2018年重庆市九校联盟高考一模数学文
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|
1
x
＜1}，则A ∩B=( ) A.{0，1} B.{1，2} C.{-1，0} D.{-1，2}
解析：求出集合，利用集合的交集定义进行计算即可. 由
1
x
＜1?x ＞1或x ＜0， 即B={x|x ＞1或x ＜0}， ∵A={-1，0，1，2}， ∴A ∩B={-1，2}. 答案：D
2.已知i 为虚数单位，且(1+i)z=-1，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z 对应的点的坐标得答案.
由(1+i)z=-1，得()()11111122
1-=-
=-=-+++-i z i i i i ， ∴复数z 对应的点的坐标为(12-，1
2
)，位于第二象限. 答案：B
3.log 2(cos 74
π
)的值为( ) A.-1 B.12
- C.
12
D.
2
解析：利用诱导公式、对数的运算性质，求得所给式子的值.
12
222271log cos
log cos log log 24422ππ-?
??==? ? ?
?
?==-??
. 答案：B
4.已知随机事件A ，B 发生的概率满足条件P(A ∪B)=3
4
，某人猜测事件?A B 发生，则此人猜测正确的概率为( )
A.1
B.12
C.14
D.0
解析：∵事件?A B 与事件A ∪B 是对立事件， 随机事件A ，B 发生的概率满足条件P(A ∪B)=
34
， ∴某人猜测事件?A B 发生，则此人猜测正确的概率为：
()
()3144
11?=-?=-
=P A B P A B . 答案：C
5.双曲线C ：22
221-=x y a b
(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的渐近线的垂线，
垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
C.2
D.
2
解析：根据题意，双曲线C ：22
221-=x y a b
(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，
过点F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为A ，
且交y 轴于B ，如图：
若A 为BF 的中点，则OA 垂直平分BF ， 则双曲线C 的渐近线与x 轴的夹角为4
π， 即双曲线的渐近线方程为y=±x ， 则有a=b ，
则c ，
则双曲线的离心率=
=c
e a
. 答案：A
6.某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于( )
A.
)
13π+
B.
)
23π+
C.
)
16
π+
D.
)
26
π+ 解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，
其体积为()())2
21211113226ππ?????+=?+??
=V . 答案：D
7.将函数sin 4π?
?
??
=-?
y x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移
6
π
个单位，则所得函数图象的解析式为( ) A.5sin 224π??
??=-?
x y B.sin 23π??
??
?=-x y C.5sin 212π??
??=-?x y D.7sin 212π?? ??
=-
?
y x 解析：由题意利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论. 把函数sin 4π??
??
=-
?
y x 经伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 可得sin 24π??
???
=-x y ，再向右平移6π个单位，
得12sin sin 6423πππ??
?=-
-=- ??
?
??
????????
x y x 的图象. 答案：B
8.执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则N 的所有可能取之和等于( )
A.19
B.21
C.23
D.25
解析：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出
23cos
2cos
3cos 222
π
ππ=+++?S 得值，
由题意，23cos 2cos 3cos 6222πππ
=+++?=S ，
可得：0-2+4-6+8-10 (6)
可得：2312cos
2cos
3cos 12cos
2222π
πππ
=+++?+S ， 或231213cos 2cos 3cos 12cos 13cos
22222
πππππ
=+++?++S ， 可得：N 的可取值有且只有12，13，其和为25.
答案：D
9.已知抛物线C ：y=2px 2
经过点M(1，2)，则该抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A.
18 B.14 C.12
D.1
解析：根据题意，抛物线C ：y=2px 2
经过点M(1，2)，
则有2=2p ×12
，解可得p=1，
则抛物线的方程为y=2x 2
，其标准方程为x 2
=1
2
y ， 其焦点坐标为(0，
18)，准线方程为y=18
-，
该抛物线的焦点到准线的距离等于14
. 答案：B
10.已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，bcosA ，当b+c=4时，△ABC 面积的最大值为( )
解析：由：bcosA ，利用正弦定理可得：sinBcosA ，
又sinB ≠0，可得：， 因为：A ∈(0，π)， 所以：A=
3
π.
故2
12424+==≤??=??
V ABC
b c S bcsinA ，(当且仅当b=c=2时取等号). 答案：C
11.设定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数f ′(x)满足xf ′(x)＞1，则( ) A.f(2)-f(1)＞ln2 B.f(2)-f(1)＜ln2 C.f(2)-f(1)＞1 D.f(2)-f(1)＜1
解析：根据题意，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 即x ＞0，则xf ′(x)＞1?f ′(x)＞
1
x
=(lnx)′， 故
()()21ln 2ln1
ln 22121
--=--＞f f ，即f(2)-f(1)＞ln2.
答案：A
12.设m ，θ∈R ，则()()
2
2
cos s in θ
θ-+-m m 的最小值为( )
A.3
B.4
C.9
D.16
解析：令点
-m ，
+m)，Q(cos θ，sin θ). 点P 在直线
=0上，点Q 的轨迹为单位圆：x 2
+y 2
=1.
因此(
)()
2
2
cos s in θθ-+--m m 的最小值为：单位圆上的点到直线
=0的距离的平方，
故其最小值()2
2
1941?????
=-=-=. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13.已知向量r a =(1，-2)，r b =(2，m)，且r r
P a b ，则r r g a b = .
解析：利用平面向量的共线定理和坐标表示求出m 的值，再计算r r
g a b 的值.
向量r a =(1，-2)，r b =(2，m)，且r r P a b ，
∴1×m-(-2)×2=0， 解得m=-4，
∴r r
g a b =1×2+(-2)×(-4)=10.
答案：10
14.已知实数x ，y 满足23500+≤??
-≥??≥?
x y x y y ，则目标函数z=3x+y 的最大值为 .
解析：作出约束条件不是的可行域，判断目标函数结果的点，然后求解目标函数的最大值即可.
实数x ，y 满足23500+≤??
-≥??≥?
x y x y y 作出可行域：
目标函数z=3x+y，由
2350
=
?
?
+-=
?
y
x y
解得A(
5
2
，0)，
的最优解对应的点为(5
2
，0)，
故
515
30
22
=?+=
max
z.
答案：15 2
15.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称，当x∈[0，3]时，f(x)=-x，则f(-16)= . 解析：根据题意，由f(x)图象的对称性以及奇偶性分析可得f(x)的最小正周期是12，进而有f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)，由函数的解析式分析可得答案.
根据题意，函数f(x)的图象关于直线x=3对称，
则有f(x)=f(6-x)，
又由函数为奇函数，则f(-x)=-f(x)，
则有f(x)=-f[-(6-x)]=-f(x-6)=-f(12-x)=f(x-12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)，
即f(-16)=-(-2)=2.
答案：2
16.半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于 .
解析：∵半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，
∴轴截面如下图所示，
R ，
∴从点P 发出的光线在平面α上形成的球O 的中心投影的面积为：S=3πR 2
.
答案：3πR 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分.第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 5=35，a 1，a 4，a 13成等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式.
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意列出方程组，求出公差和首项的值，即可得到数列{a n }的通项公式.
答案：(1)S 5=35?5a 3=35?a 3=7，
设公差为d ，a 1，a 4，a 13成等比数列?a 42=a 1a 13?(7+d)2
=(7-2d)(7+10d)?d=2(舍去d=0). ∴a n =2n+1.
(2)求数列{
1
n
S }的前n 项和T n . 解析：(2)由(1)求出
()11111222==-?? ???
++n S n n n n ，利用裂项相消求出和. 答案：(2)()
()2422
+=
=+n n n S n n ， ∴
()11111222==-?? ???
++n S n n n n ， ∴111111213241111151231??=
?+?+-+--+- ?-+++?-?
n T n n n n ()()
111132312212412+??=?+--=- ?
++++??n n n n n .
18.某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休
老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”(单位：小时)，活动时间按照[0，0.5)、[0.5，1)、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值.
解析：(1)由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[0，0.5)的频率为0.04.在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，能求出a的值.
答案：(1)由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[0，0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，
由1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a.
解得a=0.30.
(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数.
解析：(2)设中位数为m小时，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，从而2≤m＜2.5.由0.50×(m-2)=0.5-0.47，能估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数. 答案：(2)设中位数为m小时.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.
由0.50×(m-2)=0.5-0.47，解得m=2.06.
故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时.
(3)在[1，1.5)、[1.5，2)这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
解析：(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，利用列举法能出抽取的两人恰好都在同一个组的概率.
答案：(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，
从7人中随机抽取2人，共有21种，分别为：
(A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，
(C ，a)，(C ，b)，(C ，c)，(C ，d)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)， 同时在同一组的有：
(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d).共9种， 故抽取的两人恰好都在同一个组的概率93217
=
=P .
19.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是正方形，A 1B 1⊥A 1C 1.
(1)证明：AB 1⊥BC 1.
解析：(1)只需证明AB 1⊥BA 1，AB 1⊥A 1C 1，即可得AB 1⊥平面BA 1C 1，AB 1⊥BC 1. 答案：(1)证明：如图，由ABB 1A 1是正方形得AB 1⊥BA 1， 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥A 1C 1，又AA 1∩A 1B 1=A 1， ∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，且AB 1?平面ABB 1A 1， 故AB 1⊥A 1C 1，且BA 1∩A 1C 1=A 1，
故AB 1⊥平面BA 1C 1，且BC 1?平面BA 1C 1， ∴AB 1⊥BC 1.
(2)当三棱锥A-A 1B 1C 1的体积为2，AA 1=2时，求点C 到平面AB 1C 1的距离. 解析：(2)由三棱锥A-A 1B 1C 1的体积为2得211111122233??
?
????
?==AC AC .设点A 1到平面
AB 1C 1的距离为d ，由1132121??
? ???
?==
d d ，由对称性知点C 到平面AB 1C 1的距离.
答案：(2)∵三棱锥A-A 1B 1C 1的体积为2，得211111122233??
?
????
?==AC AC .
如图，设AB 1∩BA 1=O ，连接OC 1，则1==OC
设点A1到平面AB1C1的距离为d，
则
11
3
2
1
21
??
?
?
??
?==
d
d，
由对称性知：点C到平面AB1C1
的距离为
11
.
20.如图，A，B是椭圆C：
2
21
4
+=
x
y长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP.
(1)求证：k BQ·k AQ=
1
4
-.
解析：(1)设Q(x1，y1)，由题意方程求出A，B的坐标，代入斜率公式即可证明k BQ·k AQ=
1
4
-. 答案：(1)证明：设Q(x1，y1)，
由椭圆C：
2
21
4
+=
x
y，得B(-2，0)，A(2，0)，
∴
2
1
2
111
22
1111
1
4
224
1
44
-
====-
+---
g g
BQ AQ
x
y y y
k k
x x x x
.
(2)若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标.
解析：(2)由(1)结合k AP=4k BQ，可得k AP·k AQ=-1，设P(x2，y2)，直线PQ：x=ty+m，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及k AP·k AQ=-1列式求得m值，则可证明直线PQ恒过定点，并求出定点坐标.
答案：(2)由(1)知：
111
444
1
==-=-
??
g g
BQ AP AP AQ AP AQ
k k k k k k.
设P(x2，y2)，直线PQ：x=ty+m，
代入x2+4y2=4，得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0，
∴
122
2
4
-
+=
+
mt
y y
t
，
2
122
4
4
-
=
+
m
y y
t
，
由k AP ·k AQ =-1得：(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0，
∴(t 2+1)y 1y 2+(m-2)t(y 1+y 2)+(m-2)2
=0，
∴(t 2+1)(m 2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t 2
+4)=0， ∴5m 2
-16m+12=0，解得m=2或m=65
. ∵m ≠2，∴m=
65
， ∴直线PQ ：x=ty+65，恒过定点(6
5
，0).
21.设函数f(x)=e x
-asinx.
(1)当a=1时，证明：?x ∈(0，+∞)，f(x)＞1.
解析：(1)求出函数的导数，根据函数的单调性怎么即可.
答案：(1)证明：由a=1知f(x)=e x
-sinx ，
当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)=e x
-cosx ≥0(当且仅当x=0时取等号)， 故f(x)在[0，+∞)上是增函数，
又f(0)=1，故?x ∈(0，+∞)，f(x)＞f(0)=1， 即：当a=1时，?x ∈(0，+∞)，f(x)＞1.
(2)若?x ∈[0，+∞)，f(x)≥0都成立，求实数a 的取值范围. 解析：(2)设y 1=e x
与y 2=asinx 在点(x 0，y 0)处有公切线(x 0∈(0，2π
))，求出a 的范围即可. 答案：(2)当a=0时，f(x)=e x
，符合条件；
当a ＞0时，设y 1=e x
与y 2=asinx 在点(x 0，y 0)处有公切线(x 0∈(0，
2
π
))， 则0000
sin cos ?=??=??x x e a x e a x ，?tanx 0=1，?x 0=4π?4πe ，
故0＜a 4π
e ；
当a ＜0时，设y 1=e x
与y 2=asinx 在点(x 0，y 0)处有公切线(x 0∈(π，32
π
))， 同法可得54
πe
≤a ＜0；
综上所述，实数a 的取值范围是[54
πe 4π
e ].
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ
=4cosθ，直线l的参数方程为
3
2
5
4
1
5
?
=-+
??
?
?=+
??
x t
y t
(t为参数).
(1)求直线l和圆C的直角坐标方程.
解析：(1)直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程，圆C的极坐标方程转化为ρ2=4ρcosθ，由此能求出圆C的直角坐标方程.
答案：(1)∵直线l的参数方程为
3
2
5
4
1
5
?
=-+
??
?
?=+
??
x t
y t
(t为参数).
∴直线l的直角坐标方程为y-1=
4
3
-(x-2)，即4x+3y-11=0，
∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.
(2)设点P(2，1)，直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.
解析：(2)把直线的参数方程代入x2+y2-4x=0，得t2+8
5
t-3=0，由此能求出|PA|·|PB|.
答案：(2)将
3
2
5
4
1
5
?
=-+
??
?
?=+
??
x t
y t
代入x2+y2-4x=0，
整理得：t2+8
5
t-3=0，
∴|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1·t2|=3.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)＞x+5.
解析：(1)去掉绝对值，求出不等式的解集即可.
答案：(1)f(x)＞x+5?|2x+1|＞x+5，?2x+1＞x+5或2x+1＜-x-5，∴解集为{x|x＞4或x＜-2}.
(2)若对于任意x，y∈R，有|x-3y-1|＜1
4
，|2y+1|＜
1
6
，求证：f(x)＜1.
解析：(2)根据绝对值不等式的性质证明即可.
答案：(2)证明：f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x-3y-1|+3|2y+1|＜23
46
=1.