体介质中的传播速度，βs为介质的压缩系数，ρ0为介质的初始密度。 对比电磁波和声波的波动方程，可以看出两者类型完全一样。从而得出电磁波和声波的波动性是一致的。 二、能量密度和能流密度的对比