失效分析知识点
第一章概论
1.失效的定义：当这些零件失去其应有的功能时，则称该零件失效。
2.失效三种情况：
（1）.零件由于断裂、腐蚀、磨损、变形等从而完全丧失其功能；
（2）.零件在外部环境作用下，部分的失去其原有功能，虽然能工作，但不能完成规定功能，如由于磨损导致尺寸超差等；
（3）.零件能够工作，也能完成规定功能，但继续使用时，不能确保安全可靠性。
3.失效分析定义：对失效产品为寻找失效原因和预防措施所进行的一切技术活动。也就是研究失效的特征和规律，从而找出失效的模式和原因。
4.失效分析过程：事前分析（预防失效事件的发生）、事中分析（防止运行中设备发生故障）、事后分析（找出某个系统或零件失效的原因）。
5.失效分析的意义：
（1）.失效分析的社会经济效益：失效将造成巨大的经济损失；质量低劣、寿命短导致重大经济损失；提高设备运行和使用的安全性。
（2）.失效分析有助于提高管理水平和促进产品质量提高；
（3）.失效分析有助于分清责任和保护用户（生产者）利益；
（4）.失效分析是修订产品技术规范及标准的依据；
（5）.失效分析对材料科学与工程的促进作用：材料强度与断裂；材料开发与工程应用。
第二章失效分析基础知识
一.机械零件失效形式与来源：
1.按照失效的外部形态分类：
（1）过量变形失效：扭曲、拉长等。原因：在一定载荷下发生过量变形，零件失去应有功能不能正常使用。
（2）断裂失效：一次加载断裂（静载荷）：由于载荷或应力超过当时材料的承载能力而引起；
环境介质引起的断裂：环境介质和应力共同作用引起的低应力脆断；
疲劳断裂（交变载荷）：由于周期作用力引起的低应力破坏。
（3）表面损伤失效：磨损：由于两物体接触表面在接触应力下有相对运动，造成材料流失所引起的一种失效形式；
腐蚀: 环境气氛的化学和电化学作用引起。
（4）.注：断裂的其他分类
断裂时变形量大小：脆性断裂、延性断裂；
裂纹走向与晶相组织的关系：穿晶断裂、沿晶断裂；
2.失效的来源：
（1）.设计的问题：高应力部位存在沟槽、机械缺口及圆角半径过小等；应力计算错误；设计判据不正确。
（2）.选择材料上的问题：选择材料判据有误、材料中存在缺陷。
（3）.加工制造及装配中存在的问题：加工方法不对、不文明施工等。
（4）.不合理的服役条件。
二.应力集中与零件失效
1.应力集中：零件截面有急剧变化处，就会引起局部地区的应力高于受力体的平均应力，这一现象称为应力集中；
2.应力集中系数：表示应力集中程度大小的系数称为应力集中系数。
3.NSR（材料的缺口敏感性）：缺口试样强度与光滑试样强度的比值表示材料的缺口敏感性。
4.影响应力集中与断裂失效的因素
（1）材料力学性能的影响。一般，材料硬度越高，脆性越大，塑性韧性越低，应力集中越强烈，裂纹扩展速率也越大。
（2）零件几何形状的影响。许多零件，由于结构上的需要和设计上的不合理，在结构上有尖锐的凸边、沟槽或缺口等，当其在加工或使用过程中，将在这些尖锐部位产生很大的应力集中而导致开裂。
（3）零件应力状态的影响：当材料的质量合格，几何形状合理的情况下，裂纹起源的部位主要受零件应力状态的影响，此时，裂纹将在最大应力处形成。
（4）加工缺陷的影响：加工缺陷的存在，在缺陷处造成应力集中，导致零件开裂。（5）装配、检验产生缺陷的影响：即装配和检验过程中没有严格按照操作规范从而导致零件产生缺陷，在这些缺陷部位产生应力集中，导致开裂。
5.降低应力集中的措施
（1）从强化材料方面降低应力集中的作用（强化材料局部地区即应力集中处的疲劳强度，从而降低应力集中的危害）：表面热处理强化、薄壳淬火、喷丸强化、滚压强化；
（2）从设计方面降低应力集中系数。变截面部位的过渡：尽可能加大过渡部分的圆角，使过渡区接近于流线型；根据零件的受力方向和位置选择适当的开孔部位：孔一般应开在低应力区，如必须开在高应力区，则应采取补强措施；在应力集中区附近的低应力部位增开缺口和圆孔。
三.残余应力与零件失效
1.内应力：材料在无外载荷时，存在于其内部并保持平衡的一种应力称为内应力。
2.残余应力（第一类内应力，宏观应力）：存在于整个物体或在较大尺寸范围内保持平衡的应力，尺寸在0.1mm以上；残余压应力能够提高零件的疲劳抗力、抗应力腐蚀的能力；残余拉应力总是有害的，降低零件的疲劳抗力、抗应力腐蚀的能力等。
3.微观应力：第二类内应力（晶粒尺寸大小范围）、第三类内应力（原子尺寸大小范围）。
4.残余应力的产生：
（1）热处理残余应力：由热应力和组织应力叠加的结果；
（2）表面化学热处理引起的残余应力
（3）焊接残余应力：是在焊缝及其附近由于焊接的热应力、组织应力和拘束应力共同作用而产生的。形成原因：直接应力，不均匀加热的后果，这是主要原因；间接应力：这是焊前加工状况所造成的应力；组织应力：这是由于组织变化而产生的应力。
（4）铸造残余应力：在构件界面内保持平衡而存在的残余应力0；构件间相互保持平衡的残余应力；由于铸造型砂的阻力而产生的残余应力；铸件成分的影响；
（5）涂镀层引起的残余应力。电镀时产生的残余应力，是指在基体金属上逐层电沉积上去的镀覆部分的残余应力。
（6）切削加工残余应力。金属材料在进行切削（磨削）加工时，在加工过程中与工具相接触部分的附近要产生塑性变形。
5.残余应力的影响：
（1）对静强度的影响
（2）对硬度的影响
（3）对疲劳强度的影响
（4）对脆性破坏和应力腐蚀开裂的影响：对低温脆性破坏和应力腐蚀开裂等突然性的失效形式，残余应力的作用是显著的。
6.消除和调整残余应力的方法：热作用法和机械法
（1）去应力退火：是消除焊接残余应力、铸造残余应力、机加工残余应力最常用和最有效的方法之一。一般的退火是把构件在较高温度下保温一段时间，然后再进行缓冷的一种工艺方法。
（2）回火或自然时效处理：随着回火温度升高，残余应力去除的部位显著增大，当回火温度达到450摄氏度及以上时，可认为残余应力已经完全消除。对于一些铸件可采用自然时效的方法消除残余应力。
（3）机械法（加静载或动载）：加静载使有残余应力的部位发生屈服而使残余应力松弛。加动载可消除残余应力。
（4）火焰烘烤法
四材料的韧性与断裂设计
1.低应力脆断及材料的韧性
（1）各种脆断的共同点：通常发生脆断时的宏观应力很低，按强度设计是安全的；
脆断通常发生在比较低的温度下；
脆断从应力集中处开始，裂纹源通常在结构或材料的缺陷处，如缺口、裂纹、夹杂等；
厚截面、高应变速率促进脆断。
五应力分析与失效分析
1.材料的失效形式大致可分为三种：
2.（1）脆断：断裂前无宏观塑性变形（如铸铁拉伸、扭转）
（2）剪断：沿最大剪应力方向发生的断裂。例如铸铁在压缩和硬铝在拉伸时，
大约沿45度方向剪断。
（3）屈服：经过一定的塑性变形后方发生的断裂。例如低碳钢拉伸、扭转和
压缩时，都有很大的塑性变形。
注：不同的材料在受力相同的情况下可能出现不同的失效形式，塑性材料一般
会出现塑性变e形，而脆性材料一般会出现脆性断裂。同一种材料在不同的受
力状况下也会有不同的失效形式，这一点在失效分析中要引起重视。
第三章失效分析基本方法
一. 失效分析的思路及方法
1.失效分析遵守基本原则：
（1）整体观念原则
（2）从现象到本质的原则
（3）动态原则
（4）一分为二原则（两分法原则）
（5）纵横交汇原则（立体性原则）
二.失效分析的程序及步骤
1.失效分析的步骤
（1）现场调查
（2）搜集背景资料
（3）技术参量复验
（4）深入分析研究
（5）综合分析归纳，推理判断提出初步结论
（6）重现性试验或证明试验
（7）撰写失效分析报告
三.断口分析：断裂是机械产品工程事故中较为多见且危害最大的失效形式。任何断裂
在断后的断面上总要留下一些反映断裂过程及断裂机制的痕迹。这些痕迹有时能够非常清楚地、详细而完整的记录下构件在断裂前及断裂过程中的许多细节，从而有助于断裂原因的确定及预防措施的提出。因此，断裂件的断口分析是断裂失效分析的主要内容。
1.断口处理方法及断口分析的任务（书P81）
2.断口的宏观分析：是指用肉眼或放大倍数一般不超过30倍的放大镜及实物显微
镜，对断口表面进行直接观察和分析的方法。
在失效现场进行的断口宏观分析，具有简便、迅速和观察范围大等优点。
（1）最初断裂件的宏观判断（分析的对象不是一个具体的零件，而是一个复杂的大型机组或是一组同类零件中的多个发生断裂，需要确定最初断裂件。）
①整机残骸的失效分析：无论何种机械装备的失效，都不可能是全部零件的同
时损坏，相反，往往是个别零件的损坏导致的整机损坏；
②多个同类零件损坏的失效分析：一组同类零件的几个或全部发生损坏时，要
判明事故原因需确定哪一个件先坏，这类分析也应采用顺序分析法；
③同一个零件上相同部位的多处发生破断时的分析。
（2）主断面（主裂纹）的宏观判断：最初断裂件找到后，紧接着的任务就是确定该断裂件的主断面或主裂纹，所谓主断面就是最先开裂的断裂面。
寻找主断面方法：①利用碎片拼凑法确定主断面（密合程度好的为后断的，
密合程度最差的断面为最先开裂的断面，即主断面）；
②按照“T”形汇合法确定主断面或主裂纹；
③按照裂纹的河流花样（分叉）确定主裂纹。
（3）断裂（裂纹）源区的宏观判断
①根据不同断裂的特征确定裂纹源区：不同断裂都有不同或相应的特征，按
照这些特征来确定断裂源是断口分析中最直接、最可靠的方法。总之，不同
断裂类型，在断口上都可以观察到典型的特征形貌。
②将断开的零件的两部分相匹配：裂缝的最宽处为裂纹源区‘
③根据断口上的色彩程度确定裂纹源区：主要是观察断口上有无有别于金属本色的氧化色、锈蚀及其他腐蚀色彩等特征，并依此确定裂纹源区的宏观位置。
④断口的边缘情况：观察断口的边缘有无台阶、毛刺、剪切唇和宏观塑性变形等，将有助于分析裂纹源区的位置、裂纹扩展方向及断裂的性质等问题。
3.断口的微观分析
（1）断口微观分析的内容与方法：
①断口产物分析。在特殊的介质环境下或高温场合断裂的构件，其断口上常有残存的与环境因素相对应的特殊产物，而这些产物的分析对于致断原因的分析，是至关重要的。断口产物分析又分为成分分析和相结构分析两个方面。
②断口的微观形貌分析。工具主要是电子显微镜，即透射电镜及扫描电镜。
（2）解理断裂
①定义：是正应力作用下金属的原子键遭到破坏而产生的一种穿晶断裂。
②特点：解理初裂纹起源于晶界、亚晶界或相界面，并严格沿着金属的结晶学平面扩展，其断裂单元为一个晶粒尺寸。
③微观形貌特征及断裂性质：微观形貌特征主要是河流花样和解理台阶，由这些特征确定是否为解理断裂。
第四章静载荷作用下的断裂失效分析
一过载断裂失效分析
1.过载断裂失效的定义：当工作载荷超过金属构件危险载面所能承受的极
限载荷时，构件发生的断裂称为过载断裂。
2.取决因素：真实应力、有效尺寸。
3.过载断裂失效断口的一般特征：通常显示一次加载断裂的特征，宏观断
口与拉伸实验断口极为相似。
（1）对于宏观塑性的过载断裂失效来说，其断口一般可看到三个特征区：纤维区、放射区、剪切唇。称为断口的三要素。
①纤维区：位于断裂的起始部位，裂纹的形成核心位于此区；
②放射区：裂纹的快速扩展区，放射条纹状，或人字纹；
③剪切唇：最后断裂区
（2）对于宏观脆性的过载断裂失效来说断口特征有两种情况：
①拉伸脆性材料：脆性断口，结晶状，无三要素特征。
②拉伸塑性材料：纤维区很小，放射区占有极大比例，周边几乎不出现
剪切唇。
4.影响过载断裂失效特征的因素
（1）材料性质的影响
（2）零件形状与几何尺寸的影响：零件的几何形状与结构特点对过载断裂，特别是对宏观塑性过载断裂的断口特征会产生一定的
影响。
①圆形试件
②矩形试件
③几何尺寸的影
（3）载荷性质的影响
（4）环境因素的影响
5.扭转和弯曲过载断裂断口特征
（1）扭转过载断裂断口特征.
第五章疲劳断裂失效分析
一．疲劳断裂失效的基本形式和特征
1.疲劳段列形式：切断疲劳和正段疲劳
2.特征：
（1）疲劳断裂的突发性
（2）疲劳断裂应力很低
（3）疲劳断裂是一个损伤积累的过程
（4）疲劳断裂对材料缺陷的敏感性
（5）疲劳断裂断裂对腐蚀介质的敏感性
二.疲劳断口形貌及其特征
1.疲劳断口的宏观特征
3.疲劳断口的微观形貌特征
（1）疲劳断口的微观形貌特征是在电子显微镜下观察到的条状花样，通常称为疲劳条痕、疲劳条带、疲劳辉纹等。
三.疲劳断裂失效类型与鉴别
1.机械疲劳断裂
（1）高周疲劳断裂：多数情况下，零件的光滑表面上发生高周疲劳断裂断口上只有一个或有限个疲劳源。只有在零件对策应力集中处或在较高水平的循环应力下
发生的断裂，才出现多个疲劳源。高周疲劳断口的基本特征是细小的疲
劳辉纹。
（2）低周疲劳断裂：宏观断口上存在多疲劳源是低周疲劳的特征之一；微观基本特征是粗大的疲劳辉纹或粗大的疲劳辉纹与微孔花样。
（3）振动疲劳（微振疲劳）断裂：由往复的机械运动引起的断裂称为振动疲劳断裂。共振疲劳断裂是是机械设备振动疲劳断裂的主要形式。
（4）接触疲劳：材料表面在较高的接触压应力作用下，经过多次应力循环，其接触面的局部区域产生小片或小块金属剥落，形成麻点或凹坑，最后导致构件失效
的现象，称之为接触疲劳，也称为接触疲劳磨损或磨损疲劳。接触面上
的麻点、凹坑和局部剥落是接触疲劳的典型宏观形态。影响因素有应力
条件、材料的成分、组织结构、冶金质量、力学性能、及其匹配关系。
采用表面强化工艺均可提高其接触疲劳抗力。
2.腐蚀疲劳断裂：金属零件在交变应力和腐蚀介质的共同作用下导致
的断裂，称为腐蚀疲劳断裂。
（1）腐蚀疲劳破坏机制
（2）腐蚀疲劳破坏特点：腐蚀疲劳不需要特定的腐蚀系统；
任何金属材料均可能发生腐蚀疲劳；
材料的腐蚀疲劳不存在疲劳极限；
腐蚀疲劳初裂纹的扩展受应力循环周次的控制，不循环时应力不扩展；
（3）腐蚀疲劳断裂的断口特征：兼有机械疲劳和和腐蚀断口的双重特征。
3.热疲劳断裂失效
（1）定义：金属材料由于温度梯度循环引起的热应力循环，而
产生的疲劳破坏现象，称为热疲劳破坏。
（2）特征：
（3）影响因素：
四.疲劳断裂失效的原因及预防
1.原因：
（1）零件的结构形状不合理；
（2）表面状态不良；
（3）组织状态不良；
（4）装配与联结效应；
（5）环境因素的变化；
（6）载荷频谱。
2.预防措施
（1）延缓疲劳裂纹萌生的时间；
（2）降低疲劳裂纹的扩展速率；
（3）提高疲劳裂纹门槛值的长度；
第六章磨损与腐蚀失效分析
一.磨损失效分析
1.磨损定义：当相互接触的零件表面有相对运动时，表面的材料粒子
由于机械的、物理和化学的作用而脱离母体，使零件的形状、尺寸或
重量发生变化的过程称之为磨损。
2.磨损失效：机械零件因磨损导致尺寸减小和表面状态改变，并最终
丧失其功能的现象称为磨损。
3.磨损与断裂、腐蚀并称为金属失效的三种形式。
4.磨损失效分析步骤：
（1）现场调查及宏观分析；
（2）测量磨损失效情况；
（3）检查润滑情况及润滑剂的质量；
（4）摩擦副材质的检查；
（5）进行必要的模拟试验；
（6）确定磨损机制。
5.磨损失效分析的内容
（1）磨损表面形貌分析；
（2）磨损亚表层分析；
（3）磨屑分析。
6.六种主要磨损失效：
（1）粘着磨损；（2）磨料磨损；（3）疲劳磨损；（4）腐蚀磨损；（5）冲蚀磨损；（6）微动
磨损。
7.磨损失效预防措施
（1）改进结构设计及制造工艺；
（2）改进使用条件，提高维护质量；
（3）选择合理的工艺措施；
（4）选择适合工况的材料；
（5）表面处理；
I二腐蚀失效分析
1.腐蚀：金属与环境介质发生化学或电化学作用，导致金属的损坏或
变质。
2.腐蚀失效形式：
3.腐蚀失效分类：作用性质分为化学腐蚀与电化学腐蚀；腐蚀分布形
态分为全面腐蚀与局部腐蚀。
4.腐蚀失效的基本类型：点腐蚀失效、缝隙腐蚀失效、晶间腐蚀失效、
接触腐蚀失效、空泡腐蚀失效、磨耗腐蚀失效、应力腐蚀失效。
第七章金属构件加工缺陷与失效
一.铸造加工缺陷与失效
1.金属构件的我主要加工方法有：铸造、锻压、焊接、切削加工、热处理。
2.常见铸造加工缺陷及形貌
（1）.冷隔：由两股未能相互融合的金属液流汇合所形成的不规则线性缺陷；
（2）.气孔：金属在融容状态溶解大量气体，在冷凝过程中，绝大部分气体逸出，残余的少量气体则在金属构件内部形成气孔或称为气泡；
（3）针孔：溶解与合金液中的气体在凝固过程中析出时，因某种原因而残留在铸件中形成的针状孔洞；
（4）缩孔：由于金属从液态至固态的凝固期间，产生的收缩得不到充分补缩，使铸件在最后凝固部位形成具有粗糙的或粗晶粒表面的孔洞。
（5）疏松：铸件组织不致密，存在着细小且分散的孔穴称为疏松；
（6）夹杂物：夹杂物是固态金属基体内的非金属物质；
（7）偏析：合金在冷凝过程中，由于某些因素导致的化学成分不一致称为偏析；区域偏析、重力偏析、枝晶偏析。
（8）热裂纹：金属完全凝固前，在固相线附近的液固共存区，由于收缩受阻而形成的裂纹；（9）冷裂纹：金属完全凝固之后，由于冷却时所形成的热应力，组织应力及搬运、清理、校正时的热振作用而产生。
二锻造加工缺陷与失效
1.折叠：锻件一部分表面金属折入锻件内部，使金属形成重叠层缺陷，称
为折叠；
2.分层：锻件金属局部不连续而分隔为两层或多层称为分层；
三焊接加工缺陷与失效
1.焊接裂纹：指焊件在焊接或焊后的退火、存放、装配及使用过程中产生的
各种裂纹，它是焊接缺陷和焊接应力共同作用的结果。
四热处理缺陷与失效
五金属零件冷加工缺陷与失效
第八章实际构件失效分析实例
教师学生姓名上课日期月日学科数学年级八年级教材版本浙教版 类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时 学案主题八下第三章《数据分析初步》复习课时数量第（）课时授课时段 教学目标1、掌握平均数、中位数、众数、极差、方差的概念并进行数据处理； 2、发展学生的统计意识和数据处理的方法与能力； 教学重点、 难点重点:平均数、中位数、众数、极差、方差概念的理解和掌握；难点:会处理实际问题中的统计内容； 教学过程 知识点复习 【知识点梳理】 知识点：平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差 表示数据集中的统计量：平均数、中位数、众数 表示数据离散的统计量：方差、标准差 1.（算术）平均数 算术平均数：一般地，对于n个数x1、x2、……、x n，我们把 12 1 ( n X x x x n =+++ ……）叫做n个数的算术平均数，简称平均数，记作X（读作x拔） 加权平均数：若一组数据中x1、x2、……、x n的个数分别是f1、f2、……、f n，则这组数据的平均数1122 1 () n n X x f x f x f n =+++ ……就叫做加权平均数（其中f1+f2+……+f n=n） f1、f2、……、f n分别叫作x1、x2、……、x n的权。“权”越大，对平均数的影响越大. 例题 (1）2、4、7、9、11、13.这几个数的平均数是_______ (2）一组数据同时减去80，所得新的一组数据的平均数为2.3，?那么原数据的平均数__________；(3）8个数的平均数是12，4个数的平均为18，则这12个数的平均数为； （4）某人旅行100千米，前50千米的速度为100千米/小时，后50千米速度为为120千米/小时，则此人的平均速度估计为（）千米/小时。A、100 B、109 C、110 D、115 2.中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 中位数与数据的排列位置有关，当一组数据中的个别数据相差较大时，可用中位数来描述这组数据的几种趋势。 例题 (1）某小组在一次测试中的成绩为：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小组本次测试成绩的中位数是（） A．85 B．86 C．92 D．87.9 (2)将9个数据从小到大排列后，第个数是这组数据的中位数
空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。 常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x
第五讲、数据分析 一、数据的代表 （一）、（1）平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 注：如果有n 个数n x x x ,,,21 的平均数为x ，则①n ax ax ax ,,,21 的平均数为a x ； ②b x b x b x n +++,,,21 的平均数为x +b ； ③b ax b ax b ax n +++,,,21 的平均数为a x b +。 （2）加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 （3）平均数的计算方法 ①定义法:当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x n x +++= ②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：n f x f x f x x k k ++=2211，其中n f f f k =++ 21。 ③新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式： a x x +='。其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x '11=，a x x '22=， …，a x x n n '=。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。 （4）算术平均数与加权平均数的区别与联系 ①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。 ②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。 （二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个） （三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 （注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n 是奇数，则中位数是第21+n 个；若n 是偶数，则中位数处于第2n 和第2 n 1+个的平均数；③中位数一般都是唯一的） 二、数据的波动 （一）极差： （1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 （2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。 （二）方差： （1）概念：在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝
λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
第五讲、数据分析一、数据的代表 （一）、（1）平均数：一般地，如果有n个数X i,X2, ,x n,那么，X =丄（X[ + x2+ + x n）叫做 n 这n个数的平均数，X读作“ X拔”。 注：如果有n个数X|,X2, ,X n的平均数为x，则① ax i,ax2, ,ax n 的平均数为a x ；②X i + b, X2 + b, , X n + b 的平均数为x + b ；③ ax i + b,ax2+b, ,ax n + b 的平均数为 a x +b o （2）加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，x k出现f k次（这里f1+ f2+ f k二n ）,那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 X= Xifi+X2f2+ Xkfk，这样求得的平均数X叫做加权平均数，其中f1,f2, , f k叫做权。 n （3）平均数的计算方法 ①定义法：当所给数据x1,x2, , x n,比较分散时，一般选用定义公式： _ 1 x= （X1+X2+ +X n） n ②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式： X= X1f1+X2 f2+__x k f l，其中f1+ f2+ f k 二 n o n ③新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： x = x'+ a o其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x '1 = X1 a , x'2= X2 a，…，X'n= X n a o x'= 1（X'1+ X'2+ + x'n）是新数据的平均数（通常把为冷，冷,叫做原数据，n X 1,X*2, ,X n,叫做新数据）。 （4）算术平均数与加权平均数的区别与联系 ①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）o ②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加，最后除以总权值。 （二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个） （三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 （注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n是奇数，则中位数是第 吃个；若n是偶数，则中位数处于第卫和第n + 1个的平均数；③中位数一般都是唯一的） 2 2 2 二、数据的波动 （一）极差： （1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 （2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大， 波动越大。
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
分析力学基础（一） 华中科技大学CAD中心 张云清 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
分析力学基础（） 分析力学基础（一） 一．经典力学概论 概 二．分析力学的基本概念 三．虚位移原理、达朗伯原理 四．动力学方程的三种形式 四动力学方程的三种形式 五．分析力学的变分原理 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
经典力学概论 典力学研象于 ?经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动； 牛力学 ?牛顿力学 ?拉格朗日力学 ?变分原理 变原 ?哈密尔顿力学 ?分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）?运动稳定性 ?刚体动力学学 ?多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
牛顿力学 ?1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学； 牛顿力学； ?牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律 –动力学基本规律 –研究这些规律的方法—微积分 速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学； 牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–---- 约束的自由质点； ?1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；?1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学； 2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析
新课标十大核心概念之“数据分析观念”解读 在对“数据分析观念”进行分析之前，我们首先要理解新、旧课标在“统计与概率”这一版块的要求与区别。原课标的核心词：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。新课标核心词：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识。在“统计与概率”板块的核心词由“统计观念”改为“数据分析观念”。“统计观念”（旧）：强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑。“数据分析观念”（新）：改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。 那么让我们来深入学习“数据分析观念”跟上教学改革的步伐。 （一）什么是“数据分析观念”？数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。 在课标当中，对于数据分析观念，有这样的描述：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律。 (二)为什么要学数据分析的观念？ 数据分析是统计学里的一个核心内容。不论是统计还是概率，都要基于数据，基于对数据的分析；在进行预测的时，为了使预测更合理，也需要收集更多的数据。数据分析观念是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养之一，是促进学生发展的重要方面。通过数据分析的教学，使学生体会到统计时需要收集数据，应用数据分析，能解决日常生活中很多实际问题，从而感受统计的实际价值，发展学生的应用意识。 （三）培养数据分析观念的要求： 一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息 二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法 三是体验性要求：通过数据分析体验随机性 (四)怎样培养学生数据分析的观念？ 1、让学生经历数据分析过程，体会数据中蕴含的信息。 建立数据分析观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要进行数据的“收集、整理、描述、分析”，也就是说分析数据能帮助我们做什么。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问为什么要做这些。 2、鼓励学生掌握数据分析方法，根据问题的背景选择合适的方法。 得到一组数据我们要分析什么： ①、数据有什么特点？ ②、数据怎样变化？ ③、可以推测哪些情况？ 3、通过数据分析，让学生感受数据的随机性。 史宁中教授说：“统计与概率领域的教学重点是发展学生的数据分析意识，培养学生的随机
精品文档 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ???ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与 a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中
八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题 1．解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公式' x x a =+，其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s 2 = 1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]； 方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。 【能力训练】 一、填空题：
1．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 2.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm ， 它们的方差依次为S 2甲=，S 2乙=，S 2 丙=.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床。 3.一组数据：2，-2，0，4的方差是 。 4．在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比。初三(3)班将本班50篇学生调查报告得分进行整理(成绩均为整数)，列出了频率分布表，并画出了频率分组 频率 ～ ～ ～ ～ ～ 合计 1 根据以上信息回答下列问题: (1)该班90分以上(含90分)的调查报告共有________篇； (2)该班被评为优秀等级(80分及80分以上)的调查报告占_________%； (3)补全频率分布直方图。 5．据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918～1958这41年间，平均每年倾斜1.1mm ；1959～1969这11年间，平均每年倾斜1.26mm ，那么1918～1969这52年间，平均每年倾斜约_________(mm)(保留两位小数)。 6.为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业，在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表: 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 则该县这10个区域降雨量的众数为________(mm)；平均降雨量为________(mm)。 7.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为________。 8．下图显示的是今年2月25日《太原日报》刊登的太原市2002年至2004年财政总收入完成情况，图中数据精确到1亿元，根据图中数据完成下列各题： (1)2003年比2002年财政总收入增加了_______亿元； (2)2004年财政总收入的年增长率是_______；(精确 到1％) (3)假如2005年财政总收入的年增长率不低于2004年 甲包装机 乙包装机 丙包装机 方差 （克2 ） 31．96 7．96 16．32 根据表中数据，可以认为三台包装机 中， 包装机包装的茶叶质量最稳 定。
泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，
数据分析知识点 一、选择题 1．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（） A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃【答案】B 【解析】 分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 详解：由图可得， 极差是：30-20=10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确， 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C 错误， 平均数是：202224262828303 25 77 ++++++ =℃，故选项D错误， 故选B． 点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确． 2．甲、乙、丙三个不同品种的苹果树在同一地区进行对比试验，从每个品种的苹果树中随机各抽取10棵，对它们的产量进行统计，绘制统计表如下： 品种甲乙丙 平均产量/(千克/棵)9090
若从这三个品种中选择一个在该地区推广，则应选择的品种是() A．甲B．乙C．丙D．甲、乙中任选一个【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数、方差等数据的进行判断即可． 【详解】 根据平均数、方差等数据的比较可以得出甲品种更适在该地区推广． 故选：A 【点睛】 本题考查了平均数、方差，掌握平均数、方差的定义是解题的关键． 3．某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6:4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（） A．84分B．85分C．86分D．87分 【答案】A 【解析】 【分析】 按照笔试与面试所占比例求出总成绩即可. 【详解】 根据题意，按照笔试与面试所占比例求出总成绩： 64 ?+?=（分） 809084 1010 故选A 【点睛】 本题主要考查了加权平均数的计算，解题关键是正确理解题目含义. 4．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表 对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（） A．他们训练成绩的平均数相同B．他们训练成绩的中位数不同
国土空间规划知识点梳理 一、政策时间轴线 2014.08国家发改委等四部联合下发《关于开展市县“多规合一试点工作的通 知”》 2019.05.23《关于建立国土空间规划体系并监督实施的若干意见》 2019.06.02《自然资源部关于全面开展国土空间规划工作的通知》 2019.06.04《自然资源部2019年立法工作计划》 2019.12.31《自然资源部办公厅关于国土空间规划编制资质有关问题的函》 2020.01.17自然资源部办公厅关于印发《省级国土空间规划编制指南》（试 行）的通知 二、主要工作内容及要求 各级自然资源主管部门要将思想和行动统一到党中央的决策部署上来，按照《若干意见》要求，主动履职尽责，建立“多规合一”的国土空间规划体系并监督实施。按照自上而下、上下联动、压茬推进的原则，抓紧启动编制全国、省级、市县和乡镇国土空间规划（规划期至2035年，展望至2050年），尽快形成规划成果。部将印发国土空间规划编制规程、相关技术标准，明确规划编制的工作要求、主要内容和完成时限。 (一)编制时限要求 2020 目标 基本建立国土空间规划体系；基本完成市县以上各级国土空间规划编制 2025 目标 形成以国土空间规划为基础，以统一用途管制为手段的国土空间开发保护制度
2035 目标 基本形成富有竞争力和可持续发展的国土空间格局 (二)编制要求 各地不再新编和报批主体功能区规划、土地利用总体规划、城镇体系规划、城市（镇）总体规划、海洋功能区划等。已批准的规划期至2020年后的省级国土规划、城镇体系规划、主体功能区规划，城市（镇）总体规划，以及原省级空间规划试点和市县“多规合一”试点等，要按照新的规划编制要求，将既有规划成果融入新编制的同级国土空间规划中。 对现行土地利用总体规划、城市（镇）总体规划实施中存在矛盾的图斑，要结合国土空间基础信息平台的建设，按照国土空间规划“一张图”要求，作一致性处理，作为国土空间用途管制的基础。一致性处理不得突破土地利用总体规划确定的2020年建设用地和耕地保有量等约束性指标，不得突破生态保护红线和永久基本农田保护红线，不得突破土地利用总体规划和城市（镇）总体规划确定的禁止建设区和强制性内容，不得与新的国土空间规划管理要求矛盾冲突。今后工作中，主体功能区规划、土地利用总体规划、城乡规划、海洋功能区划等统称为“国土空间规划”。 按照“管什么就批什么”的原则，对省级和市县国土空间规划，侧重控制性审查，重点审查目标定位、底线约束、控制性指标、相邻关系等，并对规划程序和报批成果形式做合规性审查。 三、成果内容要求 本次规划编制统一采用第三次全国国土调查数据作为规划现状底数和底图基础，统一采用2000国家大地坐标系和1985国家高程基准作为空间定位基
泛函分析课程总结论文 第一部分：知识点体系 第七章：度量空间和赋范线性空间 度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义 定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ?→d ：.若对于任何x ,y,z 属 于X ，有 1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）； 3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称 () ,X d 为一个度量空间 （课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。） 2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 例2.2 序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 例2.3 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体， 对B(A)中任意两点x,y ，定义 ,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...), n n x y ξξξηηη==1|| 1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-
分析力学基础 一是非判断题 1.不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。（√） 2. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。（√） 3. 因为实位移和虚位移都是约束允许的，所以实际的微小位移必定是诸虚位移中的一个。（×） 4. 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（×） 5. 凡几何约束都是完整约束，完整约束未必是几何约束。（√） 二选择题 1.下列约束中，非理想约束的是（B ）。 A 纯滚动，有摩擦力但无滚动摩阻。 B 有摩擦的铰链。 C 摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。 D 连接两个质点的不可伸长的柔索。 2. 如图所示四种情况，惯性力系的简化只有（ C ）图正确。 3. 均质细杆AB质量为m，长为L，置于水平位置，如图所示。若在绳BC突然剪断时角加 速度为α，则杆上各点惯性力的合力大小为（1 2 mLα），方向为（垂直向上），作用点的 位置在杆的（左端A ）处 第二(3)题图第二(4)题图
4. 四根等长等重的均质直杆用铰链连接起来，再把两端用铰链固定在同一水平线上，如图所示，平衡时图示两个角度α和β的关系是（ B ）。 A．tan3tan βα =； B. tan3tan αβ = C. tan2tan βα =; D. tan2tan αβ = 5. 图示系统中，O处为轮轴，绳与滑轮间无相对滑动，则物块A与物块B的虚位移大小的比值为（ B ）。 A．6；B．5；C．4；D．3. 三填空题 1. 图示平面系统，圆环在水平面上作纯滚动，圆环放置的直杆AB可在圆环自由运动，A，B两点始终与圆环保持接触，则该系统的自由度数为（2 ）。 2. 轮轴质心位于O处，对轴O的转动惯量为 O J。在轮轴上系有两个质量各为 1 m和 2 m的物体，已知此轮轴顺时针转向转动，角加速度为α，则轴承O处的动反力Ox F=( 0 ), Oy F=（ 12 () m R m rα -）。 3. 在图所示的平面机构中，试用杆OA的虚位移δ?表达套筒B的虚位移B y δ， 第二(5)题图第三（1）题图第三（2）题图