网络课程内部讲义
概率统计
教师：苗金利
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概率统计一、统计基础知识
2、用样本估计总体
（1）用样本的频率分布估计总体的分布
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征
https://www.doczj.com/doc/1e5930509.html,“在线名师”→答疑室随时随地提问互动3、变量的相关性
二、概率基础知识
（一）随机现象与随机事件
1．必然现象与随机现象：
2．事件与事件空间
（二）随机事件的频率与概率
（三）互斥事件的概率（概率的加法公式）
1．互斥事件与互斥事件有一个发生的概率
2．对立事件与对立事件的概率
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（四）古典概型
古典概型具有两个特征：
（1）有限性：在试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； （2）等可能性：在试验中，可能出现的结果（基本事件）的可能性是均等的。
A ()P A =
事件包含的基本事件数
试验的基本事件总数
。
（五）几何概型
几何概型的两个特征： （1）试验结果有无限多；
（2）每个结果的出现是等可能的．
积等）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）
的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =
三、典型例题 例1．（2010重庆）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A ．7
B ．15
C ．25
D ．35
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例2．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁—18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在（56.5 , 64.5）的学生人数是（ ）.
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
例3.（2010安徽）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）
A ．
318 B ．418 C ．518 D ．618
例4．（2010山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A ．92 , 2
B ．92 , 2.8
C ．93 , 2
D ．93 , 2.8
例5．（2010北京）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．15
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例6.（2010湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9. 则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。
例7．（2009年广东）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位:cm）,获得身高数
据的茎叶图（如图7.）
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
（2）计算甲班的样本方差
例8．一个口袋中装有编号为1、2的2个白球和编号为1、2、3的3个黑球。
（1）从中摸出两个球，求：两球恰好颜色不同的概率；
（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。
https://www.doczj.com/doc/1e5930509.html,“在线名师”→答疑室随时随地提问互动例9．甲乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次抽一题。
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
例10. （长度）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．
例11．（时间）某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）
例12．两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见
的概率．
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
高一数学必修2立体几何测试题 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 A 、l ∥a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取 E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点P 不在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于
高中数学必修2解析几何知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180 ,90∈α时，0 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一) 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学过程： 一、创设情景，揭示课题 1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？ 2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间围上研究过哪些？ 3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. 二、讲授新课： 1. 教学棱柱、棱锥的结构特征： ①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？ ②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？ ③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. →列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. ④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’ ⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？ ⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？ ⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征： ①讨论：圆柱、圆锥如何形成？ ②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. →列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法 ③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体. ④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体. 3.质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 必修二立体几何初步知识点整理 一、基础知识（理解去记） （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共 点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①????????→??????? →???? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 补充知识点 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】2 22211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角 分别是αβγ，，， 那么2 2 2 cos cos cos 1αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则 222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 解析几何初步测试题及答案详解 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述中不正确的是( ) A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( ) A ．－3 B ．－6 C ．－32 D ．2 3 3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( ) 4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B ．13 C ．15 D ．17 7．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A ．－4 B ．20 C ．0 D ．24 8．圆(x ＋2)2＋y 2 ＝5关于y 轴对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2 ＝5 B ．x 2＋(y －2)2 ＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2 ＝5 9．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2 ＝4 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2 ＝9 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2 ＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2 ＝9 必修2 空间立体几何大题 一．解答题（共18 小题） 1.如图，在三棱锥V﹣ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M 分别为AB，VA 的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC 的体积． 2.如图，三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC 的体积； （2）证明：在线段PC 上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E，F 分别是BC，CC1 的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC 的体积． 5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1=E．求 证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6.如题图，三棱锥P﹣ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段AB 上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC 的体积为7，求线段BC 的长． 7.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC 体积的最大值； C B A D C 1 A 1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥, 由题设知0 1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ； （Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132 +???=1 2， 由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点且1 2 DF AB = ，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD = 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB . 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。 因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。 因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。 则1122EG PH = =， 111 332 E BC F BCF V S E G FC AD EG -?=?=????=2。 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1 // 2ME AB =。 因为1 // 2DF AB =，所以//ME DF = ，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。 因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。 因为PA AB A =I ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。 3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ， 分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 高一数学必修2第一章测试题 班别 姓名 考号 得分 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台 3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 4.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D.1：3：9 5.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 32 C. 33 D. 34 6.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ） 俯视图 主视图 侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 8．下列几种说法正确的个数是（ ） ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ． B ．2 C ．2: D ．3 10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 二、填空题:（每小题6分，共30分） 11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一 个棱台有 ________条侧棱。 12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________。 13．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线 长是________；若长方体的共顶点的三个面的面积分别为3,5,15，则它的体积为________. 14．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 60角,则 圆台的侧面积为____________。 15．(1)等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体； (2)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题:（共70分） 16．（12分）画出下列空间几何体的三视图（图②中棱锥的各个侧面都是等腰三角形）． ① ② 图（1） 图（2） 人教B 版高中数学必修2解析几何公式+知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。tan k = 当[90,0∈时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影． 投影定义特征分类 中心投影 光由一点向外散射形成 的投影 投影线交于一点 平行投影 在一束平行光线照射下 形成的投影 投影线互相平行 正投影和斜投影 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？ 解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影. 方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置. 点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)． 解析：在下底面ABCD 上的投影为③，在右侧面B ′BCC ′上的投影为②，在后侧面D ′DCC ′上的投影为①. 答案：①②③ 点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． 专题二 不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例1 在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，A 1A 上的点，且满足A 1M = 1 2 A 1 B 1， A 1N =2ND 1，A 1P = 3 4 A 1A （如图1），试求三棱锥A 1—MNP 的体积． 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平 行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90 角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90 A A 1 B 1 C C 1 P D A 1 B 1 B A C 1C D 1 一 ：选择题（4分10?题） 1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ） A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面 D ．1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3．已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是： A ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β B ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 4.在四面体ABC P -的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ） A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l =βα ，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是（ ） A. 11//D CB BD 平面 B. BD AC ⊥1 C. 111D CB AC 平面⊥ D. 异面直线1CB AD 与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ） A. ?120 B. ?150 C. ?180 D. ? 240 8.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列命题正确的是（ ） A. BC AB ⊥ B. BD AC ⊥ C. ABC CD 平面⊥ D. ACD ABC 平面平面⊥ 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） .A 180 .B 200 .C 220 .D 240 8左视图 4 10正（主）视图32 3 直线、圆与方程（一） 1.已知直线l 过点()1,2,且不过第四象限,那么直线l 的斜率K 的取值范围是( ) A. []0,2 B. []0,1 C. 10,2?????? D. 10,2 ? ? ?? ? 2.已知直线l 经过()() ()22,11,,A B m m R ∈两点,则直线l 的斜率的取值范围是( ) A. [)1,+∞ B. (),-∞+∞ C. (),1-∞ D. (],1-∞ 3.若方程0?Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线,则必有( ) A. A B>0? B. A B<0? C. 0A >且0B < D. 0A >或0B < 4. 若点()00,M x y 是直线0?Ax By C ++=上的点,则直线方程可表示为( ) A. ()()000A x x B y y -+-= B. ()()000A x x B y y ---= C. ()()000B x x A y y -+-= D. ()()000B x x A y y ---= 5.点()2,5P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是( ) A. (5,2) B. ()2,5 C. ()5,2-- D. ()2,5- 6.已知两直线320ax y --=和()21510a x ay -+-=分别过定点,?A B ,则AB = ( ) A. 5 B. 175 C. 135 D. 11 5 7.若 x 轴上的点M 到原点及点(5,3)-的距离相等, 则M 的坐标是( ) A. ()2,0- B. ()1,0 C. 3,02?? ??? D. 17,05?? ??? 8.与两平行直线51250x y +-=和512570x y +-=距离相等的直线方程为( ) A. 512310x y +-= B. 12310x y +-= C. 512310x y --= D. 5230x y +-= 必修二立体几何 高一 未命名 一、单选题 1．设,m n 为两条不同的直线，γβα，，为三个不重合平面，则下列结论正确的是 ( ) A ．若m αP ，n α∥，则m n ∥ B ．若m α⊥， ,αβ⊥则β∥m C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβP D ．若m α⊥，m n ∥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A 选项，若m αP ，n α∥，则,m n 可能平行、相交或异面；故A 错； B 选项，若m α⊥， αβ⊥，则β∥m 或m β?，故B 错； C 选项，若αγ⊥，βγ⊥，因为γβα，，为三个不重合平面，所以αβP 或αβ⊥，故C 错； D 选项，若m α⊥，m n ∥，则n α⊥，故D 正确； 故选D 【点睛】 本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果. 2．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面 B ．梯形一定是平面图形 C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点 D ．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面性质中的公理及其推论逐个验证即可． A选项，不共线的三点确定一个平面，A错． C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错． D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面． B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平面性质中的公理及其推论，属于基础题．注意公理1的作用是判断直线在面中，公理2的作用是判断点共线或线共点，公理3及其推论的作用是判断平面的存在性与唯一性. 3．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1?BB1D1D的体积为（） A．√2 3B．1 3 C．√2 6 D．1 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】 由正方体性质得A1C1⊥平面BB1D1D， 所以四棱锥A1?BB1D1D的体积为1 3×A1C1 2 ×S BB 1D1D =1 3 ×√2 2 ×1×√2=1 3 ，选B. 【点睛】 本题考查锥体体积，考查基本求解能力，属基础题. 4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（） A．16 3πB．32 3 πC．64 3 πD．256 3 π 【答案】B D A 1 B 1 B A C 1 C D 1 高一数学必修二立体几何测试题 一 ：选择题（4分10?题） 1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ） A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面 D ．1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3．已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是： A ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β B ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 4.在四面体ABC P -的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ） A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l =βα ，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是（ ） A. 11//D CB BD 平面 B. BD AC ⊥1 C. 111D CB AC 平面⊥ D. 异面直线1CB AD 与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ） A. ? 120 B. ? 150 C. ? 180 D. ? 240 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：数学必修2立体几何第一章全部教(学)案
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