合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则A B =( ).
A.()1-+∞，
B.1 12?? ???，
C.1 22?? ???，
D.1 2??
+∞ ???
，
2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ).
A.y x =-
B.y x =
C.()()22111x y -+-=
D.()()22
111x y +++=
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．
的是( ). A.这五年，2013年出口额最少
B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2017年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是( ).
A.234log 3log 4log 5<<
B.243log 3log 5log 4>>
C.243log 3log 5log 4<<
D.234log 3log 4log 5>>
5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则7
S 的值等于( ).
A.21
B.1
C.-42
D.0
6.若执行右图的程序框图，则输出i 的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5
7.函数22cos x x
y x x
--=-的图象大致为( ).
8.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116
π
个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是( ).
A.()g x 的图象关于12
x π
=-
对称 B.()g x 在[]0π，上有2个零点
C.()g x 在区间5 36ππ?? ???，上单调递减
D.()g x 在 02π??
-????，
上的值域为 0??????
9.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(00a b >>，)的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相
切，M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ?，则双曲线C 的离心率等于( ).
10.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116
11.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直；④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ).
A.①④
B.②③
C. ①②④
D. ①②③④
12.已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -?-≤?=?--->??
，
，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为( ) (e
是自然对数的底数).
A.6
B.5
C.4
D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.已知向量a =(1，1)，() 2b m =-，
，且a ∥()
2a b +，则m 的值等于 . 14.直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直
线l 的倾斜角等于 .
15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.
16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2
O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切(2n ≥，且n N *∈)，则球1O 的体积等于 ，球n O 的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(12分)在ABC ?中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =
，cos cos cos 0a C c A B +=. (1)求B ；
(2)若BC 边的中线AM
，求ABC ?的面积.
18.(12分)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在明年省内有意向组织高一
“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，
并以统计的频率代替学校选择研学游类型的
概率(
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校
选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
19.(12分)如图，已知三棱柱
111
ABC A B C
-中，平面
11
AAC C⊥平面
ABC，
1
AA AC
=，AC BC
⊥.
(1)证明：
1
A C⊥
1
AB；
(2)设2
AC CB
=，
1
60
A AC
∠=，求二面角
11
C AB B
--的余弦值.
20.(12分)设椭圆:
C
22
22
1
x y
a b
+=(0
a b
>>)的左右顶点为
12
A A
，，上下顶点为
12
B B
，，菱形
1122
A B A B的内切圆C'
2
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M N
，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足PM PN
=，试判断直线PM PN
，
与圆C'的位置关系，并证明你的结论.
21.(12分)已知函数()
2
1
x
x
f x
e
-
=(e为自然对数的底数).
(1)求函数()
f x的零点
x，以及曲线()
y f x
=在
x x
=处的切线方程；
(2)设方程()
f x m
=(0
m>)有两个实数根
1
x，
2
x，求证：
12
1
21
2
x x m
e
??
-<-+
?
??
.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题
目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
3
1
x
y
?
=
??
?
?=
??
(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin
ρθθ
=+.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l交于点M N
，，点A的坐标为(3，1)，求AM AN
+.
23.(10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()2
f x x m x
=--+(m R
∈)，不等式()20
f x-≥的解集为(] 4
-∞，.
(1)求m的值；
(2)若0
a>，0
b>，3
c>，且22
a b c m
++=，求()()()
113
a b c
++-的最大值.
1
合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-2 14.3π或23π
15.72
，164n π-(第一空2分，第二空3分)
三、解答题：大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解：(1)在ABC ?中，sin sin sin a b c
A B C
==
，且cos cos cos 0a C c A B +=，
∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=
，∴()
sin 10B B ?=，
又∵sin 0B ≠
，∴cos B =∵B 是三角形的内角， ∴34
B π
=. ………………………………5分
(2)在ABM ?
中，314
BM AM B AB c π
====，，，
由余弦定理得()2
222cos AM c BM c BM B =+-??
，∴240c -=， ∵0c >
，∴c =在ABC ?中，2a =
，c 34
B π=
， ∴ABC ?的面积1sin 12
S ac B ==. ………………………………12分
18.(本小题满分12分)
(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为1
5
，
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择
的概率为：2
2
2233211218
5555125P C C ????
????
=+= ? ? ? ?????????
. ………………………………5分
(2)X 可能取值为0，1，2，3.
则()3
03
32705125P X C ??=== ???，()2
132354155125
P X C ????===
???????， ()223
2336255125P X C ????===
? ?????，()3
332835125
P X C ??
=== ???， ∴X
∴2754368601231251251251255
EX =?
+?+?+?=. ……………………………12分 或解：∵随机变量X 服从23 5X B ??
???
～，，∴26355EX np ==?=. ……………………………12分
19.(本小题满分12分) (1)连结1AC .
∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11AC AC ⊥. ∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，
BC ?平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C A C ⊥. ∵1111AC B C C =，
∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ?平面11AB C ， ∴1A C ⊥
1AB . …………………………5分
(2)取11A C 的中点为M ，连结CM .
∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160
A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥，以C 为原点，CA C
B CM ，
，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB =，22AC CB ==，1
AA AC =，160A AC ∠=，
∴C (0，0，0)，1A (1，0，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B (-1，1由(1)知，平面11C AB 的一个法向量为(110CA =，.
设平面1ABB 的法向量为()n
x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴1
00n AB n AB ??=?
??=??.
∵()2 1 0AB =-，，
，(13 1 3AB =-，，，∴20
30
x y x y -+=???
-+=??.
令1x =，得123
y z ==，，即 12n ?=
?
，
.
∴1113
cos 2CA n CA n CA n
?<>=
==
?
?
，， ∴二面角11C AB B --
的余弦值为
……………………………12分
20.(本小题满分12分)
(1)设椭圆的半焦距为c .
知，b c a ==，. 设圆C '的半径为r ，则r ab =， 2，解得b =a
∴椭圆C 的方程为22
163
x y +=. (5)
分
(2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.
当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.
由直线和椭圆方程联立得()2
226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，
∴1222
1224212621km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ?=+=+++
()()()2
2222
121222264112121
m km k x x km x x m k km m
k k --=++++=+?
+?+++()2
2
2322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+，
C '相切.
∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)由()2
10x x f x e -==，得1x =±，∴函数的零点01x =±.
()2
21
x
x x f x e --'=
，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在
1x =-处的切线方程为(
)21y e x =+. ()2
1f e
'=-，()10f =，
∴曲线(
)y f x =在1
x =处的切线方程为()2
1y x e
=--.………………………5分
(2)()
221
x
x x f x e --'=.
当(() 112 x ∈-∞+
+∞，，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.
∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1. 由(1)知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.
下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，
时， ()()()2111
2121002x x x x e x f x e x e e
+--+>?++>?+>.
易知，()11
2
x x g x e
+-=+在[]1 1x ∈-，
上单调递增， 而()10g -=， ∴()()10g x g >-=对()1 1x ?∈-，
恒成立， ∴当()1 1x ∈-，
时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m
?=+??
=??得12m x e =-.记112m x e '=-.
不妨设12x x <，则12111x x -<<<，
∴121221212m x x x x x x x e ??
''-<-=-=--
???
.
要证121212x x m e ??-<-+ ???，只要证2112122m x m e e ???
?--≤-+ ? ?
????
，即证21x m ≤-.
又∵2221x x m e -=，∴只要证2
2
2211x x x e
-≤-，即()()()2
22110x x e x -?-+≤.
∵()
21x ∈，即证()2
210x e x -+≥.
令()()()11x x x e x x e ??'=-+=-，.
当()
1 0x ∈时，()0x ?'<，()x ?为单调递减函数；
当()0,1x ∈时，()0x ?'>，()x ?为单调递增函数. ∴()()0
0x ??≥=
，∴()2
210x e x -+≥，
∴121212x x m e ?
?-
<-+ ???
. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴224
6x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()
2
2
2313x y -+-=. …………………………5分 (2)
把直线3:1x l y ?=????=??代入曲线C 得221213
t ???
+-
= ? ? ????， 整理得，280t --=.
∵(2
320?=-+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则 12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，
又∵点A (3，1)在直线l 上， ∴1212AM AN t t t t +=+=-=.
…………………………10分
23.(本小题满分10分)
解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，
， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =，∴212a b c ++=.
又∵0a >，0b >，3c >，
∴()()()()()()12231132
a b c a b c ++-++-=
()()()3
3
3
122311211232232323a b c a b c ++++-??++????≤===?? ? ???????
， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立，
∴()()()113a b c ++-的最大值为32.
…………………………10分