三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。
（10分）
解：∑∑∞
=-∞
-∞=-=
=
)()(n n
n n n
n
z a z
n u a z X
1
111
)(-∞=--==
∑
az z a n
n ||||a z >
2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n
求
)()()(n h n x n y *=。（10分）
解：[]a
z z
n x z X -=?
=)()(， ||||a z >
[]b
z a
z b z a b z z n h z H --=---=
?=)()(， ||||b z >
b
z z
z H z X z Y -=
=)()()( ， ||||
b z >
其z 反变换为
[])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=-
3、写出图中流图的系统函数。(10分)
解：2
1)(--++=cz bz a z H
2
1124132)(----++=
z z z z H
４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ：
[])()(11k X n x DFT = [])
()(22k X n x DFT =（10分）。
解:先利用这两个序列构成一个复序列，即
)()()(21n jx n x n w +=
即
[][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +==
[]()[]n x jDFT n x DFT 21)(+=
)()(21k jX k X +=
又[])(Re )(1n w n x =
得
[])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep ==
[]
)())(()(2
1*k R k N W k W N N -+=
同样
[])(1
})({Im )(2k W j
n w DFT k X op ==
[]
)())(()(21*k R k N W k W j
N N --=
所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。
5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型
结构。（10分） 解： ｘ（ｎ）
1-z
1-z
1-z
1-z
１ 9.0 2
9.0 3
9.0 4
9.0
ｙ（ｎ）
６、略。
７、设模拟滤波器的系统函数为
31
11342)(2+-+=++=s s s s s H a
试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分）
解 T
T
e z T e z T z H 31111)(-------=
T
T T T T e z e e z e e Tz 423131)(1)
(--------++--=
设T=1，则有
2
11
1831.04177.013181.0)(---+-=
z z z z H
Ω+Ω-=
Ω4)3(2
)(2j j H a
ω
ωω
ω21831.04177.013181.0)(j j j j e e e e H ---+-=
三、（12分）序列)(n x 为
()()2(1)(3)x n n n n δδδ=+-+-
1、 画出序列)(n x 的图形；
2、计算线性卷积)()(n x n x * ；
3、计算5点圆周卷积)(n x ○5)(n x 。
4、为了使N 点的)(n x 与)(n x 圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N 值为多少？ 解：1、序列)(n x 的图形如下：（2分）
2、)6()4(4)3(2)2(4)1(4)()()(-+-+-+-+-+=*n n n n n n n x n x δδδδδδ ={1，4，4，2，4，0，1} （4分）
)
(n x 3
21
0n
1
1
2
3、)(n x ○5)(n x )4(4)3(2)2(4)1(5)(-+-+-+-+=n n n n n δδδδδ ={1，5，4，2，4} （4分）
4、为了使N 点的)(n x 与)(n x 圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N 值为4+4-1=7 （2分） 四、（16分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： )1(2
1
)()2(81)1(43)(-+=-+--
n x n x n y n y n y 求该系统的系统函数H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。 2、画出其直接Ⅰ型和Ⅱ型的实现结构。
3、求该系统的单位脉冲响应()h n ，并判断该系统是FIR 系统还是IIR 系统？
解:1、 1
12112()31148
z H z z z ---+
=-+ (3分) 极点:14z = , 12z = 零点: 0z =, 1
2z =- (2分)
收敛域 1
2
z > (因系统是因果系统) (1分)
2、直接Ⅰ型实现结构 (2.5分) 直接Ⅱ型实现结构 (2.5分)
3、 112112()31148
z
H z z z ---+
=-+=1143111124z z ---+
-- , 12z > 系统的单位脉冲响应为: 11()[4()3()]()24
n n
h n u n =- (3分)
该系统是IIR 系统. (2分)
五、（15分）已知系统的单位取样响应??
?≤≤=n
n n h 其它,07
0,1)(
1、 求该系统的频率响应即振幅、相位。并指出该系统属于哪一种类型的线性相位FIR 滤波器？
2、 求该系统的系统函数H(z)，画出H(z)的极点和零点，指出其收敛域。
3、 试判断该系统是否是稳定系统？
4、画出其横截型实现结构。 解 1、系统的频率响应为
ω
ωωωω
ωω27
87
)
2/sin()4sin(11)(j j j n n
j j e
e e e
e H ---=-=--==∑ )
2/sin()
4sin()(ωωω=
j e H
πωωθk +-=2
7)( ，k 为整数。 （3分）
因系统单位脉冲响应的长度为8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位FIR 滤波器。 （2分） 2、系统函数H(z)为 1
87
17
111)(----=---=+++==
∑z z z
z z
z H n n
（2分） H(z)的极点为0=z （7阶），零点为k j e z 8
2π= ，7,,2,1 =k （2分）
H(z)的收敛域为 0>z （1分） 3、系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的 （2分） 4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示 （3分）
六、（10分）设)
3)(1(2
)(++=
s s s H a ，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟
系统函数转变为数字系统函数)(z H ，采样周期2T =。
解：双线性变换法：（5分） )
2(221)311)(111(2
)
()(1
2
111111121
1
-------+-=
+++=++-++-=
=--z z z z
z z z s H z H z z T s a 脉冲响应不变法：（5分）
3
1
11)3)(1(2)(+-+=++=
s s s s s H a
2
4131
3131)(1)(11)(------------++--=---=z
e z e e z e e T z e T z e T z H T T T T T T T 当采样周期2T =
2
81621
62)(1)(2)(--------++--=z e z e e z e e z H
)
(n x 3
21
0n
1
1
2
七、(12分)有一连续信号)2cos()(ft t x a π=，式中Hz f 50=， 1、求出)(t x a 的周期；
2、用采样间隔s T 002.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(?t x
a 的表达式； 3、写出对应)(?t x
a 的时域离散信号（序列）)(n x ，并求出)(n x 的周期。 4、若频谱分析时计算了100个采样的DFT ，试求频谱采样之间的频率间隔F 。 解：1、)(t x a 的周期是
02.01
==
f
T a s (2分) 2、 ∑∞
-∞
=-=n a nT t fnt t x
)()2cos()(?δπ
=
∑∞
-∞
=-n nT t nT )()100cos(δπ (3分)
3、 因s T 002.0=, 则)2.0cos()(n n x π= (2分)
)(n x 的数字频率为
πω2.0=，
102=ω
π
周期10=N (3分)
4、频谱采样之间的频率间隔 Hz NT N f F s 5002
.01001
1=?=== (2分) 八、（10分）1、图 1 所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出1()Y k 和2()Y k 与1()X k 和
2()X k 的关系。
2、若M
N 2=，请给出时间抽取法FFT 总的复数乘法次数和复数加法次数。
3、M
N 2=时，DIT-FFT 共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？
图1 时间抽取法蝶形运算流图符号
解：1、)()()(211k X W k X k Y k
N += （2分） )()()(212k X W k X k Y k
N -= （2分）
2()
Y k 1()
Y k 1()X k 2()X k k
N W 1
-
2、总的复数乘法次数 N N M F 2log 2
1
= （1.5分） 总的复数加法次数 N N A F 2log = （1.5分）
3、DIT-FFT 共需M 级分解，每级运算要计算的蝶形运算有2
N
个. （3分）
四、简答题 （每题5分，共20分）
1．用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？
2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 3．简述用双线性法设计IIR 数字低通滤波器设计的步骤。 4．8点序列的按时间抽取的（DIT ）基-2 FFT 如何表示？ 五、计算题 （共40分）
1．已知2
(),2(1)(2)
z X z z z z =
>+-，求x(n)。（6分）
2．写出差分方程表示系统的直接型和级联．．
型结构。（8分） )1(3
1
)()2(81)1(43)(-+=-+--
n x n x n y n y n y 3．计算下面序列的N 点DFT 。 （1）)0()()(N m m n n x <<-=δ（4分） （2）)
0()(2N m e
n x mn N
j <<=π
（4分）
4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 y L (n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积y C (n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分） 5．设系统由下面差分方程描述：
)1()2()1()(--+-=n x n y n y n y
（1）求系统函数H （z ）；（2分）
（2）限定系统稳定．．
，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分）
四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
答案：
1.答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应
2.答：
第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。
3.答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤
波器。 4．答：
五、计算题 （本题共5个小题，共40分）
本题主要考查学生的分析计算能力。 评分标准：
1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。
2.部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。
3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。 答案：
1．解：由题部分分式展开
()(1)(2)12
F z z A B
z z z z z ==+
+-+- 求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 2
32131)(-+
+=
z z
z z z F （3分） 收敛域?z ?>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 12
()(1)()(2)()33
k k f k k k εε=-+ （3分） 2．解：(8分)
3．解：（1） kn
N W k X =)( （4分） （2）?
?
?≠==m k m k N k X ,0,)( （4分） 4．解：（1） y L (n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） y C (n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c ≥L 1+L 2-1 （2分） 5．解：（1） 1
)(2--=
z z z
z H （2分）
（2）
5115
22
z -+<< （2分）； )1()251(5
1)()251(51)(--+---
=n u n u n h n
n （4分）
简答题：
1． 在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么
作用？
答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(min Z H 有何特点？
解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
∑∑=-=--==
N k k
k M
r r
r Z a Z
b Z Q Z P Z H 1
01)
()
()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1 k α。但零点
可以位于Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统
)
(1
)(Z H Z G =也是稳定因果的。这就需要)(Z H 的零点也位于单位圆内，即1 r β
。一
个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jw e H 唯一确定。从jw
e 求)(Z H 的过
程如下：给定jw e ，先求2
jw e
，它是)cos(kw 的函数。然后，用
)(2
1k k
Z Z -+替代)cos(kw ，我们得到)()()(1
-=Z
H Z H Z G 。最后，最小相位系统由单位圆内的)(Z G 的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
)()()(min Z H Z H Z H ap =
完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(Z H 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(min Z H 是最小相位的。然后，选择全通滤波器
)(Z H ap ，把与之对应的)(min Z H 中的零点映射回单位圆外。
3．何谓全通系统？全通系统的系统函数
)
(Z H ap 有何特点？
解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应的傅里叶变换幅值1)(=jw e H ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
∏∑∑=-*
-=-=---=-=
=N
k k
k
N k k
k M
r r
r ap Z Z Z a Z
b Z Q Z P Z H 11
11
011)
()
()(αα。因而，如果在k Z α=处有一个极点，则在其共轭倒数点*
=k
Z α1
处必须有一个零点。
4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
()
n h ()
n x ()
n y
解：频率响应：∑∞
∞
--=n
j j e n h e
H ωω
)()(
系统函数：∑∞
∞
--=
n
Z n h Z H )()( 差分方程：?
?
??
??-)()(1Z X Z Y Z
卷积关系：∑∞
∞
-*=)()()(n x n h n y
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭）
解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑
∞
-∞
=-=
=n n
j j e n x e
X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]
2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑
∑
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
2
1(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ωωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2)4
1(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（
ω
ωωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116
)41(20
)2(2
（c ）ω
ωωδω2]24[][)(j n n j n
j n e e n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞
==-=
=
∑
∑ （d ）]12
111
2111[21)(?--+-==
--∞
-∞=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X ）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(1
21)211(121)
()(ωωωωω
ωωj j j j e e
e e d X d j
X ---+--=-=
3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）
)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x
=-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞=-
（2）
∑∑∞
-∞
=-*-*
∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn n jwn
e X e X e n x
n x e
n x )]()([2
1
)]()([21
)](Re[
（3）
dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞
-∞
=-∞
-∞
=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3)
)(2
n x
解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x
-**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞
-∞
=-*--∞
-∞=*-=
???
?
??????? ??-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21)()
()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==
?
?
????=?∑?∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θππθθπ
π
θθ
πθπθ
π
5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g =
（2）()?
??=为奇数为偶数
n n n x n g 02)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw
e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(
[]
??
????
-+=??????+=+=+=-+=-∞
-∞
=--∞-∞
=-∞-∞=-∞
-∞=-∑∑∑∑)()(2121
)(21)(21)(21))((21
)(21)()1()(2
1
22)2(2)2
(22
22w
j w j w
j w j k w
jk w
j k w
jk j k w jk k w k
j k e X e X e X e X e
k x e X e e k x e k x e k x k x πππ
（2）)()()2()()(222w j r w
jr r rw
j n jnw
jw
e X e
r x e
r g e
n g e G ==
=
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-
6．设序列)(n x 傅立叶变换为
)(jw
e X ，求下列序列的傅立叶变换。 （1）
)
(0n n x -
n 为任意实整数
（2）()???=为奇数为偶数n n n x n g 0
2)(
（3）)2(n x
解：（1）0
)(jwn jw
e
e X -?
（2） )2
(n x n 为偶数
=)(n g ?)(2w
j e X
0 n 为奇数 （3）)()2(2
jw e
X n x ?
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）{})2()3()21
(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(
n n +π
（3）??
???≤≤=其它－04
1)3cos()(n n n x π
【解】（1）{}∑∞
-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π
2)2()3()2
1
()(
∑∑∞=-∞
-=--=2
232)21()21(n kn
N j n n kn N j n e
e π
π k N
j k N j k N
j k N j e e
e e
ππππ
222
223
2
114
12
118-----
-=
k N
j k
N j k
N j e e e π
π
π2255232
1
1)21(18----= （2）假定)7
18cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2
k X ，则 ∑∞-∞=?????
?--+--=k k k N k k N k X )27182()27182()(1πππδπππδπ
∑∞
-∞=??
????-++--=
k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ
所以 )()()(21k X k X k X +=
∑∞
-∞=???
??
?-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ
（3）∑-=-=
4
4
23cos )(n k N
jn
ne
k X π
π
∑-=--+=4
423
3)(2
1n k N jn n j n
j e e e π
π
π
∑∑=++=--+=90
)23()32(490)23()32(42121n n N j k N j n n k N j k N j e e e e π
πππππππ
)23()23()
3
2(4)23()23()
3
2(4112
1112
19
9k N
j k N j k N j k N
j k N j k N j e
e e e
e e πππππππππ
πππ+++---+-++-=
8．求下列序列的时域离散傅里叶变换
)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x
解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **
∞∞---∞
∞-*
=??
? ??-=-∑∑
[]()()
)()()(2
1
)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞
∞
--*∞∞-∑
∑ ()[]
)(Im )()(21)(0
ωωω
j n j j e X j e n x n x e
n x
=--=∑∑∞
∞
--*∞
∞
--
、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~
n x 看
作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
解： ∑∑-=-=-==10
10
21)(~)(~)(~N n N n kn N j kn N e n x W n x k X π
n k
N j N N
n N n N n n k N j kn N e n x e n x W n x k X 2
212120
10
2222)(~)(~)(~)(~ππ--=-=-=-∑∑∑+==
对后一项令N n n -='，则
∑∑-=-='+'--+'+=10
10
)(22222)(~)(~)(~N n N n N n k
N j n k
N j e N n x e n x k X ππ
)
2
(~)1()(~)1(1
2
2k
X e e
n x e jk N n n k
N j
jk πππ--=--+=+=∑
所以?????=0
)2(~2)(12k X k X 为奇数为偶数k k
计算题 8．令
)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序
列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。 解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=??
????'==
101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+???=1
)
(0
N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+
所以
∑-'
-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
9．序列}{
0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )
(k x 如下图所示。现将
)(n x 按下列（1）
，（2），
（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）
()
n x n
()
k X k
（1）
??
?-=)4()
()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）
??
?=0)
()(2n x n y 7~43~0==n n （3）
????
?=0)
2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）
()()()0
1230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y
（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==??
?
??=k k k k k X k X k Y （3）
()()()()4
mod ,30,70114113k k k k k X k X k Y =≤≤≤≤==
10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+
另设)()()
(1n R n x n x N =，它的
N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和
)(1k X 的关系。
解： ()??
?
??=221k X k X 推导过程略
11．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式） （1）)()(n R a n x N n
=
（2）)()(n nR n x N =
解：（1）因为)()
(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j
n ae
a e
a k X ππ21
211)(--=---=
=∑ （2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X []
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++= )()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=?????
?--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
12．计算下列序列的N 点DFT ：
()116P
（1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ??
?
??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==
∑-=1111)(10
，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=???
? ??+=??? ??=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
π
π
π
????
?
??--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e ππππ
????
?
??--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()
()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e
e e ()()()
???
?
????+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)
(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
13．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k
=，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m
解；（1）[]∑∑-==-+==
1
9
10)5(2)()()(N n n nk
nk N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510
=1+2k j
e
510
2π
-
=1+2k
)1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210k X W k Y k
=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(n y n x n m
一种方法是先计算的线性卷积与)()(n y n x
∑∞
-∞
=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()(
={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==??
?
???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ
另一种方法是先计算)(n y 的10点离散傅立叶变换
()()[]k
k n nk N n nk N
W W W n n W
n y k Y 7102109
101
2722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k
k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k k k k W W W W 1210710710210422+++= k
k W W 71021045+=
由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ 14．（1）已知序列：102sin )(-≤≤??
?
??=N n n N
n x ，π
，求)(n x 的N 点DFT 。 （2）已知序列：
{
2,1,010)(==
n n x ，，其它
，则)(n x 的
9点DFT 是
8,...,2,1,09sin 3sin )(9
2=??
? ???
?? ??=-k k k e
k X k j
，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。()345P 解：（1）)(k X kn
N j N n e n N π
π
21
2sin --=∑??
?
??= ∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--???
? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j = 1,2
-=k N
j
0， 其它
（2）?
??
? ??-???? ??-=--=
=
------=-∑k j k j k j k j k j k j k j
k j
n kn
j e e e e e e e
e e
k X 999333
9
2962
9
211)(π
πππ
π
π
πππ
数字信号处理试卷集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
数字信号处理试卷 一、填空题 1、序列()0n n -δ的频谱为 。 2、研究一个周期序列的频域特性，应该用 变换。 3、要获得线性相位的FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h （n ）必须满足条件： ； 。 4、借助模拟滤波器的H （s ）设计一个IIR 高通数字滤波器，如果没有强调 特殊要求的话，宜选择采用 变换法。 5、用24kHz 的采样频率对一段6kHz 的正弦信号采样64点。若用64点DFT 对其做频谱分析，则第 根和第 根谱线上会看到峰值。 6、已知某线性相位FIR 数字滤波器的一个零点为1+1j ，则可判断该滤波器 另外 必有零 点 ， ， 。 7、写出下列数字信号处理领域常用的英文缩写字母的中文含义： DSP ，IIR ，DFT 。
8、数字频率只有相对的意义，因为它是实际频率对 频率 的 。 9、序列CZT 变换用来计算沿Z 平面一条 线 的采样值。 10、实现IIR 数字滤波器时，如果想方便对系统频响的零点进行控制和调 整，那么常用的IIR 数字滤波器结构中，首选 型结构来实现该IIR 系统。 11、对长度为N 的有限长序列x （n ） ，通过单位脉冲响应h （n ）的长度 为M 的FIR 滤波器，其输出序列y （n ）的长度为 。若用FFT 计算x （n ） *h （n ） ，那么进行FFT 运算的长度L 应满 足 。 12、数字系统在定点制 法运算和浮点制 法运算中要进行尾数处理， 该过程等效于在该系统相应节点插入一个 。 13、，W k x l X DFT N k kl M ∑-==1 0)()( 的表达式是某 由此可看出，该序列的时域长度 是 ，M W 因子等于 ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点 之间的间隔是 。 14、Z 平面上点的辐角ω称为 ，是模拟频率Ω对 （s f ）的归一化，即ω= 。 15、在极点频率处，)(ωj e H 出现 ，极点离单位圆越 ，峰值 越大；极点在单位圆上，峰值 。 16、采样频率为Fs Hz 的数字系统中，系统函数表达式中1-z
一、单项选择题 1．数字信号的特征是( ) A.时间离散、幅值连续 B.时间离散、幅值量化 C.时间连续、幅值量化 D.时间连续、幅值连续 2．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为y(n)=R 2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时，输出为( ) A.R 2(n)-R 2(n-2) B.R 2(n)+R 2(n-2) C.R 2(n)-R 2(n-1) D.R 2(n)+R 2(n-1) 3．下列序列中z 变换收敛域包括|z|=∞的是( ) A.u(n+1)-u(n) B.u(n)-u(n-1) C.u(n)-u(n+1) D.u(n)+u(n+1) 4．下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( ) A.DFT 是一种线性变换 B.DFT 具有隐含周期性 C.DFT 可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样 D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析 5．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( ) A.N ≥M B.N ≤M C.N ≥M/2 D.N ≤M/2 6．基-2 FFT 算法的基本运算单元为( ) A.蝶形运算 B.卷积运算 C.相关运算 D.延时运算 7．以下对有限长单位冲激响应（FIR ）滤波器特点的论述中错误的是( ) A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性 B.FIR 滤波器的单位冲激抽样响应h(n)在有限个n 值处不为零 C.系统函数H(z)的极点都在z=0处 D.实现结构只能是非递归结构 8．下列结构中不属于IIR 滤波器基本结构的是( ) A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型 9．下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( ) A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 B.能将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是s 平面到z 平面的多值映射 D.可以用于设计低通、高通和带阻等各类滤波器 10．离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8 π)的周期是( ) A.7 B.14/3 C.14 D.非周期 11．下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。( ) A.y (n )=x 2(n ) B.y (n )=4x (n )+6 C.y (n )=x (n -n 0) D.y (n )=e x (n )
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 第一章 数字信号处理概述 判断说明题： 1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信 号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ） 答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ω j e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。 解： 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞ -∞ =-= =n n j j e n x e X n x ωω )()()]([ 可以得到 DTFT 2 )()2()] 2([n j n n jn e n x e n x n x ' -∞ -∞ ='-∑∑'= = ωω 为偶数 )()(2 1 )(2 1 )(21)(21)(21)]()1()([2 122)2(2)2 (2 2ωωπω ωπω ωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+= +=-+=++-∞ -∞=∞-∞=--∞ -∞=∑∑∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。 （a ）][2n u n - （b ）] 2[)41 (+n u n （c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞ =--∞ -∞ == -= 2][2)(n n j n n j n n e e n u X ωωω ω ωj n n j e e 2 111)2 1(0-= =∑∞ = （b ）∑∑∞ -=--∞ -∞==+=2)4 1(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωω ωj j m m j m e e e -∞ =---==∑4 1116)41(20 )2(2 （c ）ω ωωδω2]24[][)(j n n j n j n e e n e n x X -∞ -∞ =--∞ -∞ ==-= = ∑ ∑ 7．计算下列各信号的傅立叶变换。 （1）{})2()3()21 (--+n u n u n （2） )2sin()718cos( n n +π 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 数字信号处理习题集 第一章习题 1、已知一个5点有限长序列，如图所示，h (n )=R 5(n )。（1）用写出的 ()n δ()x n 函数表达式；（2）求线性卷积*。 ()y n =()x n ()h n 2、已知x (n )=(2n +1)[u (n +2)-u (n -4)],画出x (n )的波形，并画出x (-n )和x (2n )的波形。 3、判断信号是否为周期信号，若是求它的周期。3()sin 7 3x n n π π??=+ ???4、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的，稳定的？ （1），（2）2()(3)y n x n =-0()()cos() y n x n n ω=5、已知连续信号。()2sin(2),3002 a x t ft f Hz π π=+=（1）求信号的周期。 ()a x t （2）用采样间隔T=0.001s 对进行采样，写出采样信号的表达式。()a x t ?()a x t （3）写出对应于的时域离散信号的表达式，并求周期。?()a x t ()x n 6、画出模拟信号数字处理的框图，并说明其中滤波器的作用。 第二章习题 1、求下列序列的傅立叶变换。 （1）， （2）11()333n x n n ?? =-≤ ? ?? [] 2()()()n x n a u n u n N =--2、已知理想低通滤波器的频率响应函数为：为整数，000(),0j n j e H e n ωωωωωωπ-?≤≤?=? <≤?? c c 求所对应的单位脉冲响应h (n )。 3、已知理想高通滤波器的频率响应函数为：，求所对应 0()1j H e ω ωωωωπ ?≤≤?=? <≤?? c c 的单位脉冲响应h (n )。 4、已知周期信号的周期为5,主值区间的函数值=,求该周期信号的 ()(1)n n δδ+-离散傅里叶级数和傅里叶变换. 5、已知信号的傅立叶变换为，求下列信号的傅立叶变换。 ()x n ()j X e ω（1） （2）(3)x n -*() x n -6、已知实因果信号如图所示，求和。 ()x n ()e x n ()o x n 7、已知实因果信号的偶分量为{-2,-3,3,4,1,4,3,-3,-2},求信号。 ()x n ()x n 8、已知信号,对信号采样,得到时域采样信号和时()cos(2100),300a s x t t f Hz π==?()a x t 域离散信号x(n),求: (1)写出信号的傅里叶变换. ()a x t 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， 北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A） 一、填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1.两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积 后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至为线性卷积结果。 W的、和三个固有特性来实现2.DFT是利用nk N FFT快速运算的。 3.IIR数字滤波器设计指标一般由、、和等 四项组成。 4.FIR数字滤波器有和两种设计方法，其结构 有、和等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正 确打√，错误打×） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（） 2.Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（） 5.双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（） 6.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等 波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相 位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于 FIR 阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 四、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系 统函数H a (s)，并画出其零极点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理复习题1 第一题 给定信号21041()6 040n n x n n n +-≤≤-??=≤≤???为其他值 (1) 画出()x n 的图形，并标上各点的值。 (2) 试用()n δ及其相应的延迟表示()x n 。 (3) 令1()2(1)y n x n =-，试画出1()y n 的图形。 (4) 令2()3(2)y n x n =+，试画出2()y n 的图形。 (5) 将()x n 延迟4个抽样点再以y 轴翻转，得3()y n ，试画出3()y n 的图形。 (6) 先将()x n 翻转，再延迟4个抽样点得4()y n ，试画出4()y n 的图形。 第二题 给定下述系统： (1) ()()(1)(2)y n x n x n x n =+-+-。 (2) ()()y n y n =-。 (3) 2()()y n x n =。 (4) 2()()y n x n =。 试判断每一个系统是否具有线性、移不变形？并说明理由。 第三题 给定下述系统： (1) 0 1()()1N k y n x n k N ==-+∑，其中N 为大于零的整数。 (2) ()()y n ax n b =+。 (3) ()()(1)y n x n cx n =++，其中c 为常数。 (4) 2()()y n x n =。 试判断哪一个是因果系统？哪一个是非因果系统？并说明理由。 第四题 令{}{}()(0),(1),(2)3,2,1h n h h h ==，求1()()()y n h n h n =*。 第五题 设()nTs x nTs e -=为一指数函数，0,1,2,,n =∞ ，而Ts 为抽样间隔，求()x n 的自相关函数()x r mTs 。 第六题 试证明：若()x n 是复信号，则()x r m 满足*()()x x r m r m =-。 第七题 已知序列()1x n =，(~)n =-∞∞，试用单位阶跃序列()u n 表示()x n 。 第八题 令1()()x n u n =，2()()n x n a u n =，分别求它们的偶部和奇部。 注：请参考教材P16例1.1.1。 第九题 单位阶跃序列是能量信号吗？为什么？是功率信号吗？为什么？ 第十题 求序列1()()x n u n =的平均功率。 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2() 8sin( )1(n n n n n π π π π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= }2 3 ,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+= }{1,4,6,5,2答案：x(n)= 4. 如果输入信号为 ，求下述系统的输出信号。 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 一 判断 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为 ，则该系统为线性时不变系统。(╳) 3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做 变换。（╳） 4、 用双线性变换法进行设计 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。 （√） 5、 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是一个周期序列 （√） 二 填空题（每题3分，共5题） 1对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是_____信号，再进行幅度量化后就是_____信号。 2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须_____，这就是奈奎斯特抽样定理。 3、系统稳定的充分必要条件_____。 4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是：_____；_____。 5、线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 1.离散 数字2大于2倍信号最高频率3系统的单位脉冲响应绝对可和4时间抽取法和频率抽取法5交换率，结合律 三 大题 1、对一个带限为3f kHz ≤的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？ 答：由奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号最高频率，236s f kHz kHz >?=每秒钟理论上得最小采样数为6000。如将此离散信号恢复为原信号，为避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即32s kHz Ω=。 2、有限频带信号11()52cos(2)cos(4)f t f t f t ππ=++，式中，11f kHz =。用5s f kHz =的冲激函数序列()T t δ进行取样。 （1）画出()f t 及采样信号()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图。 （2）若由()s f t 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率c f 。 解：（1）()f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图 /kHz -10 0 1 2 10 ()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频0谱图 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ） 1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。 （3）试求8点圆周卷积。 解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1} 2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3} 3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5); (4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5); n 1 2 3 4 0.5 4 3210-1-2-3x(3-n) x[((n-1))6] n 5432104 3 2 1 0.5 n 1 2 3 4 0.5 5 43210x[((-n-1))6] 3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为) 21)(5.01() 1(2)(111------=z z z z H 试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。 解: 0.5 2Re Im 系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<2 1 1 111213 /25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H )1(23 2 )()5.0(34)(--+= n u n u n h n n 4．设x(n)是一个10点的有限序列 x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=9 0)(k k X ,（4） ∑=-9 5 /2)(k k j k X e π 解：（1） （2） （3） （4） 5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1） 5 2 4 -1 2 -3 2 1 5 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 - 6 -12 3 -6 -15 4 -3 13 -4 3 2 14 ][]0[1 9 0===∑=n N n x X W 12 ][][]5[1 19 180510 -=-= ==???-=∑∑====奇 偶 奇数 偶数n n n n n n x n x X n n W 20 ]0[*10][] [101]0[9 9 ===∑∑==x k X k X x k k 0 ]8[*10][] [101]))210[((] []))[((2 )10/2(9 2 )10/2(9 10)/2(===-? --=-=-∑∑x k X e k X e x k X e m n x k j k k j k m N k j N πππ数字信号处理期末试卷(含答案)
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