上海市2021-2021学年高二数学9月月考试题（含解析）
一.填空题
1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】
“0x <”? “x a <”,但是“x a <”?“0x <”，即可求解.
【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。 【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题
2.函数0(2)()lg(3)1
x f x x x -=-++的定义域是________
【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】
结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
【详解】解：3020310x x x x ->??
-≠?>??+≠?
，故原函数定义域为(3,)+∞.
【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。
3.已知向量(2,1)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________ 【答案】25
- 【解析】 【分析】
a 在向量
b 方向上的投影为
a b b
，即可求解.
【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为642
cos ,55
a b a b a a b a
a b
b
-+<>==
=
=- 【点睛】a 在向量b 方向上的投影a b b
， b 在向量a 方向上的投影
a b a
，可以直接使用，基
础题。
4.已知点P 是
直线12PP 上一点，且121
3
PP PP =-，若212
P P PP λ=，则实数λ=________ 【答案】23
- 【解析】 【分析】
利用向量的三角形加法法则，即可求解。
【详解】解：1
213
PP PP =-?122213PP PP PP PP +=-+?12223PP PP =?21223
P P PP =- 故：λ=23
-
【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。
5.已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，且它们的夹角为120°，则向量2a b +与向量a 夹角的大小为________
【答案】π- 【解析】 【分析】
根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。 【详解】解：()
()2
2
2
2224cos120413a b a b a
a b b
+=
+=
++=
(
)
2
1121222cos1202cos 2,131312a b a a a b a b a a b a
??
+- ?++?<+>===
=-+
又∵ 向量夹角的范围为[]0,π ，∴向量2a b +与向量a
夹角的大小为π- 【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。
6.已知正方形ABCD 中，M 是BC 的
中点，AC AM BD λμ=+，则λμ+=________
【答案】
53
【解析】 【分析】
找一组基向量分别表示出,,AC AM BD ，再用待定系数法即可求得。
【详解】解：令,,AB a AD b ==则1
,,=2
AC a b AM a b BD b a =+=+-，
有∵AC AM BD λμ=+，∴11+=+22
a b a b b a a b λ
μλμλμ+=+--（）（）()+()， ∴=11+=12λμλμ-??
??? 解得：4
=31=3
λμ???????
∴5
+=
3
λμ 【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．
7.已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n，n ＋1)，n∈N *
，则n= . 【答案】2 【解析】 【分析】
把要求零点函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，
对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1
在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.
考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．
8.若a 、b 是函数2
()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、4
-适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p q +=________ 【答案】26 【解析】 【分析】
a ，
b 是函数f （x ）＝x 2?px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，可得a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p
＞0，q ＞0，△＝p 2?4q ＞0．不妨设a ＜b ．由于a ，b ，?4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得?4，a ，b 或b ，a ，?4成等差数列，a ，?4，b 或b ，?4，a 成等比数列，即可得出．
【详解】解：∵a ，b 是函数f （x ）＝x 2?px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点， ∴a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p ＞0，q ＞0，△＝p 2?4q ＞0． 不妨设a ＜b ．
由于a ，b ，?4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴?4，a ，b 或b ，a ，?4成等差数列，a ，?4，b 或b ，?4，a 成等比数列， ∴b ?4＝2a ，ab ＝（?4）2
， 解得a ＝2，b ＝8． ∴p ＝10，q ＝16． 满足△≥0． 则p ＋q ＝26． 故选：C ．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.若将函数()cos()8
f x x π
ω=-
（0>ω）的图像向左平移
12
π
个单位后，所得图像对应的函
数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】
3
2
【解析】 【分析】
由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128
x x ωπ
π
ω=+
-，因为g()x 为偶函数，所以=,12
8
k k Z ωπ
π
π-
∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．
【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8
f x x π
ωω=-
>的图象向左平移
12
π
个单位后，所得图
象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω?
?=-=-????
因为g()x 为偶函数， 所以
3
=,12,12
82
k k Z k k Z ωπ
π
πω-
∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为
3
2
，
故答案为：
32
． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．
10.若数列{}n a 满足110a =，11810n n a a n +=++（*n ∈N ），记[]x 表示不超过实数x 的最大
整数，则n →∞
=________ 【答案】
1
6
【解析】 【分析】
由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入n →∞
求得答案． 【详解】解：由11810n n a a n +=++，得110a =， 又110a =，
∴2118110a a -=?+，
3218210a a -=?+，
…
118(1)10n n a a n --=-+，
累加得：[]2118(1)
1812(1)10(1)1092
n n n a a n n n n n ?-=+++
+-+-=+
=+．
3n ==
=
则1
6n n →∞
→∞
== 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，???，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一
列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么2222
123n
n
a a a a a +++???+（3n ≥）是斐波那
契数列的第________项 【答案】1n + 【解析】 【分析】
利用21n n n a a a ++=+，结合叠加法，即可得出结论． 【详解】解：∵21n n n a a a ++=+， ∴2
111()n n n n n n n n a a a a a a a a +--=+=+，
2
1121112()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=+=+，
…
232221a a a a a =+，
∴22
221121n n n n a a a a a a +-=++
++，
∴
222
21231n
n n
a a a a a a +++++=
故答案为：1n +．
【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．
12.已知数列{}n a 满足*
(,01)n n a n k n N k =?∈<<，给出下列命题：
①当1
2
k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当
1
12
k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当1
02
k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当
k
1k
-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项. 请写出正确的命题的序号__________． 【答案】③④ 【解析】
分析：由于()()1
111n n n n n k
n k a a n k n
+++?+==?，再根据k 的条件讨论即可得出. 详解：①当12k =时，12n
n a n ??=? ???
，()1
1111
2212n n n n n a n a n
n ++??
+? ?
+??∴
==
??? ???
，当1n =时，12a a =，因此数列{}n a 不是递减数列，故①不正确；
②当1
12k <<时，()()1
111n n n
n n k n k
a a n k n
+++?+?∴=
=
?，由于
()11
1122n k k k n n
+<<<+< 因此数列{}n a 一定有最大项，故②不正确；
③当1
02k <<时，()()1
11111
2n n n
n n k n k a n a n k n
n
+++?+?+∴=
=
<≤?，1n n a a +∴<，因此数列{}
n a 为递减数列，正确；
④当k
1k -为正整数时，
()()1
1111
n n n
n n k n k a a n k n
+++?+?===?，因此数列{}n a 必有两项相等的
最大项，故正确. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.
点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
二.选择题
13.若0x >，则函数1
21
y x x =++的最小值为（）
1
2
1
2
1
1
【答案】B 【解析】 分析】
构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。
【详解】∵0x >
，∴1
1111
2
=121222
2
y x x x x =+
++-≥++（当且仅当112=122x x ++时，
即x 时，取“=”），故选B. 【点睛】本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．
14.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足190S >，200S <，则11S a 、22S a 、3
3
S a 、???、1919S a 中，
最大项为（）
A. 1
1
S a
B. 99S a
C. 1100
S a
D. 1111
S a
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件得到此数列为递减数列，再根据符号确定
110
S a 最大 【详解】解：由119191019()
1902
a a S a +=
=>，得到100a >；
由12020101120()
10()02
a a S a a +=
=+<，得到110a <，
∴等差数列{a n }为递减数列． 则1210,,
,a a a 为正，1112,,a a 为负；1219,,,S S S 为正，2021,,
S S 为负，
则19
1112
1112
19
0,0,,
0,S S S a a a <<< 又10910S S S >>>>，12100a a a >>
>>，得到
109
1
109
1
0,S S S a a a >>>
>，则1100S a 最大．
故选：C ．
【点睛】此题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．
15.已知在△ABC 中，2AB =，AC =，则△ABC 的面积的最大值为（）
A. B. 2
C.
【答案】C 【解析】 【分析】
设BC a =，则AC =，利用余弦定理可求得22
211
cos 162
a B a =+-，再利用三角形的面
积公式可求得sin ABC
S a B =，继而可求22
21(12)816
ABC S a =-
-+，从而可得△ABC 面积的最大值．
【详解】解：依题意，设BC a =，则AC =，又2AB =，
由余弦定理得：222)2cos a AB a AB B =+-， 即24cos 40a a B +-=
∴241cos ,44a a
B a a -==-
∴22
211
cos ,162
a B a =+-
∴22
2
231
sin 1cos ,216a B B a
=-=--
∵11
sin 2sin sin 22
ABC
S
AB BC B a B a B =
=?= ∴222
2
2
2222311
sin ()(12)821616
ABC
a S
a B a a a ==--=--+
当212a =时，即a = 2、
∴2
max 8S =
∴max S =故选： C ．
【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得22
21(12)816
ABC
S a =-
-+是关键，也是难点，属于难题．
16.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，
a ⊥c ，|a |=|c |，则|
b ?
c |的值一定等于 （ ）
A. 以a ，b 为邻边的平行四边形的面积
B. 以b ，c 为两边的三角形面积
C. a ，b 为两边的三角形面积
D. 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 【答案】A 【解析】
【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ?|=||b |?|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |co sθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于1
2
BOA S ?=
|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A
三.解答题
17.已知2{|2cos 3cos 10,}A αααα=-+≤∈R ，sin {|21,}B ααα=>∈R . （1）求集合A
B ；
（2）若对任意的x A B ∈，都有cos24sin()sin()04242
x x
x m ππ-+-+>恒成立，求m 的取
值范围.
【答案】（1）{|22,}3
A B k k k π
απαπ=<≤+
∈Z ；（2）3
2
m >
【解析】 【分析】
（1）求出集合A B 、的α的取值范围，再取交集即可。 （2）问题转化为对任意的x A
B ∈，[]min 12cos (cos 1)m x x -<-，即可求解。
【详解】解：（1）依题意：∵{|(2cos 1)(cos 1)0,}A αααα=--≤∈R
∴1
{|
cos 1,}2
A ααα=≤≤∈R ，即{|22,}33A k k k Z ππαπαπ=-+≤≤+∈,
同理{|22,}B k k απαππα=<<+∈R ，故{|22,}3
A B k k k π
απαπ=<≤+
∈Z
（2）∵cos24sin(
)sin()04242x x
x m π
π-+-+>， ?cos24sin()cos()04242
x x
x m ππ-+++>，
?cos22sin(
)02
x x m π
-++>，
?22cos 2cos 1x x m ->-，
?2cos (cos 1)1x x m ->-对任意的x A B ∈恒成立，
即对任意的x A
B ∈，[]min 12cos (cos 1)m x x -<-恒成立，
当x A B ∈时，1cos ,12
x ??
∈????
，当1
cos 2x =时，2cos (cos 1)x x -取得最小值12
-，故1
12
m -<-，即32m >。
【点睛】本题考查了集合运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．
18.已知数列{}n a 的前n 项和为2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求311
n
n n a c b =
-的最大项的值，并指出是第几项.
【答案】（1）31n b n =+；（2）87
2
，是第四项 【解析】 【分析】
(1)运用111,n a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，可得n a ，再由等差数列的通项公式可得
n b 的通项；
(2)311n n n a c b =-=
256103
n +-,当4n =时,n c 取得最大值872
. 【详解】(1)当1n =时,111a =；
当2n ≥时,()()2
2138318165n n n a S S n n n n n -=-=+----=+； 而65n a n =+，对1n =也成立，所以65n a n =+． 又因为{}n b 是等差数列,设首项为1b ,公差为d ,
则由1n n n a b b +=+得()()1:6522n d n b d +=+-,且该等式恒成立；
所以12625
d b d ?=?
-=?,解得14
3
b d =??
=?；
所以31;n b n =+
法二:当1n =时,1211;b d =-当2n =时,2217b d =-,解得3d =；
所以数列{}n b 的通项公式为312
n n a d
b n -=
=+. (2)311n n n a c b =-=()()3653111n n ++-=
256103
n +-,所以当4n =的时候取得最大值87
2
. 【点睛】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一
年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列{}n a ，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
【
答
案】（1）见解析，
*
*21120,22021,n n n n N a n n N ?-+≤≤∈?=??≥∈?，
，,1**3214,26.755,n n n n N b n n N -????≤≤∈? ?=????≥∈?
，，；（2）2029年累计
发放汽车牌照超过200万张． 【解析】 【分析】
（1）利用2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照按每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型车的牌照的数量维持在这一年水平不变，即可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得216843200444
n n -+-≥，即可得出结论． 【详解】
（1）
当120n ≤≤且*n N ∈，()()211010.522
n n a n =+-?-=-+； 当21n ≥且*n N ∈，0n a =，
**21
120,22021,n n n n N a n n N ?-+≤≤∈?=??≥∈?，
，
，
而4415.2515a b +=>，∴1
**
3214,26.755,n n n n N b n n N -????≤≤∈? ?=????≥∈?
，
，;
（2）当4n =时，()()1234123453.25n S a a a a b b b b =+++++++=， 当520n ≤≤时，()()1212345n n n S a a a b b b b b b =++?+++++++?+
()()432121110 6.75432212
n n n n ??
??-??
???-??????=+?-++- ???-
216843444
n n =-+-
由200n S ≥
得216843
200444
n n -+
-≥，即2688430n n -+≤，得3416.3020n -≈≤≤，
到2029年累计发放汽车牌照超过200万张． 考点：数列的实际应用．
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，2n n S n na +=（*n ∈N ）. （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12335(21)23n
n n b b b n b a +++???+-=?+，求证：数列{}n b 是等比数列；
（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：11c a =，223c a a =+，34567c a a a a =+++，
???，1112212221n n n n n c a a a a ---++-=+++???+，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim 4n n
n T →∞的值.
【答案】（1）详见解析，23n a n =-；（2）12n n b -=；（3）1
【解析】 【分析】
（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；
（2）通过12335(21)23n
n n b b b n b a +++???+-=?+与
123135(23)n b b b n b -+++???+-1123n n a --=?+作差，进而计算即得结论；
（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论． 【详解】（1）解：当1n =时，由1121S a +=，得11a =-； 由2120S a a =+=，得21a =；
当3n =时，由33323233S a a +=+=，得33a =； 当4n =时，由444242104S a a +=+=，得45a =； 猜想：23()n a n n N *
=-∈． 下面用数学归纳法证明：
①当2n =时， 21a =，结论显然成立； ②假设当2n k =≥时，23k a k =-， 由条件知2n n S na n =-， 故11222k k k a S S ++=-
＝()()111k k k a k ka k ++-+--???? ＝()111k k k a ka ++--，
于是()()()111(23)1121k k k a ka k k k k +-=+=-+=--， 从而12(1)3k a k +=+-，
故数列{}n a 的通项公式为：23()n a n n N *
=-∈；
（2）证明：当1n =时，11231b a =+=，当2n ≥时，由条件得
(21)n n b -＝[]12335(21)n b b b n b +++???+--[]123135(23)n b b b n b -+++???+-
()()112323n n n n a a --=?+-?+()()1223225n n n n -=---()1221n n -=-
从而12n n
b -=，
故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列； （3）解：由题意，得
1112212221n n n n n c a a a a ---++-=+++???+
()()()()()111223221221227225n n n n n ---=-+-++++-+-
()()111222322534224
n n n
n n --+??-+-??=
=- 故232313
(4444)(222)4
n n n T +=
++++-+++
234(41)2(21)
44121
n n --=-
-- 4423n n =-+，
从而11lim
lim 14()3()1424n n n n n n T →∞→∞?
?=-+=????
. 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21.已知集合M 是具有下列性质的函数()f x 的全体，存在有序实数对(,)m n ，使
()()f m x f m x n +?-=对定义域内任意实数x 都成立.
（1）判断函数()2f x x =，()2x g x =是否属于集合M ，并说明理由； （2）若函数()1
x a
f x bx +=
-（0ab ≠，a 、b 为常数）具有反函数，且存在实数对(0,)k 使()f x M ∈，求实数a 、b 满足的关系式；
（3）若定义域为R 的函数()f x M ∈，存在满足条件的实数对(0,1)和(1,4)，当[0,1]x ∈时，()f x 值域为[1,2]，求当[0,2019]x ∈时函数()f x 的值域.
【答案】（1）()f x M ?，()g x M ∈；（2）1ab =；（3）2019
[1,2]
【解析】 【分析】
（1）根据已知中集合M 的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论； （2）假定()f x M ∈，求出的a b 、的关系；
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将x 用2x +代替，两等式结合得到函数的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．
【详解】解：（1）当()2f x x =时，22
()()2()2()4()f m x f m x m x m x m x -+=-+=-
不是常数，所以()2f x x M =?； 当 ()2x g x =时，2()()2
22m x
m x m g m x g m x -+-+==，故存在有序实数对()0,1，
使得(0)(0)1g x g x -+=对定义域内的任意实数都成立．故()g x M ∈．
（2）因为()1
x a
f x M bx +=
∈-， 所以()2
2222
()()()1()1(1)m a x m x a m x a
f m x f m x n b m x b m x bm b x
+-++-++-===+-----对定义域内的任意实数都成立，∴()()
222
11b n m a n bm ?=??+=-??， ∴2
21()()m a m b +=-， ∴1
a b
=±
． 当1a b
=-时，1
1()1x b f x bx b -
==-，此时()f x 无反函数， 当1a b =时，2()1
b x b f x bx +=-存在反函数符合题意．
故1a b
=
．
（3）依题意得()()1f x f x -=且 (1)(1)4f x f x +-=， 在()()1f x f x -=中，则有1
()()
f x f x =
-， 当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈， 11(),1()2f x f x ??
=
∈??-??
， ∴[]1,1x ∈-时， 1(),22f x ??∈????
， 又∵(1)(1)4f x f x +-=则有()(2)4f x f x -=，即4
()(2)
f x f x =
-
故14
()(2)
f x f x =--，即4()(2)f x f x -=-，则有(2)4()f x f x +=， ∴[]1,3x ∈时，1
3
()2,2f x ??∈??，
[]3,5x ∈时，35()2,2f x ??∈??， []5,7x ∈时，57
()2,2f x ??∈??，
…
以此类推可知： []21,21x k k ∈-+时，21
21()2,2k k f x -+??∈??，
故[]2017,2019x ∈时， 2017
2019()2
,2f x ??∈??，
综上所述：[]0,2019x ∈时，2019
()1,2f x ??∈??．
【点睛】本题考查了反函数，属难题．