第十二章 拉普拉斯变换及逆变换
拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换
在代数中,直接计算
32
8
.95781
2028.6??
=N 5
3)
164.1(?
是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为
164
.1lg 53
)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N
然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念
定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分
()pt f t e dt +∞
-?
在P 的某一区域内收
敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即
dt
e t
f P F pt ?
∞
+-=
)()( ()
称()式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的
拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数)
,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明:
(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。
例 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。
解:00
00[]()[]pt pt
pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞
+∞+∞---+∞-=
=-
=-+?
?? 2020
][0p a e p a dt e p
a pt pt =-=+
=∞
+-∞+-?
)
0(>p
二、单位脉冲函数及其拉氏变换
在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路上的电流()i t ,以()Q t 表示上述电路中的电量,则
??
?=≠=.0,1,0,0)(t t t Q
由于电流强度是电量对时间的变化率,即
t t Q t t Q dt t dQ t i t ???)
()(lim )()(0-+==
→,
所以,当0t ≠时,()0i t =;当0t =时,
∞
=-=-+=→→)1
(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ?????。
上式说明,在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强
度.为此,引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数。
定义
设0,
01(),00,
t t t t εδεε
ε??
=≤≤??>??,当0ε→时,()t εδ的极限0
()lim ()t t εεδδ→=
称为狄拉克(Dirac )函数,简称为δ-函数。
当0t ≠时,()t δ的值为0;当0t =时,()t δ的值为无穷大,即0,
0(),0t t t δ≠?=?∞=?
。
显然,对任何0ε>,有0
1
()1t dt dt εεδε
+∞-∞
==??,所以()1t dt δ+∞-∞
=?。
工程技术中,常将δ-函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将δ-函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这个线段的长度表示δ-函数的积分,叫做δ-函数的强度。
例 求单位脉冲信号()t δ的拉氏变换。 解:根据拉氏变换的定义,有
dt
e dt e
dt e
dt e
t t L pt pt
pt
pt
-→∞
+-→-→∞+-?
?
?
?
=?+=
=
ε
εε
εε
εε
ε
δδ0
1
lim
0lim
)1
lim
()()]([
11lim 1)()1(lim 11lim 1][1
lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→ε
εεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ,
即
1)]([=t L δ。
例 现有一单位阶跃输入0,
0()1,
t u t t =?≥?,求其拉氏变换。
解:00
11
[()]()1[]pt
pt pt L u t u t e
dt e dt e p p
+∞
+∞---+∞=
==-
=?
?,(0)p >。 例 求指数函数()at
f t e =(a 为常数)的拉氏变换。 解:()0
1
[]at
at pt
p a t L e e e
dt e dt p a
+∞
+∞
---=
==
-?
?,()p a >,即
)(1
][a p a p e L at >-=
类似可得22
[sin ](0)L t p p ω
ωω
=
>+;22
[cos ](0)p
L t p p ωω=>+。
三、拉氏变换的性质
拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。
性质 (线性性质) 若1a ,2a 是常数,且11[()]()L f t F p =,22[()]()L f t F p =,则
)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += ()
证明:
dt
e t
f a dt e
t f a dt e
t f a t f a t f a t f a L pt pt
pt
-∞+-∞+-∞+?
?
?
+=+=
+)()()]()([)]()([0
22
11
22110
2211 )()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=
例 求函数1
()(1)at f t e a
-=-的拉氏变换 解:
)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=---- 性质(平移性质) 若[()][]L f t F p =,则
[()]()at
L e f t F p a =-(a 为常数) ()
证明:
?
?
∞+--∞+--==
=
)(0
)
()()()]([a p F dt e t f dt e
t f e t f e L t a p pt
at at
位移性质表明:象原函数乘以at
e 等于其象函数左右平移||a 个单位。
例 求[]at
L te ,[sin ]at
L e t ω-和[cos ]at L e t ω-。
解 因为21[]L t p =
,22[sin ]L t p ωωω=+,22[cos ]p
L t p ωω=+,由位移性质即得 。
,
,2
22
22)(]cos [)(]sin [)(1][ωωωωω+++=
++=-=--a p a
p t e L a p t e L a p te L at at
at
性质(滞后性质) 若[()][]L f t F p =,则
)()]([p F e a t f L ap -=- )0(>a ()
证明:
dt
e
a t f a t f L pt
?
∞+--=
-0
)()]([=dt
e a t
f dt e
a t f a
pt a
pt
?
?
∞
+---+
-)()(0,
在拉氏变换的定义说明中已指出,当0t <时,()0f t =。因此,对于函数()f t a -,
当0t a -<(即t a <)时,()0f t a -=,所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分,令t a τ-=,则
)
()()()]([0
)
(p F e d e f e
d e
f a t f L ap p ap
a p -∞
+--∞
++-===
-?
?
ττττττ
滞后性质指出:象函数乘以ap
e -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位。 由于函数()
f t a -是当t a ≥时才有非零数值。故与()f t 相比,在时间上滞后了一个a 值,正是这个道理,我们才称它为滞后性质.在实际应用中,为了突出“滞后”这一特点,常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -,所以滞后性质也表示为
)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--
例 求[()]L u t a -。 解:因为1[()]L u t p =
,由滞后性质得1[()]ap L u t a e p
--=。 例 求()
[()]a t L e
u t ττ--。 解:因为1[]at L e p a =-,所以()
1[()]a t p L e u t e p a τττ---=-,()p a >
例 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a
?≤=?
≤?≥?,求[()]L f t 。 解: )(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=,于是 )3(2)()([)]([a t cu a t cu t cu L t f L ---+=
)
21(233ap ap ap ap e e p c
e p c e p c p c ----+=-+=,
由拉氏变换定义来验证:
?
?
--+
=
a a a
pt pt
dt
ce dt ce
t f L 0
32)]([
)21()221(33ap ap ap ap ap e e p c
e e e p c ------+=-+-=
。
性质(微分性质) 若[()][]L f t F p =,并设()f t 在[0,+∞)上连续,'
()f t 为分段连
续,则
)0()()]([f p pF t f L -='
证明:由拉氏变换定义及分部积分法,得
dt e
t f t f L pt
?
∞+-'=
'0
)()]([?
∞+-∞
+-+=0
)(])([dt
e t
f P
e
t f pt pt ,
可以证明,在[()]L f t 存在的条件下,必有lim ()0pt
t f t e
-→+∞
=。因此,
)0()()]([)0(0)]([f p pF t f pL f t f L -=+-='
微分性质表明:一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ,再减去函数的初始值。
应用上述结果,对二阶导数可以推得
)}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([2f pf p F p f f p pF p f t f pL t f L '+-='--='-'=''
同理,可得
)}0()0()0({)()]([23f f p f p p F p t f L ''+'+-='''
以此类推,可得
)}0()0()0({)()]([)1(21)(---+'+-=n n n n n f f p f p p F p t f L ()
由此可见,()f t 各阶导数的拉氏变换可以由p 的乘方与象函数[]F p 的代数式表示出
来.特别是当初值(1)
(0)'(0)''(0)(0)0n f f f f
-====时,有更简单的结果
),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n , ()
利用这个性质,可将()f t 的微分方程转化为()F p 的代数方程。 例 利用微分性质求[sin ]L t ω和[cos ]L t ω。
解:令()sin f t t ω=,则2
()sin (0)0,'(0),"(0)sin f t tf f f t ωωωω====-,由()式,得
)]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=,
即
ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ,
移项化简得
2
2
[sin ]L t p ω
ωω
=
+
利用上述结果,1
cos (sin )'t t ωωω
=
及()式,可得
])(sin 1[][cos '=t L t L ωωω}
0sin ][sin {1
])[(sin 1-='=t pL t L ωω
ωω
2222}0{1ωωω
ω+=
-+?
=
p p
p p .
性质(积分性质) 若[()]()L f t F p = (0)p ≠,且设()f t 连续,则
?
=t p p F dx x f L 0)(])([ ()
证明:令0
()()t
t f x dt ?=
?
,显见(0)0?=,且因'()()t f t ?=,由微分性质,得
)0()]([)]([???-='t pL t L ,而)()]([)]([p F t f L t L =='?,所以有
()[()][()]t
F p pL t pL f x dx ?==?,即0
1
[()]()t
L f x dx F p p
=
?。 积分性质表明:一个函数积分后再取拉氏变换,等于这个函数的象函数除以参数p 。 例 求[]n
L t (n 是正整数)。 解:因为
?
?
?
=
=
=
t t t dx
x t xdx t dx t 0
2
3
2
321,,,…,
?
-=
t n n
dx
nx t 0
1,
所以由()式即得
,
!
3][3]3
[][,
!2][2]2[][,
!
1]1[]1[][420
2
3
302
21
0p p t L dx x L t L p
p t L xdx L t L p p p L dx L t L t t p t
==========?
?
?
一般地,有
1
10
1
!][][][+--===?
n n t n n
p n p t nL dt x
n
L t L
性质 若[()][]L f t F p =,则0>a 时
)
(1)]([a p F a at f L =
()
性质 若[()][]L f t F p =,则
)()1()]([)(p F t f t L n n n -= ()
性质 若[()][]L f t F p =,且0()
lim
t f t t
→存在,则
?
∞+=p dp
p F t t f L )(])
([ ()
例 求[sin ]L t t ω。 解:因为2
2
[sin ]L t p ω
ωω
=
+,由()式可得
22222)(2)()
1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L
例 求sin [
]t
L t
。 解:因为21[sin ]1L t p =
+,而且0sin lim 1t t t
→=,所以由()式可得
p arctg p arctg dp p t t L p p -==+=?
∞
+∞+2|11]sin [2
π
即
sin 2
pt t e dt arctgp t π
+∞
-=-?
。因此,当0=p 时,得到一个广义积分的值 ?
∞+=
02sin π
dt t t
这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。
现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:
习题
1.求下列函数的拉氏变换 (1)4()t
f t e
-=
(2)2
()f t t = (3)()at
f t te =
(4)()sin()f t t ω?=+(,ω?是常数) 2.求下列题中函数的拉氏变换 (1)43t
e
- (2)5sin 23cos t t -
(3)1,04()1,
4
t f t t -≤≤?=?
≥? (4)sin ,0(),
t t f t t t ππ
≤≤?=?
≥?
(5)0,02()1,240,4t f t t t ≤≤??
≤?≤?
(6)()n at f t t e = 第二节 拉普拉斯逆变换
前面我们主要讨论了怎样由已知函数()f t 求它的象函数()F p 的问题.运算法的另一面是已知象函数()F p 要求它的象原函数()f t ,这就是拉斯逆变换问题.在控制工程中,求拉
氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.
性质(先行性质)
)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--。
性质(平移性质)
)()]([)]([11t f e p F L e a p F L at at ==---。 性质(滞后性质) )()()]([1a t u a t f p F e L ap -?-=--。
例 求2
23
()25
p F p p p +=-+的逆变换。 解:
]4)1(5)1(2[]5232[
)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f
]4)1(2
[25]4)1(1[22
121+-++--=--p L p p L ]
42
[25]4[22121+++=--p L e p p L e t t ]
2sin 25
2cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=
在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时,通常遇到的象函数常常是有理分式,对
于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换表求出象原函数。
例 求32
3
()44p F p p p p
+=++的逆变换。 解:先将[]F p 分解为几个简单分式之和:
22
23)2(2)2(3443++
++=++=+++p C
p B p A p P p P p p p , 用待定系数法求得34A =,34B =-,1
2
C =-,所以
22
3)2(21
24343443)(+-+-=+++=p p p P p p p p F ,
于是
])2(1
212143143[
)]([)(211+-+-==--p p p L p F L t f
])2(1[21]21[43]1[432111+-+-=
---p L p L p L t
t te e 22214343----=
习题
求下列题中函数的拉氏逆变换
1. 2()
3F p p =
- 2. 24()16p
F p p =+ 3. 228()36p F p p -=+ 4. 1
()(1)(2)
F p p p p =++
5.232()69p F p p p p =++ 6. 22
1
()(1)
p F p p p +=- 第三节 拉氏变换在电学中的应用
一、求解常微分方程
例 求微分方程'()2()0x t x t +=满足初值条件(0)3x =的解。 解:第一步 对方程两边取拉氏变换,并设[()]()L x t X p =:
]0[)](2)('[L t x t x L =+,
0)]([2)]([=+'t x L t x L , 0)(2)0()(=+-p X x p pX 。
将初始条件(0)3x =代入上式,得
3)()2(=+p X p
这样,原来的微分方程经过拉氏变换后,就得到了一个象函数的代数方程。
第二步 解出()X p :3
()2
X p p =
+ 第三步 求象函数的拉氏逆变换:1
1
23
()[()][]32
t x t L X p L e p ---===+ 这样就得到了微分方程的解2()3t
x t e
-=。
例 有一个二阶动态电路满足微分方程''3'22t
y y y e --+=,并且其初值条件(0)2y =,
'(0)1y =-,求其解。
解:对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设[()]()L y t Y p Y ==,则得
12
2)]0([3)]0()0([2+=
+--'--p Y y pY y py Y p
将初值条件(0)2y =,'(0)1y =-,代入,得到Y 的代数方程
7212
)23(2-++=
+-p p Y p p
即
1
5
5
2
)2
3
(
2
2
+
-
-
=
+
-
p
p
p
Y
p
p
解出Y,得
)1
)(
2
)(1
(
5
5
22
-
-
+
-
-
=
p
p
p
p
p
Y
将上式分解为部分分式
2
3
7
1
4
1
3
1
-
-
-
+
+
=
p
p
p
Y
再取拉氏逆变换,就得到满足所给初值条件的方程的特解为
t
t
t e
e
e
t
y2
3
7
4
3
1
)(-
+
=-
用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。
二、电学应用举例
例求图示电路的输入运算阻抗Z in(s)
解:由串并联关系得
Z in(s) =
()()
()2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
+
+
=
+
+
+
=
?
?
?
?
?
+
s
s
s
s
s
s
s
例求图(a)所示电路中的i(t)、u C(t)。
(a)(b)解:先画出运算电路如图(b)所示。由运算电路得
()
()()j
3
j
3
1
10
6
1
10
6
1
1
3
2
1
2+
+
+
-
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
s
K
s
K
s
K
s
s
s
s
s
s
s
s
I
其中
()()
5
1
10
6
1
1
2
1
1
-
=
+
+
=
+
=
-
=
-
=
s
s s
s
s
s
s
I
K
()()()()()(
)?
=
+==++=?
-=
-=+++=
-+=--=+-=+-=87.81 /21j0.71.0j 387.81 /2
1j0.71.0j 31j 3j 33j
3j 32s s s s s I K s s s
s s I K
则
()()[]()A )ε( 87.81cos e 2e 51L 31t t s I t i t t ???
????-+-==---
()()()()
10
6110
102+++==
s s s s I s s U C j 3j 31321+++-+++=s K s K s K 其中
()()210
610
1 1
211=++=
+=-=-=s s C s s s s U K
()()()()j
3j 32j 3110
j 3 +-=+-=+++=
-+=s s C s s s s U K
?=+-=565.116 /5j21
()()?-=++=--=565.116 /5j 3 j 33s C s s U K
则
()()[]V )ε( )]565.116(cos e 52e 2[L 31t t s U t u t t C C ?++==---
习题
1.求解一输入响应电路的微分方程。
0)0(1053==+-i e i dt di
t ,
2. 求图(a)所示电路中的回路电流i 1和i 2.。
自测题
1. 求各函数的拉氏变换
(1)
0,01()1,122,2t f t t t ≤≤??
-≤?≤? (2)()5sin 23cos 2f t t t =-
(3)
2()8sin 3f t t = (4)()1t f t te =+
2. 求各象函数的逆变换 (1)21()(1)
F p p p =
- (2)2
39()210
p F p p p +=++ (3)235157()(1)(2)p p F p p p -+=+- (4)22()p
p e
e F p p
---=
3.如图所示电路激励为()
()i t t δ=,响应为1u 、2u 。求阶跃响应1()S t 、2()S t 。
u 2-1/4F
u 1
+-2H
2Ω
1Ω+
4.求图示两电路的输入运算阻抗Z in (s )
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥??=-t t Ae t f t α,其中,A 和a 为常数。 2、阶跃函数 000)(>??=t t A t f ,其中,A 为常数。 3、单位阶跃函数 4、斜坡函数 000)(≥??=t t At t f ,其中,A 为常数。 A =1时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r (t-t 0) 5、单位斜坡函数 6、正弦函数 00sin 0)(≥??=t t t A t f ω,其中A 为常数。 根据欧拉公式: 拉式变换为: 同理余弦函数的拉式变换为:2 2]cos [ωω+= s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<????=000,000)(,其中,A 和t 0为常数。 脉动函数可以看做是一个从t =0开始的高度为A /t 0的阶跃函数,与另一个从t =t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。 8、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。 9、单位脉冲函数 当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数, 量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生。但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u (t-t 0)在间断点t=t 0上的导数,即
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域
若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中,直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( (12.1) 称(12.1)式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数) ,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。 (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。 解:00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域 若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
(1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移 若[()]()f t F s ζ=,则[()]()at f t e F s a ζ-=+ (6) 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=,则1[()]()s f at F a a ζ= (a >0) (7) 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == (8) 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = (9) 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=,22[()]()f t F s ζ=,则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 (1) 部分分式展开法
拉普拉斯变换及其反变换表
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++= =----ΛΛ (m n >) 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -,m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数;n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中,Sn 2S 1S ,,,Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) s s ()s s ()s s () s (B s F n 1 r r 1 ---= +Λ = n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+ +-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )s (F )s s (lim c r 1 s s r 1 -=→ )]s (F )s s ([ds d lim c r 1 s s 1 r 1 -=→- M )s (F )s s (ds d lim !j 1c r 1 ) j () j (s s j r 1 -=→- )s (F )s s (ds d lim )!1r (1c r 1 ) 1r () 1r (s s 1 1 --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -= ?? ? ???-+ +-++-+-++-+-=++---n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r 1 s s c s s c s s c )s s (c ) s s (c )s s (c L ΛΛΛ t s n 1 r i i t s 1 2 2 r 1 r 1 r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+?? ? ???+++-+-=Λ (F-6)
拉普拉斯逆变换 对于单边拉普拉斯变换,由式(8.1-9)知,象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为 ????? ><=?∞ +∞-j 0 )(2 10,0)(σσj st t ds e s F j t t f ,π (8.3-1) 上述积分应在收敛域内进行,若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标],则积分路线是横坐标为σ,平行于与纵坐标轴的直线。实用中,常设法将积分路线变为适当的闭合路径,应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s 的有理分式,可将F(s)展开为部分分式,然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表(见附录五),将更为简便。 如果象函数F(s)是s 的有理分式,它可写为 11 10 111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- (8.3-2) 式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数,为简便且不失一般性,设1=n a 。若n m ≥,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和,即 ) () ()()(s A s B s P s F += (8.3-3) 式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。例如 6 1163 32261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F
由于)(]1[1t δ=-£,)(]['1t s δ=-£,…,故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成,容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。 一、查表法 附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表,下面举例说明它的用法。 例8.3-1 求2 35 2)(2+++= s s s s F 得原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ,故)(s F 可写为 ) 2)(1(5 22352)(2+++=+++= s s s s s s s F 由附录五查得,编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同,其中 2,1,5,201====βαb b 。将以上数据代入到相应的原函数表示式,得 0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为 )()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10 23 3)(2 +++= s s s s F 的原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=,故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为 2 223 )1() 1(310233)(+++=+++= s s s s s s F 查表可得,编号2-6的象函数形式与本例相同,只是本例的系数为3,故得
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? (2) 定义域
若0 σσ>时,lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在,即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时,则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 (3) 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=,则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移 若[()]()f t F s ζ=,则[()]() at f t e F s a ζ-=+ (6) 尺度变换
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误!未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1.Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件;它起源于矩阵运算,现已发展成一种高度集成的计算机语言;它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境,以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进,MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面: 1)数学计算; 2)新算法研究开发; 3)建模、仿真及样机开发; 4)数据分析、探索及可视化; 5)科技与工程的图形功能; 6)友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数(称为M文件),既有常用的基本库函数,又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时,这些库函数都可以被直接调用。无疑,这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵,所以在MATLAB环境下,数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且,MATLAB7.0界面友好,用户使用方便。首先,MATLAB具有友好的用户
拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
3.用查表法进行拉氏反变换 420
421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉普拉斯变换及其反变换表 1. 表A-1 拉氏变换的基本性质 1 L [ af ( t )] aF ( s ) 齐次性 线性定理L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) 叠加性 L [ df ( t ) ]sF ( s ) f ( 0 ) L [ d dt 2 f ( t ) dt 2 ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f (0 ) L d n f ( t ) n dt n s n F ( s ) s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k 1 f ( k 1 ) ( t ) d k 1 f dt ( t ) k 1 2 微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ d n f ( t ) dt n ] s n F ( s ) L[ f (t )dt ] F ( s) s [ f (t )dt ]t 0 s [ 2 L[ f ( t)( dt ) ] 2 F ( s) s 2 f (t) d t ]t 0 s [ 2 f (t )(dt ) ]t 0 s 共n个共n个 L[ f (t)(dt )n ] F ( s) s n n k 1 s 1 n k 1 [ f (t)(dt ) n ] t 0 一般形式 共n个 3 积分定理 初始条件为0 时L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n Ts 4 延迟定理(或称t 域平移定理) L[ f (t T)1(t T )] e F ( s) 精品资料
精品资料 5 衰减定理(或称 s 域平移定理) L[ f (t )e at ] F ( s a) 6 终值定理 lim f ( t ) lim t s sF ( s) lim f (t ) lim sF(s) 7 初值定理 t 0 s 8 卷积定理 t L[ f 1( t ) f 2 ( ) d ] t L[ f 1( t ) f 2 ( t ) d ] F 1 (s) F 2 ( s ) 2. 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f(t) Z 变 换 F(z) 1 1 δ(t) 1 1 2 1 e Ts T ( t) (t nT ) z n 0 z 1 1 1(t ) z s z 1 1 4 s 2 t Tz ( z 1)2 1 t 5 s 3 2 T 2 z(z 1) 2( z 1) 1 t n 6 n 1 lim ( 1) z n ( aT ) s n! a 0 n! a z e 1 7 s a e at z z e 1 at Tze 8 ( s a) 2 te a at ( z e (1 e aT ) 2 aT ) z 9 s(s a) 1 e (z 1)( z 2 3 n ) 3 n aT aT e aT
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉普拉斯变换及其逆变换 表 Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换及其反变换表 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
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421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换公式总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ?
(2) 定义域 若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式
11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) 原函数)(t f 为 (F-6)
1拉氏变换的定义 若时间函数 f (t ) 在 t > 0 有定义,则 f (t ) 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)为 ? ∞ -?= =0 )()()]([dt e t f s F t f L ts ???)()(t f s F 2拉普拉斯反变换 s s F t f st d e )(j 21 )( j j ?∞ +∞ -=σσ π ,可表示为:f (t ) =L -1[F (s )] 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1)1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 像 原像