二次函数与不等式和方程的综合题 一、填空题
1、如图，二次函数y 1=ax 2
+bx+c 与一次函数y 2=kx+n 的图象相交于A （0，4），B （4，1）两点，下列三个结论：
①不等式y 1＞y 2的解集是0＜x ＜4
②不等式y 1＜y 2的解集是x ＜0或 x ＞4
③方程ax 2
+bx+c=kx+n 的解是x 1=0，x 2=4 其中正确的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2、如图，已知反比例函数
x y 3
-
=与二次函数
y=ax 2
+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P
的纵坐标为1，则关于x 的不等式ax 2
+bx ＞x 3
-
的解集为（
）
A ．x ＜1
B ．x ＜-3
C ．x ＜-3或x ＞0
D ．-3＜x ＜0
3.已经函数y=（x-a）（x-b）-2（a＜b），m、n是方程（x-a）（x-b）-2=0的两个根（m ＜n），则a，b，m，n的大小关系是（）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b 3、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m
的结论正确的是（）
A．m的最大值为2 B．m的最小值为-2 C．m是负数 D．m是非负数
5、已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是（） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
若y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程ax2+bx+c=0的另一个解为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1
已知抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．由b2-4ac 的值确定
4．求一元二次方程x2+3x-1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=x
1
的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3-x-1=0的解的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
7、若实数m
满足0
2122=??? ??
++m m ，则下列对
m 值的估计正确的是（ ）
A ．12-<<-m
B ．01<<-m
C ．10< D ．21< 6.已知函数y=（x-a ）（x-b ）+2，（a ＜b ），若α，β（α＜β）是方程（x-a ）（x-b ）+2=0的两个根，则实数a ，b ，α，β之间的大小关系是（ ） A ．α＜a ＜b ＜β B ．a ＜α＜β＜b C ．α＜b ＜a ＜β D ．α＜a ＜β＜b 8、 给出下列命题及函数x y =，2 x y =和 x y 1 =的图象 ①如果 2 1 a a a > > ，那么1 0< a a 1 2> > ，那么1 > a； ③如果 a a a > >2 1 ，那么0 1< < -a；④如果 a a a> > 1 2 时，那么1- < a。则 A.正确的命题是①④ B. 错误 ．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误 ．．的命题只有③ 二、填空题 若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于x的方程ax2+bx+c=-2的根为． 1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1= ，x2= ； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 2、如图，已知二次函数y 1=ax 2 +bx+c （a ≠0）与一次函数y 2=kx+m （k ≠0）的图象相交于点A （-2，4），B （8，2），则关于x 的不等式ax 2 +（b-k ）x+c-m ＞0的解集是 ． 3、如图，是二次函数y=ax 2 +bx-c 与反比例函数x m y = 的图象，则方程c x m bx ax =++2的解 为 . 4、如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A、B，顶点P的纵坐标是-2，则关于x 的方程ax2+bx+2=0的解是． 5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ． 6、如图，已知二次函数y 1=ax 2 +bx+c 与一次函数y 2=kx+m 的图象相交于A （-1，2）、B （4， 1）两点，则关于x 的不等式ax 2 +bx+c ＞kx+m 的解集是 ． 7、已知二次函数y=-4x 2-2mx+m 2 与反比例函数x m y 4 2+= 的图象在第二象限内的一个交点的横 坐标是-2，则m 的值是 ． 4.若直线y=m （m 为常数）与函数?????>≤=) 2(2 )2(2x x x x y 的图象恒有三个不同的交点，则常数 m 的取值 范围是 ． 7.函数y=a 与函数? ????<++≥+-=)0(1)0(12 2 x x x x x x y 的图象有四个交点，则a 的取值范围是 ． 8.函数???<++≥+=)0(2) 0(22 x x x x x y 图象与函数 y=a 的图象有三个不同的交点，则a 的取值范围 是 ． 9.抛物线|32|2 --=x x y 与直线y=k 有四个交点，则k 的取值范围是 ． 22．已知函数y=-x 3与 y=ax 2 +bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为2,则关于x 的方程 ax2+bx+x 3 =0 的解为 ． 运用图象法解答：如图，已知函数y ＝?x 3与 y=ax2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则结论：①两函数图象的交点 ；②则关于x 的方程ax2+bx+x 3 ＞0 的解为 ． 请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=x 2 ，如图所示， 利用两图象的交点个数和位置来确定方程 x2+1=x 2 有一个正实数根，这种方法称为利用的图 象判断方程根的情况请用图象法判断方程-（x-3）2 +4=x 2 的根的情况 （填写根的 个数及正负）． 已知函数y=x2与y=-x+1图象交点的横坐标就是一元二次方程y=x2+x-1的解，如图，抛物线 y=x2+1与双曲线y=x k 的交点 A 的横坐标是1，则关于 x 的不等式x k +x2+1＜0的解集 是 ． 7．在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2-3和直线 y=-x ，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程x 6 ?x2+3 ＝0的近似解也可以利用熟悉的函数 和 的图象交点的横坐标来求得． ．如图，已知二次函数y=ax 2+c 和反比例函数 y=x b （x ＞0）的图象交于点 A （1，8），二次 函数y=ax 2+c 交y 轴于点 B （0，7），则不等式组 ?????? ?≤->-+0022 x b ax x b c ax 的解集为 ． 三、解答题 8、若方程022 =--t x x 有解在41<<-x ，则t 的取值范围。 9、若方程0 1 =--t x x 有解在4>x ，则t 的取值范围。 利用图象解一元二次方程x2+x-3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=和直线y=-x ，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数y=-x 6 的图象（如图所示），利用图象求方程x 6-x+3=0 的近似解．（结果保留 两个有效数字） 对于抛物线 y=x2-4x+3． （1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜27 的范围内有解，则t 的取值范围是． 不等式与方程组综合计算题 为整数同时满足不等式56x+ 4x+77与8x+34x+50，求x 的整数值2.已知关于x ，y 的方程组3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 3.求不等式组2 )3(3)1(23 12211x x x x 的负整数解。4.已知方程组17 26 52y x m y x 的解x 、y 都是正数，求m 的取值范围. 5.已知：关于x 的方程 m x m x 2123的解是非正数，求m 的取值范围．6.已知关于x 、y 的方程组 1332k y x k y x 的解满足00y x ，求k 的取值范围。7.当310 )3(2k k 时，求关于x 的不等式 k x x k 4)5(的解集．8.已知方程组②① m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．9．已知关于x ，y 的方程组1 34, 123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．10.已知关于x 、y 的方程组a y x a y x 523 的解满足x>y>0，化简|a|+|3－a|．11.当k 取何值时，方程组 52, 53y x k y x 的解x ，y 都是负数．12.已知122,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 13.已知a 是自然数，关于x 的不等式组 02, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．14.关于x 的不等式组123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 15.若关于x 的不等式组a x x x x 32 2,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围．取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3 中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式 ◆知识讲解 （1）最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）． （3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）． （4）抛物线与x 轴的交点． 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交． ②有一个交点（顶点在x 轴上）?△=0?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离． （5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点． 同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，?两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根． （6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点；③方程组无解时?L 与G 没有交点． （7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，?再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分． 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个 数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图 象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与 x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不 等式ax2＋bx＋c＜0的解集 是 . 例5. 已知P（3,m -)和Q（1，m）是抛物线2 21 y x bx =++上的两点． （1）求b的值； 22 y mx x m =+-m x （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有 一个交点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题附答案 一、选择题 1．解方程组：231437xy y y x ?-=?-=? ①② 【答案】32x y =-?? =-?. 【解析】 【分析】 由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可． 【详解】 解：由②得：y=7+3x(3)， 把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14， 解得：x=-3， 把x=-3代入③得：y=-2， 所以原方程组的解为32x y =-?? =-? ． 【点睛】 本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键． 2．解方程组：2256021 x xy y x y ?+-=?-=? ①② 【答案】12216113,1113x x y y ?=?=????=??=-?? 【解析】 【分析】 把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可. 【详解】 方程①可变形为(6)()0x y x y +-=， 得60x y +=或0x y -=， 将它们与方程②分别组成方程组，得： （Ⅰ）6020x y x y +=??-=?或（Ⅱ）021x y x y -=??-=? ， 解方程组（Ⅰ）613113x y ?=????=-?? ， 解方程组（Ⅱ）11x y =??=? 所以原方程组的解是613113x y ?=????=-?? ，11x y =??=? . 3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1?--=?+=? 【答案】x 1.5y 0.5=??=-? 【解析】 【分析】 把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=?? -=? 即可． 【详解】 由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ， x 3y 3∴-=， 解x y 1x 3y 3+=??-=?得：x 1.5y 0.5=??=-? ． 【点睛】 本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键． 4．22x -y -3x 10y ?=?++=?，①，② 【答案】x 1y -2=??=? 【解析】 【分析】 根据解二元二次方程组的步骤求解即可. 【详解】 解：由方程①得：()()x y x-y -3+?=，③ 由方程②得：x y -1+=，④ 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ， . （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++，. （3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0?时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合 （专题精选）初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题含解析 一、选择题 1．对于实数a 、b 定义运算“※”：22 () () a a b a b a b ab b a b ?-≥=?- 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 热点2 方程（组）和不等式（组）的解法 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1 ．不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 一元二次函数、方程与不等式 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知a ，b ，c ，d 为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ．ac bd > B ．a c b d ->- C ．a d b c ->- D ．1 1 a b < 2．若x ≠－2且y ≠1，则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5 D ．M ≤－5 3．不等式13 ()()022≥x x +-的解集是（ ） A ．1{|2x x <-或3 }2x > B ．1 {|2x x ≤-或3 }2x ≥ C ．13{|}22x x -≤≤ D ．1 3 {|}22x x -<< 4．设11b a -<<<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11 b a > B ．11 b a < C ．22b a < D ．2b a < 5．若()0,2x ∈，则()2x x -的最大值是（ ） A ．2 B ．3 2 C ．1 D ．1 2 6．若21y x ax =-+有负值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或2a <- B ．22a -<< C ．2a ≠± D ．13a << 7、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1 |23x x ??-<?? C ．1|23x x ?? -<?? 8．已知关于x 的不等式24x x m -≥，对任意(0,1]x ∈恒成立，则有（ ） A ．3m ≤- B ．3m ≥- C ．30m -≤< D ．4m ≥- 9.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ）不等式组与方程组综合计算题
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