第2讲 数列求和及综合应用
数列求和问题(综合型)
[典型例题]
命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n
＝na 1＋
n （n －1）2
d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ）
2
.
(2)等比数列：S n ＝????
?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q
＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)．
4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)．
(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2
.
(3)12＋22＋32＋…＋n 2
＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．
(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14
n 2(n ＋1)2
.
已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3
，n ∈N *
.
(1)求证：数列????
??
1a n 为等差数列；
(2)设T 2n ＝
1
a 1a 2－
1
a 2a 3＋
1
a 3a 4－
1
a 4a 5
＋…＋
1
a 2n －1a 2n －
1
a 2n a 2n ＋1
，求T 2n .
【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2
3
， 所以
1
a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列????
??1a n 是首项为1，公差为2
3的等差数列．
(2)设b n ＝
1
a 2n －1a 2n －
1
a 2n a 2n ＋1
＝?
???
?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n
，
由(1)得，数列????
??1a n 是公差为2
3的等差数列，
所以
1
a 2n －1
－
1
a 2n ＋1＝－43，即
b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ，
所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16
9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20
9
，
所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16
9的等差数列，
所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－
209n ＋n （n －1）2×? ??
??－169＝－49(2n 2
＋3n )．
求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝
n （a 1＋a n ）
2
或S n ＝na 1＋
n （n －1）
2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q
，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．
命题角度二 分组转化法求和
将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．
已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *
，且不等式ax 2
－3x ＋2<0的解集为(1，
d )．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若b n ＝3a
n ＋a n －1，n ∈N *
，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)易知a ≠0，由题设可知?????1＋d ＝3a
，1·d ＝2
a ，
解得?
????a ＝1，
d ＝2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝3
2n －1
＋2n －1－1，
则T n ＝(3＋1)＋(33
＋3)＋…＋(32n －1
＋2n －1)－n
＝(31
＋33
＋…＋3
2n －1
)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n
＝31（1－9n
）1－9＋（1＋2n －1）n 2－n
＝38
(9n －1)＋n 2
－n .
(1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组．②根据正号、负号分组．
命题角度三 裂项相消法求和
把数列的通项公式拆成两项之差的形式，求和时正负项相消，只剩下首尾若干项，达到化简求和的目的．
常见的裂项式有：1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ????12n －1－12n ＋1，1n （n ＋1）（n ＋2）＝12??????1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2），
1n ＋1＋n
＝n ＋1－n 等．
(2018·唐山模拟)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n ＝38
(32n －1)，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a n n
，求
1
b 1b 2＋
1
b 2b 3
＋…＋
1
b n b n ＋1
.
【解】 (1)1a 1＝38
(32
－1)＝3，
当n ≥2时，因为
n a n ＝? ????1a 1＋2
a 2＋…＋n a n －? ??
??1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1
＝38(32n －1)－38(32n －2－1)＝32n －1
. 当n ＝1，n
a n
＝3
2n －1
也成立，
所以a n ＝n
3
2n －1.
(2)b n ＝log 3a n n
＝－(2n －1)， 因为1b n b n ＋1
＝
1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ????12n －1－12n ＋1，
所以
1
b 1b 2＋
1
b 2b 3
＋…＋
1
b n b n ＋1
＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1
＝
n 2n ＋1
.
(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
命题角度四 错位相减法求和
已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和S n 时，先令
S n 乘以等比数列{b n }的公比，再错开位置，把两个等式相减，从而求出S n .
(2018·石家庄质量检测(一))已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋1
2
n . (1)设b n ＝a n
n
，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由a n ＋1＝
n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1
2n
， 又b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝1
2
n ，
由a 1＝1，得b 1＝1，
累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋1
2n －1，
即b n －b 1＝12? ?
???1－12n －11－12＝1－1
2n －1，
所以b n ＝2－1
2
n －1.
(2)由(1)可知a n ＝2n －n
2n －1，设数列????
??
n 2n －1的前n 项和为T n ，
则T n ＝120＋221＋322＋…＋n
2n －1①，
12T n ＝121＋222＋323＋…＋n
2
n ②， ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－1
2n
1－12－n 2n ＝2－n ＋2
2
n ，
所以T n ＝4－
n ＋2
2
n －1
.
易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， 所以S n ＝n (n ＋1)－4＋
n ＋2
2
n －1
.
(1)求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．
(2)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号，学生常在此步出错，一定要小心．
命题角度五 并项求和
并项求和法：把数列的一些项合并成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和．
数列{a n }满足a n ＋1＝? ??
??2?
?????
sin
n π2－1a n ＋2n ，n ∈N *，则数列{a n }的前100项和为( ) A ．5 050 B ．5 100 C ．9 800
D ．9 850
【解析】 设k ∈N *
，
当n ＝2k 时，a 2k ＋1＝－a 2k ＋4k ，即a 2k ＋1＋a 2k ＝4k ，① 当n ＝2k －1时，a 2k ＝a 2k －1＋4k －2，② 联立①②可得，a 2k ＋1＋a 2k －1＝2， 所以数列{a n }的前100项和
S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100
＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)
＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋[(－a 3＋4)＋(－a 5＋4×2)＋(－a 7＋4×3)＋…＋(－a 101＋4×50)]
＝25×2＋[－(a 3＋a 5＋…＋a 101)＋4×(1＋2＋3＋…＋50)] ＝25×2－25×2＋4×50（1＋50）
2
＝5 100. 故选B. 【答案】
B
(1)将一个数列分成若干段，然后各段分别利用等差(比)数列的前n 项和的公式及错位相减法进行求和．利用并项求和法求解问题的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n
”．
(2)运用分类讨论法求数列的前n 项和的突破口：一是对分类讨论的“度”的把控，如本题，因为?
??
?
??
sin
n π2可以等于1，也可以等于0，因此分类的“度”可定位到“n 分为奇数与偶数”，有些含绝对值的数列，其分类的“度”需在零点处下功夫；二是对各类分法做到不重不漏，解题的思路就能顺畅．
[对点训练]
(2018·郑州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＝5，且a 1，a 2，a 5为递增的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；n
2
(2)若数列{b n }的通项公式b n ＝?????a n ＋12
，n ＝2k －1，
2n 2－1
，n ＝2k
(k ∈N *
)，求数列{b n
}的前n 项和
S n .
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，易知d ≠0， 由题意得，(a 3－2d )(a 3＋2d )＝(a 3－d )2
， 即d 2
－2d ＝0，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)当n ＝2k ，k ∈N *
时，
S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝(a 1＋a 2＋…＋a k )＋(20＋
21
＋…＋2
k －1
)＝
k （1＋2k －1）2
＋
1－2k
1－2
＝k 2＋2k
－1＝n 2
4
＋2n
2－1；
当n ＝2k －1，k ∈N *
时，n ＋1＝2k ，
则S n ＝S n ＋1－b n ＋1＝（n ＋1）2
4＋2n ＋12－1－2n ＋12－1＝n 2＋2n －3
4
＋2n －12.
综上，S n
＝???n 2
4＋2n
2－1，n ＝2k ，
n 2
＋2n －3
4＋2n －1
2，n ＝2k －1
(k ∈N *
)．
数列与其他知识的交汇问题(综合型)
[典型例题
]
命题角度一 数列与不等式相交汇
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *
，且a 2＝3，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝
1
S n ·S n ＋1
，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.
【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 2＝3，S 5＝25，所以?
???
?a 1＋d ＝3，5（2a 1＋4d ）2＝25，
解得???
??a 1＝1，d ＝2，
所以a n ＝2n －1.
(2)证明：由(1)知，a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）
2
＝n 2
.
所以b n ＝
1
n 2·（n ＋1）
2
＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
.
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋
1 ＝1－
1
n ＋1
<1.
证明数列不等式的关键：一是会灵活运用等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式以及裂项相消法；二是会利用放缩法证明不等式．
命题角度二 数列与函数相交汇
(2018·长沙模拟)设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ?
??
??n ，S n n 在函数f (x )＝－x
＋c 的图象上运动，其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝aa n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．
【解】 (1)因为点A n ?
??
??
n ，S n n
在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n
＝－n ＋c ，所
以S n ＝－n 2
＋cn .
因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2
＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ≥1)．
(2)由(1)知，b n ＝aa n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5， 所以T n ＝
n （b 1＋b n ）
2
＝2n 2
－3n .
所以T n 的最小值是T 1＝－1.
数列与函数交汇问题的常见类型及解法
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．
[对点训练]
已知正项数列{a n }，{b n }满足：对于任意的n ∈N *
，都有点(n ，b n )在直线y ＝2
2
(x ＋2)上，且b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，a 1＝3.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，如果对任意的n ∈N *
，不等式2aS n <2－b n a n
恒成立，求实数a
的取值范围．
解：(1)因为点(n ，b n )在直线y ＝
2
2
(x ＋2)上， 所以b n ＝22(n ＋2)，即b n ＝（n ＋2）
2
2.
又因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，
所以a 2
n ＋1＝b n ·b n ＋1＝（n ＋2）2（n ＋3）
2
4
，
所以a n ＋1＝（n ＋2）（n ＋3）2，所以n ≥2时，a n ＝（n ＋1）（n ＋2）
2
，
a 1＝3适合上式，所以a n ＝
（n ＋1）（n ＋2）
2
.
(2)由(1)知，1
a n
＝
2（n ＋1）（n ＋2）＝2? ??
??1n ＋1－1n ＋2，
所以S n ＝2????
?
?? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1n ＋1－1n ＋2
＝2? ???
?1
2－1n ＋2＝n n ＋2. 故2aS n <2－b n a n
可化为：
2an n ＋2<2－（n ＋2）
2
2（n ＋1）（n ＋2）2＝2－n ＋2n ＋1＝n
n ＋1
， 即a ??1＋1n ＋1对任意的n ∈N * 恒成立， 令f (n )＝12? ????1＋1n ＋1，显然f (n )随n 的增大而减小，且f (n )>12恒成立， 故a ≤12 . 综上知，实数a 的取值范围是? ????－∞，12 . [A 组 夯基保分专练] 一、选择题 1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( ) A.140 3 B ．60 C ．80 D ．160 解析：选C.a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3 ＋q 6 ＋…＋q 84 )＝a 1q 2 ×1－（q 3 ）29 1－q 3＝q 2 1＋q ＋q 2 ×a 1（1－q 87）1－q ＝4 7 ×140＝80.故选C. 2．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝? ????a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( ) A ．1 121 B ．1 122 C ．1 123 D ．1 124 解析：选C.由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210 ）1－2＋10×1＋10×9 2×2 ＝1 123.选C. 3．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N * )，数列?? ?? ??1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( ) A.110 B.15 C.111 D. 211 解析：选C.因为2a 1＋22 a 2＋ (2) a n ＝n (n ∈N * )， 所以2a 1＋22 a 2＋…＋2 n －1 a n －1＝n －1(n ≥2)， 两式相减得2n a n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ， 故 1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1 ， S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ， 所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝1 11 ，故选C. 4．(2018·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N * )在函数y ＝3×2 x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N * )，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n >a n D ．T n 解析：选D.因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N * )在函数y ＝3×2x 的图象上，所以S n ＝3·2n －3，所以a n ＝3·2 n －1 ，所以b n ＋b n ＋1＝3·2 n －1 ，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋ b 1q ＝3，b 2＋b 2q ＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n －1，所以T n 5．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N * 都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ， 则实数t 的取值范围为( ) A ．(1 3 ，＋∞) B ．[1 3 ，＋∞) C ．(2 3，＋∞) D ．[2 3 ，＋∞) 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 2 2 （n －1）2＝2n 2－(n －1) 2＝22n －1 ，又a 1＝ 21＝2 2×1－1 ，因此a n ＝2 2n －1 ，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，1 4 为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )＜23，因此实数t 的取值范围是[2 3 ，＋∞)，故选D. 6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( ) A ．3 971 B ．3 972 C ．3 973 D ．3 974 解析：选B.由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有 n （n ＋1） 2 个数．由于 2 016＝ 63×（63＋1） 2 <2 018<64×（64＋1）2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后 一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是 n 2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970， 第2个数为3 972.故选B. 二、填空题 7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N * )且a 1＝5，则a 8＝________． 解析：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，令m ＝1，则S n ＋1＝ S n ＋S 1＝S n ＋5，即S n ＋1－S n ＝5，所以a n ＋1＝5，所以a 8＝5. 答案：5 8．(2018·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36， 与a 4a 6＝275，联立，解得?????a 4＝11，a 6＝25或? ????a 4＝25， a 6＝11， 当?????a 4＝11，a 6＝25时，可得? ????a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时， a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值； 当?????a 4＝25，a 6＝11时，可得? ????a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－12 9．(2018·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10 …… 记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若 S n ＝2b n －1，则a 56＝________． 解析：当n ≥2时，因为S n ＝2b n －1，所以S n －1＝2b n －1－1，所以b n ＝2b n －2b n －1，所以 b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，因为b 1＝2b 1－1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为 2的等比数列，所以b n ＝2 n －1 . 设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3 －c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，所以c n ＝n （n －1） 2 ＋1，由c n ＝ n （n －1） 2 ＋1＝56，得n ＝11，所以a 56＝b 11＝2 10 ＝1 024. 答案：1 024 三、解答题 10．(2018·高考天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N * )；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N * )．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6. (1)求S n 和T n ； (2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值． 解：(1)设等比数列{b n }的公比为q .由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2 －q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1 . 所以，T n ＝1－2n 1－2 ＝2n －1. 设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6， 可得3a 1＋13d ＝16， 从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n . 所以，S n ＝ n （n ＋1） 2 . (2)由(1)，有 T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21 ＋22 ＋ (2) )－n ＝2×（1－2n ）1－2 －n ＝2n ＋1 －n －2. 由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得 n （n ＋1） 2 ＋2 n ＋1 －n －2＝n ＋2 n ＋1 ， 整理得n 2 －3n －4＝0， 解得n ＝－1(舍)，或n ＝4. 所以，n 的值为4. 11．(2018·陕西教学质量检测(一))已知在递增的等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3是a 1和 a 9的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1 （n ＋1）a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S 100的值． 解：(1)设公差为d (d >0)， 则a n ＝a 1＋(n －1)d . 因为a 3是a 1和a 9的等比中项， 所以a 2 3＝a 1a 9， 即(2＋2d )2 ＝2(2＋8d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n . (2)由(1)得b n ＝ 1（n ＋1）a n ＝12n （n ＋1）＝12? ?? ??1 n －1n ＋1， 所以S 100＝b 1＋b 2＋…＋b 100＝12×(1－12＋12－13＋…＋1100－1101)＝12×? ? ???1－1101＝50101. 12．(2018·兰州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足：b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N * )． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ， 因为a 2＝2，a 3＋a 5＝8， 所以2＋d ＋2＋3d ＝8， 所以d ＝1，所以a n ＝n . 因为b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N * )，① 所以b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．② ①－②得，b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N * ，n ≥2)， 所以b n ＋1＝2b n (n ∈N * ，n ≥2)． 因为b 1＝2，b 2＝2b 1， 所以{b n }为等比数列，b 1＝2，q ＝2， 所以b n ＝2n . (2)因为c n ＝a n b n ＝n 2 n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2 n ＋1， 两式相减，得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1， 所以T n ＝2－ n ＋2 2 n . [B 组 大题增分专练] 1．(2018·昆明模拟)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝???? ?1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和． 解：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2， 所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列． 故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n ＋1. (2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝? ????2n ＋1，n 为偶数， 2n －1，n 为奇数， 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100 ＋1)＝2＋22 ＋23 ＋…＋2100 ＝2101 －2. 2．(2018·惠州第一次调研)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1，且数列{ b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1 n ＋9，求数列{a n }的公差． 解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 2 4＝a 1·a 8， 即(a 1＋3d )2 ＝a 1·(a 1＋7d )，得a 1＝9d . 由数列{a n }的前10项和为45得10a 1＋45d ＝45， 即90d ＋45d ＝45， 所以d ＝1 3 ，a 1＝3. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋8 3. (2)因为b n ＝ 1 a n a n ＋1＝1d ? ????1 a n －1a n ＋1， 所以数列{ b n }的前n 项和T n ＝1d [? ????1a 1－1a 2＋? ????1a 2－1a 3＋…＋? ????1a n －1a n ＋1]＝1d ? ?? ? ?1a 1－1a n ＋1， 即T n ＝1d ? ????1a 1 － 1a 1＋nd ＝1d ? ?? ?? 19d －19d ＋nd ＝ 1d 2? ????19－ 19＋n ＝19－1 9＋n ， 因此1 d 2＝1，解得d ＝－1或1. 故数列{a n }的公差为－1或1. 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1＝1，且a 2 ＝b 3，S 3＝6b 2，n ∈N * . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)数列{c n }满足c n ＝b n ＋(－1)n a n ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{ b n }的公比为q . 因为a 1＝2，b 1＝1，且a 2＝b 3，S 3＝6b 2， 所以?????2＋d ＝q 2，3（2＋2＋2d ）2＝6q .解得?????d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，b n ＝2n －1 . (2)由题意：c n ＝b n ＋(－1)n a n ＝2n －1 ＋(－1)n 2n . 所以T n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n 2n ]， ①若n 为偶数： T n ＝1－2n 1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]} ＝2n －1＋n 2×2＝2n ＋n －1. ②若n 为奇数： T n ＝1－2n 1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －2)＋2(n －1)]－2n } ＝2n －1＋2× n －1 2 －2n ＝2n －n －2. 所以T n ＝? ????2n ＋n －1，n 为偶数， 2n －n －2，n 为奇数. 4．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N * . (1)证明：{a n －n }为等比数列； (2)数列{c n }满足c n ＝a n －n （b n ＋1）（b n ＋1＋1），求证数列{c n }的前n 项和T n <1 3 . 证明：(1)因为a n ＋1＝2a n －n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )． 又a 1＝3，所以a 1－1＝2， 所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n －n ＝2·2 n －1 ＝2n . 所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ， 即b n ＋1－b n ＝2n . b 2－b 1＝21， b 3－b 2＝22， b 4－b 3＝23， … b n －b n －1＝2n －1. 以上式子相加，得b n ＝2＋ 2·（1－2 n －1 ）1－2＝2n (n ≥2)． 当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ， 所以b n ＝2n . 所以c n ＝a n －n （b n ＋1）（b n ＋1＋1）＝2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－1 2n ＋1 ＋1 . 所以T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1<1 3 . 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * . (1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1， 高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握 高考数学数列专题练习 一. 选择题 1．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2=（ ） (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10 2．（，全国3，3）设数列{}n a 是等差数列，26,a =- 86a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A.S 4＜S 5 B.S 4＝S 5 C.S 6＜S 5 D.S 6＝S 5 3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A81 B1 C168 D192 4．设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若a a 35=95，则S S 5 9=( ) A 1 B －1 C 2 D 21 5．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前等于（ ） A ．160 B ．180 C ． D ．2．已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．已知数列{n a }的前n 项和 ),,2,1]()2 1)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列 C ．}{,n n n n x y x a 其中?=为等差数列，{n y }都为等比数列 D ．}{,n n n n x y x a 其中?=和{n y }都为等比数列 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题． （重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法. 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)， 高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S 5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 2018届高三第二轮复习——数列 第1讲等差、等比考点 【高 考 感 悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 (1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2. (3)等比数列通项公式：a n a 1q n － 1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝?????na 1 （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）. (5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝?????S 1（n ＝1） S n －S n －1 （n ≥2）. 2．重要性质 (1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n － m . (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1 ＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒 (1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab . 【 真 题 体 验 】 1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1 8 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________． 4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 【考 点 突 破 】 考点一、等差（比）的基本运算 1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9 2 . (1)求{a n }的通项公式； (2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b =上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列
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