§3.2 正态总体的参数检验
?????????? 本节要讨论一个正态总体的参数检验，以及两个正态总体的参数检验问题：
单个正态总体的参数检验：
方差 已知； 检验均值方差 未知.
均值 已知； 检验方差均值 未知. 2
2211222220220(,)(,),(,)(,)==X N X N Y N X N μσμσμσμσσσμσμμσμ
从表中可以看出：对同一个参数的三种假设检验(),双侧检验的拒绝域是统计量的取值偏大或偏小,右侧检验的拒绝域是统计量的取值偏大,左侧检验的拒绝域是统 选用的检验统计量是相同的，但拒绝域是不同的,
计量的取值偏小当是简单假设时,第一类错误的概率一般就是显著性水平而是复合假设时，第一类错误的概率不超双侧检验，右侧检验和左侧检过验00.
,.
H H αα
≥?<将例中的假设检验变为
，
给出该检验的步骤，并将检验结果与例3进行比较.
练习题
013:0.8:0.8H H μμ
参数估计与假设检验的区别和联系 统计学方法包括统计描述和统计推断两种方法，其中，推断统计又包括参数估计和假设检验。 1.参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数，它的方法有点估计和区间估计两种。 点估计是用估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度。 区间估计是在点估计的基础上给出总体参数估计的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加减估计误差得到的。在区间估计中，由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间称为置信区间。统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数。 在区间统计中置信度越高，置信区间越大。置信水平为1-a, a为小概率事件或者不可能事件，常用的置信水平值为99%，95%，90%，对应的a为0.01, 0.05，0.1 置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化,而且不是所有的区间都包含总体参数。 一个总体参数的区间估计需要考虑总体是否为正态分布,总体方差是否已知，用于估计的样本是大样本还是小样本等 （1）来自正态分布的样本均值，不论抽取的是大样本还是小样本，均服从正态分布 （2）总体不是正态分布，大样本的样本均值服从正态分布,小样本的服从t 分布 （3）不论已判断是正态分布还是t 分布，如果总体方差未知,都按t 分布来处理 （4）t 分布要比标准正态分布平坦，那么要比标准正态分布离散，随着自由度的增大越接近 （5）样本均数服从的正态分布为N（u a^2/n）远远小于原变量离散程度N (u a^2) 2. 假设检验是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。 假设检验的基本思想：先提出假设，然后根据资料的特点，计算相应的统计量，来判断假设是否成立，如果成立的可能性是一个小概率的话，就拒绝该假设，因此称小概率的反证法。最重要的是看能否通过得到的概率去推翻原定的假设，而不是去证实它<2>统计学中假设检验的基本步骤：（1）建立假设，确定检验水准α--假设有零假设（H0）和备择假设（H1）两个，零假设又叫作无效假设或检验假设。H0和H1的关系是互相对立的，如果拒绝H0，就要接受H1，根据备择假设不同，假设检验有单、双侧检验两种。检验水准用α表示，通常取0.05或0.10，检验水准说明了该检验犯第一类错误的概率。（2）根据研究目的和设计类型选择适合的检验方法 这里的检验方法，是指参数检验方法，有u检验、t检验和方差分析三种，对应于不同的检验公式。 （3）确定P值并作出统计结论 u检验得到的是u统计量或称u值，t检验得到的是t统计量或称t值。方差分析得到的是F统计量或称F值。将求得的统计量绝对值与界值相比，可以确定P值。当α＝0.05时，u值要和u界值1.96相比较，确定P值。如果u＜1.96，则P＞0.05.反之，如u＞1.96，则P＜0.05.t值要和某自由度的t界值相比较，确定P值。如果t值＜t界值，故P＞0.05.反之，如t＞t 界值，则P＜0.05。相同自由度的情况下，单侧检验的t界值要小于双侧检验的t界值，因此有可能出现算得的t值大于单侧t界值，而小于双侧t界值的情况，即单侧检验显著，双侧检验未必就显著，反之，双侧检验显著，单侧检验必然会显著。即单侧检验更容易出现阳性结论。当P＞0.05时，接受零假设，认为差异无统计学意义，或者说二者不存在质的区别。当P＜0.05时，拒绝零假设，接受备择假设，认为差异有统计学意义，也可以理解为二者存在质的区别。但即使检验结果是P＜0.01甚至P＜0.001，都不说明差异相差很大，只表示更有把握认为二者存在差异。 3.参数估计与假设检验之间的联系与区别： （1）主要联系：a.都是根据样本信息推断总体参数；b.都以抽样分布为理论依据，建立在概率论基础之上的推断；c.二者可相互转换，形成对偶性。 （2）主要区别：a.参数估计是以样本资料估计总体参数的真值，假设检验是以样本资料检验对总体参数的先验假设是否成立;b.区间估计求得的是求以样本估计值为中心的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验，也有单侧检验；c.区间估计立足于大概率，假设检验立足于小概率。
参数估计和假设检验习题 1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600? 0.05,α=26,n = 0:1600H μ=, 即,以95%的把握认为这批产品的指标 的期望值μ为1600. 2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数 的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。问,新工艺上浆率能否推广(α=0.05)? 解: 012112:, :,H H μμμμ≥< 3.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)? 解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=0.16,拒绝域为2 Z z α>,取0.0252 0.05, 1.96z z αα===, 100,n =由检验统计量 3.33 1.96Z = ==>,接受1: 2.64H μ≠, 即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响. 4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H 0：p ≤0.05是否成立(α=0.05)? 解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==, 50,n =由检验统计量0.9733 Z = ==<1.65,接受H 0：p ≤0.05. 即, 以95%的把握认为p ≤0.05是成立的.
16.3 单个正态总体参数的假设检验 设,,,12n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，考虑如下三种关于μ的检 验问题 (1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验 (2) 00:H μμ≥ vs 10:H μμ< 单侧检验 (3) 00: H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验 ********************************************************** (1) 00: H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验 (3) 00:H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验
********************************************************** 下面给出σ已知时，上述三种检验情况的具体实现。 σ已知时的，对于单侧检验问题(1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ>， 2 ~, X N n σμ?? ?? ? ，故选用服从标准正态分布的检验统计量X u =， 通常称此检验为u 检验。 拒绝域选为()()?? ? ???????≥σμ-==c x n u x x W n 01:,, ，c 为临界值,简记为{}c u ≥。若显著性水平要求为α，则可确定α-=1u c 。 同理对 问题(2)，00: H μμ≥ vs 10:H μμ<，水平为α的检验的拒绝域为 ()()?? ? ???????≤σμ-==αu x n u x x W n 01:,, 。 问题(3)，00: H μμ= vs 10:H μμ≠，水平为α的检验的拒绝域为 ()()?? ? ???? ? ??≤σμ-= =α2-101u x n u x x W n :,, 。 ********************************************************** 例16.3.1 设某工厂生产一种产品，其质量指标服从正态分布()2 2,μN ，μ为 平均质量指标，其值越大则质量越好，10=μ是达到优级的标准。进货商店从一批产品抽取样本,, ,12n X X X ，16=n ，取显著性水平为050.=α，如何检 验这一批产品是否达到优秀。 分析： 根据工厂产品社会声誉可能的不同，分以下两种情况讨论。 情形一，按照过去长时间的记录，商店的检验人员相信该厂的产品质量很好。
正态总体参数的检验 1 总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验 某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布N(100,4)。从该切割机切割的一批金属棒中随机抽取15根，测得长度为： 97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103 假设总体的方差不变，试检验该切割机工作是否正常，即检验总体均值是否等于100？，取显著性水平a=0.05。 分析： 这是总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验，根据题目要求可写出如下假设： H0：u=u0=100，H1=u /=u0(u不等于u0) H0称为原假设，H1称为被择假设（或对立假设） MATLAB统计工具箱中的ztest函数用来做总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验 调用格式ztest [h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,Sigma,Alpha,Tail) x:是输入的观测向量 mu0：假设的均值 Sigma：总体标准差 Alpha：显著性水平，默认0.05
Tail：尾部类型变量,‘both’双侧检验（默认），u不等于uo；‘right’右侧检验，u>u0; ‘left’左侧检验,u
第三节 双正态总体的假设检验 上节中我们讨论单正态总体的参数假设检验，基于同样的思想，本节将考虑双正态总体的参数假设检验. 与单正态总体的参数假设检验不同的是，这里所关心的不是逐一对每个参数的值作假设检验，而是着重考虑两个总体之间的差异，即两个总体的均值或方差是否相等. 设 X ~),(211σμN , Y ~),(2 22σμN ,1 ,,,21n X X X 为取自总体),(211σμN 的一个样本, 2 ,,,21n Y Y Y 为取自总体),(2 22σμN 的一个样本, 并且两个样本相互独立, 记X 与Y 分别为样 本1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的均值, 21S 与22S 分别为1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的方差. 内容分布图示 ★ 双正态总体均值差的假设检验（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 双正态总体均值差的假设检验（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 双正态总体均值差的假设检验（3） ★ 例5 ★ 双正态总体方差相等的假设检验 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3 ★ 返回 内容要点： 态总体均值差的假设检验 1．方差2 221,σσ已知情形 1) 检验假设 .:,:02110210μμμμμμ≠-=-H H 其中0μ为已知常数. 由第五章第三节知, 当0H 为真时, ),1,0(~//2 2 2 1210 N n n Y X U σσμ+--= 故选取U 作为检验统计量. 记其观察值为u . 称相应的检验法为u 检验法. 由于X 与Y 是1μ与2μ的无偏估计量, 当0H 成立时, ||u 不应太大, 当1H 成立时, ||u 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 k n n Y X u ≥+--= 2 2 2 1210 //||σσμ (k 待定). 对于给定的显著性水平α,查标准正态分布表得2/αu k =, 使 αα=≥}|{|2/u U P , 由此即得拒绝域为 ,//||2/2 2 2 1210 ασσμu n n Y X u ≥+--= 根据一次抽样后得到的样本观察值1,,,21n x x x 和2,,,21n y y y 计算出U 的观察值u , 若2/||αu u ≥,则拒绝原假设0H ,当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ有显著差异;若2/||αu u <,则 接受原假设0H , 当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ无显著差异. 类似地，对单侧检验有： 2)右侧检验：检验假设.:,:02110210μμμμμμ>-≤-H H 其中0μ为已知常数. 得拒绝域为
第六章参数估计和假设检验 教学目的及要求：了解参数的点估计、区间估计的含义，掌握区间估计的几个概念，包括置信水平、置信区间、小概率事件，熟练掌握参数区间估计的计算方法，了解不同抽样组织形式下的参数估计，掌握参数估计中样本量的确定。了解假设检验的原假设和备择假设的含义，假设检验的两类错误，掌握总体均值的检验方法。 本章重点与难点：区间估计的计算与总体均值的假设检验方法。 计划课时：授课6课时；技能训练2课时。 授课特点：案例教学 第一节点估计和区间估计 一、总体参数估计概述 ?1、总体参数估计定义 ?就是以样本统计量来估计总体参数，总体参数是常数，而统计量是随机变量。 ?2、参数估计应满足的两个条件 二、参数的点估计 ?用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：根据一个抽出的随机样本计算的平均分数为80分，我们就用80分作为全班考试成绩的平均分数的一个估计值，这就是点估计。 再例如，要估计一批产品的合格率，根据抽样结果合格率为96%，将96%直接作为这批产品合格率的估计值，这也是点估计 三、参数的区间估计 （一）参数的区间估计的含义 ?区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。
（二）有关区间估计的几个概念 置信水平 1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 2. 表示为 (1 - α% ) α 为是总体参数未在区间内的比例 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的显著性水平α 为0.01，0.05，0.10 置信区间 1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 4. 由样本均值的抽样分布可知，在重复抽样或无限总体抽样的情况下，样本均值的数学期望等于总体均值， 5. 样本均值的标准差为 由此可知样本均值落在总体均值μ的两侧各为一个抽样标准差范围内的概率为0。6873 落在总体均值两个抽样标准差范围内的概率为0。9545 落在总体均值三个抽样标准差范围内的概率为0。9973 影响区间宽度的因素 1.总体数据的离散程度，用 σ 来测度 2.样本均值标准差 3.置信水平 (1 - α)，影响 z 的大小 评价估计量的标准 x n x σ σ=
7.2 正态总体参数假设检验 教学目的：理解和掌握单个以及两个正态总体均值的假设检验的方法与思想，掌握正态总体方差检验的方法，能用R软件来完成这些检验。 教学重点：检验方法的掌握，检验方法思想的理解。 教学难点：检验方法的掌握。 在实际问题中，有关方差的检验问题也是常遇到的，如上节介绍的u检验和t检验中均与方差有密切的联系。因此，讨论方差的检验问题尤为重要。 7.2.1 检验 设总体未知，x1，…，nx为取自X的样本，欲检验假设 其中为已知数。 自然想到，看的无偏估计s2有多大，当H0为真时，s2应在周围波动，如果很大或很小，则应否定H0，因此构造检验统计量。对于给定的显著水平α，可查（n-1）表可得分位数 ∴拒绝域W为。 若统计量落在拒绝域W内，则拒绝，接受。 若统计量落在接受域内，则接受，拒绝 例7-6 设某厂生产铜线的折断力，现从一批产品中抽查10根测其折断力后经计算得样本均值=575.2，样本方差s2=68.16。试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82（公斤）（取α=0.05）？ 解按题意，欲检验假设 （1）， （2）引进统计量 （3）根据α=0.05，查（n-1）=（9）表得临界值
于是得拒绝域 （4）。 （5）计算 由于不在拒绝域W内，故不拒绝，即可认为该批铜线折断力的方差与82（公斤）无显著差异。 7.2.2 F检验 前面介绍的用t检验法检验两个独立正态总体的均值是否相等时，曾假定它们的方差是相等的。一般说来，两个正态总体方差是未知的，那么，如何来检验两独立正态总体方差是否相等呢？为此介绍F检验法。 设有两正态总体和分别是取 自X和Y的样本且相互独立。欲检验统计假设。 由于是的无偏估计，是的无偏估计，当为真时，自然想到和应该差 不多，其比值不会太大或大小，现在关键在于统计量服从什么分布。由§6.3节定理6-4推论我们知道，当为真时，这样，取F为检验统计量，对给定的水平α，查附表5，确定临界值使 。 即得拒绝域。 若由样本观测值算得F值，当F∈W时，拒绝，即认为两总体方差有显著差异。否则认为与相容，即两总体方差无显著差异。 例7-7 设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得直径数据如下 假定各台机床加工轴的直径X，Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机
参数估计与假设检验的辨析 1、参数估计 参数估计是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断所关心的总体参数。参数估计的方法有点估计和区间估计两种。 1. 点估计 点估计就是用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。构造点估计常用的方法是：①矩估计法。用样本矩估 计总体矩，如用样本均值估计总体均值。②最大似然估计 法。于1912年由英国统计学家R.A.费希尔提出，利用样本分 布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。③最小二 乘法。主要用于线性统计模型中的参数估计问题。 虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计 值很可能不等于总体真值，所以必须给出点估计值的可靠 性，点估计值的可靠性由抽样标准误差来衡量。 2. 区间估计 区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。在进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。一般的，如果将构造置信区间的步骤重复多 次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称置信度或置信系数。 求置信区间常用的三种方法：①利用已知的抽样分布。②利用区间估计与假设检验的联系。③利用大样本理论。 3. 评价估计量的标准 1) 无偏性。指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体 参数。 2) 有效性。指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标 准差的估计量更有效。 3) 一致性。指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近 被估总体的参数。 2、假设检验 假设检验是用来判断样本与总体的差异是由抽样误差引起还是
第六章参数估计和假设检验 一、填空题 1、总体参数估计是指 2、 称为置信水平，表示为 3、落在总体均值两个抽样标准差范围内的概率为 4、影响样本的单位数目的因素有 5、是研究者想收集证据予以反对的假设。 答案：1、就是以样本统计量来估计总体参数，总体参数是常数，而统计量是随机变量。 2、将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，(1 - 3、0.9545 4、总体变量的变异程度σ、允许的误差范围△、抽样的可靠程度1-α 5、纯随机抽样、等距抽样（机械抽样）、类型抽样（分层抽样）和整群抽样 二、单项选择题 1、估计量的含义是指（A） A．用来估计总体参数的统计量的名称 B．用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体数值 2、一个95%的置信区间是指（ C ） A．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B．总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数
3、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为x =81，标准着s=12。总体均值μ的99%的置信区间为（ C ） 81±1.97 81±2.35 81±3.10 81±3.52 4．成数与成数方差的关系是(C ) A.成数的数值越接近0，成数的方差越大 B.成数的数值越接近0.3，成数的方差越大 C.成数的数值越接近0.5，成数的方差越大 D.成数的数值越接近l ，成数的方差越大 5．纯随机重复抽样的条件下，若其他条件不变，要使抽样平均误差缩小为原来的1/3，则样本单位数必须（ B ） Ａ．增大到原来的３倍 Ｂ．增大到原来的９倍 Ｃ．增大到原来的６倍 Ｄ．也是原来的1/3 6、对于非正态总体，使用统计量 x z =估计总体均值的条件是（D ） A ．小样本 B ．总体方差已知 C ．总体方差未知 D ．大样本 7、在假设检验中，原假设和备选假设（ C ） A. 都有可能成立 B. 都有可能不成立 C. 只有一个成立而且必有一个成立 D. 原假设一定成立，备选假设不一定成立 8．一种零件的标准长度5cm ，要检验某天生产的零件是否符合标准要求，建立的原假设和备选假设就为（ A ） A ．0:5H μ=，1:5H μ≠
学号：20115034036 学年论文(本科） 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级 姓名姚瑞娟 论文题目单个正态总体的检验假设 指导教师韩英波职称副教授 成绩 2014年3月10日 1 / 13
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstrac (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 假设检验的基本步骤 (2) 1.1 建立假设 (2) 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2) 2 单个正态总体均值的检验 (3) 2.1 δ已知时的μ检验 (4) 2。2 δ未知时的t检验 (6) 3 单个正态总体方差的检验 (8) 参考文献 (9)
单个正态总体的假设检验 学生姓名：姚瑞娟学号:20115034036 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师：韩英波职称:副教授 摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确。此外，从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验，还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例. 关键词：正态分布；假设检验；均值；方差;拒绝域;接受域；原假设； Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper，and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition，it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown。There is a single of normal population variance test and the related application. Keywords：normal distribution;price value；hypothesis test;variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis 前言 假设检验是由K。Pearson于20世纪初提出的，之后由费希尔进行了细化，并最终由奈曼和E。Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了"高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他。也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法，在高斯的一切科这要到20世纪正态 1
第5章 参数估计与假设检验练习题 1、设随机变量 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ2 ，（X 1 ，X 2 ，···，X n ）为X 的一个样本， 试比较 ))(1(12 ∑=-n i i X n E μ 与 ))(1(1 2∑=-n i i X X n E 的大小。 （ 前者大于后者 ） 2、设随机变量 X 与Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = σ2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 σ2 的无偏估计 。 （ 16 / 7 ） 3、设正态总体 X ~ N ( μ , σ2 ) ，参数 μ ，σ2 均未知，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）（ n ≥ 2 ） 为简单随机样本，试确定 C ，使得 ∑-=+-=1 1212 )(?n i i i X X C σ 为 σ2 的无偏估计。 （ ) 1(21 -n ） 4、假设总体 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ 2 ，),...,,(21n X X X 为来自总体 X 的一个样本， X 、S 2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 22cS X - 为 μ 2 的无偏估计量. （ 1 / n ） 5、设 X 1 ，X 2 是取自总体 N ( μ , σ2 ) （ μ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量 2114341?X X +=μ ，2122121?X X +=μ ，2132 1 31?X X +=μ 中哪个最有效。 （ 2?μ ）
6、设某总体 X 的密度函数为：??? ??><=其它 03),(3 2θθθx x x f ，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为该 总体的样本， Y n = max ( X 1 , X 2 , … , X n ) ，试比较未知参数 θ 的估计量 X 34 与 n Y n n 313+ 哪个更有效？ （ n > 1 时，n Y n n 31 3+ 更有效 ） 7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出 15010 1 =∑=i i x ，272010 1 2=∑=i i x 。求总体期望与 方差的矩估计 μ ? 和 2?σ 。 （ 15 ；47 ） 8、设总体 X 具有密度 ?? ? ??≤>=+-C x C x x C x f 01);()1 1(1???? ，其中参数 0 < ? < 1，C 为已知常数，且C > 0，从中抽得一样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n ，求参数 ? 的矩估计量。 （ 1 - C /?X ，其中 ∑==n i i X n X 1 1 ） 9、设总体 X 服从（ 0，? ）上的均匀分布，其中 ? > 0 是未知参数，（ X 1 ，X 2 ，… ， X n ）为简单随机样本，求出 ? 的矩估计量 ? ? ，并判断 ?? 是否为 ? 的无偏估计量。 （ 2?X ，其中 ∑==n i i X n X 1 1 ；是 ） 10、设（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：
参数估计和假设检验习题 1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600 解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,拒绝域为2 Z z α>,取0.05,α=26,n = 0.0250.9752 1.96z z z α===, 由检验统计量 1.25 1.96Z = ==<,接受0:1600H μ=, 即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600. 2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为根，各台布机断头数的标准差为根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为根，标准差为根。问,新工艺上浆率能否推广(α= 解: 012112:, :,H H μμμμ≥< ( 3.某电器零件的平均电阻一直保持在Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α= 解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=,拒绝域为2 Z z α>,取0.0252 0.05, 1.96z z αα===, 100,n = 由检验统计量 3.33 1.96Z = ==>,接受1: 2.64H μ≠, 即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响. 4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H 0：p ≤是否成立(α= 解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==, 50,n = 由检验统计量0.9733Z = ==<,接受H 0：p ≤. 即, 以95%的把握认为p ≤是成立的. 5.某产品的次品率为，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取4O0件检验，发现有次品56件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量(α= 解: 01:0.17, :0.17,H p H p ≥<采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α<-,400,n = ^ 0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量 400 1.5973i x np Z -= = =-∑>, 接受0:0.17H p ≥, 即, 以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量. 6.从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得x =11958，样本标准差s =323，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)
第19讲 正态总体参数的区间估计 教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行 区间估计的方法。 教学重点：置信区间的确定。 教学难点：对置信区间的理解。 教学时数： 2学时。 教学过程： 第六章 参数估计 §6.3正态总体参数的区间估计 1. 区间估计的概念 我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计?θ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。 设?θ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即 ?{||}1P θθεα -<=- 或 αεθθεθ-=+<<-1)??(P 这表明，随机区间)?,?(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)?,?(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。 定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得 12{}1P θθθα <<=-
则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。 注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。 （2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。对于置信水平为1α-的置信区间12(,)θθ，一方面置信水平1α-越大，估计的可靠性越高；另一方面区间12(,)θθ的长度(2)ε越小，估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（1α-变小），所以要找两方面的平衡点。 在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的α分位点概念。 设 () ~0,1X N ，若 z α 满足条件 { },01 P X z α αα>=<<，则称点z α为标准正态分布的α分位点。例如求0.01z 。按照α分位点定义，我们有 {}0.010.01P X z >=，则{}0.010.99P X z ≤=，即0.01()0.99z φ=。查表可得0.01 2.327z =. 又 由()x ?图形的对称性知1z z αα-=-。下面列出了几个常用的z α值： 2. 正态总体均值μ的区间估计 设已给定置信水平为1α-，总体()2~,X N μσ，12,,,n X X X 为一个样本，2 ,X S 分别是样本均值和样本方差。
参数估计、假设检验及它们之间的关系（相同点、联系与区别） 统计学方法包括统计描述和统计推断两种方法，其中，推断统计又包括参数估计和假设检验。 1.参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数的真值，它的方法有点估计和区间估计两种。 点估计就是直接以样本统计量直接作为相应总体参数的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度。 区间估计是在点估计的基础上给出总体参数估计的一个估计区间，该区间是由样本统计量加减允许误差（极限误差）得到的。在区间估计中，由样本统计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间称为置信区间。在其它条件相同的条件下，区间估计中置信度越高，置信区间越大。置信水平为1-a, a（显著性水平）为小概率事件或者不可能事件，常用的置信水平值为99%，95%，90%，对应的a为0.01, 0.05，0.1。置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化,而且不是所有的区间都包含总体参数。 一个总体参数的区间估计需要考虑总体是否为正态分布,总体方差是否已知，用于估计的样本是大样本还是小样本等。 （1）来自正态分布的样本均值，总体方差已知，不论抽取的是大样本还是小样本，均服从正态分布。 （2）总体不是正态分布，总体方差已知或未知，大样本的样本均值服从正态分布,小样本的不能进行参数估计。 （3）来自正态分布的样本均值，如果总体方差未知，原则上都按t 分布来处理（但在大样本的情况下，可近似按正态分布处理）。 2.假设检验假是根据样本统计量来检验对总体参数的先验假设是否成立，是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。
参数估计和假设检验 一． 参数估计 估计的原理： 在前面我们已经得到样本统计量的如下分布： （1）X :2 (,)n σμ （2） 2 2(1)2 n n s χσ-?: （3）μp (, )pq p n : （4）2 2 12 12121 2 ()(, )X X n n σσμμ--+ : （5）μ ?1122 121212 ()(,)p q p q p p p p n n --+: （6） 2 12 12 12222 (1,1)s F n n s σσ--: （7）当总体的方差2σ (1)n x t -: 对于事先确定的置信概率，我们可以构造一个不等式区间，利用这一不等式区间来进行估计，例如已知样本容量和样本均值以及总体的方差，要求以95％的置信概率来估计总体的均值，利用统计量 X :2 (, )n σμ，则我们知道X 落入μ± 这一区间的概率是95％， 也就是X μμ-≤≤+这一不等式成立的概率是95％，由 于在这一不等式中σ、X 、n 为以知，故可得出：
X X μ-≤≤+ 则估计完毕。 同样在知道样本容量及样本方差的情况下可以利用2 2(1) 2 n n s χσ-?:来对总体的方差进行估计 在知道样本容量和样本比例的情况下利用μp (,)pq p n :来对总体比例进行估计 利用2 212 12121 2 ()(, )X X n n σσμμ--+ :来估计12μμ- 利用μ ?1122 121212 ()(,)p q p q p p p p n n --+:来估计12p p - 利用 2 12 12 12222 (1,1)s F n n s σσ--:来估计2 122 σσ 在总体的方差2σ (1)n x t -:来估计μ 利用匹配样本来估计两个总体均值的差：见书P194页 样本容量的确定： 在估计总体的均值、比例和两个总体的均值之差和比例之差时，估计的误差E ，主要由置信概率所决定的区间长度确定的，例如在利用样本均值来估计总体均值时，假设置信概率为95％，则 利用这一等式，显然在E 、σ确定时，也就可以计算出n 。
MATLAB参数估计与假设检验 课型：新授课 教具：多媒体教学设备，matlab教学软件 一、目标与要求 掌握matlab统计工具箱中的基本统计命令及其应用。 二、教学重点与难点 本堂课教学的重点在于引导学生在编写matlab程序时能够熟练运用基本统计量的相关命令实现相应的功能。 三、教学方法 本课程主要通过讲授法、演示法、练习法等相结合的方法来引导学生掌控本堂课的学习容。 四、教学容 上机容回顾 一、基本的统计量命令 二、常见概率分布函数 新授课 统计推断：通过对样本的处理和分析，得出与总参数相关的结论。 统计推断包括参数估计和假设检验两部分容。 示例：吸烟对血压有影响吗？ 对吸烟和不吸烟两组人群进行24小时动态监测，吸烟 组66人，不吸烟组62人，分别测量24小时收缩压（24hSBP）和舒压（24hDBP），白天（6Am-10Pm）收缩压（dSBP）和舒压（dDBP ），夜间（10Pm-6Am）收缩压（nSBP）和舒压（nDBP）。然后分别计算每类的样本均值和标准差
问题： 1）任何一个考察的时段，吸烟和不吸烟群体的血压的真值分别是多少？（参数估计）2）吸烟和不吸烟群体的血压的真值是否有区别？（假设检验） 概念： 第一部分： 一：点估计 1 矩估计法 2 似然函数法 二、评价估计优劣的标准 1 无偏性 2 有效性 3一致性 三、区间估计 参数估计的MATLAB实现：
例题： 50名17岁城市男性学生身高（单位：cm）： 170.1 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7 173.2 172.3 169.3 172.8 176.4 163.7 177.0 165.9 166.6 167.4 174.0 174.3 184.5 171.9 181.4 164.6 176.4 172.4 180.3 160.5 166.2 173.5 171.7 167.9 168.7 175.6 179.6 171.6 168.1 172.2 运行结果 标准差区间估计（4.4863，6.6926） 标准差点估计5.3707 均值区间估计（171.1777, 174.2303） 均值点估计172.7040 第二部分 假设检验 总体均值的假设检验 ?总体方差的假设检验 ?两总体的假设检验 ?0-1分布总体均值的假设检验 ?总体分布正态性检验 ?假设检验的MATLAB实现
第5章 参数估计与假设检验练习题 1、设随机变量 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ2 ，（X 1 ，X 2 ，···，X n ）为X 的一个样本， 试比较 ))(1(12 ∑=-n i i X n E μ 与 ))(1(1 2∑=-n i i X X n E 的大小。 （ 前者大于后者 ） 2、设随机变量 X 与Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = σ2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 σ2 的无偏估计 。 （ 16 / 7 ） 3、设正态总体 X ~ N ( μ , σ2 ) ，参数 μ ，σ2 均未知，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）（ n ≥ 2 ） 为简单随机样本，试确定 C ，使得 ∑-=+-=1 1212 )(?n i i i X X C σ 为 σ2 的无偏估计。 （ ) 1(21 -n ） 4、假设总体 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ 2 ，),...,,(21n X X X 为来自总体 X 的一个样本， X 、S 2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 22cS X - 为 μ 2 的无偏估计量. （ 1 / n ） 5、设 X 1 ，X 2 是取自总体 N ( μ , σ2 ) （ μ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量 2114341?X X +=μ ，2122121?X X +=μ ，2132 1 31?X X +=μ 中哪个最有效。 （ 2?μ ）
6、设某总体 X 的密度函数为：??? ??><=其它 03),(3 2θθθx x x f ，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为该 总体的样本， Y n = max ( X 1 , X 2 , … , X n ) ，试比较未知参数 θ 的估计量 X 34 与 n Y n n 31 3+ 哪个更有效？ （ n > 1 时，n Y n n 31 3+ 更有效 ） 7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出 15010 1 =∑=i i x ，272010 1 2=∑=i i x 。求总体期望与 方差的矩估计 μ ? 和 2?σ 。 （ 15 ；47 ） 8、设总体 X 具有密度 ?? ? ??≤>=+-C x C x x C x f 01);()1 1(1???? ，其中参数 0 < ? < 1，C 为已知常数，且C > 0，从中抽得一样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n ，求参数 ? 的矩估计量。 （ 1 - C /?X ，其中 ∑==n i i X n X 1 1 ） 9、设总体 X 服从（ 0，? ）上的均匀分布，其中 ? > 0 是未知参数，（ X 1 ，X 2 ，… ， X n ）为简单随机样本，求出 ? 的矩估计量 ? ? ，并判断 ?? 是否为 ? 的无偏估计量。 （ 2?X ，其中 ∑==n i i X n X 1 1 ；是 ） 10、设（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：