圆心角和圆周角
一、经典考题赏析
例1.（成都）如图，ABC 内接于O ，AB=BC ，0120ABC ∠=,AD 为O 的直径，AD=6，那么
BD=
变式题组：
1.（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点，O 的半径为1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠= 。
2.（芜湖）如图，已知点E 是O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，0
46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 。
3.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是0
70、0
40，则1∠的度数为 。 例2.（盐城）如图，A 、B 、C 、D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动。设运动时间为()t s ，()0
APB y ∠=，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰
当的是（ ）
变式题组：
4.如图所示，在O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,0
60A B ∠=∠=,则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20
5.（威海）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，OD AC ，下列结论错误的是（ ） A.BOD BAC ∠=∠ B.BOD COD ∠=∠ C.BAD CAD ∠=∠ D.C D ∠=∠
6.（青岛）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，0
42ACD ∠=，则BAD ∠= 。 例3.（柳州）如图，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE AB ⊥,垂足为E ，BD 交CE 于点F 。 （1）求证：CF=BF
（2）若AD=2，O 的半径是3，求BC 的长。
变式题组：
7.（广州）如图，在O 中0
60ACB BDC ∠==，23AC =cm. （1）求∠BAC 的度数；（2）求O 的周长 8.（潍坊）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交O
于点D ，连接BD 、CD 。
（1）求证：BD DC DI == （2）若O 的半径为10cm ，0120BAC ∠=，求BDC 的面积。
例4.如图，在ABC 中，036B ∠=，0
128ACB ∠=，CAB ∠平分线交BC 于M ，ABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则ANM 的最小角等于 。
变式题组：9.如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在O 上，AB=BD ，BM AC ⊥于M ， 求证：AM DC CM =+
二、演练巩固，反馈提高
1.（孝感）如图，O 是ABC 的外接圆，已知060B ∠=，则CAO ∠的度数是（ ）
A.015
B.030
C.045
D.0
60
2.（泰安）如图，O 的半径为1，AB 为O 的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度
数为（ ）
A.0
30 B.0
60 C.0
30或0
150 D.0
60或0
120
3.（绍兴）如图，O 是正三角形ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上，0
22ABP ∠=，则BCP ∠的度数为 。
4.（啟庆）如图，O 是正方形ABCD 的外接圆,点P 在O 上，APB ∠等于（ ） A.030 B.045 C.055 D ．0
60
5.（泰州）如图O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2cm ，1cm ，则AC 、BD 所夹的锐角α= 。
6.（安徽）ABC 中，AB AC =，A ∠为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为ACD 的内切圆的圆心，则AIB ∠的度数是（ ）
A.0
120 B ．0
125 C ．0
135 D.0
150
7.（十堰）如图，ABC 内接于
O ，连接OA 、OB ，若025ABO ∠=,则C ∠的度数为（ ）
A.055
B.060
C.065
D.0
70
8.（丽水）如图，ABC 是O 的内接三角形，点D 是BC 的中点，已知0
98AOB ∠=，0120COB ∠=。则ABD ∠的度数是 .
9.（云南）如图，A 、D 是O 上的两个点，BC 是直径，若0
35D ∠=，则OAC ∠的度数是（ ）
A.035
B.055
C.065
D.0
70
10.（荆门）如图，如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，
030AMN ∠=，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的
最小值是（ ）
A.22
B.2
C.1
D.2
11.（株洲）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，AB OC 。 （1）求证：AC 平分OAB ∠;
（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P 。若AB=2，0
30AOE ∠=，求PE 的长。
三、培优升级
1.（武汉）如图，已知O 的半径为1，锐角ABC 内接于O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于 。
1.（眉山）如图，AB 、CD 是 O 的两条互相垂直的弦，圆心角0
130AOC ∠=，AD 、CB 的延长线相交于点P ，则P ∠= 度。
2.（成都）如图，A 、B 、C 是O 上的三点，以BC 为一边，作CBD ABC ∠=∠，过BC 上一点P ，作PE
AB 交BD 于点E 。060AOC ∠=，BE=3，则点P 到弦AB 的距离是 。
3.（铁岭）如图所示，AB 为O 的直径，P 点为其半圆上一点，0
40POA ∠=，C 为另一半圆上任意一点（不含A 、B ），则PCB ∠= 度。 4.（衢州）如图，AD 是O 的直径，（1）如图①，垂直于AD 的两条弦1122,B C B C 把圆周四等分，则1B ∠的度数是 ，2B ∠的度数是 。
（2）如图②,垂直于AD 的三条弦1122,B C B C ，33B C 把圆6等分，分别求123,,B B B ∠∠∠的度数。 （3）如图③,垂直于AD 的n 条弦112233,B C B C B C ,……n n B C 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数（只需直接写出答案）
5.如图1，点M为x轴上一点，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，设C（0，3），B（3，0）
（1）求点M的坐标；
（2）如图2所示，点P为BC上任一点，Q为CF上的中点，直线BP、DQ交于点E，求BE的长；
（3）如图3所示，连接AC、BC，作∠BCK的平分线CF交⊙M于点F，连接AF，求CF
AF
的值．
6.如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C、D两点，A、M的坐标分别是（-1，0），（1，0）.
（1）求C点坐标．
（2）如图，P是BC上的一个动点，Q为PC中点，直线BP、DQ交于点K，当点P在BC上运动时（不包括B、C两点）BK的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．