第一章
3
解：1)工作原理：电压u2反映大门的实际位置，电压u1由开（关）门开关的指令状态决定，两电压之差△u＝u1－u2驱动伺服电动机，进而通过传动装置控制
大门的开启。当大门在打开位置，u2＝u
上：如合上开门开关，u1＝u
上
，△u＝0，
大门不动作；如合上关门开关，u1＝u
下
，△u<0，大门逐渐关闭，直至完全关闭，
使△u＝0。当大门在关闭位置，u2＝u
下：如合上开门开关，u1＝u
上
，△u>0，大
门执行开门指令，直至完全打开，使△u＝0；如合上关门开关，u1＝u
下
，△u＝0，大门不动作。
2)控制系统方框图
4
解：1)控制系统方框图
2)工作原理：
a)水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球顶杆的长度给定，杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），通过杠杆机构是进水阀的开度增大（减小），进入水箱的水流量增加（减小），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），进水阀开度增大（减小）量减小，直至达到新的水位平衡。此为连续控制系统。
b) 水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球拉杆的长度给定。杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），到一定程度后，在浮球拉杆的带动下，电磁阀开关被闭合（断开），进水阀门完全打开（关闭），开始进水（断水），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），直至达到给定的水位高度。随后水位进一步发生升高（降低），到一定程度后，电磁阀又发生一次打开（闭合）。此系统是离散控制系统。 2-1解：
（c ）确定输入输出变量（u1，u2） 22111R i R i u += 222R i u = ?
-=
-dt i i C u u )(1
1221 得到：11
21221222
)1(u R R
dt du CR u R R dt du CR +=++ 一阶微分方程
（e ）确定输入输出变量（u1，u2）
?++=i d t C iR iR u 1
211
R
u u i 2
1-=
消去i 得到：C
u
dt du R C u dt du R R 1122221)(+=++ 一阶微分方程
第二章
2-2
解：
1）确定输入、输出变量f(t)、x 2
2）对各元件列微分方程：2
2221331
111112222
2232
121
311;)
(;)
()()()()()(x K f dt
x x d B f dt
dx
B f x K f dt t x d m f f f dt t x d m t f t f t f t f K B B K B K B B B K =-====--=--- 3）拉氏变换：
)
()()()]()([)()]()([)()()(22
222222131212131111s X s m s sX B s X K s X s X s B s X s m s X s X s B s sX B s X K s F =---=----
4）消去中间变量：
)()()()(232
23232
131123s X s
B s m s B K s B s m s B K s B s sX B s F ++++++=+
5）拉氏反变换：
dt
df
B x K K dt dx B K B K B K B K dt
x d K m m K B B B B B B dt x d m B m B m B m B dt x d m m s s 3
2212321231212
2
2212122131323132122142421)()()(=++++++++++++++2-3 解：
（2）
2
112+-+s s t t e e 22--- （4）2
)
1(1
3111914191+++-+s s s
t t t te e e ---+-3
191914 （5）2
)1(1
)1(2)2(2+-
+++-
s s s t t t te e e ----+-222 （6）
s s s s s 5
.2124
225.04225.022++-+??-+?-
5.222s i n 2
c o s 5.0+----t e t t 2-5
解：1)D(s)=0,得到极点：0,0,-2,-5
M(s)=0,得到零点：－1，∞+，∞+，∞+ 2) D(s)=0,得到极点：－2，－1，－2 M(s)=0,得到零点：0，0，－1 3) D(s)=0,得到极点：0，
231j +-，2
3
1j -- M(s)=0,得到零点：－2，∞+，∞+
4) D(s)=0,得到极点：－1，－2，∞- M(s)=0,得到零点：∞+
2-8
解：1）a ）建立微分方程
dt
t dx B
t f t f t x t x k t f t x k t f t f b
a
t f t f t f t f t x m B k k k i k k )()()())()(()()()()()()()()()(202201121==-===
--=?
?
b)拉氏变换
)
()())
()(()()
()()()()
()()()(20220112102s BsX s F s X s X k s F s X k s F s F b
a
s F s F s F s F s X m s k k k i k k =-===--=
c)画单元框图（略） d)画系统框图
2)a)建立微分方程：
dt t dx B t f dt t x t x d B t f t x t x k t f t f t f t f t x m o
B o i B i k B B k )
()())
()(()())
()(()()()()()(221
10210=-=-=-+=?
?
b)拉氏变换：
)
()())()(()())()(()()
()()()(02211212s sX B s F s X s X s B s F s X s X k s F s F s F s F s X m s B o i B o i k B B k o =-=-=-+=
c)绘制单元方框图（略） 4)绘制系统框图
2-11
解：a)1
21232123
2141H G G H G G H G G G G G -+++
b))
)((1)
(214321214321H G G G G H G G G G G G -++++
2-14
解：(1)3212
32132
1
3
21
01111)()(K K K s Ts K K K Ts
K s K K Ts K s K K s X s X i i ++=+++==φ 321243032132
1
3
21
03402)(111)(1)()()(K K K s Ts s K K s G K K K Ts
K s K K Ts K s K K s G Ts K K s N s X s n ++-=
+++++-==φ
(2)由于扰动产生的输出为： )()()()()(3
21243032102s N K K K s Ts s
K K s G K K K s N s s X n ++-=
=φ
要消除扰动对输出的影响，必须使0)(02=s X 得到：0)(430321=-s K K s G K K K
得到：2
140)(K K s
K s G =
第三章
3-1
解：1)法一：一阶惯性环节的调整时间为4T ，输出达稳态值的98%，故： 4T ＝1min ，得到：T ＝15s
法二：求出一阶惯性环节的单位阶跃时间响应，代入，求出。
2)法一：输入信号)/(6
1
min)/10()(00s C t t C t x i ==，是速度信号；
261
)(s
s X i =
)15/115
151(61151161)()()(22
0++-=+==s s s
s s s G s X s X i )1515(6
1
)(151
t o e t t x -+-=
)(5.2))15(6
1
61()(0151
C e t t im l e t t =+--=∞-∞→
法二：利用误差信号E （s ）
3-3
解：321
]21[)(s
t s X i =∠=
)
6)(5(13
)6)(5(13)()()(32++=
++==s s s s s s s s X s G s X i o 部分分式展开：6
5)(++++=
s C s B s A s X o 系数比较得到：A+B+C=0 11A+6B+5C=0 30A=13
得到：A=13/30=0.433;B=-13/5=-2.6;C=13/6=2.1667
6
1667
.256.2433.0)(+++-=s s s s X o
拉氏反变换：t t o e e t x 651667.26.2433.0)(--+-=
3-4
解：闭环传递函数为：)
4)(1(4
454)(1)()(2++=
++=+=
s s s s s G s G s φ （1）单位阶跃函数的拉氏变换：s
s X i 1)(= )
4)(1(4
)()()(++=
=s s s s X s s X i o φ
部分分式展开：4
1)(++++=
s C s B s A s X o 系数比较得到：4A+3B=0 A-3C=0 A=1
得到：A=1，B=-4/3,C=1/3
4
3
/113/41)(+++-=s s s s X o
拉氏反变换：t t o e e t x 43/13/41)(--+-= （2）法一、利用微分关系，把结果（1微分）
法二、单位脉冲函数的拉氏变换：1)(=s X i
)4)(1(4
)()()(++=
=s s s X s s X i o φ
部分分式展开：4
1)(+++=s B s A s X o 系数比较得到：A+B=0 4A+B=4 得到：A=4/3,B=-4/3
4
3
/413/4)(+-+=s s s X o 拉氏反变换：t t o e e t x 43/43/4)(---=
3-6
解：闭环传递函数为：2
2
22211
)(1)()(n
n n w s s s s s G s G s ++=++=+=ξωωφ 得到：1=n w rad/s;5.0=ξ 相位移：3
3arctan 1arctan
2
π
ξ
ξ?=
=-=
时间响应各参数：s t n r 4.25
.0113
/12
2
=--=
--=
ππξω?π
s t n p 6.35
.01112
2=-=
-=
π
ξ
ωπ
s t n
s 85
.0102
.0ln ln =?-=
?
-=
ζω
%3.16%1002
2
5.015.01==?=----π
ξ
πξe
e M p
1.15.05.0121222
=-=-=
π
ξπ
ξN
3-7
解：1)求闭环传递函数K
s KK s K
s H s G s G s h +++=+=
)1()()(1)()(2
φ 二阶振动环节：K
K K
h n n +==122ξωω
得到：
K
KK K
h n 21+=
=ξω 2)求结构参数
最大超调量2.02
1/==--ξπξe M p
得到：456.0=ξ 峰值时间112
=-=
ξ
ωπn p t
得到：53.3=n ω 3)求K ，K h 代入1)得到：
178
.046.12==h K K
4)利用结构参数求其它时域指标 调整时间)02.0)((48.2ln ＝取?=?
-=
s t n
s ξω
上升时间)(65.01/1arctan 2
2s t n r =---=
ξ
ωξ
ξπ
3-8
解：闭环传递函数K
s s K
s H s G s G s ++=+=
5.34)()(1)()(2
φ 5.342;2
==n n K ξωω 1)K ＝200：22.1,4.14==ξωn
此时，系统为过阻尼系统，为两个惯性环节串联，无振荡动态参数。 2)K ＝1500，得到：44.0,73.38==ξωn 最大超调量214.02
1/==--ξπξe
M p
峰值时间)(09.012
s t n p =-=
ξ
ωπ
调整时间)05.0)((087.0ln ＝取?=?
-=
s t n
s ξω
上升时间)(058.01/1arctan 2
2s t n r =---=
ξ
ωξ
ξπ
振动次数)(975.02132
次=-=πξξN
3)K ＝13.5，得到： 4.7,67.3==ξωn
此时，系统为过阻尼系统，为两个惯性环节串联，无振荡动态参数。
4)对于二阶系统传递函数化为标准形式后，只要n ξω不变，系统调整时间ts 不变；随着n ω增大，过渡过程在缩短（tp,tr ），但总过渡时间（调整时间ts ）不变；而随着ξ的减小，振动幅度在加剧，振动次数N 、超调量Mp 都在加大。
3-8
解：闭环传递函数K
s s K
s H s G s G s 55.345)()(1)()(2++=+=
φ
5.342;52
==n n K ξωω 1)K ＝200：55.0,6.31==ξωn 最大超调量13.02
1/==--ξπξe
M p
峰值时间)(12.012
s t n p =-=
ξ
ωπ
调整时间)05.0)((175.0ln ＝取?=?
-=
s t n
s ξω
上升时间)(037.01/1arctan 2
2s t n r =---=
ξ
ωξ
ξπ
振动次数)(73.02132
次=-=πξξN
2)K ＝150，得到：20.0,6.86==ξωn
依次得到的动态性能指标：0.54,0037s,0.175s,0.02s,2.34。 3)K ＝13.5，得到： 2.1,2.8==ξωn
此时，系统为过阻尼系统，为两个惯性环节串联。
4)对于二阶系统传递函数化为标准形式后，只要n ξω不变，系统调整时间ts 不变；随着n ω增大，过渡过程在缩短（tp,tr ），但总过渡时间（调整时间ts ）不变；而随着ξ的减小，振动幅度在加剧，振动次数N 、超调量Mp 都在加大。
3-9
解：开环传递函数为：)
104.0)(15.0(20
)(++=s s s G
单位反馈系统的：H(s)=1 位置稳态误差系数为：20)(0
==→s G im l K s p
速度稳态误差系数为：0)(0
==→s sG im l K s v 加速度稳态误差系数为：0)(20
==→s G s im l K s a
单位阶跃输入的稳态误差：0476.020
11
11)0(1=+=+=
p ss K H e
单位速度输入的稳态误差：∞==
v
ss K H e 1
)0(1
单位加速度输入的稳态误差：∞==
a
ss K H e 1
)0(1
3-10
解：开环传递函数)
2()(2n n
k s s s G ξωω+=，此系统为I 型系统。
稳态误差系数：0
)(2)()(20
00
===
=∞
==→→→s G s im l K s sG im l K s G im l K k s a n
k s V k s P ξ
ω 1) 单位阶跃输入稳态误差：011
)(=+=
∞p
K e
2) 单位速度输入稳态误差：n
v K e ωξ21)(==
∞ 3）单位加速度输入稳态误差；∞==∞a K e /1)( 法二：)(1/)(lim )(lim )(lim 0
s G s sX s s s sE e k i s s s ss +===→→→ε
3-11
解：开环传递函数)
11.0(100
)(+=
s s s G k ，此系统为I 型系统。
1) 稳态误差系数0
)(100)()(20
====∞
==→→→s G s im l K s sG im l K s G im l K k s a k s V k s P
2) 输入信号为阶跃信号、速度信号和加速度信号的组合，它们的系数分别为：
210;;a C a B a A ===
根据信号线性叠加的原理，系统的稳定误差为：
10011210a a a K C
K B K A e a v p ss ++∞+=+++=
a) 当02≠a 时，∞=ss e
b) 当0;012≠=a a 时，100/1a e ss = c) 当0;012==a a 时，0=ss e
3-12
解：s
K K s K K s H s G s G s G k 2121
211)()()()(=?== 1)仅有输入信号作用下的稳态误差
偏差传递函数s
K K s G s X s s k i i i /11
)(11)
()
()(21+=
+=
=
εφε 误差信号2
1211
1/11)()()(/)()(K K s s s K K s X s s H s s E i i i i +=
+=
==φε 稳态误差01
lim )(lim 2
10
=+==→→K K s s
s sE e s i s ssi
2）仅有干扰信号作用下的稳态误差 干扰偏差传递函数s
K K s
K s G s H s G s N s s k n n /1/)(1)()()
()
()(2122+-
=+-
==
εφε 干扰误差信号2
12212/1/1/)(/)()()
()
()(K K s s
K s s K K s K s H s N s s H s s E n n n +-
=+-
===
εφε 干扰稳态误差1
2120
1lim )(lim K K K s K s sE e s s ssn -
=+-
==→→ 3)系统总稳态误差： 1
1
K e e e ssn ssi ss -
=+= 3-13
解：特征根分别为：-8,-9,-4+j5,-4-j5。闭环系统的所有特征根均具有负实部，所以系统是稳定的。
3-14
解：单位反馈系统的闭环传递函数：
T
K s T s T K
K s Ts K Ts s K Ts s K s G s G s ++=++=+++=+=1)1(1)1()(1)()(22φ
特征根为：
2
4)1(122,1T K
T T s -±-=
要使系统稳定，上述特征根的实部必须为负实部：
当T
T K T 1
4)1(2<-时，可保证特征根具有负实部。
解得：04
<-T
K
因K 、T 均大于零，所以上式成立。 所以系统是稳定的。
3-15
（1）解：法一：劳思阵列
?
+- 126s 0 15126s 126
0 s 15 1 02
23：－：：－：ε
εs 第一列有负数，系统不稳定。
法二：a0=1,a1=0,a2=-15,a3=126;
三阶系统，因所有系数不全为正，所以不稳定。
（2）解：劳斯阵列 5
:s 0 13.5s 0
5 16s 0
16 8s 5 18 1 01234：：：：s 劳思阵列中第一列元素的符号全为正，系统是稳定的。
（3）：法一：劳思阵列10
s 0
2.5s 10
4s 5
1 023：：：：s
劳思阵列中第一列元素的符号全为正，系统是稳定的。 法二：a0=1,a1=4,a2=5,a3=10;
因为三阶系统，a0,a1,a2,a3均大于0，且a 1×a2=20>a0×a3=10， 所以该三阶系统稳定。
（5）：法一：劳思阵列：0
160s 00 20 0s 160
10 s 16
1 s 023：）
（）（：：：
辅助多项式：16010s )s (2＋＝A
20s ds
)
s (d ＝A 劳思阵列第一列中无负号，但有一列的元素全为0，所以系统是临界稳定的。 法二：a0=1,a1=10,a2=16,a3=160;
因为三阶系统，a0,a1,a2,a3均大于0，且a 1×a2=160=a0×a3=160， 所以该三阶系统临界稳定。
3-16
（2）解：劳思阵列15
s 0
10
99k 6000k 10k s 15
2k
1
2099s 0 10k 20k s 15
5 1 02
234：－－：－：：：++s 系统稳定的条件，劳思阵列第一列元素全为正号，即：
3)
10
996000102)
02120991 0202
--+>->k k k k k ）
由式1)得：k>0 式2)得：k>10/99 式3)得：k<99/10
K 的取值无法同时满足上述三个条件，所以劳思阵列第一列中一定有负号，所以系统是不稳定的。
（4）解：劳思阵列1
s 0
k 1k k k 1
k s 1
k /1k s 0
1 k s 1 1 1s 0234：－－－：－：：：
系统稳定的条件，劳思阵列第一列元素全为正号，即：
3) 0k 1k k k 1
k 2) 0k 1
k 1) 0k >>>－－－－ 由式1)、2)得：k>1
式3)可化为：04/3)2/1(2>---k
显然，上式无法满足，即：无论k 取何值，式1)、2)、3)条件都无法同时满足，所以劳思阵列第一列中一定有负号，所以系统是不稳定的。
第四章 4-4
解：闭环传递函数s
s G s G s +=+=
1110
)(1)()(φ
频率特性ω
ωφj +=
1110
)(
幅频特性2
12110)(ω
ω+=
A
相频特性11/arctan )(ωω?-=
1）0030,1==?ω，稳态输出
)8.24sin(9.0)2.530sin(9.0)11/1arctan 30sin(1
12110)(0000+=-+=-++=
t t t t x
2）0045,2==?ω
稳态输出
)
7.342cos(79.1)3.10452cos(5
4)11/2arctan 452cos(2212110)(00002
-=+-=
+-+=
t t t t x 3）
稳态输出
)7.342cos(79.1)8.24sin(9.0)(00--+=t t t x 4-9
解：1）2
)
30(15)(ωω+=
A
ωωφ30arctan )(-= ωωωωωωωj j j j G 2
2900
1150
90015)301)(301()301(5)(+-+=-+-= 290015)(ωω+=U ；2
9001150)(ωω
ω+-=V
2）2
2
01.011
)
1.0(11
)(ω
ωωωω+=
+=
A
ωωφ1.0a r c t a n 90)(0--= 、)
01.01(1.0)01.01()1.01()(2
2ωωωωωωω+--=+--=
j
j j G )01.01(1.0)(2ωωωω+-=
U ;)
01.01(1
)(2ωωω+-=V
4-12
1）解a ）典型环节：放大环节：2
惯性环节1：转折频率111025.1125.0-?==w 惯性环节2：转折频率121055.0-?==w
b ）在博德图上标出w1，w2
c ）对数幅频特性：22)2(1lg 20)8(1lg 202lg 20)(ωωω+-+-=L
d ）低频渐近线（w e ）w1～w2渐近线：斜率为－20dB/dec f ）w2～渐近线：斜率为－40dB/dec 3）解：a ）典型环节：放大环节：50 二阶积分：2)/(1jw 惯性环节：转折频率111011.0-?==w 二阶振动环节：转折频率021011?==w b ）在博德图上标出w1，w2 c ）对数幅频特性： 22222)1(lg 20)10(1lg 20lg 2050lg 20)(w w w L +--+--=ωω d ）低频渐近线（w 取210101.0-?==w ，dB w L 114101lg 2050lg 20)(4=?-≈- e ）w1～w2渐近线：斜率为－60dB/dec f ）w2～渐近线：斜率为－100dB/dec 4)解：传递函数标准形式) 110() 15(20)(2++= s s s s G a ）典型环节：放大环节：20 二阶积分：2)/(1jw 惯性环节：转折频率111011.0-?==w 一阶积分环节：转折频率121022.0-?==w b ）在博德图上标出w1，w2 c ）对数幅频特性： 222)5(1lg 20)10(1lg 20lg 2020lg 20)(w w L +++--=ωω d ）低频渐近线（w 取210101.0-?==w ，dB w L 106101lg 2020lg 20)(4=?-≈- e ）w1～w2渐近线：斜率为－60dB/dec f ）w2～渐近线：斜率为－40dB/dec 4-14 尼氏判据的关键：含零极点（积分环节）的，需作辅助线（从起点（w ＝0）逆时针延伸到正实轴），包围或穿越时，逆时针为正，顺时针为负。 解： 1)正实部根数q ＝0，包围（－1，j0）点次数P ＝－1，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝－1，P ≠ q 或≠q/2，闭环系统不稳定。 2) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝0，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝0，P ＝q 或N ＝q/2，闭环系统稳定。 3) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝－1，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝－1，P ≠ q 或≠q/2，闭环系统不稳定。 4) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝0，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝0，P ＝q 或N ＝q/2，闭环系统稳定。 5) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝－1，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝－1，P ≠ q 或≠q/2，闭环系统不稳定。 6) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝0，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝1－1＝0，P ＝q 或N ＝q/2，闭环系统稳定。 7) 正实部根数q ＝0，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝0，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝1－1＝0，P ＝q 或N ＝q/2，闭环系统稳定。 8) 正实部根数q ＝1，包围（－1，j0）点次数P ＝1，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝1/2，P=q 或N=q/2，闭环系统稳定。 9) 正实部根数q ＝1，包围（－1，j0）点次数P ＝0，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝0，P ≠ q 或≠q/2，闭环系统不稳定。 10) 正实部根数q ＝1，作辅助线后，包围（－1，j0）点次数P ＝－1，穿越（－1，j0）右负实轴次数N ＝－1，P ≠ q 或≠q/2，闭环系统不稳定。 4-16 解：开环频率特性] 4.0)(1[)(2n n v w w j w w jw K jw G +-= 系统为最小相位系统，正实部根数q ＝0，含一积分环节，稳定裕量为0时， 系统临界稳定。 即相角裕量为0：0)(180)(0=+=c c w w ?γ 得到：02 0180)(1/4.0arctan 90)(-=---=n n c w w w w w ? 得到：0)( 12 =-n w w ，得到：s rad w w n /90== 幅值裕量v v n n g g K K w w w w w w A K 36)/4.0(])( 1[) (1 22 2= +-== 令临界幅值裕量为1，得到：36=v K 所以：当36≤v K 时，系统是稳定的。 4-17 解：频率特性) 11.0)(1()(++= w j jw jw K jw G 幅频特性2 2 ) 1.0(11)(w w w K w A ++= 相频特性w w w 1.0arctan arctan 90)(0---=? 1)近似解法：06.454 .11arcsin 1arcsin ===r M ψ 相角裕量06.45)(=≈ψγc w 00004.1341806.45180)()(-=-=-=c c w w γ? 而又有：004.1341.0arctan arctan 90)(-=---=c c c w w w ? 04.44tan )1.0arctan tan(arctan =+c c w w 即： 98.01.011.0=?-+c c c c w w w w 解得：196.026.11.1±-=c w ，取83.0196 .026 .11.1=+-= c w 1) 1.0(11)(2 2 =++= c c c c w w w K w A 解得：K ＝1.08 2)060)(=c w γ 000012018060180)()(-=-=-=c c w w γ? 而又有：001201.0arctan arctan 90)(-=---=c c c w w w ? 030tan )1.0arctan tan(arctan =+c c w w 即： 3 3 1.011.0= ?-+c c c c w w w w 解得：2.0007.2905.1±-=c w ，取51.02 .0007 .2905.1=+-= c w 1) 1.0(11)(2 2=++= c c c c w w w K w A 《工程力学》复习资料 1．画出（各部分）的受力图 （1）（2） （3） 2．力F作用在边长为L正立方体的对角线上。设Oxy平面与立方体的底面ABCD 相平行，两者之间的距离为h，试求力F对O点的矩的矢量表达式。 解：依题意可得： cos cos F F x sin cos F F y sin F F z 其中3 3sin 3 6cos 45 点坐标为： h l l ,,则 3 ) ()(33 33 33 3j i h l F k F j F i F F M 3．如图所示力系由 F 1，F 2，F 3，F 4和F 5组成，其作 用线分别沿六面体棱边。已知：的F 1=F 3=F 4=F 5=5kN, F 2=10 kN ，OA=OC/2=1.2m 。试求力 系的简化结果。 解：各力向O 点简化 0.0.0 .523143C O F A O F M C B F A O F M C O F C O F M Z Y X 即主矩的三个分量 kN F F Rx 55 kN F F Ry 102kN F F F F RZ 54 3 1 即主矢量为: k j i 5105合力的作用线方程 Z y X 24．多跨梁如图所示。已知：q=5kN ，L=2m 。试求A 、B 、D 处的约束力。 取CD 段0 ci M 0 212 ql l F D 解得 kN F D 5取整体来研究，0iy F 0 2D B Ay F l q F F 0ix F 0 Ax F 0 iA M 0 32l F l ql l F D B 联合以上各式，解得 kN F F Ay A 10kN F B 255．多跨梁如图所示。已知：q=5kN ，L=2m ，ψ=30°。试求A 、C 处的约束力。（5+5=10分） 取BC 段0iy F 0 cos 2C B F l q F 0ix F 0 sin C Bx F F 0 ic M 0 22l l q l F By 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 工程力学课后习题答案解析 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 《工程力学》复习资料1．画出（各部分）的受力图 （1）（2） （3） 2．力F作用在边长为L正立方体的对角线上。设 Oxy平面与立方体的底面ABCD相平行，两者之间的距离 为h，试求力F对O点的矩的矢量表达式。 解：依题意可得：?θcos cos ??=F F x ?θsin cos ??=F F y θsin ?=F F z 其中33sin =θ 36cos =θ 45=? 点坐标为：()h l l ,, 则()3 )()(3333333j i h l F k F j F i F F M +?+=-+-= 3．如图所示力系由F 1，F 2，F 3，F 4和F 5组成，其作用线分别沿六面体棱边。已知：的F 1=F 3=F 4=F 5=5kN, F 2=10 kN ，OA=OC/2=。试求力系的简化结果。 解：各力向O 点简化 0 .0.0.523143=-==-==+-=C O F A O F M C B F A O F M C O F C O F M Z Y X 即主矩的三个分量 kN F F Rx 55== kN F F Ry 102== kN F F F F RZ 5431=+-= 即主矢量为: k j i 5105++ 合力的作用线方程 Z y X == 2 4．多跨梁如图所示。已知：q=5kN ，L=2m 。试求A 、B 、D 处的约束力。 取CD 段 0=∑ci M 02 12=-?ql l F D 解得 kN F D 5= 取整体来研究， 4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ?m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN/m 。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 解： (b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0.40 0.4 kN x Ax Ax F F F =-+==∑ ()0: 20.80.5 1.60.40.720 0.26 kN A B B M F F F =-?+?+?+?==∑ 0: 20.50 1.24 kN y Ay B Ay F F F F =-++==∑ 约束力的方向如图所示。 (c)：(1) 研究AB 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 2 ()0: 3320 0.33 kN B Ay Ay M F F dx x F =-?-+??==∑? A B C D 0.8 0.8 0.4 0.5 0.4 0.7 2 (b) A B C 1 2 q =2 (c) M=3 30o A B C D 0.8 0.8 0.8 20 0.8 M =8 q =20 (e) A B C 1 2 q =2 M=3 30o F B F Ax F A y y x dx 2?dx x A B C D 0.8 0.8 0.4 0.5 0.4 0.7 2 F B F Ax F A y y x 2 0: 2cos300 4.24 kN o y Ay B B F F dx F F =-?+==∑? 0: sin300 2.12 kN o x Ax B Ax F F F F =-==∑ 约束力的方向如图所示。 (e)：(1) 研究CABD 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0 x Ax F F ==∑ 0.8 ()0: 208 1.620 2.40 21 kN A B B M F dx x F F =??++?-?==∑? 0.8 0: 20200 15 kN y Ay B Ay F dx F F F =-?++-==∑? 约束力的方向如图所示。 4-16 由AC 和CD 构成的复合梁通过铰链C 连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知均布载荷集度q=10 kN/m ，力偶M=40 kN ?m ，a=2 m ，不计梁重，试求支座A 、B 、D 的约束力和铰链C 所受的力。 解：(1) 研究CD 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)； (2) 选坐标系Cxy ，列出平衡方程； 0()0: -20 5 kN a C D D M F q dx x M F a F =??+-?==∑? 0: 0 25 kN a y C D C F F q dx F F =-?-==∑? (3) 研究ABC 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)； A B C D 0.8 0.8 0.8 20 0.8 M =8 q =20 F B F Ax F A y y x 20?dx x dx A B C D a M q a a a C D M q a a F C F D x dx qdx y x y x A B C a q a F ’C F A F B x dx qdx 《测试技术》(第二版)课后 习题答案-_ -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 解： （1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离 散性。 （3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为有理数，其频谱具有离散 性、谐波性和收敛性。 解：x(t)=sin2t f 0π的有效值（均方根值）： 2 /1)4sin 41(21)4sin 41(21)4cos 1(212sin 1)(1000 00 00 00 000 020 2 000=-= - = -== =? ? ? T f f T T t f f T T dt t f T dt t f T dt t x T x T T T T rms ππππππ 解：周期三角波的时域数学描述如下： （1）傅里叶级数的三角函数展开： ，式中由于x(t)是偶函数，t n 0sin ω是奇函数，则t n t x 0sin )(ω也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故 =n b 0。 因此，其三角函数展开式如下： 其频谱如下图所示： ? ????????+≤ ≤-≤≤- +=) (2 02022)(0000 0nT t x T t t T A A t T t T A A t x 2 1)21(2)(12/0002/2/00000= -==??-T T T dt t T T dt t x T a ??-==-2/000 02 /2/00 000cos )21(4cos )(2T T T n dt t n t T T dt t n t x T a ωω?????==== ,6,4,20 ,5,3,14 2sin 422222n n n n n π ππ?-=2 /2 /00 00sin )(2T T n dt t n t x T b ω∑∞ =+=102 2 cos 1 4 21)(n t n n t x ωπ ∑∞ =++=102 2)2sin(1 421n t n n πωπ (n =1, 3, 5, …） 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 第一章 静力学基本概念与物体的受力分析 下列习题中，未画出重力的各物体的自重不计，所有接触面均为光滑接触。 1.1 试画出下列各物体（不包括销钉与支座）的受力图。 解：如图 (g) (j) P (a) (e) (f) W W F F A B F D F B F A F A T F B A 1.2画出下列各物体系统中各物体（不包括销钉与支座）以及物体系统整体受力图。 解：如图 F B B (b) (c) C (d) C F D (e) A F D (f) F D (g) (h) EO B O E F O (i) (j) B Y F B X B F X E (k) 1.3铰链支架由两根杆AB、CD和滑轮、绳索等组成，如题1.3图所示。在定滑轮上吊有重为W的物体H。试分别画出定滑轮、杆CD、杆AB和整个支架的受力图。 解：如图 ' D 1.4题1.4图示齿轮传动系统，O1为主动轮，旋转 方向如图所示。试分别画出两齿轮的受力图。 解： 1 o x F 2o x F 2o y F o y F F F' 1.5结构如题1.5图所示，试画出各个部分的受力图。 解： 第二章 汇交力系 2.1 在刚体的A 点作用有四个平面汇交力。其中F 1＝2kN ，F 2=3kN ，F 3=lkN ， F 4=2.5kN ，方向如题2.1图所示。用解析法求该力系的合成结果。 解 0 00 1 42 3c o s 30c o s 45c o s 60 c o s 45 1.29 Rx F X F F F F KN = =+- -=∑ 00001423sin30cos45sin60cos45 2.54Ry F Y F F F F KN ==-+-=∑ 2.85R F KN == 0(,)tan 63.07Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.2 题2.2图所示固定环受三条绳的作用，已知F 1＝1kN ，F 2=2kN ，F 3=l.5kN 。求该力系的合成结果。 解：2.2图示可简化为如右图所示 23cos60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 013sin600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑ 2.77R F KN == 0(,)tan 6.2Ry R Rx F F X arc F ∠==- 2.3 力系如题2.3图所示。已知：F 1＝100N ，F 2=50N ，F 3=50N ，求力系的合力。 解：2.3图示可简化为如右图所示 080 arctan 5360 BAC θ∠=== 32cos 80Rx F X F F KN θ==-=∑ 12sin 140Ry F Y F F KN θ==+=∑ 161.25R F KN == ( ,)tan 60.25Ry R Rx F F X arc F ∠= = 2.4 球重为W ＝100N ，悬挂于绳上，并与光滑墙相接触，如题2.4 图所示。已知30α=， 4日1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 ，F2=535 解：(1) 研究AB (2) 相似关系： 几何尺寸： 求出约束反力： 2-6 如图所示结构由两弯杆ABC和DE构成。构件重量不计，图中的长度单位为cm。已知F=200 N，试求支座A和E的约束力。 解：(1) 取DE为研究对象， (2) 取ABC F A 3-1 已知梁AB 上作用一力偶，力偶矩为M ，梁长为l ，梁重不计。求在图a ，b ，c 三种情况下，支座A 和 B 的约束力 解：(a) (b) (c) 3-3 ，M 2 =125 Nm 。求 解：(1) (2) 列平衡方程： 3-5 BC 上的力偶的力偶矩大小为M 2=，试 求作用在OA 解：(1) 研究 BC 列平衡方程： (2) 研究AB 可知： (3) 研究OA 杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： A B F A F 4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kNm ，长度单位为m ，分布 载荷集度为kN/m 。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 解： (b)：(1) (2) 选坐标系Axy (c)：(1) 研究AB (2) 选坐标系Axy (e)：(1) 研究C ABD (2) 选坐标系Axy 4-13 Q ，重心在A 点，彼此用 铰链A 和绳子DE 、C 两点的约束力。 解：(1)(2) 选坐标系Bxy (3) 研究AB (4) 选A 4-16 由AC 和CD q =10 kN/m ，力偶M C 所受的力。 解：(1) 研究CD (2) 选坐标系Cxy (3) 研究ABC (4) 选坐标系Bxy 4-17 刚架ABC 和刚架CD 4-17图所示，载荷 kN/m)。 解： (a)：(1) =50 F F 工程力学-课后习题答案 4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力 的单位为kN ，力偶矩的单位为kN m ，长度 单位为m ，分布载荷集度为kN/m 。(提示： 计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 A B C D 0.8 0.8 0.4 0 00.7 2 ( A B C 1 2 q ( M= 30o A B C D 0.8 0.8 0.8 2 0.8 M = q =( 解： (b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意 力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0.40 0.4 kN x Ax Ax F F F =-+==∑ ()0: 20.80.5 1.60.40.720 0.26 kN A B B M F F F =-?+?+?+?==∑ 0: 20.50 1.24 kN y Ay B Ay F F F F =-++==∑ 约束力的方向如图所示。 (c)：(1) 研究AB 杆，受力分析，画出受力图(平 面任意力系)； A B C 1 2 q M= 30o F F A F A y x d 2?x A B C D 0.8 0.8 0.4 00 0.7 2 F F A F A y (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 2 0()0: 3320 0.33 kN B Ay Ay M F F dx x F =-?-+??==∑? 2 0: 2cos300 4.24 kN o y Ay B B F F dx F F =-?+==∑? 0: sin 300 2.12 kN o x Ax B Ax F F F F =-==∑ 约束力的方向如图所示。 (e)：(1) 研究C ABD 杆，受力分析，画出受力图 (平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0x Ax F F ==∑ 0.8 ()0: 208 1.620 2.40 21 kN A B B M F dx x F F =??++?-?==∑? 0.8 0: 20200 15 kN y Ay B Ay F dx F F F =-?++-==∑? 约束力的方向如图所示。 A B C D 0.8 0.8 0.8 20.8 M = q =F F A F A y x 20 x d 1-3 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 (2)220 2 2 (2) ()()(2) 2(2)a j f t j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞ ∞ ---∞-∞-==== =-+++??πππππππ ()X f = Im ()2()arctan arctan Re ()X f f f X f a ==-π? 1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。 0cos ()0 ωt t T x t t T ?≥的频谱密度函数为 1122 1()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞ ∞ ----∞ -= == =++? ?ωωω ωω 根据频移特性和叠加性得： []001010222200222 000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()] a j a j X X X j j a a a a j a a a a ??---+= --+=-??+-++?? --= -+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω ωωωωωωωω 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 机械工程测试技术课后 习题答案 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 第三章：常用传感器技术 3-1 传感器主要包括哪几部分？试举例说明。 传感器一般由敏感元件、转换元件、基本转换电路三部分组成。 如图所示的气体压力传感器。其内部的膜盒就是敏感元件，它的外部与大气压力相通，内部感受被测压力p ，当p 发生变化时，引起膜盒上半部分移动，可变线圈是传感器的转换元件，它把输入的位移量转换成电感的变化。基本电路则是完成上述电感变化量接入基本转换电路，便可转换成电量输出。 3-2 请举例说明结构型传感器与物性型传感器的区别。 答：结构型传感器主要是通过传感器结构参量的变化实现信号变换的。例如，电容式传感器依靠极板间距离变化引起电容量的变化；电感式传感器依靠衔铁位移引起自感或互感的变化。 物性型传感器则是利用敏感元件材料本身物理性质的变化来实现信号变换。例如，水银温度计是利用水银的热胀冷缩性质；压电式传感器是利用石英晶体的压电效应等。 3-3 金属电阻应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？ 答： （1）金属电阻应变片是基于金属导体的“电阻应变效应”， 即电阻材料在外力作用下发生机械变形时，其电阻值发生变化的现象，其电阻的相对变化为()12dR R με=+； （2）半导体应变片是基于半导体材料的“压阻效应”，即电阻材料受到载荷作用而产生应力时，其电阻率发生变化的现象，其电阻的相对变化为dR d E R ρλερ == 。 3-4 有一电阻应变片（见图3-105），其灵敏度S 0=2，R =120Ω，设工作时其 应变为1000με，问ΔR =？设将此应变片接成图中所示的电路，试求：1）无应变时电流指示值；2）有应变时电流指示值；3）试分析这个变量能否从表中读出？ 解：根据应变效应表达式R /R =S g 得 R =S g R =2100010-6120=0.24 1）I 1=1.5/R =1.5/120=0.0125A=12.5mA 2）I 2=1.5/(R +R )=1.5/(120+0.24)0.012475A=12.475mA 图3-105 题3-4图 第1章测试技术基础知识 1.4常用的测呈结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：8 2.40、 82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46 0试用3 种表达方式表示其测量结果。 解：常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于/分布的表达方式和基于不确怎度的表达方式等3种 1）基于极限误差的表达方式可以表示为 均值为 因为最大测量值为82.50,最小测量值为82.38,所以本次测量的最大误差为0.06.极限误差戈m取为最大误差的两倍，所以 忑=82.44 ±2x 0.06 = 82.44 ±0.12 2）基于/分布的表达方式可以表示为 一A = X ± S = 0.014 自由度“8-1 = 7,置信概率0 = 0.95,查表得f 分布值0 = 2.365,所以 x （） = 82.44 ± 2.365 x 0.014 = 82.44 ± 0.033 3）基于不确定度的表达方式可以表示为 所以 X O =82.44±O.O14 解題思路：1）给岀公式；2）分别讣算公式里而的各分项的值；3）将值代入公式，算岀结 果。 第2章信号的描述与分析 2.2 一个周期信号的傅立叶级数展开为 含有正弦项的形式。 解^基波分量为 2JT T I 120JT . n ——cos —r + sin —r 10 4 30 4 所以：1)基频 co {} = - (rad / s) 4 2）信号的周期7 = —= 8（5） 5 — A — =X±(7x = X± 求: 曲)=4 + ￡( /I-1 2 K /? rm os —1 + 10 4 120”兀.fin ---- sin ——/) 30 4 （/的单位是秒） 1） ^（）： 2）信号的周期：3）信号的均值; 4）将傅立叶级数表示成只 y(r)h ?]= 习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布. （a ） 若Λ,2,1=t ，证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳， （b ） 设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关，不平稳，与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列，定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，) 1(n X 为平稳过程. 同理可证，Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 1.1简述测量仪器的组成与各组成部分的作用 答：感受件、中间件和效用件。感受件直接与被测对象发生联系，感知被测参数的变化，同时对外界发出相应的信号；中间件将传感器的输出信号经处理后传给效用件，放大、变换、运算；效用件的功能是将被测信号显示出来。 1.2测量仪器的主要性能指标及各项指标的含义是什么 答：精确度、恒定度、灵敏度、灵敏度阻滞、指示滞后时间等。精确度表示测量结果与真值一致的程度；恒定度为仪器多次重复测量时，指示值的稳定程度；灵敏度以仪器指针的线位移或角位移与引起这些位移的被测量的变化值之间的比例表示；灵敏度阻滞又称感量，是足以引起仪器指针从静止到做微小移动的被测量的变化值；指示滞后时间为从被测参数发生改变到仪器指示出该变化值所需时间，或称时滞。 2.3试述常用的一、二阶测量仪器的传递函数及它的实例 答：一阶测量仪器如热电偶；二阶测量仪器如测振仪。 2.4试述测量系统的动态响应的含义、研究方法及评价指标。 答：测量系统的动态响应是用来评价系统正确传递和显示输入信号的指标。研究方法是对系统输入简单的瞬变信号研究动态特性或输入不同频率的正弦信号研究频率响应。评价指标为时间常数τ（一阶）、稳定时间t s和最大过冲量A d（二阶）等。 2.6试说明二阶测量系统通常取阻尼比ξ=0.6~0.8范围的原因 答：二阶测量系统在ξ=0.6~0.8时可使系统具有较好的稳定性，而且此时提高系统的固有频率ωn会使响应速率变得更快。 3.1测量误差有哪几类？各类误差的主要特点是什么？ 答：系统误差、随机误差和过失误差。系统误差是规律性的，影响程度由确定的因素引起的，在测量结果中可以被修正；随机误差是由许多未知的或微小因素综合影响的结果，出现与否和影响程度难以确定，无法在测量中加以控制和排除，但随着测量次数的增加，其算术平均值逐渐接近零；过失误差是一种显然与事实不符的误差。 3.2试述系统误差产生的原因及消除方法 答：仪器误差，安装误差，环境误差，方法误差，操作误差(人为误差)，动态误差。消除方法：交换抵消法，替代消除法，预检法等。 3.3随机误差正态分布曲线有何特点? 答：单峰性、对称性、有限性、抵偿性。 4.1什么是电阻式传感器？它主要分成哪几种？ 答：电阻式传感器将物理量的变化转换为敏感元件电阻值的变化，再经相应电路处理之后转换为电信号输出。分为金属应变式、半导体压阻式、电位计式、气敏式、湿敏式。 4.2用应变片进行测量时为什么要进行温度补偿？常用的温度补偿方法有哪几种？ 答：在实际使用中，除了应变会导致应变片电阻变化之外，温度变化也会使应变片电阻发生误差，故需要采取温度补偿措施消除由于温度变化引起的误差。常用的温度补偿方法有桥路补偿和应变片自补偿两种。 4.4什么是电感式传感器？简述电感式传感器的工作原理 答：电感式传感器建立在电磁感应的基础上，是利用线圈自感或互感的变化，把被测物理量转换为线圈电感量变化的传感器。 4.5什么是电容式传感器？它的变换原理如何 答：电容式传感器是把物理量转换为电容量变化的传感器，对于电容器，改变ε ，ｄ和Ａ都会 ｒ 影响到电容量Ｃ，电容式传感器根据这一定律变换信号。 4.8说明磁电传感器的基本工作原理，它有哪几种结构形式？在使用中各用于测量什么物理量？ 测试技术复习题 一、填空题: 1.一阶系统的时间常数为T，被测信号的频率为1/T，则信号经过测试系统后，输出 信号与输入信号的相位差为（-45 度）. 2.一阶系统的动特性参数是（），为使动态响应快，该参数（越小越好）。 3.周期信号的频谱是离散的，同时周期信号具有（谐波性）和（收敛性）特性。 4.周期信号的频谱具有（离散）特点，瞬变非周期信号的频谱具有（对称）特点。 5.模似信号是指时间和幅值都具有（连续）特性的信号。 6.信号在时域被压缩，则该信号在频域中的（低频）成分将增加。 7.X(F)为x(t)的频谱，W(F)为矩形窗函数w(t)的频谱，二者时域相乘，则频域可表示 为（X(F)* W(F)），该乘积后的信号的频谱为（连续）频谱。 8.根据采样定理，被测信号的频率f1与测试系统的固有频率f2关系是（f2>2f1）。 9.正弦信号的自相关函数是一个同频的（余弦）函数。 10.对二阶系统输入周期信号x(t) =a cos(wt+q)，则对应的输出信号的频率（不变），输 出信号的幅值（震荡或衰减），输出信号的相位（延迟）。 11.时域是实偶函数的信号，其对应的频域函数是（实偶）函数。 12.频域是虚奇函数的信号，其对应的时域函数是（实奇）函数。 13.引用相对误差为0.5%的仪表，其精度等级为（0.5 ）级。 14.某位移传感器测量的最小位移为0.01mm，最大位移为1mm，其动态线性范围（或 测量范围）是（40 ）dB。 15.测试装置输出波形无失真但有时间延迟t的有失真测试条件是：装置的幅频特性为 （常数），相频特性为（与为线性关系）；输出波形既不失真又无延迟的条件是：幅频特性为（常数），相频特性为（）。 16.系统实现动态测试不失真的频率响应特性满足权函数，幅值或时延。 17.若采样频率过低，不满足采样定理，则采样离散信号的频谱会发生（混叠）现 象。对连续时域信号作加窗截断处理，必然会引起频谱的（泄露）现象。 18.若信号满足y(t)=kx(t)关系，其中k常数，则其互相关系数p xy()=（1 ）. 19.频率不同的两个正弦信号，其互相关函数Rxy()=（ 0）. 20.同频的正弦函数和余弦函数，其互相关函数Rxy()=（1）. 21.周期信号的频谱是离散频谱，各频率成分是基频的整数倍。 22.双边谱的幅值为单边谱幅值的1/2 。 23.自相关函数是偶（奇或偶）函数，其最大值发生在τ= 0 时刻，当 时延趋于无穷大时，周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号。 24.概率密度函数是在幅值域上对信号的描述，相关函数是在时延域 上对信号的描述。 25.自相关函数的傅立叶变换是自功率谱密度函数。 解： （1）瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2）准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散性。 （3）周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 解：x(t)=sin2t f π的有效值（均方根值）： 2 /1 ) 4 sin 4 1 ( 2 1 ) 4 sin 4 1 ( 2 1 ) 4 cos 1( 2 1 2 sin 1 )( 1 00 00 2 2 = - = - = - = = = ? ? ? T f f T T t f f T T dt t f T dt t f T dt t x T x T T T T rms π π π π π π 解：周期三角波的时域数学描述如下： （1）傅里叶级数的三角函数展开： ，式中由于x(t)是偶函数，t n 0sin ω是奇函数，则t n t x 0sin )(ω也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故 =n b 0。 因此，其三角函数展开式如下： 其频谱如下图所示： T 0/2 -T 0/2 1 x (t ) t . . . . . . ? ????????+≤ ≤-≤≤- +=) (2 02022)(0000 0nT t x T t t T A A t T t T A A t x 2 1)21(2)(12/0002/2/00000= -==??-T T T dt t T T dt t x T a ??-==-2/000 02 /2/00 000cos )21(4cos )(2T T T n dt t n t T T dt t n t x T a ωω?????====ΛΛ,6,4,20 ,5,3,14 2sin 422222n n n n n π ππ?-=2 /2 /00 00sin )(2T T n dt t n t x T b ω∑∞ =+=102 2 cos 1 4 21)(n t n n t x ωπ ∑∞ =++=102 2)2sin(1 421n t n n πωπ (n =1, 3, 5, …） 随机过程部分习题答案 习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率 密度、均值和相关函数。 解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以),(~)(2 t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2 2 b btV bsV stV E +++= 2 b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的 一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分 布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1 )ln ();(- =，0>t 均值函数 ? ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数工程力学课后习题答案(20200124234341)
最新第1章 随机过程的基本概念习题答案
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