2012年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
72
的系数是，计算出答案即可得出正确选项
x
的系数是=21
2．（5分）（2012?四川）复数=（）
3．（5分）（2012?四川）函数在x=3处的极限是（）
=x+3
f（
在
4．（5分）（2012?四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）
B
，CE=
，
CED=
，CE=
5．（5分）（2012?四川）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
B
（的图象向下平移
在
在
7．（5分）（2012?四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充
B
且
??与共线且同向?
8．（5分）（2012?四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M
B
=3
9．（5分）（2012?四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，
，
10．（5分）（2012?四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）
B
PE=
AE=
AP==
，
AOP=AOP=arccos，
11．（5分）（2012?四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，
方程变形得
解：方程变形得
12．（5分）（2012?四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）=5π，则=（）
是公差为的等差数列，可求得
+
是公差为的等差数列，
﹣×）+
=2cos cos+2cos
cos+cosa
+2cosa（﹣
1+
+
，
﹣（﹣
﹣
．
=
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（4分）（2012?四川）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（?U A）∪（?U B）={a，c，d}．
14．（4分）（2012?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．
为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与
，=，?，所以⊥
15．（4分）（2012?四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．
代入椭圆±．
EF=
16．（4分）（2012?四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=
﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则．
其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的编号）
﹣（＞＞
，
，
≥=
＞
；
④
规律可知
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12分）（2012?四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
发生故障的概率为
=
；
0 1 2
××××=
18．（12分）（2012?四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图
象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．
=2）
（Ⅱ）由，知+（﹣，
（+=
sin x=2）
2
=8=
=2x
x），由，知x∈，）
x）=．
=2x+=2（++=2x+ cos（+sin]
（××
19．（12分）（2012?四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．
OP=
与平面
OP=，
CD=2OC==
==
．
DE=CED==
OP=，，所以，，
=，））为平面
==
arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，，，
的一个法向量为，则由得出
﹣，所以=（﹣
==
arccos．
20．（12分）（2012?四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．
，令，可知
，结合数列的单调性可求时，得②
联立可得或
或
，由（Ⅰ）可得
时，，
=
=
是单调递减的等差数列，公差为﹣
时，
项和最大，=
21．（12分）（2012?四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求
的取值范围．
，利用，即可确定
，∴
，﹣，
=
，且
，且
的取值范围是（）
22．（14分）（2012?四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半
轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．
（Ⅰ）根据抛物线与
，则成立的充要条件是
，
时，
时，
（Ⅰ）∵抛物线与（
求导得
处的切线方程为，∴
，则成立的充要条件是
≥
，
＞
时，
时，对所有都有
；
下面证明：
时，
==）时，时，
）
，因此
≥
=