2019年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =I e（ ） A ．{1}- B ．{0，1} C ．{1-，2，3} D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．
2
B ．1
C ．2
D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??
--??+?
…
?…，则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．10
D ．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +?”是“4ab ?”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x
y a =
，1
1()2a
y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（ ）
7．设01a <<．随机变量X 的分布列是
X 0 a 1 P
1
3
13
13
A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大
8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32
,0,
()11(1),03
2x x f x x a x ax x
=?-++??g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ）
A ．1a <-，0b <
B ．1a <-，0b >
C ．1a >-，0b <
D ．1a >-，0b >
10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，2
1n n
a a
b +=+，*n N ∈，则（ ） A ．当12b =
时，1010a > B ．当1
4
b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．已知复数1
1z i
=
+，其中i 是虚数单位，则||z = ． 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则
m = ，r = ．
13．在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ． 14．在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则
BD = ，cos ABD ∠= ．
15．已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原
点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．
16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2
|(2)(
)|3
f t f t +-…，则实数a 的最大值是 ．
17．已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的最小值是 ，最大值是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（14分）设函数()sin f x x =，x R ∈．
（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+++的值域．
19．（15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，30BAC ∠=?，11
A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11A
B 的中点． （Ⅰ）证明：EF B
C ⊥；
（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．
20．（15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n
n n
a c
b =*n N ∈，证明：12n
c c c n ++?+<，*n N ∈．
21．如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ?的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记
AFG ?，CQG ?的面积分别为1S ，2S ．
（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求
1
2
S S 的最小值及此时点G 点坐标．
22．（15分）已知实数0a ≠，设函数()1f x alnx x =+0x >． （Ⅰ）当3
4
a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意2
1
[
x e ∈，)+∞均有()x f x …
，求a 的取值范围． 注意： 2.71828e =??为自然对数的底数．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】由全集U 以及A 求A 的补集，然后根据交集定义得结果．
【解答】解：{1U A =-Q e，3}，()U A B ∴I e{1=-，3}{1-?，0，}l {1}=-，故选A ． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =
，所以c =,
则该双曲线的离心率为c
e a
=
=，故选C ． 【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
3．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??
--??+?
…
?…作出可行域如图，
联立340340
x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为31
22y x z =--，
由图可知，当直线31
22y x z =--过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，
z 有最大值为10．故选C ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
4．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即()()11
4632632722
ABCDE S =
+?++?=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =?=．故选B ． 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果
【解答】解：0a >Q ，0b >，42a b ab ∴+厖，2ab ∴…4ab ∴?，即44a b ab +?剟， 若4a =，14b =
，则14ab =?，但1
444
a b +=+>，即4ab ?推不出4a b +?，4a b ∴+?是4ab ?的充分不必要条件，故选A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力． 6．【分析】对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断； 【解答】解：由函数1x
y a =，1
1()2a
y og x =+， 当1a >时，可得1
x y a
=
是递减函数，图象恒过(0,1)点，
函数11()2a y og x =+，是递增函数，图象恒过1
(2
，0)；
当10a >>时，可得1
x
y a =
是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数11()2a y og x =+，是递减函数，图象恒过1
(2
，0)；
∴满足要求的图象为D .故选D ．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 7．【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解：1111
()013333a E X a +=?+?+?=，
222111111
()()()(1)333333
a a a D X a +++=?+-?+-? 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =
++-+-=-+=-+ 01a < 【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题． 8．【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍， 【解答】解：方法一、如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 于F ， 过D 作//DH AC ，交BG 于H ， 则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠， 则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB αβ===<=，可得βα<； tan tan PD PD ED BD γβ= >=，可得βγ<， 方法二、由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'（显然)γγ'=， 由最大角定理可得βγγ'<=； 方法三、（特殊图形法）设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点， 易得1cos α== sin α= ，sin 3β== ，sin γ==， 故选B ． 【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法． 9．【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111 ()(1)(1)3232 y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【解答】解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a =-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …时，32321111 ()(1)(1)3232 y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+， 当10a +?，即1a -?时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意； 当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图： ∴01b a <-且32 11(1)(1)(1)032b a a a b ->???+-++-，31 (1)6 b a >-+． 故选：C ． 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题． 10．【分析】对于B ，令2104x λ-+ =，得12λ=，取112a =，得到当1 4 b =时，1010a <；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，得到当2b =-时，1010a <；对于D ，令240x λ--=，得117λ±= 1117a +=4b =-时，1010a <；对于A ，2211 22 a a =+…，223113()224a a =++…，4224319117()14216216a a a =++++=>…， 当4n …时，11 13 2122 n n n n a a a a +=+>+=，由此推导出 61043()2a a >，从而10729 1064 a >>． 【解答】解：对于B ，令2104x λ-+=，得1 2 λ=， 取112a = ，∴211 ,,1022n a a =?=<， ∴当1 4 b = 时，1010a <，故B 错误； 对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-， 取12a =，22a ∴=，?，210n a =<， ∴当2b =-时，1010a <，故C 错误； 对于D ，令240x λ--=，得117 λ±， 取1117a +，∴2117a +，?，117 10n a +=<， ∴当4b =-时，1010a <，故D 错误； 对于A ，221122a a =+…，223113 ()224a a =++…， 4224319117 ()14216216 a a a =++++=>…， 10n n a a +->，{}n a 递增， 当4n …时，11 13 2122 n n n n a a a a +=+> +=， ∴54 45109 3 23 232a a a a a a ?>???> ???? ?>??L ，∴61043()2a a >，107291064a ∴>>．故A 正确．故选A ． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模． 【解答】解：11111(1)(1)22i z i i i i -= ==-++-Q ．22112 ||()()22z ∴=+-= ．故答案为：2． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题． 12．【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m ，再由两点间的距离公式求半径． 【解答】解：如图， 由圆心与切点的连线与切线垂直，得 11 22 m +=-，解得2m =-． ∴圆心为(0,2)-，则半径22(20)(12)5r --+-+．故答案为：2-5． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 13．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数． 【解答】解：二项式9 (2)x 的展开式的通项为992 19 9(2)2 r r r r r r r T C x C x --+==． 由0r =，得常数项是12T = 当1r =，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个． 故答案为：162，5． 【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．【分析】解直角三角形ABC ，可得sin C ， cos C ，在三角形BCD 中，运用正弦定理可得BD ；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值． 【解答】解：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5 C =， 在BC D ?中，可得 sin 2 BD C = ，可得1225BD =； 135CBD C ∠=?-，224372 sin sin(135)(cos sin )()55CBD C C C ∠=?-= +=?+= ， 即有72 cos cos(90)sin ABD CBD CBD ∠=?-∠=∠=， 故答案为： 1225，72 10 ， 【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题． 15．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，e ，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P 的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值． 【解答】解：椭圆22195x y +=的3a =，5b =2c =，2 3 e =， 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '， 线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得||2||4PF AO '==， 设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得3 2m =-，15n =， 由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为15 215322 =-+15 【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 16．【分析】由题意可得332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+? ，化为22 |2(364)2|3 a t t ++-?，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a 的范围，进而得到所求最大值． 【解答】解：存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-?，即有332|(2)(2)|3 a t t at t +-+-+?， 化为22|2(364)2|3a t t ++-? ，可得2222(364)233a t t -++-剟，即224 (364)33 a t t ++剟， 由223643(1)11t t t ++=++… ，可得403a 3 ． 【点评】本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题． 17．【分析】由题意可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD =u u u r u u u r g ，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于 (1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±，由完全平方数的最值，可得所求最值． 【解答】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ， 0AB AD =u u u r u u u r g ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++， 由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=， 可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0； 由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为25．故答案为：0，25． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．【分析】（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2 k k Z π θπ=+∈，根据θ的范围可得结果； （2 ）化简函数得)16 y x π = -+，然后根据x 的范围求值域即可． 【解答】解：（1）由()sin f x x =，得()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+Q 为偶函数，∴()2 k k Z π θπ= +∈，[0θ∈Q ，2)π，∴2 π θ= 或32 π θ= ， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++22sin ()sin ()124x x ππ =+++ 1cos(2) 1cos(2) 622 2 x x π π -+-+ = + 11(cos2cos sin 2sin sin 2)266 x x x ππ=--- 3sin 214x x = +)16 x π =-+， x R ∈Q ，∴sin(2)[1,1]6 x π -∈-， ∴)1[16y x π=-+∈+， ∴函数22[()][()]124 y f x f x π π =+ ++ 的值域为：[1． 【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题． 19．【分析】法一：（Ⅰ）连结1A E ，则1A E AC ⊥，从而1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，推导出1BC A F ⊥，从而BC ⊥平面1A EF 由此能证明EF BC ⊥． （Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，推导出1A E EG ⊥，从而平行四边形1EGFA 是矩形，推导出BC ⊥平面1EGFA ，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角） ，由此能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值． 法二：（Ⅰ）连结1A E ，推导出1A E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值． 【解答】方法一：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ， 平面11A ACC ?平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥， 1//A F AB Q ，90ABC ∠=?，1BC A F ∴⊥，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥． 解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形， 由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形， 由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ， EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上， 连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角）， 不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =，3EG =， O Q 是1A G 的中点，故1 152AG EO OG == = ， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==??，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3 5 ． 方法二：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ， 平面11A ACC ?平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ， 如图，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设4AC =，则1(0A ，0，23)，(3,1,0)B ，1(3,3,23)B ，33 ( ,,23)2 F ，(0C ，2，0)， 33 (,,23) 2 EF =u u u r ，(3,1,0)BC =-u u u r ，由0EF BC ?=u u u r u u u r ，得EF BC ⊥． 解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ， 由（Ⅰ）得(3,1,0)BC =-u u u r ，1(0A C =u u u u r ，2，23)-， 设平面1A BC 的法向量(n x =r ，y ，)z ， 则13030BC n x y AC n y z ?=-+=? ?=-=??u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1,3,1)n =r ，||4sin 5||||EF n EF n θ∴==u u u r r g u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3 5 ． 【点评】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面． 20．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出10a =，2d =，从而 22n a n =-，*n N ∈．2n S n n =-，*n N ∈，利用212()()()n n n n n n S b S b S b +++=++，能求出n b ． （Ⅱ）n c ==，*n N ∈，用数学归纳法证明， 得到12n c c c ++?+<， *n N ∈． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得111 24 333a d a d a d +=??+=+?， 解得10a =，2d =，22n a n ∴=-，*n N ∈．2n S n n ∴=-，*n N ∈， Q 数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列． 212()()()n n n n n n S b S b S b ++∴+=++，解得2121()n n n n b S S S d ++=-，解得2 n b n n =+，*n N ∈． 证明： （Ⅱ）n c = =，*n N ∈， 用数学归纳法证明： ①当1n =时，102c =<，不等式成立； ②假设n k =，*()k N ∈ 时不等式成立，即12k c c c ++?+<， 则当1n k =+ 时，121k k c c c c +++?++<< <==，即1n k =+时，不等式也成立． 由①② 得12n c c c ++?+<，*n N ∈． 【点评】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力． 21．【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得： 12 p =，由此能求出抛物线的准线方程； （Ⅱ）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =， 从而直线AB 的方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得：22 2(1)40t y y t ---=，求出21(B t ，2)t -， 由重心在x 轴上，得到220C t y t -+=，从而2 1(()C t t -，12())t t -，422 222(3t t G t -+，0)，进崦直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)，由此结合已知条件能求出结果． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得： 12 p =，2p ∴=， ∴抛物线的准线方程为1x =-； （Ⅱ）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，(C C x ，)C y ，重心(G G x ，)G y ， 令2A y t =，0t ≠，则2A x t =， 由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为21 12t x y t -=+， 代入2 4y x =，得：22 2(1) 40t y y t ---=， 24B ty ∴=-，即2B y t =- ，21 (B t ∴，2)t -， 又1()3G A B C x x x x =++，1 ()3 G A B C y y y y =++，重心在x 轴上， ∴220C t y t -+=，2 1(()C t t ∴-，12())t t -，422222(3t t G t -+，0)， ∴直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，得2(1Q t -，0)， Q Q 在焦点F 的右侧，22t ∴>， ∴424222142 442222211 |||2|||||223221222211|||||1||2| 23A C t t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t -+--====--+-----g g g g ， 令22m t =-，则0m >， 122122213434S m S m m m m =-=-=+ ++++…， ∴ 当m =时， 12S S 取得最小值为1+(2,0)G ． 【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22．【分析】（1）当3 4a =- 时，3()4f x x '=-，利用导数性质能求 出函数()f x 的单调区间． （2）由1 ()2f x a ? ，得0a ，当0a 时，()f x ? 20lnx -…，令 1 t a = ，则t … ，设()22g t t lnx = ，t … ，则2()2g t t lnx =，由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）当34a =- 时，3 ()4 f x lnx =-0x >， 3()4f x x '=- =， ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞． （2）由1 ()2f x a ?，得0a 当04 a 令1 t a = ，则t … ，设()22g t t lnx =，t …， 则2()2g t t lnx =， ()i 当1 [7 x ∈，)+∞()2g x g lnx =… ， 记()p x lnx =-，1 7 x …， 则1() p x x '==， 列表讨论： ()ii 当211 [ ,) 7x e ∈时，()g t g =…， 令()(1)q x x =++， 21[x e ∈，1 ]7，则()10q x '=+>， 故()q x 在21[ e ，1]7 上单调递增，1 ()()7q x q ∴?， 由()i 得11()()77q p p =<（1）0=， ()0q x ∴<，()0 g t g ∴=>… ， 由()()i ii 知对任意2 1 [x e ∈，)+∞，t ∈)+∞，()0g t …， 即对任意2 1 [ x e ∈，)+∞，均有()f x ? 综上所述，所求的a 的取值范围是(0． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．
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