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空间向量
1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距
离公式．
理解空
间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、
性质和运算律；了解空间
向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
基础过关
考纲导读
高考导航 空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示：夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．
共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数，使 ．空间向量的数量积
空间向量的夹角： ．
空间向量的长度或模： ．
空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ；
(c) a ⊥b ? ．
例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.
解：易求得0
,2
1
=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，
=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是
( )
?2
a ＋2
1b ＋c B ．2
1a ＋2
1b ＋c
．2
a ?2
1b ＋c
D ．?2
1a ?2
1b ＋c
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.
证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则
c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-
=-=+=2
1
,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴1
1,,
DC DB AB 共面.
∵B 1?平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.
变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．
典型例题
A
C
D A
C 1
B 1
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a ) 交换律a ·b ＝ ；
(b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．
(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；
(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设
.)1(,k k k AC
MC
EB NB +-===则(2) .0)1(=?-?-=?AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM
21
=
，a 22=
0=．
G 、H ，求
19
变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．
证明：法一：)
(2
1OC OB OM +=)(2
1
OC AB OM PO PM +=
+=∴故QN PM ⊥B 1
1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ?a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ＝b
a
b a ?．
．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与AB 共线的向量，则｜AB ｜＝|
|||n n CD ?.
．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d ＝|
|||n n P P o ?.
第2课时 空间向量的坐标运算
设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝
(2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．
(4) a ∥b ? ；a ⊥b ? ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==
则AB ＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ． 若＝，＝（1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值； （2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3）若b k 取得最小值，求实数k 的值． 解：(1)3
1
-=k ； 小结归纳
典型例题
基础过关
(2)3106=
k ； (3)27
8
-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∥OA u u u
r ，求AC u u u r ．
解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--u u u r u u u r
，
∵,OC OA BC ⊥u u u r u u u r u u u r ∥OA u u u
r ，∴0OC OA ?=u u u r u u u r ，()BC OA R λλ=∈u u u r u u u r ，
∴()()30,
1,1,23,0,1x z y z λ+=???--=??，即30,13,10,
2.
x z x y z λλ+=??+=??-=??-=?
解此方程组，得7211
,1,,101010
x y z λ=-===。
∴721,1,1010OC ??=- ???u u u r ，3711,1,1010AC OC OA ??=-=-
???
u u u
r u u u r u u u r 。 例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ?中，CA ＝CB ＝1，ο90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求??11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．
解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.
(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=∴BM . (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.
10
30
,cos 1
11111=??>=
<∴CB BA CB BA CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,2
1,21(),2,1,1(),2,2
1,21(11=--=∴N C B A .
变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．
(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3
, 0, 0)、C(3
, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,
2
1
, 1)，依题设N(x , 0, z )，则＝(－x ,
2
1, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，
x
y
z B 1
C 1 A 1 C B
A M
N
A
B
P
E
D
·
∴?????
=?=?0
0 即?????=+-=-????????
=?--=?--0
21
3010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ??
???==?163
z x ，即点N 的坐标为(
6
3, 0, 1)，
从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，
6
3.
PE :ED
????
=-2
31)1(λλa a 解得23,21,21
21=
-==λλλ，即21=λ时，2
3
21+-=．亦即，F 是PC 的中点时，,,共面，又?BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4. (1) 求和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；
(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-= 又∵=，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=
)2,4,1(=GE ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则
PG
0)， P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。1010
20
22cos =? 10 10 ． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) . ∵)02323(4343，，-===BC AD GD ，∴点D 到平面PBG 的距离为?GD |n |＝2 3. (3)设F (0，y ，z )，则)2 3 23()02323()0(z y z y ，，，，，-=--=。 ∵GC DF ⊥，∴0=?GC DF ，即032)020()2 323(=-=?-y z y ，，，，， ∴23= y , 又PC PF λ=，即(0，2 3 ，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴z =1， 故F (0， 3 ，1) ，)1210()3230(-=-=，，，，，FC PF ，∴ 3PF PC ==。 (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题． 向量在高中数学中的应用 在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下： 1、利用向量证明等式 材料一：已知、是任意角，求证：。 证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终 边交单位圆于B，有，所以有： 又 即 点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用 向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式 材料二：是正数。求证： 证明：设 由数量积的坐标运算可得： 又因为，所以成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式： ，，构造向量解之。 3、利用向量求值 材料三：已知，求锐角。 解析：由条件得 设，， 则，，， 由，得，即， 则，即，同理（因为、为锐角） 点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 4、利用向量求函数值域 材料四：若，求的最小值。 解析：构造向量， 由，得 即， 当且仅当时，有最小值 点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题 材料五：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知 。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在说明理由。 解析：（1）、设直线的方程为， 代入得， 当时，设，，则， 摘要 中学数学教学是学校学科教学的重要组成部分，随着社会的发展，人们对数学教学的要求也变得越来越高。但目前中学数学教学中存在的一些问题却又在某种意义上阻碍了中学数学教学的平稳发展，文章通过对教学中存在的几个问题进行了分析，并对如何解决这些问题提出了相应的对策方案，使中学数学课程改革深入进行并达到预期目的。关键词：数学教学；存在问题；对策 Abstract The middle school mathematics teaching is the school discipline and important part of teaching, with the development of society, people in mathematics teaching requirements are becoming more and more high. But now the middle school mathematics some problems in teaching the but again in allaying the middle school mathematics teaching the steady development, based on some problems existing in the teaching are analyzed, and how to solve these problems, advances some corresponding countermeasures scheme, the middle school mathematics curriculum reform to achieve the expected purpose in-depth. Keywords: Mathematics Teaching Problems Countermeasures 等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 浅析中学数学教学中的美育渗透 '浅析中学数学教学中的美育渗透 在中学数学教学中渗透美育，能激发学生求知的兴趣，启迪学生积极思维，有助于学生深刻理解知识，对于培养学生健康的审美观念和审美能力，陶冶高尚的道德情操，培养全面的人才，具有重要作用。数学教材中蕴含着数学美育的丰富素材，我们要深入挖掘和精心提炼，设计出充满美感的教学过程，使学生在学习中去感受美、理解美、鉴别美、创造美，提高学生的审美能力。 一、培养学生认识数学美的兴趣 爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”只要老师在教学活动中充分挖掘出一些数字、公式、定理、定律等所蕴涵的数学美，学生一定会在享受美的同时，爱上数学，只要学生对数学有了兴趣，他们自然就能主动地而不是被动地去学好数学。 利用数学的历史故事激发学生去认识数学美。数学既是一门优美的学科，又是一门历史悠久的学科，在创造和发展数学的过程中曾留下了许多数学家呕心沥血、执着追求数学真理的动人篇章和趣闻轶事，将这些名人轶事引入课堂，可培养学生认识数学美的兴趣。 结合解题教学，培养学生的兴趣。在解题过程中，充分展示数学的简洁美、和谐美、奇异美等各种数学美，可使学生对数学产生好奇心，使他们在惊叹“如此绝妙”之后，为之折服，从而产生追求数学美的欲望。 通过介绍数学美的巨大作用，培养学生的兴趣。著名的“黄金分割”揭示了线段比例关系中的和谐美，它不仅在数学中，而且在音乐、 、 、 、生物及日常生活中都有广泛的 。此外，人造地球卫星的发射和回收体现了数学的精确美；数学家用笔“算”出了海王星的奇迹，电子 神奇的功能都是以表明数学的奇异美。通过各种方式向学生介绍数学在现代化科学和日常生活中的巨大作用，可激发学本文由 联盟 收集整理生认识数学美的浓厚兴趣。 二、揭示数学美的内涵，培养学生数学美感 从表面上看，数学是数字和符号的堆砌，线段单调、枯燥，但是，就是这些数学和符号中蕴藏着发人深省的数学美。英国人的学界老大罗素曾讲道：“数学，如果公正地看，包含的不仅是真理，也是无上的美，一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕刻一样。”我国著名数学家徐利治曾这样阐述数学美，“作为科学原理的数学，具有一般 与 所共有的特点。数学在其内容结构和方法上也具有自身的某种美，即数学美。它主要包括简单美、对称美、和谐美、静态美、动态美、结构美、形式美、符号美、机智美等等”。这些美遍布在生活中的各个方面，对人类 的发展进步起着举足轻重的作用。 数学美不同于自然美和艺术美，它是一种带有哲理性的美，不容易为中学生所接受，这就需要教师作耐心细致的剖析，通过深入浅出的讲解，揭示数学美的内涵，使学生明白什么是数学美。数学中，还有许多美的命题、美的方法。例如正弦、余弦定理的对称美，圆幂定理的和谐统一美，三角形内角和定理的简洁美等等，数学教师应该通过数学中精美的图形、有趣的数字关系、和谐统一的简洁式子、比例结构的匀称协调、命题或定理间的关系相似、对称、奇异等唤起学生美的意识，使学生获得数学美的体验。 联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之？ 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？ 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 课堂练习 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=120°） 教学情境四 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 （3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以计算的公式。 习题设计 1． 在?ABC 中，a=3,b=4,?=∠60C ,求c 边的长。 2． 在?ABC 中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。 3． 若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。 4． △ABC 中，若()222tan a c b B +-=，求角B 的大小。 5． ?ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,求角C 的大小） （本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动） 编写要求： 1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm ；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。 2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 中学数学教学中的向量(续3) 齐民友 (武汉大学数学与统计学院 430072) 413 关于立体几何的教学 立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了. 设有一个立方体,边长为1,过O ′,A ,C 三点作一平面,联结OB ′.证明它与此平面垂直,设OB ′与此平面交于P 点,求OP 之长. 把图画出来,差一点的学生就眼花缭乱了,似乎 OB ′C ′是一条直线,其实又 不是.哪一条直线被掩盖住了,我画的图可能是错的.如果是画对了,又恰好把有用的东西遮盖起来了. 图19 一个简单的 立体几何题如果换一个想法:立方体12条棱,8个顶点中的5个还有6个面,都是没有用的,真正有用的只有下图 (其实三条坐标轴也只是辅 助性的).学生在这里的问题与其说是缺少空间想象 力,不如说是缺少从纷繁的 图形中把有用的要素提取出来的能力.而从上图看 出真正有用的只是下图.这又不只是想象力问题,而是需要较高的数学素养才行. 因此,我们的任务是如何帮助学生走一条比较平易的道路.我认为,数形结合(现在是代数化)是一个有效方法.看到题中讲的立方体,就自然想到下图的直角坐标系,以及有关的坐标.我们需要的 全部信息就全在其中了,其它都可以置之不理.这就是下图的来源. 于是就会问,经过这三点的平面方程是什么等等.下面的问题就只是最简单的代数计算了.图上看不清的全部可以算清,这就是热尔梅那句话的意义. 读者会问,讲平面的方程是否超过课标?本来课标中已规定要讲空间直角坐标,由此再到平面的方程也就只是一句话的事.值得注意的是,哪怕只是一句话,怎样说才好,我以为最好不要只是提出定义等等.因为提出一个定义就会带来一串定义,于是就有了多少个“知识点”,麻烦就多了. 现在我们提出一个问题:在研究空间直线与平面时,怎样去刻画它们?从数学上看有两个办法,一是问它们自身包含了什么样的 向量.以直线为例,必是先有一个向量v ,而{λv }(λ是实数)就是一条直线(图上的虚线).但它一定通过原点.我们把它平移一下,使O 点移到x 0,这就得到了通过x 0而方向为v 的直线l.如果用x 表示l 上的任一点(即其位置向量),就得l 的表示法: x =x 0+λv (28) 图20 怎样用向量表示 直线和平面 不论是平面直线与空间直线都可以这样写出来.我们不妨称 (28)是直线(平面的 或空间的)的方程.而且依我之见,完全不必再给它加一个诸如向量方程或参数方 第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360? 角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体720? ，逆（顺）时针旋转”，角有大于360? 角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360? ? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360? ?~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720? ” （即转体2周），“转体1080? ”（即转体3周）等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 《向量的概念》教学设计 ◆教材分析 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大. 理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量. ◆教学目标 【知识与能力目标】 理理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 【过程与方法目标】 引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 【情感态度价值观目标】 通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. ◆教学重难点 【教学重点】 向量及向量的有关概念、表示方法. 【教学难点】 向量及向量的有关概念、表示方法. ◆课前准备 多媒体课件 ◆教学过程 思考 先引导学生思考位移和距离这两个量有什么不同？ 提出问题 1.什么是向量?它与数量有什么不同？ 2.什么是有向线段,它包含哪三个要素？ 3.怎么表示向量? 4.什么是向量的模? 5.有哪些特殊向量? 6.向量间有什么特殊关系? 新知探究 1. 什么是向量？向量与数量有何区别？ 既有大小又有方向的量叫向量。 数量只有大小，没有方向的量。 思考：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 什么是有向线段，它包括哪些元素 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。 有向线段的三要素：起点、方向、长度 以A为起点、B为中点的有向线段记作： ?→?AB 2.向量的表示方法有哪些？ ①几何表示法：向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方向表示向量的方向。 有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段 ?→ ? AB的长度 ②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即 ?→ ? AB可表示为a（印刷时用黑体字） 说明1：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图：他们都表示同一个向量。 练习:1.向量AB ????? 和BA ????? 同一个向量吗？为什么？ 说明2： A(起点) B （终点） a 篇一：高中数学教学设计与教学反思 高中数学教学设计与教学反思 第一章第三节三角函数的诱导公式（一） 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。 二．教材分析 三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时,教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）.同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 三．学情分析 本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容. 四．教学目标 (1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式； (2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简； (3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力； (4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观． 五．教学重点和难点 1.教学重点 理解并掌握诱导公式. 2.教学难点 正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式. 六．教法学法以及预期效果分析 “授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析. １．教法 数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质. 在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形 高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（） A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4， 向量在中学数学中的应用研究工作报告 一、课题研究的背景及意义 向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。 二、课题研究的目标和内容 研究目标 本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促 进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。 1、优化学生认识的结构 根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。 2、培养学生的思维品质 中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。在向量教学中强化数学思想方法，优化思维品质。 3、培养学生建模能力 向量一章的内容，突出的是知识的应用。新课标准把数学建模能力列为学生学习数学需完成的知识。向量的工具作是显然的。这里可以借助物理问题，通过把物理问题转化为数学问题，建立数学知识与物理知识的联系，即把物理问题抽象成数学问题，然后利用数学模型解释相关物理现象，培养学生建模能力。 4、帮助学生养成数学文化素养 向量以其独特的内容、形式和功能，反映了人类文明的优秀文化成果，作为知识的继承者，学生学好向量，完善知识结构，养成自身的数学文化素养。 研究内容 组合教学设计（第一课时） 一、教材分析 本节课的教学内容是选修2-3（人教A版）§1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。 二、学情分析 从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。 三、设计思想 《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。 四、教学目标 1、知识与技能: 正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质； 2、过程与方法: 借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3、情感态度与价值观: 学会用联系的观点看问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。 五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质 六、教学难点：组合数公式的推导. 七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究 浅谈中学数学课堂教学中的语言艺术 语言是教学思想的直接体现，是教师使用最广泛、最基本的信息载体。数学课堂教学过程 就是数学知识的传递过程。在整个课堂教学过程中，数学知识的传递、学生接受知识情况的反馈、师生间的情感交流等，都必须依靠数学语言。教师的语言表达方式和质量直接影响着学生对知识的接受，教师语言的情感引发着学生的情感，所以我们说教师的语言艺术是课堂教学艺术的核心。数学课堂教学的语言艺术主要体现在以下几个方面： 1 教学语言要准确规范，严谨简约 数学教师对定义、定理的叙述要准确，不应使学生发生疑问和误解。教师要做到如下两条：一是对概念的实质和术语的含义必须要有透彻的了解。二是必须用科学的术语来授课，不能用生造的土话和方言来表达概念、法则、性质等。比如，不能把“垂线”讲成“垂直向下的线”，不能把“最简分数”说成“最简单的分数”等。 严谨，除了具有准确性之外，还应有规范化的要求，如吐词清晰，读句分明，坚持用普通 话教学等。有的教师“口头禅”太多，分散了学生的注意力，破坏了教学语言的连贯和流畅， 曾多次发生有的学生上课专门统计教师说“口头禅”的次数问题。还有的老师语言重复过多， 拖泥带水，浪费了很多课堂的有限时间，影响了学生表现自己的积极性。 2 教学语言要形象有趣，通俗易懂 教学语言既非书面用语，又非口头用语，要通俗明白，使学生听得有滋有味，教师应该使 抽象的概念具体化，使深奥的知识明朗化，用自己深厚的文化底蕴教给学生丰富的数学素养，通过驱动学生的数学想象，来达到培养学生数学能力的目的。 首先，要用形象化语言去解释抽象的数学概念。一般地说，对人的感官富有刺激性的语言，最能引起学生的兴趣，笔者大学时期的一位教授在讲解“阶乘”的概念时说：“这个结果大的 惊人哟，所以我们使用！”“数的阶乘”这个概念从意义到算法，使我们记忆深刻，终生不忘。 其次，要精心锤炼描述性的语言，把学生带入美的意境，数学教学偶尔出现几句诗情画意 的语言，效果更是不同凡响。 3 教学语言要幽默风趣，比喻恰当 幽默是一种较高的语言境界，它富有情趣，意味深长，数学教师的语言幽默，其作用是多 方面的： 首先，可以激活课堂气氛，调节学生情绪。学生心情舒畅地学习与惶恐畏惧地学习，其效 果是大不相同的。教师要善于借助幽默的语言去创造有利于师生情感沟通的课堂气氛，针对学生不注意分析已知条件，忽略隐含条件而引发出错误的证题思路，结合当今中学生错别字较多的情况，我分析题意后说：“这位同学的思想走到牙路上去了。”故意将“邪”读成“牙”， 引起学生轰堂大笑，这既提高了学生认真分析已知条件的重要性，又告诉了学生“重理轻文” 的思想要不得。 其次，可以提高批评的效果，让课堂违纪的学生心悦诚服，教师在课堂上遇到某些特殊情 况时，假如控制不住自己的情绪和理智，动辄对学生发火训斥，其弊端是众人皆知的，如果用幽默的语言来处理，其作用和效果就大不一样。 最后，幽默可以开启学生的智慧，提高思维的质量。课堂教学的幽默应和深刻的见解、新 鲜的知识结伴而行，教给学生理智，学生会产生会心的微笑，获得美感享受。 4 无声语言要使用得当，恰到好处 高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 (2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F 高中数学教学教案设计有哪些 一、预习目标 预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建 立实际问题与向量的联系。 二、预习内容 阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题： 1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗? 2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么? 3. 例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么? 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习内容 1.运用向量的有关知识向量加减法与向量数量积的运算法则等解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程 探究一：1向量运算与几何中的结论"若，则，且所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会? 2举出几个具有线性运算的几何实例. 例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知：平行四边形ABCD. 求证： . 试用几何方法解决这个问题 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? 1 建立平面几何与向量的联系， 2 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 3 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设 1证明A、O、E三点共线; 2用表示向量。 例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角 越小越省力. 这些力的问题是怎么回事? 例3.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么? 例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的 速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少精确 到0.1min? 变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，1写出此时粒子B相对粒子A的位移s; 2计算s在方向上的投影。 三、反思总结 结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题向量在高中数学中的应用
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