复数的平方根与立方根

【复习】

1.若复数z 满足(12)43i z i +=+，则z =_______

2.若2

z =，则||z =_____________

复数的平方根与立方根

【新课】1、复数的平方根

如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足： 2()a bi c di +=+

则称a bi +是c di +的一个平方根。()a bi -+是它的另一个平方根。

【例1】求下列复数的平方根。

-5 724i -

【练习】1、负实数a 的平方根为：_____ 2、3+4i 的平方根为：______

2．复数的立方根

若复数12,z z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根。

【例1】设12ω=-+，求证：

（1）2,,1,ωω都是1的立方根

（2）210ωω++=

【应用】求8的立方根。

【练习】P89，3(2)

P89，4

【变式】

1、求20141()2-

2、求20141()2

【例2】复数z 满足210z z ++=，求4(1)z z ++的

值。

【练习】（1）P89，4

（2）已知210x x ++=，求304050x x x ++的值。

【例3】已知

z =，求220141z z z +++???+

五、小结：

（1）复数的平方根。

（2）复数的立方根。

3.设4z R z +

∈，|2|2z -=，求复数z.

平方根与立方根在实际生活中的应用

平方根与立方根在实际生活中的应用 江苏刘顿 数的发展是人们长期在实践中总结出来的，又反过来为我们的实际生活而运用，下面以数的开方在实际生活中的应用，举例说明． 例1小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30(长度单位为厘米)．现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米? 分析：就是说要求的正方体的体积是原来长方体的体积的一半，于是，设正方体的棱长为x厘米，则可以根据题意列出方程，再用数的开方求得． 解：设正方体的棱长为x厘米，则根据题意，得x3＝1 2 ×50×40×30．即x3＝30000， 两边开立方得x＝ 例2小芳想在墙壁上钉一个三角架，其中两直角边长度之比为3∶2，斜边长520厘米，求两直角边的长度． 分析：由于是要求的两直角边的长度，而两直角边长度之比为3∶2，所以可以设两直角边长度分别为3x，2x，又斜边长520厘米，所以利用勾股定理即可求得．解：设两直角边长度分别为3x，2x． 在直角三角形中，因为斜边长520厘米，所以由勾股定理，得(3x)2+(2x)2＝(520)2． 即x2＝40，两边开平方，得x＝3x＝2x＝ 别为 例3八年级(3)班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问这位同学能拿到球吗? 分析：依题意梯子与树干地面刚好构成了直角三角形，此时只要利用勾股定理梯子的顶端到地面的距离，即可以判断这位同学能拿到球了． 解：设梯子的顶端到地面的距离是x米．则根据题意，得x2+22＝72，即x2＝45．两 边开平方，得x＝6，所以这位同学能拿到球． 例4一个长方体的长为5cm、宽为2cm、高为3cm，而一个正方体的体积是它的3倍．求这个正方体的棱长(结果精确到0.01cm)． 分析：由正方体的体积是长方体的体积的3倍，可以设这个正方体的棱长为x cm，于是得到方程求解． 解：设这个正方体的棱长为x cm．根据题意，得x3＝3×5×2×3，即x3＝90， 两边开立方，得x 4.48．即这个正方体的棱长约为4.48cm．

实数(平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算)

板块一：战前准备——打败拦路虎！ 作战目标： 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 装备： A ．______________________________ B ．______________________________ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(-2)2＝4，则-2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：-5的平方根为_______？ 帅哥徐老师总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 实 数

13.5 复数的平方更与立方根(含答案)

【课堂例题】 例1.求下列复数的平方根 (1)34i -+ (2)i 例2.设12ω=- ,利用ω是1的立方根,求证: (1)2ω也是1的立方根;(2)210ωω++= 课堂练习 1.求下列复数的平方根 (1)1630i -+ (2)负实数a 2.在复数范围内分解因式:22x i - 3.利用1的立方根,求下列实数的立方根. (1)8 (2)-27 4.设122 ω=- +,求221ωω+和2013ω的值.

【知识再现】 1.如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个平方根,另一个平方根是 . 如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个立方根. 2.-1的平方根是 ;1的立方根是 . 【基础训练】 1.12-的平方根是 . 2.利用1的立方根可知18 的三个立方根分别为 . 3.已知m ∈R ,则3()m i += .(展开为复数的代数形式) 4.若ω是1的虚立方根，则下列说法正确的是 .(写出所有正确命题的序号) A.91ω= B.21,,ωω是1的三个不同的立方根； C.2ωω=； D.21ωω = E.||1ω= F.210ωω++= 5.求复数122 - +的平方根. 6.已知2 512z i =-,求z . 7.利用1的立方根,计算8(1)-

【巩固提高】 8.求i 的立方根. 9.复数z 的平方等于86i +，求310016z z z -+的值. (选做)10.已知x ∈C ,2 10x x ++=. (1)求10201x x ++的值； (2)求证：20112012201120121 1x x x x +=+. 【温故知新】 11.已知复数||1z =,则复数234z i +-对应的点的轨迹方程是 . (用,x y 表示)【课堂例题答案】

八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理

平方根和立方根 一、知识要点 1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： ① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身； ② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 ③ 当0

（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7 4149161=的错误. 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）25 9； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；25 9表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数. 解：（1）因为8192 =，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为2 53??? ??=259，所以259=5 3. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3 a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

平方根与立方根知识点

平方根与立方根知识点平方根 1.概念： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号2a表示， a叫做被开方数，2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“±2a，其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a” （5）算术平方根：注： 1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； 2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同：

立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a≥0,b≥0）。 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根， 即（a≥0,b>0）。 开方运算 我们知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a.综上所述，有

高二数学复数的平方根和立方根

13．5复数的平方根和立方根 上海市新中高级中学 陈传军 一、教学内容分析 在学习了复数的加、减、乘、除四则运算和乘方运算的基础上，进一步学习复数的开方.课本从复数的开方是乘方的逆运算引入的复数平方根和立方根的定义.由复数的平方和复数相等从而得到复数的平方根.由于求复数的立方根需要进一步的复数知识，所以课本只给出了立方根的定义和1的立方根的简单的性质. 二、教学目标设计 理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用. 三、教学重点及难点 复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根基本性质. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、情景引入 1．复习复数相等的定义; 2．复习复数乘法和乘方的运算法则． 二、学习新课 我们引入虚数的目的之一就是为了解决负数开平方的问题. 问题1：请同学们根据前面所学的知识，回答1,1-的平方根分别是多少？ 1.复数的平方根 通过同学们的讨论，知道在实数集R 内开方是乘方的逆运算. 同样在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足： 复习引入新课 平方根的定义 利用定义解决问题 例题选讲熟练运算 立方根的 定义 1的立方根及应用 例题选讲熟练运算 课堂小结布置作业

di c bi a +=+2)( 则称bi a +是di c +的一个平方根. 例题选讲 例1 求下列复数的平方根 i 247)2(3)1(-- [说明]（1）从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为 z . 例2 求下列复数的平方根 i i 43)2(4)1(- 解：（1）设),(R b a bi a ∈+是i 4的平方根，则 i bi a 4)(2=+, i abi b a 4222=+-, 由两个复数相等的条件，得: ? ??==-42022ab b a , 解得 ???==22 b a 或 ???-=-=22 b a . 所以，i 4的一个平方根是i 22+，另一个平方根是i 22--. （2）设),(R b a bi a ∈+是i 43-的平方根，则 i bi a 43)(2-=+, i abi b a 43222-=+-, 由两个复数相等的条件，得 ? ??-==-42322ab b a , 解得 ???-==12b a 或 ???=-=1 2b a ,

平方根与立方根练习题

平方根与立方根练习题 班级 姓名 时间 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. x ==则 ，若,x x =-=则 。 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 9. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 10．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 12．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 13．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 14. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤

15. 若n 为正整数,则2n ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 16. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. 2(23)2512x x -=- 4. (2x-5)3=-27 四、解答题 已知： 实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求: ) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(1 1 ++++++++++b a b a b a ab 的值

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义

知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10<

2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0

随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0

平方根与立方根知识点

平方根与立方根知识点 1、平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读 作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. （5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是 ：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.

平方根和立方根知识点

平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a

平方根与立方根

1、什么叫做平方根？ 如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。 数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 4的平方根是 ； 149 的平方根是 。 的平方根是0.81。 如果225x =，那么x = 。2的平方根是 ？ 2、平方根的表示方法： 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。 这两个平方根合起来记作“a ± ”，读作“正，负根号a ”. 表示 ，= 。 2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。 3、平方根的概念： 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 4、算术平方根： 正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。 5、算术平方根的性质： ⑴ 0≥0a ≥。 ⑵),0(2≥=a a a )0(2 ≤-=a a a ， )0()(2 ≥=a a a 6、什么叫做立方根？ 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。 即如果a x =3,那么x 就叫做a 的立方根。记为3 a ，读作“三次根号a ”. 7、立方根的概念： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0本身。互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。

求一个数的立方根的运算叫做开立方。 1.平方根： （1）若x 2 =a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方 根, 记为 。规定，0的算术平方根为 。 （2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（a ）2 ＝ （ ）； =2 a 2.立方根： 1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ； 2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。 3）立方根的性质：（1） 3 ＝ ，（2＝ . 平方根 一、填空题 1．1的平方根是 ， 的平方根是0 2．=36 ；=-2)9( ；=--2 ) 3( 。 3． 当0≥a 时，a ± 表示的意义是 ，其中被开方数是 . 225的算术平方根用符号表示为 ，它的结果是 。 4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。 二、选择题 1．下列语句写成数学式子正确的是（ ） A. 9是81的算术平方根：981=± B ．5是()2 5-的算术平方根： ()552 =- C ．6±是36的平方根：636±= D ．-2是4的负的平方根：24-=- 2．下列说法正确的是 ( ) A. 只有正数才有平方根 B. 一个数的算术平方根一定是正数 C. 一个非负数的算术平方根一定是非负数 D. 81的平方根是9± 三、求下列各数的平方根 1． 0.64 2． 9 4 3．2500 4．2 )3(- 四、求下列各数的算术平方根 1． 4 2． 81 64 3．2.56 4．2 )3(-

(完整版)平方根与立方根及实数(综合提高)

平方根与立方根知识点小结及练习 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3≥0有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2 )3(-； （3）49151； ⑷ 2 1(3)-； （5）100； （6）25 121 （7）0.25 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）25 9； （4）2 )4(-.

（5）44.1，（6）36-，（7）49 25 ±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10 227 -； ⑶ 0.729；（4） 343 ；（5） 2168-；（6）-0.0064；（7）-729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：1、已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 2、已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。 3、已知互为相反数，求a ，b 的值。 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.

平方根立方根知识点归纳及常见题型上课讲义

“平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81± ； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。

平方根和立方根经典讲义

实数可按下图进行详细分类： 0???????????? ?????? ?? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? 正整数 整数 负整数有理数 有限小数或无限循环小数 正分数 实数分数 负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点一一对应. ( 以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2 x a = ，则x 就叫做 a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为 “ ” ． 算术平方根： 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为 ； 有一个平方根，就是0， 0的算术平方根也是 0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根 .（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若 0a ≥ . 平方根的计算： 知识点睛 中考要求 平方根和立方根

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 通过验算我们可以知道： ⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若0a ≥ ，则2a =；②不管a (0) ||(0)a a a a a ≥?==?-

12章平方根与立方根(教案)

§12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8)

2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 - （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． { 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5， =50。 } （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =

平方根和立方根(讲义及答案)

平方根和立方根（讲义） ?课前预习 1.填空： (_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16． 由上述运算可知： ①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是 _______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数． ②互为相反数的两个数的平方________． 2.做一做，想一想 把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________． ?知识点睛 1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个

________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作 “____________”． 2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是 ________；负数________平方根． 3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________ 这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”． 6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______． 7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______． ? 精讲精练 1. 4121 的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是-4的平方根 B ．2是(-2)2的算术平方根 C ．(-2)2的平方根是2 D ．8的平方根是4 3. 下列说法正确的是（ ） A ．-81的平方根是±9 B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个数的算术平方根都是正数 D ．2是4的平方根 4. 下列各式中，正确的是（ ） A = B ．0.6=± C 13= D 6=± 5. 下列各式中，正确的是（ ） A ．-(-7)=7 B ．412=121

平方根与立方根(实数)教案

教师辅导教案 学员姓名年级初二辅导科目数学学科教师班主任课时数 教学课题平方根与立方根 教学目标1、认识是平方根与算数平方根 2、认识立方根 3、实数的分类 教 学重难点1、平方根的计算 2、算数平方根的意义 教学内容课堂收获 知识归纳 一、平方根与算术平方根 1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根。例如，4 22=，2是4的平方根，4 )2 (2= -，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 2. 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a x2=，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，4 22=，正数2是4的算术平方根。虽然4 )2 (2= -，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“”是算术平方根的符号） 知识点概括 概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 概括2：“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的意义有两点： （1）被开方数a表示非负数，即a≥0； （2）a也表示非负数，即a≥0。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。概括3：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也

可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同； ②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±, 正数a 的算术平方根表示为a ； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 二、立方根 立方根概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。 表示法：用式子表示，就是，如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根。数a 的立方根用符号 “3a ”表示，读作“三次根号a ，其中a 是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 立方根性质：(1)正数的立方根是正数 (2)负数的立方根是负数 (3)0的立方根是0． 平方根与立方根的区别与联系 区别：（1）根指数不同： 平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。 （2） 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。（3） 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。 联系： 二者都是与乘方运算互为逆运算 三、实数 概念：实数是有理数和无理数的统称。（无理数：无限不循环小数叫做无理数）