复习题A
、判断正误
1、若a b b c 且b 0 ,则a c
;
(
)
解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b
0或a c . 例如a
i , b j ,
k ，有 a b b c 0 , 但a c .
c
M * 2、 右a
b b
c 且 b 0 ,则
a c ;
(
)
解析 此结论不一定成立.例如
a i
,b j , c
(i j), 则
b i j k ,b
c j [ (i j)]
k , a b b c , 但a
c .
3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ;
(
)
两个相互垂直的非零向量点积也为零.
解析
二、选择题：
当a 与b 满足（D ）时，有a b
解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b .
解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.
4、 a
解析 b b a .
这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ；
（B ） a b （为常数）;
(C)
// b ; (D) a||b .
(A)中a , b 夹角不为0, (B),
（C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反.
2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ;
(B) x
(C) x z 0;
(D)
解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C.
3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2
2y 2所表示的曲面是（B ）；
（A ）椭球面；
（B ） 椭圆抛物面;
(C)
椭圆柱面；
（D ） 单叶双曲面.
2
5、直线x 1 y
z 1
与平面x y z 1的位置关系是（B ）.
2 1
1
（A ）垂直；
（B ） 平行；
（C ）
n
夹角为一；（D ）
夹角为
n
4
4
解析直线的方向向量
s ={2 ,1,-1}, 平面的法向量 n ={1 , -1 , 1},
s n =2-1-1=0 ,
所以，s 丄n ，直线与平面平行.
三、填空题：
所以，与平面垂直的单位向量为
3、过点（3,1, 2）和（3,0,5）且平行于x 轴的平面方程为 7y z 5 0 ；
解 已知平面平行于 x 轴，则平面方程可设为 By Cz D 0,将点（-3 , 1, -2）
4、空间曲线
2
'在xOy 面上的投影方程为（C ）；
(A) x 2 y
2
7
； (B)
7
； (C)
7
； (D)
解析 2 2
曲线x y
z 5
7
与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为
x 2 y 2 7
z 0
1、 若a|b
a b sin(a$) = . 2 sin n = 2 , a b
a b cos(a$) = , 2 cos^o.
2、 与平面x y 2z 6 0垂直的单位向量为
平面的法向量 n ={1， -1，2}与平面垂直，其单位向量为
：
n =/
和（3 ,0,5）代入方程，有 B 2C D
5C D 0,
0,
B C
D,
得
D,
7 , Dy 5 -Dz D 0, 5
即
7y z 5 0.
4、过原点且垂直于平面
2y z
2 0的直线为 x
y z ；
2
解 直线与平面垂直，则与平面的法向量
n =｛0,2,-1｝平行，取直线方向向量s = n =｛0 ,
2,-1｝，由于直线过原点，所以直线方程为
- 1 z 0 2
曲线方程.
四、解答题:
2、已知向量RP 2的始点为R （2, 2,5），终点为P 2（ 1,4,7），试求：（1）向量RR 的坐
标表示；（2）向量RF 2的模；（3）向量RP 2的方向余弦；（4）与向量P 1P 2方向一致的单位
5、曲线
Z 2x 2
z 1
2
y ,
在xOy 平面上的投影曲线方程为
2 2 ,
2x y 1, z 0.
解：投影柱面为
2x 2
y 2 1，故
2x 2
z 0
1
'为空间曲线在xOy 平面上的投影
1、 已知
{1, 2,1},
｛1,1,2｝，计算⑻
;(b)
(2a b) (a b) ； (c)
解
：
a b = 1
2 1
{ 5, 1,3}.
1 1
2
(b)
2a b {2, 4,2} {1,1 2} {1, 5,0},
所以
（2a
b) (a b) {1, 5,0} {2, 1,3} 7 .
(c)
a b {1, 2,1} {1,1,2} {0
,
3, {1, 2,1} {1,1,2} {2, 1,3},
a b 2 W'9 1)2
10 i
j
k
1｝，所
以 a b b ；
故与a 、b 都垂直的单位向量为
求向量d
5、求满足下列条件的平面方程:
(1)过三点 R(0,1,2) , P 2(1,2,1)和 P 3(3,0,4) ； (2)过 x 轴且与平面-5x
x 0 y 1 z 2
用三点式.所求平面的方程为
1 0
2 1 1 2 0 ,即
3 0 0 1
4 2
解 （1）解1 :
向量.
(1)
P i PP { 1 2,4
(2),7 5} { 3,6,2}
⑵PP 2
.（3
）2 62 22
.49
cos
3、 P i P 2
x,y,z 的方向余弦分别
|,cos
6
,cos
(P 1P 2)
PP 2
3i 2k
3. i 7
2
k .
7
设向量
1, 1,1 ， b
1,1, 1 ，求与a 和b 都垂直的单位向量?
解：令c
°,2,2 , c °
1c
1 1 °\
2 \2，
4、向量d 垂直于向量a
[2,3, 1]和b [1, 2,3]，且与 c [2, 1,1]的数量积为
解：d 垂直于a 与b ，故d 平行于a
b ，存在数使
[2,3, 1] [1, 2,3] [7 , 7,7]
因 d c 6，故 2 7
( 1) ( 7 ) 1
3
7
d [ 3,3,3].
2y z 0的夹
x 5y 4z 13 0.
x 5y z Q
6、一平面过直线
且与平面x 4y 8z 12 0垂直，求该平面方程;
x z 4 0
x 5y 4z 13 0.
解2: 量为
用点法式.
P 1P 2
{1,1, 1},
PB {3, 1,2}，由题设知，所求平面的法向
n P 1
P
2
R B
i j k 1 1 1 i 5j 4k ,
3
1 2
又因为平面过点R(0,1,2)，所以所求平面方程为
(x 0) 5(y 1) 4( z 2) 0,即
解3: 用下面的方法求出所求平面的法向量
n {A,B,C},再根据点法式公式写出平
面万程也可.
因为 n RP 2,n P 1P 3，所以 3A
平面方程为
2C °0解得B 5A,C 4A ，于是所求
A(x 0) 5A(y 1) 4A(z 2) 0,即 x 5y 4z 13 0.
(2)因所求平面过
x 轴，故该平面的法向量 n {A, B,C}垂直于x 轴，n 在x 轴上的
投影A 0,又平面过原点，所以可设它的方程为 By Cz 0，由题设可知B 0 (因为
B 0时，所求平面方程为 Cz 0又C
0 ,即z 0 .这样它与已知平面5x 2y z 0
所夹锐角的余弦为
0 V5 0 2 1 1
02 02 12 . (. 5)2 22 12
n 1
C
cos ——，所以 B 0 )，令一 3 2 B
C ，则有 y Cz 0，由题设得
0 <5 1 2 C 1
cos —
J _ = 3
02 12 c 2.( 5)2 22 12
解得C 3或C
1
，于是所求平面方程为
3
y 3z 0 或 3y z 0.
x 5y z 0, 4
解法1 : 直线在平面上，令X =0,得y , z=4,则(0, x z 4 0 5
4)为平面上的点.
设所求平面的法向量为n ={ A, B, C}，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即
解方程组
解法2：用平面束(略)
直线方程?
式方程，所求直线方程为
x 4z 23 0
2x y 5z 33 0n i={l ,
5 , 1}
, n2 ={1, 0, -1}，则直线的方向向量s = n1 n?=={
-
5 , 2,-5} ，由于所
s n ={-5 ,2, -5} ? {A,B,C}= 5A 2B 5C =0,
因为所求平面与平面x 4y8z 12 0垂直，则{A, B,C} {1, 4, 8}=A 4B 8C =0,
所求平面方程为
5A
A
2B
4B
5C
8C
2C,
2C
5
2C(x 0) ^(y
4) C(z
5 4) 0,即4x 5y 2z 12 0.
7、求既与两平面14z 3和2：2x y 5z 1的交线平行，又过点(3,2,5)的
解法1: n11,0, 2, 1, 5 , s 3, 1 ,从而根据点向
解法2：设s m, n, p ，因为s n1，所以m 4p 0 ；又s n2，则2m n 5p 0,可解m4p,n 3p，从而p 0 .根据点向式方程，所求直线方程为
解法
x 3
4p
口◎，即2LJ
3p p 4
3:设平面3过点(3,2,5)，且平行于平面则n3n11,0, 4为3的法
向量，从而3的方程为1 (x 3) 0 (y 2) 4 (z 5) 4z 23 0 .同理, 过已知点且平行于平面2的平面4的方程为2x y 5z 33 0 ?故所求直线的方程为
相交，求该直线方程;
又因为直线过点A(1,2,1)，则所求直线方程
为
可得m p ，代入③解得n
9、指出下列方程表示的图形名称：
⑻ x 2 4y 2 z 2
1 ； (b)
x 2 y 2 (d) x 2
y 2 0 ； (e) x 2 y 2
1 ； 解：(a)绕y 轴旋转的旋转椭球面. 的锥面.
(d)母线平行于z 轴的两垂直平面：
x (f)旋转抛物面被平行于 XOY 面的平面所截
得到的圆，
半径为 2 ,圆心在(0, 0, 2)处.
2
x 所以柱面与xOy 平面的交线C : z y 1所围成的区域x 2 y 2
1即为曲面
解： 设所求直线的方向向量为
s {m,n, p}，因垂直于 所以3m 2n
x 1 m,
，则有 y 2 n,代入方程②有1
m 2
n, m 1 p,
z 1
p,
10、
2 2 2
求曲面z x y 与z 2 (x
)所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形.
将所给曲面方程联立消去z
就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程
一直线通过点 A(1,2,1),且垂直于直线L :
x 1 ~3~
,又和直线x
x 1 y 2
z 1
J
① m n p
x y z,
②
3m
2n p 0 , ③
由
①，
令x 1
y 2 z 1
m
n
p
2z
；
(c) z
x 2
2
y ；
2
2
(f)
z x
y
z 2
(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面.
(c) 绕z 轴旋转
y ,
x
y . (e) 母线平行于 z 轴的双曲柱面.
2p ，因此，所求直线方程为