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4数列求和(1)

第四节数列求和

、基础知识

1. 公式法

(1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n?1]* = na j + 卑—

推导方法：倒序相加法.

严1, q = 1,

⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q

推导方法：乘公比，错位相减法.

⑶一些常见的数列的前n项和:

①1 + 2+ 3+…+ n =吨严

②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1);

③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2

2. 几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和.

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.

⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

考点一分组转化法求和

［典例］

n 2 + n

已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式；

⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1=

又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n ,

故 b n = 2"+

( — 1)

n n.

记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n ,

则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n +

1 — 2,

1 — 2

B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和

［解题技法］

1.分组转化求和的通法若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数

解析：选C

T 2n = A + B = 22n +

1+ n — 2.

数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前

n 项和的数列求和.

2.分组转化法求和的常见类型

厂I 叫=也士*?，血｝, 为等差或竽

分组求和

［题组训练］

已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( )

379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹

D . 439 + 220

2. 已知数列｛a n ｝

中, a 1 = a 2= 1, a n +2= ［an + 2, n 是奇数，

仁，n 是偶数，则数列｛an ｝的前20项和为

1 121 B . 1 12

2 C . 1 12

3 D . 1 124

解析：选C 考点二裂项相消法求和［解题技法］

1.用裂项法求和的裂项原则及消项规律

2.常见的拆项公式

1 = 1- __|

⑴n (n + 1 ) n n + 1 ；

_= 1( 1 - __________ .

⑵(2 n - 1 )(2 n + 1 = 2^门—1 2n + 1

丿；

⑶乔k =时"；

⑷ 2n =

⑷(2n — 1 j(2n +

1 - 1) 2n - 1

2n +

1- 1.

考法(一)形如a n =

型

n (n + k )

［典例］已知等差数列｛a n ｝满足a 3= 7, 85+ a 7= 26. (1)求等差数列｛a n ｝的通项公式;

⑵设C n =^^, n € N *，求数列｛C n ｝的前n 项和T n .

a n a n +

考法(二)形如a n =

—

尸型 V n +k +V n

［典例］已知函数f(x)= X a的图象过点(4,2)，令a n= f(n+ 1 Z f(n)' n e ".记数列｛瑞的前n项和为S n，贝y S2 019=( )

A^2 018- 1 B^2 019- 1

C72 020—1 D.\/2 020 + 1

［答案］C

［题组训

练］

1.在等差数列｛a n｝中, a3+ a5+ a7= 6, a11= 8,则数列i a n+3 a n.4J的前n项和为(

)

n+ 1 n

B.n + 2

n C.n+ 1

2n D.乔

解析：选C

2.各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1= 8,且2a1, a3,3a2成等差数列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

⑵若数列｛b n｝满足b n= 求｛b n｝的前n项和S n.

考点三错位相减法

［典例］

(2017山东高考)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，且a i + a2= 6, a i a2= a3.

⑴求数列｛a n｝的通项公

式; P- r

(2)｛ b n｝为各项非零的等差数列，其前n项和为S n.已知S2n+1= b n b n+1，求数列舊的前n 项和T n.

［变透练

清］

1.(变结论若本例中a n, b n不变，求数列｛a n b n｝的前n项和T n.

2.已知｛a n｝为等差数列，前n项和为S n(n€ N*), ｛b n｝是首项为

大于0,匕2 + g = 12,匕3= a4 —2a i, S ii= lib%

2的等比数列，且公比

⑴求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；

⑵求数列｛a2n b n｝的前n项和(n€ N*).

［易误提

醒］

(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n—1项和当作n项和.

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比况求解. q = 1和q工1两种情

［课时跟踪检测］

n + 1

1 .数列｛a n ｝的通项公式为a n =9 + f 〒，若该数列的前k 项之和等于9,则k =(

)

B . 81

C . 79

D . 82

解析：选B

2.若数列｛a n ｝的通项公式是a n = (— 1)

n (3n — 2)，则a 1+a 2+…+昕=( )

A . 15

B . 12

C .— 12

D . — 15

解析：选A

3.已知｛a n ｝是首项为1的等比数列，S n 是｛a n ｝的前n 项和，且9S B = 则数列巴!的

前5项和为( ) A ?普或5 B.?1或5

31 C.w 15

解析：选C 4.在等差数列｛ a n ｝中，a 4= 5, 87= 11?设b n = (— 1)n a n ,则数列｛*｝的前100项之和S 100

A . — 200

B . — 100

C .

200

D . 100

解析：选D

5.已知T n 为数列一2 + 1

的前n 项和，若m>T 10 + 1 013恒成立，则整数 m 的最小值为

A . 1 026

B . 1 025

C . 1 024

D . 1 023

解析：选C

6.已知数列：1, 24, 38,…，(n + 2^)…，贝y 其前n 项和关于n 的表达式为

n 1

7 . (2017全国卷n )等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , 23= 3, $4= 10,则艺T =

k =1 Sk 答案：-2n

n *

&已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 a n = 2 (n € N )，贝U S 2018= 答案：3 21 009 — 3 9.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 2= 3, S 4= 16, n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 、，，求数列｛ b n ｝的前n 项和T n . ⑵设b n =

B 级

1 .若数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S h = 2a n — X QO , n € N

(1)证明数列｛a n ｝为等比数列，并求 a n ；

n 为奇数， * 为偶数(n € N)，求数列｛bn ｝

的前2n 项和T2n .

⑵若X = 4，bn =爲2a n , n 2.已知首项为2的数列｛a n ｝的前n 项和为&，且S n +1= 3S n — 2S n -1( n A 2, n € N). (1)求数列｛a n ｝的通项公式; ⑵设b n =

，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .

a n

a n a n +1

a n ，

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲数列求和及综合应用数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一公式法求和等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ，所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ，由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列，所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ，所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ，所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )．求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．命题角度二分组转化法求和将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节数列求和

第四节数列求和授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和：使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

第四节数列求和

第四节数列求和高考概览：1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． [知识梳理] 1．公式法与分组求和法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3．裂项相消法把数列的每一项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以出现有规律的相互抵消，从而求得其和．

4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． [辨识巧记] 1．三个裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 . (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 2．两个注意点 (1)应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项． (2)应用错位相减法时，应注意相减后符号的变化和所构成的等比数列的项数． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12? ?? ??1n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋

三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲数列求和精英篇(解析版)全国通用

第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。所以： 1＋2＋3＋…＋98+99+100 ＝101×50 即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050 这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的

例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）3、4、5、6、……、76、77、78 （3）4、7、10、13、……、40、43、46 （4）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29 分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550 （2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第4课时数列求和

[课时作业] [A 组基础巩固] 1、在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }前19项和为( ) A 、98 B 、95 C 、93 D 、90 解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 9＋a 11)2＝19×102 ＝95. 答案：B 2、已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43 ，则{a n }前10项和等于( ) A 、－6(1－3 －10) B.19(1－3－10) C 、3(1－3－10) D 、3(1＋3－10) 解析：由a n ＋1a n ＝－13，由a 2＝－43 ，∴a 1＝4， ∴S n ＝3??? ?1－????－13n ，令n ＝10得S 10＝3(1－3－10)、答案：C 3、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14 ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A 、16(1－4－n ) B 、16(1－2－ n ) C.323(1－4－n ) D.323 (1－2－n ) 解析：由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14 . 又a 1a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8????1－????14n 1－14 ＝323(1－4－n )、答案：C 4、数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }前10项和为( ) A.14 B.512 C.34 D.712 解析：依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2 ，所以{b n }前10项和为S 10＝????12－13＋????13－14＋????14－15＋…＋????111－112＝12－112＝512 ，故选B. 答案：B 5、已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列???? ??1a n a n ＋1前100项和为( )

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== ==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4

112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 等比数列 {}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则 2 232221n a a a a ++++Λ 练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…；练习5 练习6 练习7

练习10 求和： 111 1447(32)(31) n n +++ ??-?+ L 练习11 求和： 111 1 12123123n ++++= +++++++ L L 练习12 设{} n a 是等差数列， {} n b 是各项都为正数的等比数列，且11 1 a b == ，35 21 a b += ， 5313 a b += （Ⅰ）求{} n a ， {} n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b ?? ?? ??的前n项和n S．

数列求和习题及答案.docx

§ 数列求和（： 45 分分： 100 分）一、 ( 每小 7 分，共 35 分 ) * 1 1．在等比数列 {a n } ( n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8，数列的前 10 和 ( ) A ． 2－ 18 B ． 2－ 19 2 2 C ． 2－ 1 10 D ． 2－ 1 11 2 2 2．若数列 {a n } 的通公式 a n ＝2n ＋ 2n － 1，数列 {a n } 的前 n 和 ( ) n 2 n ＋ 1 2 A ． 2 ＋ n －1 B ． 2 ＋ n － 1 C ． 2n ＋ 1＋ n 2－ 2 D ． 2n ＋ n － 2 3．已知等比数列 {a n } 的各均不等于 1 的正数，数列 {b } 足 b ＝ lg a ， b ＝ 18，b ＝ 12， n n n 3 6 数列 {b n } 的前 n 和的最大等于 ( ) A ． 126 B ． 130 C ． 132 D ． 134 4．数列 {a } 的通公式 n － 1 ·(4 n － 3) ，它的前 100 之和 S 等于 ( ) n a ＝ ( － 1) n 100 A ． 200 B ．－ 200 C ． 400 D ．－ 400 5．数列 1·n , 2(n －1),3(n －2) ，?， n ·1的和 ( ) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) 二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 ) 6．等比数列 {a } 的前 n 和 n 2 2 2 S ＝2 － 1， a ＋ a ＋?＋ a ＝ ________. n n 1 2 n 7．已知数列 {a } 的通 a 与前 n 和 S 之足关系式 S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________. n n n n n n 8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b } 足 b ＝log 3a ，数列的前 n n n n n 1 b b n ＋ 1 n 和 S ＝ ________. n 9．关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数 a n ，数列 {a n } 的前 n 和 S n ， S 100 的 ________．三、解答 ( 共 41 分 ) 10． (13 分 ) 已知数列 n n 和，于任意的 * {a } 的各均正数， S 其前 n n ∈N 足关系式 2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通公式； n (2) 数列 {b } 的通公式是 b ＝ 1 ，前 n 和 T ，求：于任意的 n n n log 3a n ·log 3a n ＋ 1 正数 n ，有 T n <1. } 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差 11． (14 分) 已知增的等比数列 {a n 2 3 4 3 2 4

2017届高三数学一轮复习第六篇数列第4节数列求和及综合应用基丛点练理

第4节数列求和及综合应用知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,6 裂项相消法求和3,10,11, 13 错位相减法求和4,9 数列的综合应用5,8,12,14 数列的实际应用7 1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C ) (A)1+2n(B)2+2n (C)n+2n-1 (D)n+2+2n 解析:由题意令a n=1+2n-1, 所以S n=n+=n+2n-1,故选C. 2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A ) (A)9 (B)8 (C)17 (D)16 解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17 =-1×8+17 =9. 故选A. 3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于( B ) (A)1 (B) (C) (D) 解析:因为a n=-, 所以S n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=. 所以S5=.故选B. 4.S n=+++…+等于( B ) (A) (B) (C)(D) 解析:由S n=+++…+,①

得S n=++…++,② ①-②得, S n=+++…+- =-, 所以S n=. 5.(2015郑州二模)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为等比数列{a n}的首项为,公比为-, 所以S n==1-(-)n, 当n取偶数时,S n=1-()n<1; 当n取奇数时,S n=1+()n≤1+=. 所以S n的最大值为.故选D. 6.(2016宁夏石嘴山高三联考)在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51= . 解析:因为数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*), 所以a3-a1=0, a5-a3=0, … a51-a49=0, 所以a1=a3=a5=…=a51=1. 由a4-a2=2,得a4=2+a2=4, 同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50. 所以a1+a2+a3+…+a51 =(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50) =26+ =676. 答案:676 7.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= . 解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n},

(完整版)数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1) ，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得???? ? 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9 2d ＝10a 1＋45d ＝100，解得??? a 1＝1， d ＝2， 3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12? ? ???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1 .12分

2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书：第6章第4节数列求和

第四节数列求和 [最新考纲] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1 ＋n (n －1)2d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n ) 1－q ，q ≠1. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝ 12? ????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ? ????1 a n －1a n ＋1.( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝ 12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4) 利用倒序相加法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23° ＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( ) A.1 B.56 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 C [S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋...＋(2n ＋2n －1)＝(2＋22＋ (2) )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2 ＋2×n (n ＋1) 2－n ＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2.]

第课时数列求和

(1 )求a 2,a 3, a 4地值； (2)求数列｛a .｝地通项a .; 第3课时数列求和 3.已知S 是数列｛a n ｝地前n 项和，且 a i =1，na n 中=2S n (n 忘 N ).考点目标：掌握求数列前n 项和地常用方法 (错位相减) 例1 已知数列｛a n ｝地前n 项和为S n ，且S n=2a n —2 ；数列｛b n ｝满足b 1=1， b n4 =b n +2. n W N * . (I)求数列｛a n ｝, ｛0｝地通项公式; (n)记 G = a n b n , n 亡N * .求数列｛q ｝地前n 项和人. 练习1 . 已知正项数列｛a n ｝地前n 项和为S n ，a 1 T ,当nX2且 nE 时，点 (S nj S n ) 1 1 * y = 2x + — 、 b n = log — a n (n 壬 N ). 在直线 2上，数列｛b n ｝满足 2 ｛西 (2)设数列a n 地前n 项和为T n .求T n . (1)求数列｛a n ｝地通项公式 a (列项相消) 例2已知等差数列｛a n ｝地公差为2,前n 项和为S n ，且0，翁0成等比数列. (1)求数列｛a n ｝地通项公式； —彳 4 n ⑵令b n = ( — 1)n ，求数列｛b n ｝地前n 项和T n . a n a n + 1 练习2 等差数列｛a n ｝地前n 项和为S n .已知a 1= 10, a ?为整数，且S 4. (1)求｛a n ｝地通项公式； 1 ⑵设b n = ------ ，求数列｛b n ｝地前n 项和T n . a n a n +1 课外练习 1.已知递增数列｛a n ｝满足a 1 + a 2 + 83+…+ a n = + n).版权文档，请勿用做商业用途 (1)求a 1及数列｛a n ｝地通项公式； (a n +1，n 为奇数， ⑵设C n = 5 斗/由彩. 求数列｛ C n ｝地前2n 项和T 2n .版权文档，请勿用做商业用 I a n -1 ? 2a n — 1 + 1，n 为偶数，途 2.已知数列｛a n ｝地各项均为正数，前 n 项和为S n ，且& = 一 (n 忘N ), (I)求证数列t a j 是等差数列; 1 ⑴设 b n W b1计…f 求T n .

5-4第四节数列求和练习题(2015年高考总复习)

第四节数列求和时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ ? ???? 2a n (n 为奇数)，a n ＋1 (n 为正偶数)，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析 ∵a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1 n ＋n ＋1 ，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．120 B ．99 C ．11 D ．121 解析由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝ n ＋1－n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120. 答案 A 3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，n ∈N * ，则数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n 2 B ．n (n ＋1)

C ．n (n ＋2) D ．n (2n ＋1) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2)．答案 C 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5. 即a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. 得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66. 答案 A 5．(2014·潍坊模拟)已知a n ＝? ?? ??13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)＝( ) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …